GIới hạn và liên tục trong toán cao cấp 1

Mơn học : GIẢI TÍCH CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN DÃY SỐ (Học Bài tập) CHƯƠNG 2: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Giới thiệu lọai hàm : Hàm hợp, hàm ngược, hàm lượng giác ngược, hàm hyperbol Giới hạn hàm số - Hàm liên tục Vơ lớn – Vơ bé CHƯƠNG 3: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm hàm y=f(x), hàm ngược, hàm cho phương trình tham số Đạo hàm cấp cao Vi phân, vi phân cấp cao Cơng thức Taylor – Maclaurint Ứng dụng tính giới hạn hàm Quy tắc L’Hospital Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm y=f(x) Giới thiệu phần mềm MatLab để giải tốn giải tích CHƯƠNG 4: TÍCH PHÂN HÀM BIẾN Tích phân bất định Tích phân xác định – Cơng thức Newton-Leibnitz Tích phân suy rộng: Tích phân với cận vơ tận Tích phân hàm khơng bị chặn Ứng dụng tích phân CHƯƠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân cấp 1: dạng Phương trình vi phân cấp 2: Pt giảm cấp Pt tuyến tính Hệ Phương trình vi phân tuyến tính CHƯƠNG 2: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Giới hạn liên tục – Nhắc lại hàm học Hàm số mũ: y = ax Nếu a=1 hàm làm hàm hằng, nên ta tính a≠1 Điều kiện a>0, a≠1 MXĐ: (-∞,+∞), MGT: (0,+∞) Khi 00, a ≠1 MXĐ : (0,+∞), MGT: (- ∞,+∞) a>1: Hàm đồng biến lim log a x = −∞ x →0 + lim log a x = +∞ x →+∞ Giới hạn liên tục – Nhắc lại hàm học 01 cụ thể Đặc biệt: a=e, ta kí hiệu đơn giản logex=lnx ln b ta có cơng thức log a b = ln a Giới hạn liên tục – Nhắc lại hàm họcc Hàm lũy thừa : y=xa MXĐ, MGT : Tùy thuộc vào a a=2, 4, 6: MXĐ: (- ∞,+∞), MGT: (0,+∞) a=3, 5: MXĐ: (- ∞,+∞), MGT: (- ∞,+∞) Giới hạn & liên tục – VCL VCB Qui tắc thay VCB tương đương với tổng nhiều VCB Giả sử a≠0, b ≠0, α, β số thực cho f1 ( x) : axα , f ( x) : bx β với x→0, f1(x), f2(x) VCB 1.axα ,khi α ≠ β (α > β )  α f1 ( x) + f ( x) :  2.(a + b) x ,khi α = β & a + b ≠ 3.khong thay duoc,khi α = β &a+b=0  Chú ý: Trường hợp KHƠNG ĐƯỢC THAY VCB tương đương HIỆU VCB CÙNG TƯƠNG ĐƯƠNG VỚI VCB THỨ BA Giới hạn & liên tục – VCL VCB Ví dụ: So sánh VCB sau x→0: 1.α ( x) = x, β ( x) = x sin x x2 2.α ( x) = − cos x, β ( x) = sin x − arcsin x x sin α ( x) x 1.lim = lim = lim sin x →0 β ( x ) x →0 x x →0 x Giới hạn khơng tồn tức VCB khơng so sánh Giới hạn & liên tục – VCL VCB Ta so sánh cách tính bậc VCB x2 x ln 2 α ( x) = − cos x = (e − 1) − (cos x − 1) : x ln + x = x (ln + ) Như vậy, bậc α(x) so với x β ( x) = sin x 2 − arcsin x : x 3 : x Bậc β(x) 3/2 so với x Vậy α ( x) = O( β ( x)) −x Giới hạn & liên tục – VCL VCB Ví dụ: Tìm a, b để α(x) tương đương với axb x→0 1.α ( x) = sin( − x − 1) 2.α ( x) = tan x + x Ta tính bậc VCB −x 1.α ( x) = sin : 1− x +1 −1 : x −x 1− x +1 ⇒ a = − ,b = 2.α ( x) : x + x : 2x ⇒ a = 2, b = Giới hạn & liên tục – VCL VCB Qui tắc thay VCB tương đương với tổng nhiều VCB Giả sử a≠0, b ≠0, α, β số thực cho f1 ( x) : axα , f ( x) : bx β với x→0, f1(x), f2(x) VCB 1.axα , α ≠ β (α < β )  α f1 ( x ) + f ( x ) :  2.( a + b) x , α = β & a + b ≠ 3.khong thay duoc,khi α = β &a+b=0  Chú ý: Trường hợp KHƠNG ĐƯỢC THAY VCB tương đương HIỆU VCB CÙNG TƯƠNG ĐƯƠNG VỚI VCB THỨ BA Giới hạn & liên tục – VCL VCB Ví dụ: Tính giới hạn L1 = lim − cos(2 x) x →0 x + ln(1 + x) Ta thay VCB tương đương sau, x→0 1 − cos x : (2 x) = x 2 (VCB tương đương bản) ln(1 + x) : x ⇒ x + ln(1 + x) : x + x : x (Tổng VCB khơng bậc tương đương với VCB có bậc thấp nhất) x2 L1 = lim =0 x →0 x Giới hạn & liên tục – VCL VCB Ví dụ: Tính giới hạn L2 = lim x →1+ sin 2( x − 1) e x −1 − cos x − Lưu ý: Vì hàm dấu lim có cos x − tức x≥1 nên ta tính giới hạn phải Khi x→1+ (x-1) VCB nên : sin2( x − 1) : 2( x − 1) e x− − cos x − = (e x−1 ( ) − 1) + (1 − cos x − 1) : ( x − 1) + x − = ( x − 1) 2 2( x − 1) L2 = lim = x →1 ( x − 1) Giới hạn & liên tục – VCL VCB Ví dụ: Tính e x − esin x L3 = lim x →0 t an3x e x − esin x (e x − 1) − (esin x − 1) L3 = lim = lim x →0 t an3x x →0 t an3x x − sin x 2x − x L3 = lim = lim = x →0 x →0 3x 3x Giới hạn & liên tục – VCL VCB Ví dụ: Tính e x − esin x L4 = lim x →0 3x e x − esin x (e x − 1) − (esin x − 1) L4 = lim = lim x →0 x →0 3x 3x Đến đây, khơng thể thay VCB tương đương vì: e x − : x  sin x − : sin x : x e Tử số HIỆU CỦA VCB CÙNG TƯƠNG ĐƯƠNG VỚI VCB THỨ Ta có cách làm khác: dùng quy tắc L’Hospital dùng CT Taylor - Maclaurint Giới hạn & liên tục – VCL VCB VCL: Hàm số A(x) gọi vơ lớn (VCL) x→x0 lim A( x) = ∞ x → x0 Ví dụ: lim (2 x + sin x) = ∞ x →∞ lim = ∞ x →0 x Nên A(x)=2x2+sinx VCL x→∞ ⇒ A( x) = x VCL x→0 Giới hạn & liên tục – VCL VCB So sánh VCL: Cho A(x) B(x) hai vơ lớn x → x0 A( x) = k Giả sử lim x → x0 B ( x ) 1) Nếu k = ∞ , A(x) gọi VCL bậc cao B(x), 2) Nếu k hữu hạn, khác khơng, A(x) B(x) hai VCL cấp 3) Nếu k=1, A(x) B(x) hai VCL tương đương 4) Nếu A(x) bậc với (B(x))m bậc A(x) m so với B(x) Giới hạn & liên tục – VCL VCB Qui tắc ngắt bỏ VCL Tổng hữu hạn VCL lim Tổng hữu hạn VCL x → x0 VCL bậc cao tử = lim VCL bậc cao mẫu x → x0 Giới hạn & liên tục – VCL VCB lim Ví dụ: Tính x →∞ 10 x − 2x + − 2x + x x5 + x3 − x + x + 3x3 − x Khi x → ∞ tử số mẫu số tổng vơ lớn khơng bậc Bậc lớn tử số mẫu số Vậy: lim x →∞ x10 − x5 + − x3 + x 4 x = lim =− 3 x →∞ −2 x x + x − x + x + 3x − x Giới hạn & liên tục – Phụ lục  x   1 + ÷ − 1  32   32 + x − L1 = lim = lim x →0 x →0 x x x = lim = x →0 x 80 cos3 x − cos x (cos3 x − 1) − (cos x − 1) L = lim = lim 2 x →0 x →0 x x 2 − x + 49 x = lim = 20 x →0 x Giới hạn & liên tục – Phụ lục L3 = lim cot x ×cot(π / − x) x →π /4 π − 2x = lim tan(π − x) = l im =2 x →π /4 tan(π − x) x→π /4 π − x 4 ( L = lim − tan x x →0  = lim  − tan x x →0  ( ) ) 1/sin (2 x ) 1/tan x    tan x sin (2 x ) lim x2 x→0 (2 x )2 = =4 e e [...]... hàm 1- 1 Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược Hàm y=x là hàm 1- 1 3 Hàm y=x2 không là hàm 1- 1 Hàm 1- 1 có đồ thị chỉ cắt mọi đường thẳng y = C, với C thuộc MGT của hàm tại duy nhất 1 điểm Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược Hàm ngược : Cho hàm 1- 1 f : X → Y , f ( x) = y hàm ngược của hàm, đựơc kí hiệu là y = f -1( x), f 1 : Y → X sao cho f 1 ( y ) = x ⇔ y = f ( x ) Như vậy : f(f -1( y))=y... Hàm f(x) có thể không xác định tại x0 a+ε y=a+ε a a-ε x0-δ y=a-ε x0 x0+δ Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số x 1 Ví dụ: Tính giới hạn lim 2 x 1 x − 1 Hàm không xác định tại x0 =1, giới hạn đã cho có dạng 0 0 Ta vẽ đường cong để minh họa cho kết quả dễ thấy x 1 1 lim 2 = x 1 x − 1 2 Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Giới hạn hàm số (ngôn ngữ dãy): Cho x0 là điểm tụ của MXĐ Df của hàm f(x) n→∞... -1( y))=y và f -1( f(x))=x Ta có: MXĐ của hàm f -1 là MGT của hàm f và MGT của hàm f -1 là MXĐ của hàm f Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược Ví dụ: Tìm hàm ngược của hàm y = x3 - 1 Ta sẽ tìm hàm y = f -1( x) bằng cách tính x theo y 3 y = x 1 ⇔ x = 3 y +1 Thay x bởi y, y bởi x, ta được hàm ngược y= f fof 1 1 ( x) = 3 x + 1 ( x) = f ( f 1 3 ( x )) = f ( x + 1) = ( 3 x +1 ) 3 1 = x MXĐ và MGT của... MXĐ và MGT của cả 2 hàm f và f -1 đều là R Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược Ví dụ: Hàm y=x2 không làm hàm 1- 1 trên (-∞,+∞) Tuy vậy, nếu ta giới hạn bớt MXĐ của hàm là (0 ,+∞) thì ta được hàm 1- 1  y = x 2 ,  x ≥ 0 Khi đó, ta vẫn có hàm ngược y = x, x ≥ 0 , x≥0 Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược Với mọi a thuộc MXĐ của hàm y = f(x), đặt b = f(a) thì a = f -1( b) tức là điểm (a,b) thuộc... x)) = f ( 3 x − 1) = 6 x − 1 g o f ( x) = g ( x ) = 3 x − 1 g o g ( x) = g ( g ( x)) = g ( x − 1) = MXĐ là [1, +∞) MXĐ là [0, +∞) x = 4 x MXĐ là [0, +∞) f o f ( x) = f ( f ( x)) = f ( x ) = 3 o f ,g og 33 x − 1 − 1 MXĐ là R Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược Hàm 1- 1 : Hàm f : X → Y , f ( x) = y được gọi làm hàm 1- 1 nếu ∀x1 ≠ x2 : f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) X − − − − − −− > Y Hàm 1- 1 X − − − − − −−... tập số thực Điểm x0 được gọi là điểm tụ của tập D nếu trong mọi lân cận ( x0 − ε , x0 + ε ) của x0 đều chứa vô số các phần tử của D Ví dụ D = (0 ,1) mọi điểm thuộc [0 ,1] đều là điểm tụ x0 0 1  D =  ,n∈ N  n  1 Có duy nhất 1 điểm tụ là 0 0 1/ 10 1/ 2 1 Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Giới hạn hàm số (ngôn ngữ ε – δ) : Cho hàm f(x) và x0 là 1 điểm tụ của MXĐ Df của hàm lim f ( x) = a ⇔ ∀ε > 0.. .Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học y= x a = -1: MXĐ: R*=R\{0}, MGT: R* Ta còn gọi đây là đường Hyperbol a =1/ 2: MXĐ [0,+∞), MGT [0,+∞) Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược Hàm hợp : Cho 2 hàm g : X → Y , f : Y → Z Ta gọi hàm hợp của 2 hàm trên là h = f o g Được xác định như sau : h : X → Z , h( x) = f ( g ( x)) Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược 2 Ví dụ... = 2 x + 1, g ( x) = x + 1 Tìm f o g , g o f và tính giá trị của chúng tại x = 2 f o g ( x) = f ( g ( x)) = f ( x 2 + 1) = 2 x 2 + 1 + 1 ⇒ f o g (2) = 2 5 + 1 g o f ( x) = g (2 x + 1) = (2 x + 1) 2 + 1 = 4 x 2 + 4 x + 2 ⇒ g o f (2) = 26 Lưu ý : Nói chung 2 hàm f o g , g o f không bằng nhau Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược Ví dụ : Cho 2 hàm f ( x) = x , g ( x) = 3 x − 1 Tìm các hàm và MXĐ của... x, x ∈ [ 1, 1] π 1 π arcsin( 1) = − ,arcsin( − )=− 2 4 2 3 π arcsin(0) = 0,arcsin( ) = 2 3 Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol Hàm ngược của hàm y = cosx : hàm y=arccosx Trên đoạn [0,π], hàm y=cosx là hàm 1- 1, tồn tại hàm ngược y=arccosx, MXĐ là [ -1, 1], MGT là [0,π] y = arccos x ⇔ x = cos y π 1 π 1 2π arccos(0) = ,arccos( ) = ,arccos( − ) = 2 4 2 3 2 Giới hạn & liên tục – Hàm... 1, ∀n  ⇒ f ( xn ) = sin 2 2   lim f ( xn ) = 0,lim f ( xn′ ) = 1 n→∞ n→∞ Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Giới hạn ở vô cực : lim f ( x) = a ⇔ ∀ε > 0 ∃A > 0 x →+∞ y=a ∀x ∈ D f , x > A ⇒| f ( x ) − a |< ε y=a lim f ( x) = a ⇔ ∀ε > 0 ∃B < 0 x →−∞ ∀x ∈ D f , x < B ⇒| f ( x ) − a |< ε Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Giới hạn ra vô cực : lim f ( x) = +∞ ⇔ ∀M > 0 ∃δ > 0 x → x0 ∀x ∈ D f ,| ... x − giới hạn trái, phải tồn không Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Ví dụ: Tính giới hạn lim x 1 x 1 Giới hạn phải: x 1+ ⇒ x > ⇒ x − > Tức → +∞ Vậy: x 1 lim x 1+ Giới hạn trái: x 1- ⇒... ln (1 + x) 4) lim =1 shx x →0 x 10 ) lim =1 α x →0 x (1 + x) − 5) lim =α x →0 x chx − 1 arctan x 6) lim =1 x →0 x 11 ) lim x →0 x = Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Giới hạn thường gặp x→∞ 1) ... →0 ( sin e x 1 ) 1 ln x ( ) sin et − e 1 t t = x − 1lim t →0 t ( ) sin et − ln (1 + t ) t e 1 =1 ln (1 + t ) t Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Giới hạn phía: Số a gọi giới hạn trái y =