Ứng dụng các nguyên lí cơ học đề giải các bài tập động lực học

1 mở đầu i Lý DO CHọN Đề TàI: Cơ học lý thuyết khoa học quy luật chuyển động, cân tơng tác vật thể không gian, theo thời gian Đặc biệt học lý thuyết đáp ứng yêu cầu hiểu biết tính toán xác định tợng chuyển động gặp thực tế Đối với khối xây dựng, kỹ thuật sở cho hàng loạt môn kỹ thuật đại nh: Sức bền vật liệu, Cơ học công trình, Đàn hồi, Nguyên lý máy, Động lực máy bay Đối với sinh viên s phạm, mặt giúp cho sinh viên hiểu thêm phần học đại cơng nhằm phục vụ tốt cho việc giảng dạy phần học trờng THPT, mặt khác làm sở giúp cho sinh viên học tiếp môn vật lý lý thuyết nh: Điện động lực học, Vật lý thống kê, Cơ học lợng tử Việc vận dụng kiến thức học vào giải tập Cơ học lý thuyết yêu cầu hàng đầu sinh viên, qua giúp hiểu sâu lý thuyết đồng thời nâng cao t kỹ học tập Với tính chất quan trọng môn với lòng yêu thích nó, muốn sâu nghiên cứu kỹ môn Đợc hớng dẫn cô giáo Lê Thị Thai, mạnh dạn tập nghiên cứu đề tài: ứng dụng nguyên lý học để giải tập động lực học Chuyển động vật rắn thật phong phú đa dạng Khi giải toán học chuyển động, ta thờng lúng túng việc lựa chọn kiến thức nào? phơng pháp nào? Thực ra, toán có nhiều cách giải khác nhau, phơng pháp có đặc điểm riêng, có u nhợc điểm khác Có thể nhợc điểm phơng pháp lại đợc khắc phục u điểm phơng pháp học đại cơng, giải hệ thống tập chuyển động hệ chủ yếu hai phơng pháp: Phơng pháp động lực học phơng pháp bảo toàn Thực đề tài này, lần khắc sâu thêm phơng pháp mới: Phơng pháp áp dụng giải tích toán học để giải toán động lực học II Mục đích nghiên cứu: - Tìm hiểu nội dung nguyên lý học bản: Nguyên lý di chuyển khả dĩ, Nguyên lý Đalămbe, Nguyên lý Đalămbe Lagrăng - áp dụng sở lý thuyết nguyên lý vào việc giải toán học Phân loại đợc toán đề xuất tiến trình giải toán cách áp dụng nguyên lý III Đối tợng nghiên cứu: - Cơ sở học giải tích nội dung nguyên lý - Các toán học chuyển động chất điểm, hệ - Các giáo trình, tài liệu tham khảo học lý thuyết, chuyển động học IV Giả thiết khoa học Việc áp dụng nguyên lý vào giải toán học góp phần khắc sâu kiến thức, rèn luyện kỹ năng, nâng cao hứng thú học tập sinh viên Các tập vận dụng sát với sở lý thuyết, tập trung làm rõ khái niệm trừu tợng, khó hiểu lý thuyết xây dựng Cung cấp cho sinh viên phơng pháp khoa học tự giải toán học có hiệu quả, giúp họ tự tin, nâng cao chất lợng tự học V phơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết: Tìm hiểu khái niệm sở học giải tích, sở lý thuyết nguyên lý học - Phơng pháp thực nghiệm: tiến hành thu thập tập, tìm hiểu dấu hiệu để phân loại, đề xuất tiến trình giải VI phạm vi ứng dụng : Đề tài sử dụng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên s phạm, cử nhân khoa học, giáo viên vật lý THPT trình học tập công tác VII Cấu trúc luận văn Luận văn gồm ba phần chính: Phần mở đầu Phần nội dung A Những sơ học giải tích B Các nguyên lý học ứng dụng Chơng I: Nguyên lý di chuyển Chơng II: Nguyên lý Đalămbe Chơng III: Nguyên lý Đalămbe Lagrăng Trong chơng có ba mục: I Cơ sở lý thuyết II Bài tập ứng dụng III Phân loại toán phơng pháp áp dụng nguyên lý Phần kết luận Luận văn đợc hoàn thành với hớng dẫn, bào tận tình cô giáo Lê Thị Thai giúp đỡ, động viên thầy cô giáo khoa Vật lý - Trờng Đại học Vinh Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy cô Vì thân sinh viên lần làm công tác nghiên cứu, cha có nhiều kinh nghiệm việc trình bày vấn đề khoa học Do vậy, luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong góp ý bảo thầy cô bạn đọc A Phần nội dung Những sở học giải tích Động lực học phần học lý thuyết nhằm nghiên cứu quy luật chuyển động học vật thể dới tác dụng lực hay thiết lập mối quan hệ chuyển động lực nguyên nhân gây nên chuyển động Cơ học giải tích phần động lực học dựa vào giải tích toán học để giải vấn đề lập phơng trình vi phân chuyển động loại hệ khác tìm cách cầu phơng phơng trình Các khái niệm 1.1 Cơ hệ không tự do: tập hợp chất điểm mà chuyển động lực tác động ra, vị trí vận tốc chúng bị ràng buộc số điều kiện hình học động học cho trớc Liên kết: điều kiện hạn chế vị trí vận tốc chất điểm hệ không gian (Những điều kiện ràng buộc hệ mặt hình học động học) Phơng trình liên kết: phơng trình bất phơng trình biểu thị mặt toán học mối ràng buộc mặt hình học động học chất điểm thuộc hệ Chúng có dạng sau: f ( t , x1 , y1 , z1 , , x N , y N , z N , x , y , z , , x N , y N , z N ) (1) =1, s ; s số phơng trình liên kết; N: Số chất điểm hệ Phân loại liên kết: dựa vào phơng trình liên kết ngời ta phân loại liên kết nh sau: + Liên kết giữ không giữ: điều kiện ràng buộc đợc miêu tả phơng trình liên kết đợc gọi liên kết giữ hay liên kết hai phía Còn liên kết đợc mô tả bất phơng trình đợc gọi liên kết không giữ hay liên kết phía + Liên kết dừng không dừng: phơng trình liên kết không chứa rõ biến thời gian liên kết gọi dừng, trờng hợp ngợc lại liên kết không dừng + Liên kết hôlônôm không hôlônôm: phơng trình liên kết không chứa yếu tố vận tốc có chứa yếu tố vận tốc nhng nhờ phép tính tích phân đa đợc dạng không chứa yếu tố vận tốc liên kết đợc gọi liên kết hôlônôm Nếu phơng trình liên kết có chứa yếu tố vận tốc nhng loại trừ chúng phép tính tích phân liên kiết đợc gọi không hôlônôm Cơ hệ với liên kết hôlônôm đợc gọi hệ hôlônôm ngợc lại hệ với liên kết không hôlônôm đợc gọi hệ không hôlônôm 1.2 Di chuyển số bậc tự hệ 1.2.1 Di chuyển hệ: tập hợp di chuyển vô bé chất điểm hệ từ vị trí xét sang vị trí lân cận phù hợp với liên kết vị trí xét Khái niệm di chuyển có ý nghĩa mặt hình học, quan hệ với lực tác dụng lên hệ, nghĩa hệ thực di chuyển khả dĩ, hệ lực tác dụng lên hệ không biến đổi thời gian t đợc xem nh thông số Ngoài khái niệm di chuyển gắn liền với vị trí xác định hệ Ký hiệu di chuyển chất điểm r (x, y , z ) (với r vectơ định vị chất điểm) để phân biệt đợc với di chuyển thật dr (dx,dy,dz) Di chuyển thực di chuyển Xét hệ gồm N chất điểm: Điều kiện để {rk } chuyển hệ hôlônôm f r r k =0 ( k =1, N ) di ( 2) k dạng: f ( x x k k + f f y k + z k ) = y k z k (3) 1.2.2 Số bậc tự hệ: Số bậc tự hệ số tối đa di chuyển độc lập tuyến tính hệ, nghĩa số biến phân độc lập toạ độ Ký hiệu số bậc tự hệ k: k= 3N-s (4) Với N : Số chất điểm thuộc hệ; s: Số phơng trình liên kết 1.2.3 Toạ độ suy rộng Tập hợp thông số đủ để xác định đợc vị trí hệ số hệ qui chiếu xác định đợc gọi toạ độ suy rộng hệ Các toạ độ suy rộng đợc ký hiệu là: q1, q2, , qm Nó toạ độ Đề chất điểm thuộc hệ, góc quay, toạ độ cong Các toạ độ Đề chất điểm hệ biểu diễn qua toạ độ suy rộng: xk=xk(t, q1, q2, qm); yk=yk(t, q1, q2, qm) (5) zk=zk(t, q1, q2, qm) viết dạng rút gọn: rk = rk (t , q1 , q2 , qm ) - Toạ độ suy rộng đủ: tập hợp toạ độ suy rộng độc lập với - Toạ độ suy rộng thừa: tập hợp toạ độ suy rộng lớn số toạ độ suy rộng đủ Giữa toạ độ suy rộng thừa có mối ràng buộc với Đối với hệ hôlônôm có bậc tự số toạ độ suy rộng đủ 1.2.4 Lực suy rộng: a Công lực: (công lực di chuyển khả dĩ) { } Cho hệ di chuyển rk , theo công thức tính công nguyên tố biểu thức công là: N N A( F ) = F r = ( F k k =1 k k k =1 kx xk + Fky yk + Fkz zk ) (6) Chọn toạ độ suy rộng đủ đủ q1, q2, ., qn Ta có n xk = i =1 xk qi qi n ; yk = Thay vào công thức (1.6) ta có: i =1 yk qi qi n ; zk = i =1 zk qi qi A( F k N n xk y k z k ) = Fkx q + Fky q + Fkz q k =1 i =1 i i i n N xk yk z k = F + F + F kx ky kz qi qi qi i =1 k =1 N k =1 đó: Qi = Fkx n q = i Qiqi i =1 x k y k z + Fky + Fkz k qi qi qi N rk = Fk q i k =1 q = i (7 ) (8) đợc gọi lực suy rộng tơng ứng với toạ độ suy rộng qi [ A] Lực suy rộng đại lợng vô hớng, có thứ nguyên [Q ] = [q ] Bản chất vật lý lực suy rộng phụ thuộc vào chất vật lý toạ độ suy rộng tơng ứng chẳng hạn toạ độ suy rộng góc lực suy rộng ngẫu lực, toạ độ suy rộng độ dài lực suy rộng lực thông thờng b.Các phơng pháp tính lực suy rộng Phơng pháp I: Suy từ định nghĩa, muốn cần tìm hình chiếu lực trục toạ độ Đề biểu thức toạ độ Đề điểm đặt lực theo toạ độ suy rộng, sau thay vào công thức (8) Phơng pháp II: Tính công lực toạ độ Đề các, biểu diễn toạ độ Đề theo toạ độ suy rộng Tính biến phân toạ độ Đề theo biến phân toạ độ suy rộng sau thay vào biểu thức công Các đại lợng đứng trớc biến phân toạ độ suy rộng biểu thức công lực suy rộng Phơng pháp III: Trong trờng hợp toạ độ suy rộng đủ, biến phân toạ độ suy rộng đủ độc lập với Dựa vào tính chất ta tính lực suy rộng riêng rẽ nhờ việc chọn di chuyển đặc biệt Ví dụ: để tính lực suy rộng Qi ứng với lực suy rộng qi, ta chọn di chuyển đặc biệt nh sau: q1=0, q2=0, , qi-1=0, qi0, qi+1=0, ,qn=0 Tức để tính lực suy rộng Qi ứng với toạ độ suy rộng q i ta cho toạ độ suy rộng q ibiến thiên lợng qi toạ độ suy rộng khác đợc giữ không đổi Tính công ( ) lực di chuyển đặc biệt chọn, ký hiệu là: Aqi Fk Rõ ràng ta có: ( ) Aq ( Fk ) = Q q Suy ra: Q = i i i A F q k i i qi Các phơng pháp thứ II thứ III thờng đợc sử dụng Đặc biệt quy chiếu nhiều bậc tự do, phơng pháp thứ thuận tiện, toạ độ suy rộng đợc chọn đủ Khi lực hàm U đợc biểu diễn qua toạ độ suy rộng: U[xk(q1, ., qn); yk(q1, ., qn); zk(q1, ., qn)] = U(q1, q2, ,qn) lực suy rộng đợc tính theo công thức: Qi = U qi (i = 1, n) 1.2.5 Liên kết lý tởng: a Phân loại lực tác dụng lên hệ không tự Các lực tác dụng lên hệ không tự đợc phân thành hai loại: lực liên kết lực hoạt động Các lực liên kết thể tác dụng mặt động lực liên kết hệ Các lực tác dụng lên hệ lực liên kết gọi lực hoạt động b Liên kết lý tởng: Liên kết đợc gọi lý tởng tổng công tất lực liên kết di chuyển hệ không A k (R ) =R r k k k =0 B Các nguyên lý học Chơng I: Nguyên lý di chuyển I Cơ sở lý thuyết Đối với hệ chịu liên kết hôlônôm, giữ, dừng lý tởng, điều kiện cần đủ để hệ cân vị trí xét tổng công nguyên tố tất lực hoạt động di chuyển hệ từ vị trí xét triệt tiêu A( F k N ) = Fk rk =0 (1.1) k= Với Fk lực hoạt động (hay hợp lực) tác dụng lên điểm Mk rk di chuyển chất điểm (1.1) đợc gọi phơng trình công Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử hệ trạng thái cân vị trí xét Ta cần chứng minh Fk phải thoả mãn A( F k ) =0 Thật vậy: hệ cần chất điểm M k nằm yên, lực hoạt động lực liên kết đặt lên chất điểm phải cân nhau, nghĩa Fk + R k = Với di chuyển rk Mk ta có: ( Fk + R k ) rk = Đối với toàn hệ ta có: N (F k =1 k Do hệ chịu liên kết lý tởng nên ta có: N Điều kiện đủ: Bây ta giả sử k N k =1 k =1 Rk rk = Vậy k =1 A( F N + R k ) rk = Fk rk + Rk rk = Fk N F r k =1 k k =0 thoả mãn điều kiện ) = , ta chứng minh hệ nằm trạng thái cân Thực giả sử ngợc lại hệ không nằm trạng thái cân bằng, nh có chất điểm M k bắt đầu chuyển động dới tác dụng lực hoạt động Fk 10 lực liên kết Rk , theo phơng với hợp lực tác dụng vào chất điểm Mk k = Fk + Rk Do liên kết hệ dừng nên phơng di chuyển thực hệ trùng với phơng di chuyển , nên ta chọn di chuyển khả dĩcủa chất điểm Mk trùng với di chuyển thực Vì vậy: k rk = ( Fk + Rk ). rk = Fk rk + Rk rk > Đối với toàn hệ kết lý tởng R k F r k rk = suy ra: k + Rk rk > nhng hệ chịu liên F r k k >0 điều trái với giả thiết Vậy chất điểm thuộc hệ chuyển động từ vị trí cân Nên hệ nằm trạng thái cân ý nghĩa: ý nghĩa nguyên lý di chuyển chỗ cho ta điều kiện cân hệ dới dạng tổng quát, phơng pháp tĩnh học yêu cầu xét cân vật thể hệ Để áp dụng nguyên lý ta cần xét đến lực hoạt động, từ đầu tránh đợc xét đến phản lực liên kết cha biết chúng liên kết lý tởng Điều kiện cân hệ hôlônôm toạ độ suy rộng đủ : giả sử hệ hôlônôm có n bậc tự do, vị trí đợc xác định n toạ độ suy rộng đủ q1,q2,,q3, , qn Từ biểu thức công lực hoạt động hệ toạ độ suy rộng đủ: N N n k =1 k =1 i =1 A( Fk ) = Fk rk = Qi qi , với Qi lực suy rộng lực lực hoạt động tơng ứng với toạ độ suy rộng qi Điều kiện cân hệ, theo nguyên lý di chuyển là: n Q q i =1 i i =0 Vì hệ hôlônôm gia số q1,q2, ,qn hoàn toàn độc lập với (do toạ độ suy rộng đủ) nên điều kiện để đẳng thức thực đợc là: Qi=0 , với i= 1, n 45 Bài 3.2: Bộ điều tiết li tâm quay quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc mang hai cầu A1 A2 Trọng lợng P, trọng lợng củabao trợt C1C2 Q Bỏ qua trọng lợng , xác định góc OA1 = OA2 = l , OB1= OB2= B1C1= B2C2= a Bài giải: Khảo sát hệ điều tiết ly tâm gồm có hai nặng A1, A2 , bao trợt C1C2 Cơ hệ có bậc tự do, liên kết đặt lên hệ liên kết lý tởng Chọn hệ trục toạ độ Oxy biểu diễn nh hình vẽ c2 x A1 y B1 Các lực hoạt động tác dụng lên hệ O B2 c1 c2 x x P1 , P2 , Q x A2 x x Hình 3.2 Đặt vào hệ lực quán tính ly tâm (đặt vào A1 A2) Lập phơng trình động lực học tổng quát dới dạng hình chiếu Cho hệ di chuyển Khi tính hình chiếu tất lực trục toạ độ ta có phơng trình: P1 x1 + P2 x2 F1qt y1 + F2qt y2 + Q3x3 = Trong Q3 = Q , P1= P2= P F1qt = F2qt = (*) P P a A = l sin g g Toạ độ điểm đặt lực: x1 = x2 = l cos , y2 =- y1 = l sin , x3 = 2acos Lấy vi phân biểu thức ta có : x1= x2= - lsin y2= - y1 =lcos , x3 = -2a sin Thay giá trị vừa tìm đợc vào phơng trình (*) ta có : P (- 2Plsin + g l22sin cos-2Q asin) = Do di chuyển hệ nên 46 P - 2Plsin + g l22sin cos-2Q asin = Cuối ta đợc: cos = Pl + Qa g Pl 2 Vì cos 1, nên cầu bị lệch khỏi vị trí thẳng đứng Pl + Qa g Khi tăng tăng , -> tiến tới 90o Pl Bài toán sử dụng chơng trình Lagrăng loại II: Bài 3.3: Xét khối trụ đặc trọng lợng P1 đợc sợi dây vắt qua ròng rọc Đầu sợi dây buộc vào vật A trọng lợng P2, vật trợt mặt phẳng ngang với hệ số ma sát f Hãy tìm gia tốc vật tâm C khối trụ hệ chuyển động Bỏ qua ma sát ròng rọc, khối lợng dây ròng rọc không đáng kể Bài giải: Khảo sảo hệ gồm khối trụ đặc B vật nặng A Cơ hệ chịu liên kết hôlônôm, giữ, dừng lý tởng Ta nhận thấy A chuyển động đờng thẳng ngang B chuyển động đờng thẳng đứng Cơ hệ có hai bậc tự Chọn toạ độ suy rộng đủ đủ q1=x, q2=y x A Fms P2 y B Hình 3.3 P1 P1 Các lực hoạt động gồm có P , P , F ms Ta giải toán cách áp dụng phơng trình Lagrăng loại II: d dt d dt T T = Qx x x T T = Qy y y Ta cần tính lực suy rộng Qx, Qy ứng với toạ độ suy rộng x, y cho hệ di chuyển x 0, y = Tổng công lực hoạt động 47 A ( F x k ) = ( P2 f + P1 )x Ax ( Fk ) => Q x = = P2 f + P1 x Tiếp tục cho hệ di chuyển khã dĩ x = 0, y A y ( Fk ) Tổng công khã dĩ A y ( Fk ) = P1y Q y = = P1 y Động hệ: P r2 y T= P2 x + P1 ( y + x ) + J c mà = , J c = r g 2g 2g 2 Suy T= P2 x + P1 ( y + x ) + P1 r y 2g 2g 2g 2r Ta cần tính đạo hàm T T = 0; = 0; x y P T P2 = x + 2( y + x ); x g 2g P T P1 = 2( x + y ) + y y g 2g Q d T P = x + ( x y ) dt x g 4g Q d L P = y + ( x + y ) dt y g 4g Thay giá trị đạo hàm giá trị lực suy rộng vào hệ phơng trình Lagrăng loại II ta đợc P1 P2 g x+ g ( x+ y ) = P1 P2 f P1 ( x+ y ) + P1 y = P g 2g giải hệ phơng trình ta đợc 48 P1 3P2 f x = 3P + P g y = P2 (1 + f ) g 3P2 + P1 Vậy gia tốc vật A: wA= x = P1 3P2 f g 3P2 + P1 gia tốc khối tâm C: wC= x+ y = P1 + P2 P2 f g 3P2 + P1 Bài 3.4: Một sợi dây nhẹ không giãn, đầu buộc vào vật E D A, sau vắt qua ròng rọc B cố định, ròng rọc động C, ròng rọc cố F P ms định D buộc vào vật E, trP ợt mặt ngang Một vật K đợc treo vào tâm ròng rọc động C, có trọng lợng Q Hệ số ma sát vật E mặt phẳng ngang f Xác Hình 3.4 định điều kiện để vật K tụt xuống vận tốc ban đầu vật không Tìm gia tốc vật K Bỏ qua khối lợng ròng rọc trợt dây ròng rọc B y A C K P Q Bài giải: Khảo sát hệ gồm dây nối, ròng rọc vật nặng A, K, E Cơ hệ chịu liên kết hôlônôm, giữ, dừng lý tởng Dễ dàng nhận thấy hệ có hai bậc tự Chọn toạ độ suy rộng đủ: q1=x, q2=y biểu diễn hình vẽ Chiều dơng y hớng xuống dới, chiều dơng x hớng sang phải Ta giải toán cách áp dụng phơng trình Lagrăng loại II Trớc hết ta cần tìm động hệ T= P P Q x + y + y 2g 2g 2g x 49 Với x vận tốc E, y vận tốc A, y vận tốc K Khi ta cho vật A di chuyển y, vật E di chuyển x vật K có di chuyển khả dĩ: y1 = x y suy y = x y y = x y 1 2 Động hệ đợc tính: T = P P Q P P Q x y P 2 Q x + y + y = x + y + ( ) = ( x + y ) + ( x y ) 2g 2g 2g 2g 2g 2g 2g 8g Ta cần tính đạo hàm sau: T =0 ; x T =0 ; y Q T P = x + ( x y ); x g 4g Q T P = y + ( x + y ) ; y g 4g T P Q = x + ( x y ) t x g 4g T P Q x +y ) = y + ( t x g 4g Cho hệ di chuyển x 0, y=0 Tổng công lực hoạt động A x = Fms x + Qy1 = fPx + Q Q x = ( f P )x 2 Suy lực suy rộng: Qx= Ax Q = fP x Tiếp tục cho hệ di chuyển x = 0, y Tổng công lực hoạt động là: A y = P.y +Qy1 =( P Q )y Lực suy rộng Qy= Ay Q =P y Thay thông số tìm đợc vào hệ phơng trình Lagrăng : 50 d dt d dt T T = Qx x x T T = Qy y y Q Q p g x + g ( x y ) = fP p y + Q ( y x) = P Q g 4g 3Q f ( P +Q ) g x = 2( P +Q ) Giải hệ phơng trình trên, ta đợc: y =(1 f ) g 3Q f ( P +Q ) g 2( P +Q ) Gia tốc vật K: y1 = Q (1 + f ) P y + x 3Q f (4 P + Q) = g (1 f ) g = 2P + Q 2(2 P + Q) Để vật K tụt xuống y1 > Tức Q (1 + f ) P > Hay Q > (1 + f ) P 2P + Q Q (1 + f ) P Khi vật K có gia tốc a = y1 = 2P + Q Bài 3.5: Một lắc enliptic gồm chạy A có khối lợng m1 trợt mặt phẳng nhẵn cầu nhỏ có khối lợng m2 đợc nối với chạy A AB cứng, nhẹ, có chiều dài l Thanh AB quay tròn quanh trục AB vuông góc với mặt phẳng hình vẽ Bỏ qua ma sát Thành lập phơng trình vi phân chuyển động hệ Bài giải: Khảo sát hệ gồm chạy A cầu B Cơ hệ chịu liên kết hôlônôm, giữ, dừng lý tởng Ta có chạy A chuyển động tịnh tiến ngang, cầu B dao động mặt phẳng Axy Cơ hệ có hai bậc tự Chọn A y e B x toạ độ suy rộng đủ q1=y, q2= Cơ hệ chuyển động trờng lực thế, ta áp dụng giải toán hệ phơng trình Lagrăng Hình 3.5 51 d dt d dt L L =0 y y L L =0 với L=T-U hàm Lagrăng; T động hệ, U Động T hệ đợc xác định 2 T= m1 y + m2 ( x 22 + y 22 ) U hệ U= m2 gl cos x = l cos x = l sin suy Với y = y + l sin y = y + l cos Suy L=T-U= m1 y + m2 [l 2 sin + ( y + l cos ) ] + m2 gl cos 2 1 1 m1 y + m l 2 sin + m y + m y gl cos + m 2 cos + m gl cos 2 2 1 = (m1 + m ) y + m l 2 + m y gl cos + m gl cos (**) 2 L= Ta cần tìm đạo hàm sau: L L =0; = m2 y l sin m2 gl sin y L L =0; = (m1 + m2 ) y + m2 l cos y y d L = (m1 + m2 ) y + m2l cos m2l sin dt y L = m2l + m2 y l cos d L +m2 yl cos m2 y l sin =m2l dt Thay đại lợng vừa tìm đợc vào hệ phơng trình Lagrăng ta đợc: (m1 + m2 ) y + m2l cos m2l sin = m2l + m2 yl cos m2 y l sin + m2 y l sin m2 gl sin = (m1 + m ) y + m l cos m l sin = (1) (2) l + yl cos + g sin = 52 Vậy hệ phơng trình hệ phơng trình vi phân mô tả chuyển động hệ Bài 3.6: Một dầm có khối lợng M đợc nối với tờng cố định nhờ hai lò xo có độ cứng k nh nhau, trợt không ma sát dọc theo sàn ngang Một vật có khối lợng m đợc buộc vào đầu dây đợc treo vào tâm dầm Dây đợc xem mảnh không giãn Thành lập phơng trình vi phân chuyển động hệ Bài giải k k Khảo sát hệ gồm dầm M lắc m Bỏ qua lò xo thay tác dụng lò xo lực đàn hồi Cơ hệ chịu liên kết hôlônôm, giữ, dừng lý tởng x l m Dễ dàng nhận thấy hệ có hai bậc tự Chọn toạ độ suy rộng đủ đủ Hình 3.6 q1=x, q2= Với x hoành độ khối tâm dầm góc lệch sợi dây so với phơng thẳng đứng Ta giải toán cách áp dụng phơng trình Lagrăng loại II cho hệ bảo toàn d dt d dt L L =0 x x L L =0 L = T U hàm Lagrăng 2 Động T hệ đợc tính T = Mx + m( x 12 + y 12 ) với x 12 + y 12 bình phơng vận tốc m ; x1 = x + l sin x = x + l cos hay y1 = l cos y = l sin 2 Động năng: T = (m + M ) x + mx l cos + ml 2 = [ 1 Mx + m ( x + l cos ) + (l sin ) 2 ] 53 U : hệ U=U1+U2 U1: hai lực đàn hồi: U1=2 kx2=kx2 Thế vật m trờng trọng lực: U2=-mglcos Vậy U=U1+U2=kx2-mglcos (Chọn mốc trờng trọng lực vị trí chiều dơng hớng lên) Hàm Lagrăng là: 1 L = T U = (m + M ) x + m x l cos + ml kx + mgl cos 2 Ta cần tìm đạo hàm: L = 2kx x ; L = m x l sin mgl sin L = ( M + m) x + ml cos ; d L = ( M + m) x + ml cos ml sin x dt x L = mx l cos + 2ml ; d L = mxl cos mx l sin + ml dt thay đại lợng tìm đợc vào hệ phơng trình Lagrăng ta suy ( M + m) x + ml cos ml sin + 2kx = mxl cos mx l sin + ml + mx l sin + mgl sin = ( M + m) x + ml cos ml sin + 2kx = hay x cos + l + g sin = Đây hai phơng trình vi phân mô tả chuyển động hệ Bài 3.7: Thành lập phơng trình vi phân chuyển động lắc có khối lợng m độ dài l, điểm treo nằm tâm đĩa có khối lợng m1 Đĩa lăn không trợt dọc theo trục ngang Ox, tâm đĩa nối với đờng cố định nhờ lò xo có độ cứng C Bài giải: m1 C x Hình 3.7 m 54 Khảo sát hệ gồm lắc m đĩa tròn m Bỏ qua lò xo thay tác dụng lực đàn hồi Cơ hệ chịu liên kết hôlônôm, giữ, dừng lý tởng Dễ dàng nhận thấy hệ xác định biết đợc vị trí khối tâm x đĩa góc lệch lắc so với trục thẳng đứng Cơ hệ có hai bậc tự Chọn toạ độ suy rộng đủ đủ q 1=x , q = Gốc toạ độ trùng với vị trí ban đầu khối tâm đĩa Ta thiết lập phơng trình vi phân chuyển động từ phơng trình Lagrăng loại II Động T hệ : T=T1+T2 , với T1 động đĩa tròn T1 = 1 1 m1 R x m1 x + J = m1 x + = m1 x 2 2 2 R T2 động lắc: T2 = mv Với v = x + y x1 = x + l sin 1 y1 = l cos x = x + l cos nên y = l sin Thay vào T2 ta có T2 = 1 m( x 12 + y 12 ) = m ( x + l cos ) + (l sin ) = m( x + x l cos + l ) 2 Động hệ: T = T1 + T2 = Từ ta trình đợc đạo hàm : T x = ml 2 m1 x + mx + ml x cos + 2 T T = 0; = mlx sin x (3m1 + 2m) x + ml cos , d T = ( 3m1 + 2m ) x ml sin + ml cos dt x T d T = ml x cos + ml , = ml x cos + ml + ml x ( sin ) dt 55 Bây ta cần tìm lực suy rộng Q x , Q Cơ hệ chuyển động trờng lực Q x = U , x Q = U Với U hệ: gồm lò xo trọng lực P= mg, U = mgl cos + Cx ; Ta suy : Q x = U = Cx x Q = U = mgl sin Thay thông số tìm đợc vào hệ phơng trình Lagrăng d dt d dt T T = Qx x x T T = Q 3m1 + 2m x ml sin + ml cos = cx mlx cos + ml mlx sin + mlx sin = mgl sin (3m1 + 2m) x + 2ml cos 2ml sin + 2cx = l + x cos + g sin = Vậy Chính hệ phơng trình vi phân mô tả chuyển động hệ III Phân loại toán phơng pháp sử dụng nguyên lý Đalămbe-Lagrăng vào toán học Nguyên lý Đalămbe-Lagrăng cho ta phơng pháp tổng quát để giải toán động lực học Đặc biệt toán xác định gia tốc điểm vật toán xác định điều kiện cân tơng đối hệ Những phơng trình Lagrăng đợc sử dụng thuận tiện để nghiên cứu chuyển động hệ có nhiều bậc tự không phụ thuộc vào số vật thuộc hệ chất chuyển động hệ chuyển động tơng đối hay tuyệt đối Những toán áp dụng phơng trình Lagrăng thờng toán thành lập phơng trình vi phân chuyển động hệ hay xác định gia tốc trờng hợp hệ có bậc tự 56 Từ việc giải số tập phần II, rút đợc tiến trình giải toán áp dụng nguyên lý Đalămbe-Lagrăng: Bớc 1: Xác định hệ khảo sát số bậc tự do, kiểm tra điều kiện liên kết lý tởng, giả thuyết chiều gia tốc a, Bớc : Xác định lực hoạt động tác dụng lên hệ Bớc : Đặt lực quán tính lên hệ Bớc : Cho hệ di chuyển hợp lý theo toạ độ suy rộng viết phơng trình tổng quát động lực học Tiến hành biến đổi toán học, rút kết Tiến trình giải toán sử dụng phơng trình Lagrăng loại II Bớc : Xác định hệ khảo sát Xác định số bậc tự hệ chọn toạ độ suy rộng, xác định điều kiện liên kết hệ Bớc : Xét hệ vị trí bất kỳ, đặt lực hoạt động tác dụng lên hệ Bớc : Tính động T hệ, biểu diễn T theo toạ độ suy rộng q j vận tốc suy rộng qj Bớc : Tính lực suy rộng Nếu lực hoạt động tác dụng lên hệ lực lực suy rộng đợc xác định: Qj = Bớc : Tính đạo hàm U ; U hệ q j T , q j d T , dt q j T thay đại lợng q j vào phơng trình Lagrăng Tiến hành biến đổi toán học rút kết 57 Kết luận Luận văn đợc hình thành dựa sở lý thuyết giảng học giải tích học phần học lý thuyết cho sinh viên năm thứ hai chuyên nghành vật lý Nội dung trình bày sở lý thuyết cách khái quát, hệ thống tập ứng dụng đợc chọn lọc kỹ lỡng xếp từ đơn giản đến phức tạp theo loại toán phù hợp với mức độ sinh viên Cuối phân loại cụ thể toán đề xuất tiến trình giải chung để sinh viên áp dụng giải toán độc lập Qua nội dung luận văn, hình thành cách nhìn tổng quát hơn, khoa học toán chuyển động hệ giải theo phơng pháp áp dụng giải tích toán học Từ thấy rõ đợc tính u việt phơng pháp so với phơng pháp truyền thống trớc mà học học đại cơng Luận văn giúp cho ngời đọc biết cách áp dụng nguyên lý học vào việc giải toán học cách nhanh có hiệu Luận văn đề cập đến ba nguyên lý với kiến thức sở với hy vọng cung cấp sở lý thuyết chắn trớc áp dụng vào toán cụ thể Với bố cục luận văn đợc trình bày gồm ba phần phần nội dung có đa sở học giải tích, sở lý thuyết nguyên lý, tập ứng dụng cách phân loại với tiến trình chung cho việc giải tập Với cách trình bày nh vậy, luận văn có tính hệ thống hơn, dễ nắm bắt làm tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên Vinh, Ngày 15 tháng năm 2003 Nguyễn Thị Dung 58 Tài liệu tham khảo Cơ học Tập II Động lực học - Đỗ Sanh NXB GD 2001 Bài tập học Tập II Động lực học Lê Doãn Hồng, Đỗ Sanh NXB Giáo dục 1999 Giáo trình giản yếu học lý thuyết X.M.Targ NXB Đại học & Trung học chuyên nghiệp Hà nội 1979 Cơ học lý thuyết Nguyễn Hữu Mình - NXB Đại học Quốc gia 1998 Tuyển tập tập học lý thuyết Mêserxky.I.V NXB Đại học & Trung học chuyên nghiệp Hà nội 1975 Bài tập học lý thuyết - Đào Văn Dũng, Phạm Xuân Bội, Phạm Thị Oanh, Phạm Chí Vĩnh - NXB Đại học Quốc gia 2000 Cơ học lý thuyết phần tập Phạm Văn Cúc, Nguyễn Trọng Chuyền NXB Khoa học kỹ thuật 1994 59 Mục lục Nội dung Trang mở đầu Phần nội dung .4 A Những sở học giải tích Các khái niệm B Các nguyên lý học .9 Chơng I: Nguyên lý di chuyển I Cơ sở lý thuyết II Bài tập ứng dụng 11 III Phân loại toán phơng pháp áp dụng nguyên lý di chuyển : 23 Chơng II : Nguyên lý Đalămbe 25 I Cơ sở lý thuyết 25 II Bài tập ứng dụng: 28 III Phân loại toán phơng pháp sử dụng nguyên lý Đalămbe để giải toán học 38 Chơng III: Nguyên lý Đalămbe - Lagrăng 40 I Cơ sở lý thuyết 40 II Bài tập ứng dụng 43 III Phân loại toán phơng pháp sử dụng nguyên lý 55 Đalămbe-Lagrăng vào toán học 55 Kết luận .57 Tài liệu tham khảo 58 [...]... đến lực quán tính, nên các phản lực tìm đợc X 0 , Y0 , X 01 , Y01 gọi là những phản lực động lực, còn các phơng trình này gọi là các phơng trình xác định phản lực động lực Phản lực động lực và những áp lực động lực của trục quay tác dụng lên các ổ đỡ , là nguyên nhân gây nên sự mài mòn và dao động có hại của các bộ phận máy móc có chuyển động quay Chính vì vậy cần phải triệt tiêu hoặc giảm các phản lực. .. trên trong ba trờng hợp chuyển động: chuyển động tịnh tiến, chuyển động quay và chuyển động song phẳng 2 Phơng pháp tĩnh hình học - động lực: y Ta sẽ sử dụng hệ quả 1.3 để giải các bài toán động lực học bằng cách viết các phơng trình cân bằng cho hệ lực gồm Yo các ngoại lực và các lực quán tính, sáu phơng cân bằng đối O với hệ lực không gian và ba phơng trình đối với hệ lực phẳng qt Fk Bk X 01 Hình 2.1... tìm hiểu nguyên lý Đalămbe ứng dụng nó vào giải các bài toán cơ học - một phơng pháp rất hiệu quả, đa bài toán động vào bài toán tĩnh 1 Nguyên lý Đalămbe 1.1 Nguyên lý Đalămbe đối với chất điểm: Tại một thời điểm lực tác dụng vào chất điểm và lực quán tính của chất điểm cân bằng nhau: qt F+F =0 (2.1) Chú ý: Đối với trờng hợp chất điểm không tự do, lực tác dụng lên chất điểm bao gồm cả phản lực liên... của các cơ hệ bất kỳ Phơng pháp này có u điểm nổi bật là loại trừ việc khảo sát các phản lực liên kết (nếu là liên kết lý tởng) mà chỉ chú ý đến các lực hoạt động Nếu cần xác định phản lực nào, ta giải phóng liên kết tơng ứng, thay vào phản lực cần tìm và coi phản lực này nh lực hoạt động Trong một số trờng hợp lực ma sát có sinh công ví dụ nh lực ma sát trợt, ngẫu lực ma sát Ta vẫn sử dụng nguyên. .. dụng nguyên lý này bằng cách coi lực ma sát này là lực hoạt động Từ việc giải một số bài toán cụ thể ở II ta có thể phân loại đợc bài toán áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ thành 3 dạng cơ bản: Loại 1: Bài toán tìm liên hệ giữa các lực hoạt động để hệ cân bằng Loại 2: Bài toán xác định phản lực liên kết khi hệ đã cân bằng Loại 3: Tìm vị trí cân bằng khi đã biết các lực tác dụng lên hệ Từ đây ta có... tiến trình giải các bài toán bằng phơng pháp áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ: Bớc 1: Xác định cơ hệ khảo sát và số bậc tự do của nó Kiểm tra điều kiện liên kết lý tởng của hệ Bớc 2: Chọn các toạ độ suy rộng đủ đủ Đặt các lực hoạt động lên cơ hệ 24 Đối với loại bài toán xác định phản lực liên kết: giải phóng liên kết và thay thế phản lực cần tìm - coi nó nh một lực hoạt động Bớc 3: Cho cơ hệ một... phản lực động lực Nếu điều kiện: Xc=Yc=0 ; Jyz=Jxz=0 đợc thoả mãn, nghĩa là trục quay z là trục quán tính chính trung tâm thì các phản lực động lực triệt tiêu Đó là cơ sở lý thuyết của các phơng pháp cân bằng động lực dùng để cân bằng các máy có chuyển động quay 28 II Bài tập ứng dụng: Bài 2.1: Con lắc đơn có khối lợng m, chiều dài l, gia tốc trọng trờng g, kéo con lắc lệch khỏi góc thẳng ứng một... đây đều dựa trên các phơng trình suy trực tiếp từ các định luật Niutơn hoặc từ các định lý tổng quát là hệ quả của các định luật đó Nhng nó cha phải là con đờng duy nhất, ta còn có thể thiết lập các phơng trình chuyển động hay các điều kiện cân bằng của cơ hệ dựa trên những cơ sở khác nữa là các nguyên lý cơ học để thay cho các định luật Niutơn ở phần trớc chúng ta đã đợc nghiên cứu về sử dụng nguyên. .. với thanh DE Các ngoại lực tác dụng vào cơ hệ gồm các trọng lực P1 , P 2 , các phản lực ở gối tựa A là R A ( X A , Y A ) và các phản lực ở các gối tựa B: R B ( X B , Y B , Z B ) Đặt vào hình trụ lực quán tính F2qt và vào thanh mỏng DE lực quán tính F1qt Vì hình trụ có thể xem nh đợc ghép từ những tấm phẳng song song quay đều quanh trục vuông góc nên lực quán tính của nó tơng ứng bằng lực quán qt tính... khả dĩ các điểm đặt các lực hoạt động theo di chuyển khả dĩ độc lập tự chọn phù hợp với bậc tự do Viết biểu thức tính công khả dĩ Từ điều kiện cân bằng ta tìm đợc các giá trị cần xác định Nếu hệ có nhiều bậc tự do thì các tính toán đợc áp dụng là các di chuyển khả dĩ độc lập với nhau 25 Chơng II : Nguyên lý Đalămbe I Cơ sở lý thuyết Những phơng pháp giải các bài toán động lực mà chúng ta áp dụng trớc ... hệ số cứng chống uốn c Bỏ qua lực cản coi động quay Bài giải: Cơ hệ khảo sát động Các ngoại lực tác dụng lên hệ gồm trọng lực Q tác dụng lên vỏ động cơ, trọng lực P tác dụng lên rôto lực đàn... sở học giải tích Động lực học phần học lý thuyết nhằm nghiên cứu quy luật chuyển động học vật thể dới tác dụng lực hay thiết lập mối quan hệ chuyển động lực nguyên nhân gây nên chuyển động Cơ học. .. II Bài tập ứng dụng Bài toán sử dụng nguyên lý Đalămbe - Lagrăng (sử dụng phơng trình tổng quát động lực học) Bài 3.1: Cho hệ nh hình vẽ Các phần dây nằm trục ròng rọc theo phơng thẳng ứng Các