Phần này ta sẽ mô tả nhóm con nguyên thuỷ giải đợc dựa vào kết quả đã đ- ợc nghiên cứu ở các phần trớc, cụ thể ta chứng minh định lí về cấu trúc của nhóm nguyên thuỷ giải đợc và liên hệ lớp nhóm này với các nhóm đã xét ở phần trớc. Đây là nội dung chính của luận văn.
Định lí 2.6.1 Giả sử G là nhóm các phép thế nguyên thuỷ giải đợc của nhóm S(X). Khi đó:
i> Nhóm G có ớc chuẩn aben F đẳng cấu với nhóm cộng của không gian tuyến tính V nào đó trên trờng nguyên tố∆ và gồm tất cả các phép tịnh tiến fa sao cho tính V nào đó trên trờng nguyên tố∆ và gồm tất cả các phép tịnh tiến fa sao cho fa(x) = a + x với a,x ∈ V ; fa∈ F.
ii> Nhóm G = G0F ; G0∩ F =< e> với e là đơn vị trong G , G0 là nhóm ổn định của điểm 0 của < X,+ > của G.
iii> Nhóm con G0 trong GL(V) là nhóm bất khả quy của Aut<X, +
>.
Chứng minh. Vì G là nhóm các phép thế giải đợc nên trong G có dãy đạo nhóm: G ⊃ G’ ⊃ ... ⊃ G(n-1)⊃ G(n) = <e>
Trong đó ta đặt G(n-1) = F và F ≠ <e>. Thì F là ớc chuẩn aben của G.
Vì G là nhóm nguyên thuỷ nên theo định lí về ớc chuẩn của nhóm nguyên thuỷ ta có F phải bắc cầu. Mặt khác theo định lí 2.3.3 F là nhóm chính quy đặc trng nguyên tố. Kết hợp với định lí 2.5.1 ta có G là nhóm có ớc chuẩn aben F đẳng cấu với nhóm cộng của không gian tuyến tính V gồm tất cả các phép tịnh tiến fa của V thoả mãn fa(x) = x + a với x,a ∈ V, fa ∈ F. Vậy i> đợc chứng minh.
+ Theo định lí 2.3.2 ta có: G =G0F ; G ∩ F = e trong đó G0 là nhóm con ổn định của kí hiệu 0 ∈ <X, +> của G. Vậy điều kiện ii> đợc chứng minh.
+ Điều kiện iii> là hệ quả của các định lí 2.5.2 ; 2.3.1 và 2.3.2 . Bây giờ ta tìm cách mô tả chi tiết nhóm con nguyên thuỷ giải đợc của S(X) qua các nhóm con của các nhóm mà ta đã đề cập tới.
Giả sử : U = { Aα α ∈ I } là lớp các nhóm aben đặc trng nguyên tố Aα để cho Ord(Aα) = X . Với mỗi Aα , ta xây dựng nhóm <X , +α>. (Theo (1)
-2.1 chơng 2) để <X ,+α > đẳng cấu với Aα và biểu diễn chính qui λα : <X , +α >
→ S(X). Đặt Fα =Imλα.
Giả sử Qα là lớp tất cả các nhóm giải đợc bất khả quy Gα từng đôi một không liên hợp với nhau của Aut<X ,+α > .
Theo định lí 2.3.1 thì Aut<X , +α > đợc chứa trong chuẩn tập của Fα nên Fα là ớc chuẩn trong G = G0α Fα (*) với G0α∈ Qα và G là một nhóm (Fα ∆ G, G0α là nhóm con). Giả sử Mα là lớp tất cả các nhóm có dạng (*). Ta đặt M = ∪Mα ,
α ∈ I (**)
Định lí 2.6.2 Với M = ∪Mα , Mα là lớp tất cả các nhóm có dạng (*).Khi đó:
i> Mỗi nhóm của M là nhóm nguyên thuỷ giải đợc của S(X).
ii> Bất kì một nhóm con nguyên thuỷ giải đợc của S(X) cũng liên hợp với một và chỉ một nhóm trong lớp M.
Chứng minh: Giả sử G∈ M ( khi đó theo (*) G = Fα G0 α với G0α ∈ Qα ) G0α là nhóm giải đợc theo giả thiết, Fα là nhóm aben. Vậy G là nhóm giải đợc, theo định lí 2.3.3 G là nhóm nguyên thuỷ vì G0α là nhóm bất khả qui của Aut<X, +>. Vậy i> đợc chứng minh.
Ta chứng minh ii>. Trớc hết ta chứng minh rằng hai nhóm con B và C trong M không liên hợp trong S(X).
Nhờ (*) và (**) ta có B = Hα Fα , C = Gβ Fβ với Hα∈ Qα, Gβ∈ Qβ
và α ≠β Fα ≅ Fβ. theo định lí về sự liên hợp 2.4.1 nếu B và C liên hợp với nhau thì suy ra Fα và Fβ liên hợp với nhau, do đó khi α ≠ β thì B và C không liên hợp với nhau trong S(X). Nếu α = β nhóm Hα và Gβ theo cách xây dựng Qα sẽ không liên hợp với nhau trong Aut<X +α >. Do đó theo định lí 2.6.1 nhóm B và C không
liên hợp trong S(X). Ta chứng minh rằng bất kì nhóm con nguyên thuỷ giải đợc con của S(X) liên hợp trong S(X) với một nhóm của M.
Theo định lí 2.6.1: G = G0 F với F là nhóm chính qui aben của S(X) G0 là nhóm giải đợc bất khả quy của Aut<X, +>. Theo cách xây dựng lớp M chứa nhóm Aα ≅ F ≅ <X, +>. Vậy với chỉ số α ∈ I, <X, +> ≅ <X, +α> , nhờ định lí 2.1.2 chơng 2 ta suy ra trong S(X) có phép thế u để sao cho u : <X,+> → <X,+α > là ánh xạ đẳng cấu và Fα = uFu-1 .
Nếu N0 = Aut<X, +> thì uN0u-1 = Aut<X, +α>.
.Khi đó uGu-1 = uG0u-1. uFu-1 = uG0u-1.Fα ∈ Aut<X, +α > . Khi đó nhóm uG0u-1 giải đợc bất khả quy của Aut<X, +α > .
Vậy uG0u-1 liên hợp với một nhóm con nào đấy của Qα trong Aut<X, +>. Khi đó theo định lí 2.4.1 nhóm uGu-1 liên hợp trong S(X) với nhóm Mα của lớp M. Ta có ngay hệ quả.
Hệ quả . Nếu hai nhóm con nguyên thuỷ giải đợc đẳng cấu với nhau thì chúng sẽ liên hợp với nhau trong S(X).
Định lí 2.6.3 Nếu X= n khi đó ta kí hiệu S(X) = Sn là nhóm đối xứng. Nhóm con G giải đợc nguyên thuỷ của nhóm Sn khi và chỉ khi n = pr , với p là số nguyên tố.
Chứng minh. Giả sử G là nhóm nguyên thuỷ giải đợc của nhóm Sn ,theo định lí
2.6.1 và 2.6.2, G có ớc chuẩn aben cấp m và F là nhóm cộng của không gian
tuyến tính V trên trờng nguyên tố ∑. Vậy ∑= GL(P) , nên m = pr, ngợc lại nếu
X= n = pr ta lấy tập X = GL(P). Khi đó nhóm tất cả các phép thế gλ,à : ∆ →∆ ;gλ,à(x) = λx + à : x, λ, à ∈ ∆ với λ≠ 0 tạo thành nhóm nguyên thuỷ giải đ- ợc của Sn .
Ví dụ 2.6.4 (Về nhóm con nguyên thuỷ giải đợc của nhóm Sn).
Ta thấy A0 giử nguyên tại chỗ đơn vị <e>.Vậy A3 = {( 123)}<e> = F. A0 2) Xét S3 , có S3' = A3 = {(123)} ∆ S3 và A3 aben , (S3)0 = {(12)}giữ nguyên tại chỗ kí hiệu 3 của nhóm S3.(A3 là F).
Vậy S3 = A3. {(12)},(A3 là F).
3) Xét nhóm A4. Ta có A'4 = {(12)(34), (13)(24), (14)(23),e } là ớc chuẩn aben của A4
(A4)0 giữ nguyên tại chỗ kí hiệu 4 chính là nhóm A3. Vậy A4 = A'4. A3 .
4) Xét nhóm S4 có S'4 = A4 . S"4 = A'4 = {(12)(34), (13)(24), (14)(23),e }. S4 giữ nguyên tại chỗ kí hiệu 4 chính là S3 . Vậy S4 = A'4 . S3 .
Kết luận
Luận văn đã mô tả đợc cấu trúc của nhóm các phép thế nguyên thuỷ giải đ- ợc. Kết quả chính là chứng minh hai định lí :
Định lí 1 Giả sử G là nhóm các phép thế nguyên thuỷ giải đợc của nhóm S(X). Khi đó: Nhóm G = G0F ; G0 ∩ F =< e> với e là đơn vị trong G , G0 là nhóm ổn của G trên X, G(n-1) = F.
Kí hiệu U = { Aαα ∈ I } là lớp các nhóm aben đặc trng nguyên tố Aα để cho Ord(Aα) = X . Fα là ảnh của biểu diễn chính quy phải của Aα trong S(X).
Qα là lớp tất cả các nhóm con giải đợc bất khả quy Gα từng đôi một không liên hợp với nhau của Aut(Fα) . Mα là lớp các nhóm có dạng Fα G0 α , với G0 α là nhóm con ổn định của Gα trong S(X).
Định lí i> Mỗi nhóm của M là nhóm nguyên thuỷ giải đợc của S(X).
ii> Bất kì một nhóm con nguyên thuỷ giải đợc của S(X) cũng liên hợp với một nhóm trong lớp M.
