Ứng dụng các nguyên lí cơ học đề giải các bài tập động lực học

Các khái niệm cơ bản 1.1 Cơ hệ không tự do: là tập hợp các chất điểm mà trong chuyển động ngoài lực tác động ra, vị trí và vận tốc của chúng bị ràng buộc bởi một số điềukiện hình học và

mở đầu

i Lý DO CHọN Đề TàI:

Cơ học lý thuyết là khoa học về các quy luật chuyển động, cân bằng và

sự tơng tác của các vật thể trong không gian, theo thời gian Đặc biệt cơ học lýthuyết đáp ứng yêu cầu hiểu biết và tính toán xác định các hiện tợng chuyển

động gặp trong thực tế

Đối với khối xây dựng, kỹ thuật nó là cơ sở cho hàng loạt những môn kỹthuật hiện đại nh: Sức bền vật liệu, Cơ học công trình, Đàn hồi, Nguyên lýmáy, Động lực máy bay

Đối với sinh viên s phạm, một mặt nó giúp cho sinh viên hiểu thêm vềphần cơ học đại cơng nhằm phục vụ tốt cho việc giảng dạy phần cơ học ở tr-ờng THPT, mặt khác nó còn làm cơ sở giúp cho sinh viên học tiếp các mônvật lý lý thuyết nh: Điện động lực học, Vật lý thống kê, Cơ học lợng tử Việc vận dụng các kiến thức đã học vào giải các bài tập Cơ học lý thuyết

là yêu cầu hàng đầu đối với sinh viên, qua đó giúp hiểu sâu về lý thuyết đồngthời nâng cao t duy và kỹ năng học tập

Với tính chất quan trọng của bộ môn cùng với lòng yêu thích nó, tôi càngmuốn đi sâu nghiên cứu kỹ hơn bộ môn này Đợc sự hớng dẫn của cô giáo Lê

Thị Thai, tôi mạnh dạn tập nghiên cứu đề tài: “ứng dụng các nguyên lý cơ học để giải các bài tập động lực học”.

Chuyển động của vật rắn thật phong phú và đa dạng Khi giải các bàitoán cơ học về chuyển động, ta vẫn thờng lúng túng giữa việc lựa chọn kiếnthức nào? phơng pháp nào? Thực ra, một bài toán có thể có nhiều cách giảikhác nhau, mỗi phơng pháp có những đặc điểm riêng, có những u – nhợc

điểm khác nhau Có thể nhợc điểm của phơng pháp này lại đợc khắc phụcbằng u điểm của phơng pháp kia ở cơ học đại cơng, chúng ta giải quyết hệthống bài tập về chuyển động của cơ hệ chủ yếu bằng hai phơng pháp: Phơngpháp động lực học và phơng pháp bảo toàn Thực hiện đề tài này, một lần nữachúng tôi khắc sâu thêm một phơng pháp mới: Phơng pháp áp dụng giải tíchtoán học để giải các bài toán động lực học

II Mục đích nghiên cứu:

- Tìm hiểu nội dung các nguyên lý cơ học cơ bản: Nguyên lý di chuyểnkhả dĩ, Nguyên lý Đalămbe, Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng

- áp dụng cơ sở lý thuyết của các nguyên lý trên vào việc giải các bàitoán cơ học Phân loại đợc các bài toán và đề xuất tiến trình giải các bài toánbằng cách áp dụng các nguyên lý đó.

III Đối t ợng nghiên cứu:

- Cơ sở của cơ học giải tích và nội dung các nguyên lý

- Các bài toán về cơ học chuyển động của chất điểm, cơ hệ

- Các giáo trình, tài liệu tham khảo về cơ học lý thuyết, chuyển động cơ học

IV Giả thiết khoa học

Việc áp dụng các nguyên lý vào giải quyết bài toán cơ học góp phầnkhắc sâu kiến thức, rèn luyện kỹ năng, nâng cao hứng thú học tập của sinhviên

Các bài tập vận dụng sẽ sát với cơ sở lý thuyết, tập trung làm rõ hơnnhững khái niệm trừu tợng, khó hiểu trong lý thuyết đã xây dựng Cung cấpcho sinh viên một phơng pháp khoa học tự giải quyết bài toán cơ học có hiệuquả, giúp họ tự tin, nâng cao chất lợng tự học

Chơng II: Nguyên lý Đalămbe

Chơng III: Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng

Trong mỗi chơng có ba mục:

Vì bản thân là sinh viên lần đầu tiên làm công tác nghiên cứu, cha cónhiều kinh nghiệm trong việc trình bày một vấn đề khoa học Do vậy, luận vănkhông thể tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong sự góp ý chỉ bảo củacác thầy cô và các bạn đọc.

Phần nội dung

A Những cơ sở của cơ học giải tích

Động lực học là một phần của cơ học lý thuyết nhằm nghiên cứu các quyluật chuyển động cơ học của vật thể dới tác dụng của lực hay nó thiết lập mốiquan hệ giữa chuyển động và lực là nguyên nhân gây nên chuyển động

Cơ học giải tích là phần động lực học dựa vào giải tích toán học để giảiquyết vấn đề lập phơng trình vi phân của chuyển động các loại cơ hệ khácnhau và tìm cách cầu phơng các phơng trình ấy

Các khái niệm cơ bản

1.1 Cơ hệ không tự do: là tập hợp các chất điểm mà trong chuyển động

ngoài lực tác động ra, vị trí và vận tốc của chúng bị ràng buộc bởi một số điềukiện hình học và động học cho trớc

- Liên kết: là những điều kiện hạn chế vị trí và vận tốc của các chất

điểm của cơ hệ trong không gian (Những điều kiện ràng buộc cơ hệ về mặthình học và động học)

- Phơng trình liên kết: là các phơng trình và bất phơng trình biểu thị

về mặt toán học mối ràng buộc về mặt hình học và động học đối với chất điểmthuộc cơ hệ Chúng có dạng sau:

fα (t,x1,y1,z1,,x N,y N,z N,x1,y1,z1,,xN,yN,zN) ≥ 0 (1)

α =1 ,s; s – là số phơng trình liên kết; N: Số chất điểm của cơ hệ

- Phân loại liên kết: dựa vào các phơng trình liên kết ngời ta phân loại

các liên kết nh sau:

+ Liên kết giữ và không giữ: nếu các điều kiện ràng buộc đợc miêu tả

bằng phơng trình thì liên kết đợc gọi là liên kết giữ hay liên kết hai phía Cònnếu liên kết đợc mô tả bằng những bất phơng trình thì đợc gọi là liên kếtkhông giữ hay liên kết một phía

+ Liên kết dừng và không dừng: nếu trong phơng trình liên kết không

chứa rõ biến thời gian thì liên kết gọi là dừng, trờng hợp ngợc lại là liên kếtkhông dừng

+ Liên kết hôlônôm và không hôlônôm: nếu trong phơng trình liên kết

không chứa các yếu tố vận tốc hoặc có chứa các yếu tố vận tốc nhng nhờ cácphép tính tích phân đa đợc về dạng không chứa các yếu tố vận tốc thì liên kết

ấy đợc gọi là liên kết hôlônôm Nếu trong phơng trình liên kết có chứa cácyếu tố vận tốc nhng không thể loại trừ chúng bằng các phép tính tích phân thìliên kiết đợc gọi là không hôlônôm

Cơ hệ với liên kết hôlônôm thì đợc gọi là cơ hệ hôlônôm và ngợc lại cơ

hệ với liên kết không hôlônôm thì đợc gọi là cơ hệ không hôlônôm

1.2 Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do của cơ hệ

1.2.1 Di chuyển khả dĩ của cơ hệ: là tập hợp các di chuyển vô cùng bé

của các chất điểm của cơ hệ từ vị trí đang xét sang vị trí lân cận phù hợp vớicác liên kết tại vị trí đang xét

Khái niệm di chuyển khả dĩ chỉ có ý nghĩa về mặt hình học, không cóquan hệ với các lực tác dụng lên cơ hệ, nghĩa là khi cơ hệ thực hiện di chuyểnkhả dĩ, hệ lực tác dụng lên cơ hệ không biến đổi và thời gian t đợc xem nh làmột thông số Ngoài ra khái niệm di chuyển khả dĩ gắn liền với một vị trí xác

định nào đó của cơ hệ Ký hiệu di chuyển khả dĩ của chất điểm là

),

Xét cơ hệ gồm N chất điểm: Điều kiện để { }δrk (k = 1 ,N)là một di

chuyển khả dĩ của cơ hệ hôlônôm là ∑ =

∂

k k

r r

∂

∂ +

k k

z z

f y

y

f x

1.2.3 Toạ độ suy rộng

Tập hợp các thông số đủ để xác định đợc vị trí của cơ hệ trong một số hệqui chiếu xác định đợc gọi là các toạ độ suy rộng của cơ hệ

Các toạ độ suy rộng đợc ký hiệu là: q1, q2, , qm Nó có thể là các toạ độ

Đề các của các chất điểm thuộc cơ hệ, có thể là góc quay, toạ độ cong Các toạ độ Đề các của các chất điểm của cơ hệ có thể biểu diễn qua cáctoạ độ suy rộng:

xk=xk(t, q1, q2, qm);

yk=yk(t, q1, q2, qm) (5)

zk=zk(t, q1, q2, qm)

hoặc viết ở dạng rút gọn: r k =r k(t,q1,q2, q m)

- Toạ độ suy rộng đủ: là tập hợp các toạ độ suy rộng độc lập với nhau

- Toạ độ suy rộng thừa: là tập hợp các toạ độ suy rộng lớn hơn số toạ độsuy rộng đủ Giữa các toạ độ suy rộng thừa có mối ràng buộc với nhau

Đối với cơ hệ hôlônôm có bậc tự do của nó bằng số toạ độ suy rộng đủ.1.2.4 Lực suy rộng:

a Công khả dĩ của lực: (công của lực trong di chuyển khả dĩ)

Cho cơ hệ di chuyển khả dĩ { }δr k , theo công thức tính công nguyên tốbiểu thức của công khả dĩ sẽ là:

∑

= =

+ +

(

k k

i i

k k

i i

k

q

z z

q q

y y

q q

x x

;

δδ

Thay vào công thức (1.6) ta có:

∂ +

i i

k kz i

k ky i

k kx

q

z F q

y F q

x F F

∂

∂ +

N

k kz i

k ky i

k

q

z F q

y F q

x F

) 7 (

δ δ

∂

∂ +

k kz i

k ky i

k kx i

q

r F q

z F q

y F q

x F Q

) 8 (

đợc gọi là lực suy rộng tơng ứng với toạ độ suy rộng qi

Lực suy rộng là đại lợng vô hớng, có thứ nguyên [ ] [ ][ ]q A

Bản chất vật lý của lực suy rộng phụ thuộc vào bản chất vật lý của toạ độsuy rộng tơng ứng chẳng hạn nếu toạ độ suy rộng là góc thì lực suy rộng làngẫu lực, nếu toạ độ suy rộng là độ dài thì lực suy rộng là lực thông thờng b.Các phơng pháp tính lực suy rộng

Phơng pháp I: Suy ra từ định nghĩa, muốn vậy cần tìm hình chiếu các lựctrên các trục toạ độ Đề các và biểu thức các toạ độ Đề các của các điểm đặtcủa các lực theo toạ độ suy rộng, sau đó thay vào công thức (8)

Phơng pháp II: Tính công khả dĩ của các lực trong toạ độ Đề các, biểudiễn các toạ độ Đề các theo toạ độ suy rộng Tính các biến phân của toạ độ Đềcác theo các biến phân của toạ độ suy rộng sau đó thay vào biểu thức côngkhả dĩ Các đại lợng đứng trớc các biến phân của các toạ độ suy rộng trongcác biểu thức công khả dĩ chính là các lực suy rộng

Phơng pháp III: Trong trờng hợp toạ độ suy rộng đủ, các biến phân củacác toạ độ suy rộng đủ là độc lập với nhau Dựa vào tính chất đó ta tính từnglực suy rộng riêng rẽ nhờ việc chọn di chuyển khả dĩ đặc biệt Ví dụ: để tínhlực suy rộng Qi ứng với lực suy rộng qi, ta chọn di chuyển khả dĩ đặc biệt nhsau: δq1=0, δq2=0, , δqi-1=0, δqi≠0, δqi+1=0, ,δqn=0 Tức là để tính lực suyrộng Qi ứng với toạ độ suy rộng qi ta chỉ cho toạ độ suy rộng qibiến thiên mộtlợng δqi còn các toạ độ suy rộng khác đợc giữ không đổi Tính công khả dĩcủa các lực trong di chuyển khả dĩ đặc biệt đã chọn, ký hiệu là:∑ A q ( )F k

i

δ

B Các nguyên lý cơ học cơ bản Chơng I: Nguyên lý di chuyển khả dĩ

I Cơ sở lý thuyết.

Đối với cơ hệ chịu liên kết hôlônôm, giữ, dừng và lý tởng, điều kiện cần

và đủ để cơ hệ cân bằng tại một vị trí đang xét là tổng công nguyên tố của tấtcả các lực hoạt động trong mọi di chuyển khả dĩ của cơ hệ từ vị trí đang xét

đều triệt tiêu

F A

1

)1.1(0

.)

δVới F k là lực hoạt động (hay hợp lực) tác dụng lên điểm Mk

k

r

δ là di chuyển khả dĩ của chất điểm

(1.1) còn đợc gọi là phơng trình công khả dĩ

Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử cơ hệ ở trạng thái cân bằng tại vị trí

đang xét Ta cần chứng minh F k phải thoả mãn ∑ δA(F k) =0

Thật vậy: khi cơ hệ cần bằng thì mọi chất điểm Mk của nó nằm yên, lựchoạt động và lực liên kết đặt lên chất điểm phải cân bằng nhau, nghĩa là

Với bất kỳ một di chuyển δr k nào của Mk ta đều có: (F k +R k)δr k = 0

1

= +

N

k

N

k k k

∑δA F k , ta sẽ chứng minh cơ hệ nằm ở trạng thái cân bằng Thựcvậy giả sử ngợc lại cơ hệ không nằm ở trạng thái cân bằng, nh thế có ít nhấtmột chất điểm M k bắt đầu chuyển động dới tác dụng của lực hoạt động F k

và lực liên kết R k , theo phơng cùng với hợp lực tác dụng vào chất điểm Mk

là

k k

k = F + R

φ

Do liên kết của cơ hệ là dừng nên phơng di chuyển thực của cơ hệ trùngvới một trong các phơng di chuyển khả dĩ , nên ta chọn di chuyển khả dĩcủachất điểm Mk trùngvới di chuyển thực của nó

Vì vậy: φk δ rk = ( Fk + Rk) δ rk = Fk δ rk + Rk δ rk > 0

Đối với toàn bộ cơ hệ ∑F k.δr k +∑R k.δr k >0nhng cơ hệ chịu liênkết lý tởng ∑R k.δr k = 0suy ra: ∑F kδr k >0 điều này trái với giả thiết.Vậy không có chất điểm nào thuộc cơ hệ chuyển động từ vị trí cân bằng Nêncơ hệ nằm ở trạng thái cân bằng

ý

nghĩa: ý nghĩa của nguyên lý di chuyển khả dĩ là ở chỗ nó cho ta điềukiện cân bằng của mọi cơ hệ dới dạng tổng quát, trong khi đó các phơng pháptĩnh học yêu cầu xét sự cân bằng của từng vật thể trong hệ Để áp dụngnguyên lý này ta chỉ cần xét đến lực hoạt động, cho nên ngay từ đầu đã tránh

đợc không phải xét đến các phản lực liên kết cha biết khi chúng là liên kết lýtởng

Điều kiện cân bằng của cơ hệ hôlônôm trong toạ độ suy rộng đủ : giả sử

hệ hôlônôm có n bậc tự do, vị trí của nó đợc xác định bằng n toạ độ suy rộng

đủ q1,q2,,q3, , qn. Từ biểu thức công khả dĩ của các lực hoạt động trong hệ

i k N

k k N

1

) ( , với Qi là lực suy rộng củacác lực của các lực hoạt động tơng ứng với toạ độ suy rộng qi

Điều kiện cân bằng của hệ, theo nguyên lý di chuyển khả dĩ là: 0

Ta có thể phát biểu định lý:

Định lý: Điều kiện cần và đủ để cơ hệ chịu liên kết hôlônôm, giữ, dừng

và lý tởng cân bằng tại một ví trí nào đó là tất cả các lực suy rộng của các lựchoạt động ứng với toạ độ suy rộng đủ, tính với vị trí đang xét, phải đồng thờitriệt tiêu

Trong trờng hợp các lực hoạt động là những lực có thế và hàm thế năng có

dạng: U = U(q1,q2, ,.qn) Từ công thức (i n)

q

U Q

II Bài tập ứng dụng

Bài 1.1: Cho một cơ cấu tay quay

thanh truyền nh hình vẽ Bỏ qua ma sát,

tìm sự liên hệ giữa P và ngẫu lực M, để

Chọn toạ độ suy rộng đủ q = ϕ ứng với góc định vị tay quay OA

Các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ gồm lực P và ngẫu lực M

Cho cơ hệ di chuyển khả dĩ trong đó tay quay OA quay góc δϕ , tơngứng với con chạy B di chuyển đoạn δs ta có: δAP=Pδs , δAM= -Mδϕ

Dấu “–” ở đây có nghĩa: Nếu chọn chiều dơng là chiều tăng của s thì chiềutăng của ϕ ngợc chiều với chiều tăng của s

Cần tìm sự liên hệ của δϕ và δs theo phơng pháp toạ độ:

Ta có : s =OB = r cosϕ + l cosϕ => ϕs = - (r sinϕδϕ + lsinαδα)

Mà AI = OA sinϕ =AB sinα <=> r sinϕ = lsinα => r cosϕδϕ = lcosαδα

δϕϕ

cos

2 2

2 r l

−

− 2 2 2

sin

cos 1

Pr

r l

r Sin

sin

cos 1

( sin Pr

2 2

ϕ ϕ

r l

r M

− +

=

Bài 1.2: Hãy tìm trọng lợng P1 và P2 của hai tải trọng trên các mặtnghiêng với những góc α và β so với

phơng nằm ngang, đợc giữ cân bằng

nhờ tải trọng P Biết rằng tải trọng P1và

P2 buộc vào hai đầu dây cáp, dây này đi

từ tải trọng P1 luồn qua ròng rọc 01 đặt

lên trục nằm ngang, rồi luồn vào ròng

rọc động mang tải trọng P, sau đó luồn

qua ròng rọc 02 cùng nằm trên trục của

ròng rọc 01 và cuối cùng buộc vào tải

trọng P2 Bỏ qua ma sát, khối lợng của

ròng rọc và dây cáp

Bài giải:

Khảo sát cơ hệ gồm dây nối,ròng rọc và ba vật A,B,C Cơ hệ chịu liênkết hôlônôm,giữ, dừng và lý tởng

Dễ dàng nhận thấy cơ hệ có hai bậc tự do Chọn toạ độ suy rộng đủ q1=

x1, q2= x2 Chúng xác định vị trí các vật A,B trên mặt phẳng nghiêng Với hệtoạ độ 0x1x2 nh hình vẽ, chiều dơng hớng xuống dới

Suy ra: δx1 + δx2 + 2δxc = 0 hay δxc=

-2

1(δx1+δx2)

Để tìm Qx1 ta cho hệ di chuyển khả dĩ δx1≠ 0 ; δx2=0 = > δxc = -21δx1.Tổng công khả dĩ của các lực hoạt động trong di chuyển khả dĩ trên là :

(

1 1

1 1

Q P

x

F A

δδ

Tơng tự tìm Qx2 ta cho hệ di chuyển khả dĩ 1 2 2

2

1 ,

0 ,

(

2 2

2 2

Q P

x

F A

δδ

Từ điều kiện cân bằng của cơ hệ

sin 2 0

Q P

ra suy Q

Bài giải:

Khảo sát cơ hệ gồm ròng rọc và

A Cơ hệ đang xét có một bậc tự do

chịu liên kết lý tởng Chọn toạ độ

suy rộng đủ q=ϕ là góc quay của tời

Để tìm điều kiện cân bằng chúng ta xét các khả năng xảy ra Vật A sắptrợt xuống và vật A sắp trợt lên.

Giả sử vật A sắp trợt lên, lực ma sát hớng xuống dới

Cho hệ di chuyển khả dĩ ứng với tời quay một góc δϕ thuận chiều kim

đồng hồ, khi đó vật A sẽ di chuyển lên dọc mặt phẳng nghiêng một đoạn

δs = Rδϕ

Ta có công nguyên tố của các lực hoạt động

δϕαα

δαδ

Khi vật A sắp sửa trợt lên nhng vẫn còn ở trạng thái cân bằng Qϕ = 0

Suy ra M = PR(Sinα + fcosα)

Để vật không trợt lên ta cần có M ≤ PR(sinα+ fcosα)

* Xét trờng hợp vật A sắp trợt xuống, khi đó lực ma sát sẽ hớng lên Tơng

tự nh trên ta có công nguyên tố của các lực hoạt động:

δϕαα

δαδ

0 ) cos (sin α α α α

ϕ M P f R M PR f

Q = − − = ⇒ = −

Để vật không trợt xuống ⇒M ≥PR(sinα−f cosα)

Nh vậy để vật A cân bằng không trợt lên và cũng không trợt xuống thì

điều kiện sau phải thoả mãn: PR(sinα − f cosα)≤ M ≤ PR(sinα + f cosα)

Nếu một trong hai điều kiện đó bị phá vỡ thì A sẽ không còn cân bằngtức là bị kéo lên hay trợt xuống

Bài 1.4: Cho cơ hệ đợc biểu diễn trên hình vẽ Dây mềm mảnh, nhẹ và

không giãn đợc buộc vào vật A,

Các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ đang xét: F ms,Q,P,P

Cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ δ x , δ y ≠ 0 Tổng công khả dĩ của các lựchoạt động ΣδA(F k ) = -Fmsδx + Pδy + Qδy1 Với δy1 là di chuyển khả dĩ củavật nặng K

Ta sẽ có

2

1

x y

δ = − −

2 ( )

Q fP x

Q y

Q y P x

2()2

(2

−+

−

0 2

0 2

Q P

Q fP

Bài 1.5 : Dầm tổ hợp AD nằm trên ba gối tựa gồm có hai dầm nối khớp

nhau tại C Ngời ta tác dụng lên dầm những lực thẳng đứng trọng tải 2 tấn, 6tấn, và 3 tấn, kích thớc nêu trên hình vẽ Hãy xác định phản lực của gối tựa A,

Đầu tiên ta tìm phản lực ở gối tựa

A : N A Phá vỡ liên kết tại A xem nh ở

đủ đủ q= xA, là di chuyển của điểm A

đối với điểm C

A N

D N

Khi đó ∑δA x A(F k) =N Aδx A−P1 δx M −P2 δx P−P3 δx q

A A

A A

2

( 2

F A

A

k x

δ δ

Từ điều kiện cân bằng của hệ : Q x A = 0 ta suy ra N A P 1T

2

1 =

=

dụng N B giữ cho hệ cân bằng, hớng thẳng đứng lên trên Tơng tự nh trờng hợptrên cơ hệ có một bậc tự do cân bằng dới tác dụng của các lực hoạt động

3

2

1 ,P ,P

P và N B (Hình 1.6b)

Chọn toạ độ suy rộng đủ đủ là xB là di chuyển của B đối với điểm C

Cho B một di chuyển khả dĩ δx B ≠0suy ra

0

; 2

1

; 2

3

; 4

B B

B B

B

Q p

M B

B k

x

x P P

P N

x P

x P

x P

x N

x P x

P x

P x

N F

A

B

δ

δ δ

δ δ

δ δ

δ δ

δ

)2

14

54

3(

2

14

54

3

)(

3 2

1

3 2

1

3 2

5 4

3 )

(

P P

P N

x

F A

B

k x x

B

δ δ

Từ điều kiện cân bằng của cơ hệ : Q x B = 0 suy ra :

T N

T P

P P

2

1 6 4

5 2 2

3 ( 2

1 4

5 2

3

3 2

=

Tìm phản lực tại D: N D , tơng tự phá vỡ liên kết tại D xem nh chỉ có mộtlực tác dụng N D giữ cho hệ cân bằng, lực hớng thẳng đứng lên trên Ta thấycơ hệ có một bậc tự do, cân bằng dới tác dụng của lực hoạt động P1,P2,P3 và

D p

D M

B A

1 ,

4

1

; 0

1 4

1 ( + 1+ 2 − 3

1 4

1

P P

P N

Từ điều kiện cân bằng của cơ hệ = ∑ ( )=0

D

k x D

x

F A

δ δ

2

1 ) 3 2

1 6 4

1 2 4

1 ( 2

1 4

1 2

1

3 2

Bài 1.6: Trên hình vẽ (1.7) ta có sơ đồ cơ cấu culic của máy bào ngang.

Tay quay OA có chiều dài là a, cần lắc CB có chiều dài là l, còn khoảng cáchgiữa hai trục O và C là d ở vị trí đang xét OA tạo với phơng thẳng đứng mộtgóc quay ϕ Tay quay OA chịu tác dụng một ngẫu lực có mômen M, còn cầnlắc chịu tác dụng của lực ngang F tại B hớng từ trái sang phải Bỏ qua ma sát

và trọng lợng bản thân của các khâu Tìm điều kiện cân bằng của cơ cấu và ở

vị trí đó tìm phản lực tại trục quay C

Bài giải :

Khảo sát cơ hệ là cơ cấu culic của máy bào

ngang Cơ hệ đang xét có một bậc tự do chịu liên

kết hôlônôm, giữ, dừng và lý tởng Chọn hệ toạ độ

suy rộng đủ q=ϕ là góc quay của tay quay OA Các

lực hoạt động gồm F và ngẫu lực có mômen M

Trớc tiên ta tìm lực suy rộng ứng với toạ độ suy

rộng ϕ Cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ δϕ ≠ 0 ngợc

chiều kim đồng hồ Khi đó cần lắc quay quanh C

một góc δα

Ta cần tìm mối liên hệ giữa δα và δϕ

Gọi V A là vận tốc tuyệt đối của A , V t là vận tốc tơng đối do A chạy trên

CB , V k là vận tốc kéo theo do CB quay quanh C

Khi đó V A =V t +V k Các véc tơ vận tốc đợc biểu diễn trên hình vẽ

Với VA = ωo.OA ; ωo : vận tốc quay của OA ; Vk = ωCB.CA , ωCB : vậntốc góc của CB

Ta có V K =V Acos(ϕ −α) nên ωCB.CA = ωo.OA.cos(ϕ-α)

l

a Fl

M F A

l

a Fl

M = ϕ − α α

Tìm phản lực tại trục quay C: phá vỡ liên kết

tại C và thay thế nó bằng hai phản lựcX C và Y C , biểu diễn trên hình vẽ Khinày cơ hệ có 3 bậc tự do Chọn các toạ độ suy rộng đủ q1 =ϕ,q2 =α,q3 = s với

s là toạ độ của một điểm bất kỳ của khâu BC đối với điểm A (xét điểm C) Nhvậy q3 =AC=s

Các lực hoạt động sẽ là: F,X C,Y C và mômen có ngẫu lực M

Việc đi tìm các phản lực tại C: Xc và Yc sẽ chuyển sang việc tìm điều kiện cânbằng của cơ hệ trong toạ độ suy rộng: tức là Q q i = 0

Với việc Qϕ = 0, ta sẽ tìm đợc mối liên hệ giữa ngẫu lực M và lực F đểcơ cấu cân bằng đã thiết lập ở trên Còn Qα = 0 và Qs = 0 chúng ta sẽ sử dụng

α αδα

δα δα

δα

δ α

cos ) ( cos sin

.

cos ) ( cos

sin )

( )

( ).

( )

(

1

1 1

1

F l l X l

l Y

F l l X l l

Y F

M Y

M X

M

F

A

c c

c c

A c

A c

A k

− +

−

= +

+

=

∑

Lực suy rộng Qα ứng với toạ độ suy rộng δα là:

Qα = −Y c l1sin α +l1cos αX c − (l −l1)F cos α

C

X

) sin cos

sin (

sin cos

sin )

(

s F

Y X

s F

s Y

s X

F A

c c

c c

k s

δαα

α

αδαδ

αδ

δ

+ +

Lực suy rộng: Q s = −X csinα−Y ccosα−Fsinα

Từ điều kiện cân bằng của cơ hệ:

−

0 ) sin cos

sin (

0 cos ) ( cos

1

α α

α

α α

α

F Y

X

F l l X l

Y l

c c

c c

α

cos sin

) 1 cos (

1

2 1

l

l F Y

l

l F X

c c

Nh vậy Yc sẽ ngợc chiều biểu diễn; còn Xc sẽ cùng chiều biểu diễn nếu:

α

1 2

1

cos0

Bài 1.7: Ba thanh có cùng trọng lợng Q đợc nối với nhau bằng các bản

lề và tại đầu tự do của thanh thứ ba đặt lực F nằm ngang nhờ đó giữ cho cả hệnằm trong mặt phẳng đứng và cân bằng Khi đó các thanh lập với đờng thẳng

x

y

Hình 1.9

Trọng lợng của mỗi thanh có thể phân ra làm hai thành phần đặt vào hai

đầu mút của nó Khi đó ta có hệ lực biểu diễn nh trên hìnhvẽ Các lực hoạt

động gồm có:

2 , , , 2

Q Q Q

Q và F

Cho cơ hệ di chuyển khả dĩ δϕ1 ≠ 0, δϕ2 ≠ 0, δϕ3 ≠ 0 Khi đó A di chuyểnkhả dĩ δxA, δyA; B di chuyển khả dĩ δxB, δyB; C di chuyển khả dĩ δxC, δyC.Tổng công nguyên tố của các lực hoạt động:

)2

(2

)

B A c

C B

A

k Q y Q y Q y F x Q y y y x F

yA = acosϕ1 ; yB= acosϕ1+ bcosϕ2

yC = ccosϕ3 + acosϕ1 + bcosϕ2; xC = asinϕ1+ bsinϕ2+ csinϕ3.

Từ đây ta có thể suy ra đợc các di chuyển khả dĩ:

δyA = - asinϕ1 δϕ1; δyB = -asinϕ1δϕ1 - bsinϕ2δϕ2

δyC = -csinϕ3δϕ3 - bsinϕ2δϕ2- asinϕ1δϕ1;

δxC = acosϕ1δϕ1 + bcosϕ2δϕ2+ ccosϕ3δϕ3

Thay các giá trị này vào (*) ta suy ra :

ý đến các lực hoạt động Nếu cần xác định phản lực nào, ta giải phóng liên kếttơng ứng, thay vào phản lực cần tìm và coi phản lực này nh lực hoạt động.Trong một số trờng hợp lực ma sát có sinh công ví dụ nh lực ma sát trợt, ngẫulực ma sát Ta vẫn sử dụng nguyên lý này bằng cách coi lực ma sát này làlực hoạt động.

Từ việc giải một số bài toán cụ thể ở II ta có thể phân loại đợc bài toán ápdụng nguyên lý di chuyển khả dĩ thành 3 dạng cơ bản:

Loại 1: Bài toán tìm liên hệ giữa các lực hoạt động để hệ cân bằng.Loại 2: Bài toán xác định phản lực liên kết khi hệ đã cân bằng

Loại 3: Tìm vị trí cân bằng khi đã biết các lực tác dụng lên hệ

Từ đây ta có thể rút ra đợc tiến trình giải các bài toán bằng phơng pháp

áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ:

Bớc 1: Xác định cơ hệ khảo sát và số bậc tự do của nó

Kiểm tra điều kiện liên kết lý tởng của hệ

Bớc 2: Chọn các toạ độ suy rộng đủ đủ

Đặt các lực hoạt động lên cơ hệ

Đối với loại bài toán xác định phản lực liên kết: giải phóng liênkết và thay thế phản lực cần tìm - coi nó nh một lực hoạt động.

Bớc 3: Cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ hợp lý rồi biểu diễn những dichuyển khả dĩ các điểm đặt các lực hoạt động theo di chuyển khả dĩ độc lập tựchọn phù hợp với bậc tự do

Viết biểu thức tính công khả dĩ Từ điều kiện cân bằng ta tìm đợc các giátrị cần xác định Nếu hệ có nhiều bậc tự do thì các tính toán đợc áp dụng làcác di chuyển khả dĩ độc lập với nhau

Chơng II : Nguyên lý Đalămbe

I Cơ sở lý thuyết

Những phơng pháp giải các bài toán động lực mà chúng ta áp dụng trớc

đây đều dựa trên các phơng trình suy trực tiếp từ các định luật Niutơn hoặc từcác định lý tổng quát là hệ quả của các định luật đó Nhng nó cha phải là con

đờng duy nhất, ta còn có thể thiết lập các phơng trình chuyển động hay các

điều kiện cân bằng của cơ hệ dựa trên những cơ sở khác nữa là các nguyên lýcơ học để thay cho các định luật Niutơn

ở phần trớc chúng ta đã đợc nghiên cứu về sử dụng nguyên lý di chuyểnkhả dĩ Dới đây ta sẽ đi sâu và tìm hiểu nguyên lý Đalămbe – ứng dụng nóvào giải các bài toán cơ học - một phơng pháp rất hiệu quả, đa bài toán độngvào bài toán tĩnh

1 Nguyên lý Đalămbe

1.1 Nguyên lý Đalămbe đối với chất điểm:

Tại một thời điểm lực tác dụng vào chất điểm và lực quán tính của chất

điểm cân bằng nhau: F+F qt =0 (2.1)

Chú ý: Đối với trờng hợp chất điểm không tự do, lực tác dụng lên chất

điểm bao gồm cả phản lực liên kết R Khi đó (2.1) trở thành:

'

) 1 2 ( 0

=

+

+R F qt

F

1.2.Nguyên lý Đalămbe đối với cơ hệ:

Khảo sát cơ hệ gồm N chất điểm M1,…., MN dới tác dụng của hệ lực

), ,

Tại mỗi thời điểm, các lực tác dụng lên các chất điểm của cơ hệ và cáclực quán tính của các chất điểm thuộc cơ hệ tạo thành hệ lực cân bằng

)2.2(0),

,,

,,,,

(F1 F2  F N F1qt F2qt  F N qt =

Với i

k

e k

F = +

1.3 Hệ quả: Ta có hai loại phơng trình cân bằng :

)4.2(0)

(

)3.2(0

0

=+

∑

∑

qt e

k k

k

qt e

k

M F

m

R F

Với: R F M qt

k

qt k

Giả sử vật rắn chuyển động quay quanh trục Oz với vận tốc góc ω phần

tử B k khối lợng mk, có toạ độ xk, yk, zk sẽ có lực quán tính

) (x 2i y 2j

qt z

c

qt y

c

qt x

R

y M R

x M R

R

qt

ωω

.

2 2

0

qt z xz

qt y

yz

qt x

M

J M

J M

M

qt

ω ω

Khi này các phơng trình (2.3) , (2.4) sẽ trở thành :

(2.5)

0

00

0

00

00

2 1

01

2 1

01

2 01

0

2 01

−

=

−

=+

+

=+

+

ωωωω

xz yz c c

J X

J Y

My Y

Y

Mx X

X

Trong đó X0,Y0,X01,Y01 là những phản lực của các ổ đỡ tác dụng trên trụcquay Khi thiết lập những phơng trình (2.5) ta không để ý đến trọng lợng củavật quay mà chỉ để ý đến lực quán tính, nên các phản lực tìm đợc

Nếu điều kiện: Xc=Yc=0 ; Jyz=Jxz=0 đợc thoả mãn, nghĩa là trục quay z

là trục quán tính chính trung tâm thì các phản lực động lực triệt tiêu

Đó là cơ sở lý thuyết của các phơng pháp cân bằng động lực dùng để cânbằng các máy có chuyển động quay

II Bài tập ứng dụng:

Bài 2.1: Con lắc đơn có khối lợng m, chiều dài l, gia tốc trọng trờng g,

kéo con lắc lệch khỏi góc thẳng đứng một góc α0 rồi buông nhẹ Tìm sứccăng của sợi dây khi con lắc đi qua vị trí cân bằng Bỏ qua sức cản của khôngkhí

Bài giải:

Khảo sát cơ hệ là con lắc đơn trong hệ quy

chiếu quán tính Biểu diễn cơ hệ tại vị trí cần xác

định sức căng T, tức là vị trí C Chọn hệ trục toạ

độ xx’ nh hình vẽ, chiều dơng hớng xuống dới

Khi đi qua vị trí cân bằng vật có gia tốc bằng

+ T Fqt

P

Chiếu phơng trình này lên trục xx’ ta đợc:

(*)0

2

l

mv mg P F T T

áp dụng định luật bảo toàn cơ năng : WA=Wc

Thay vào (*) ta đợc: T= mg+2mg(1-cosα) = mg(3-2cosα)

Bài 2.2: Hai vật nặng có trọng lợng P1, P2 quấn vào hai tầng của ròngrọc có trọng lợng Q, có bán kính quán tính đối với trục quay là ρ Tầng một cóbán kính tang là r, tầng hai là R (trên hình vẽ) Tìm gia tốc của ròng rọc vàphản lực của trục quay Biết tải trọng chuyển động dới tác dụng củatrọng lực.

F qt =− Có thể xem chuyển động của

ròng rọc này là những tấm phẳng quay quanh

khối tâm, hệ lực quán tính thu thành một ngẫu lực có chiều âm, về trị số

mômen .ε ρ2ε

g

Q J

M qt = =

Theo nguyên lý Đalămbe : ( 1, 2, , 0,∑ qt)=0

F R

Q P P

Lấy mômen của hệ lực cân bằng đối với O ta có :

0 ) (

0

0 )

(

2 2

2

2 1 2

1

2 2

1 2 1

2 1

2 1

0

= +

ερε

ε

Q r P R P g r P R

P

g

Q r r g

P R R g

P r P R

P

M r F R F r P R P F

2

2 1

2 1

ρ

ε

Q r P R P

r P R P g

+ +

M qt O