Ta đã biết trong không gian 3 chiều được đặc trưng hoàn toàn bởi bộ 3 số (x, y, z) là tọa độ Descartes của nó; x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ. Tổng quát: Mỗi bộ có thứ tự n số thực (x1, x2,..., xn) gọi là một điểm n chiều. Ký hiệu M(x1, x2,..., xn) có nghĩa là điểm n chiều M có các tọa độ x1, x2,..., xn. Tập các điểm M(x1, x2,..., xn) gọi là không gian Euclide n chiều. Ký hiệu tập này là Rn.
Bài giảng Giải tích Giới hạn liên tục hàm nhiều biến HÀM NHIỀU BIẾN GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Không gian n chiều • Ta biết không gian chiều đặc trưng hoàn toàn số (x, y, z) tọa độ Descartes nó; x hoành độ, y tung độ, z cao độ Tổng quát: Mỗi có thứ tự n số thực (x1 , x2 , , xn ) gọi điểm n chiều Ký hiệu M (x1 , x2 , , xn ) có nghĩa điểm n chiều M có tọa độ x1 , x2 , , xn Tập điểm M (x1 , x2 , , xn ) gọi không gian Euclide n chiều Ký hiệu tập Rn • Cho M (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , N (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn Gọi khoảng cách M N, ký hiệu d (M, N), số thực tính theo công thức: d (M, N) = 2 (x1 − y1 ) + + (xn − yn ) = n ∑ (xi − yi)2 FT i=1 Tương tự R, R2 , R3 ta nhận bất đẳng thức tam giác Rn Tức với điểm A, B,C Rn ta có: d (A,C) ≤ d (A, B) + d (B,C) RA • Cho M0 x10 , x20 , , xn0 ∈ Rn ε > Tập Ωε (M0 ) = {M ∈ Rn : d (M, M0 ) < ε} gọi ε− lân cận lân cận bán kính ε M0 hình cầu mở tâm M0 bán kính ε • Cho E ⊂ Rn Điểm M ∈ E gọi điểm E ∃ε > : Ωε (M) ⊂ E Điểm N ∈ Rn gọi điểm biên E Ωε (N) chứa điểm thuộc E điểm không thuộc E(∀ε > 0) Tập E gọi tập mở điểm điểm trong, gọi đóng chứa điểm biên Tập điểm biên E ký hiệu ∂ E Bao đóng E hay tập E đóng ký hiệu E có E = E ∪ ∂ E • Tập E gọi bị chặn hay giới nội tồn số N cho E ⊂ ΩN (0) D • Tập E gọi liên thông cặp điểm M1 , M2 E nối với đường cong liên tục nằm trọn E Tập liên thông E gọi đơn liên bị giới hạn mặt kín (một đường cong kín R 2; mặt cong kín R3 ) Tập liên thông E gọi đa liên bị giới hạn từ hai mặt kín trở lên rời đôi Ví dụ Xét tập sau R2 A = (x, y) : x2 + y2 < B = {(1, 2) , (−1, 0) , (0, 0)} R2 Giải: Ta có: ∂ A = (x, y) : x2 + y2 = − đường tròn tâm O bán kính A = (x, y) : x2 + y2 ≤ − hình tròn kể biên A, R2 tập liên thông, B không liên thông (gồm điểm rời rạc) A, B tập giới nội, R2 không giới nội (cả mặt phẳng Oxy) Bài giảng Giải tích 2 Giới hạn liên tục hàm nhiều biến Định nghĩa hàm nhiều biến Cho D ⊂ Rn Gọi ánh xạ f :D→R Hay M (x1 , x2 , , xn ) ∈ D → u = f (M) = f (x1 , x2 , , xn ) ∈ R hàm số n biến số xác định D D gọi miền xác định hàm số f ; x1 , x2 , , xn biến số độc lập, u gọi biến số phụ thuộc Miền xác định hàm nhiều biến số Người ta quy ước: Nếu cho hàm số u = f (M) mà không nói miền xác định D pahir hiểu miền xác định D hàm số tập hợp điểm M cho biểu thức f (M) có nghĩa Miền xác định hàm số thường tập liên thông z = − x − y2 x = ln (x + y) y u = − x − y2 − z FT Ví dụ Tìm miền xác định hàm số sau mô tả hình học miền RA Giải: Miền xác định tập (x, y) ∈ R2 cho − x2 − y2 ≥ hay x2 + y2 ≤ Đó hình tròn đóng tâm O bán kính (Hình 1a) hình tròn đóng mô tả hệ bất phương trình: −1 x − − x2 y − x2 D Miền xác định tập (x, y) ∈ R2 thỏa mãn x + y > hay y > −x Đó nửa mặt phẳng có biên đường y = −x (Hình 1b) Nửa mặt phẳng mô tả hệ bất phương trình: −∞ < x < +∞ −x < y < +∞ Miền xác định tập (x, y, z) ∈ R3 thỏa mãn x2 + y2 + z2 < Đó hình cầu mở tâm O bán kính (Hình 1c) Hình cầu mở mô tả hệ bất phương trình: −3 < x < − − x2 y − x2 − − x − y2 z − x − y2 Giới hạn hàm nhiều biến số Khái niệm giới hnaj hàm nhiều biến số đưa khái niệm giới hạn hàm biến số Ở biến số đóng vai trò khoảng cách d (M0 , M) hai điểm M0 M không gian Rn Để đơn giản cách viết xét không gian chiều R2 Bài giảng Giải tích Giới hạn liên tục hàm nhiều biến • Ta nói dãy điểm Mn (xn , yn ) dần đến điểm M0 (x0 , y0 ); ký hiệu Mn → M0 n → ∞ lim xn = x0 n→∞ lim d (Mn , M0 ) = hay lim yn = y0 n→∞ n→∞ • Cho hàm z = f (x, y) xác định lân cận M0 (x0 , y0 ), trừ điểm M0 Ta nói hàm f (M) có giới hạn l M (x, y) dần đến M0 (x0 , y0 ) dãy điểm Mn (xn , yn ) thuộc lân cận dần đến M0 ta có: lim f (xn , yn ) = l n→∞ lim Ta thường ký hiệu lim f (M) = l hay f (x, y) = l M→M0 (x,y)→(x0 ,y0 ) Sử dụng ngôn ngữ "ε − δ " định nghĩa sau: Hàm số f (M) có giới hạn l M → M0 ∀ε > 0, ∃δ > : < d (M0 , M) < δ ⇒ | f (M) − l| < ε Chú ý • Tất khái niệm giới hạn vô hạn định lý giới hạn: tổng, hiệu, tích, thương giống hàm biến số FT • Từ định nghĩa ta nhận thấy: Giới hạn l hàm số f (x, y) M → M0 không phụ thuộc đường M tiến đến M0 , hai đường M tiến đến M0 mà f (M) tiến đến hai giá trị khác hàm số giới hạn M0 Ví dụ Tìm giới hạn: Giải: RA x2 y lim (x,y)→(0,0) x2 + y2 xy lim (x,y)→(0,0) x2 + y2 xy lim (x,y)→(0,0) x + y2 x2 y Ta có d (M, O) = − ≤ |y| x + y2 Do ∀ε > 0, ∃δ = ε : < d (M, M0 ) = x2 + y2 < δ ⇒ |y| < δ = ε Vậy: D x + y2 x2 y =0 lim (x,y)→(0,0) x2 + y2 Cho M (x, y) → O (0, 0) theo đường y = Cx, C = const xy Cx2 xy C = ⇒ lim = x2 + y2 (1 +C2 ) x2 +C2 (x,y)→(0,0) x2 + y2 chứng tỏ dãy giá trị hàm có giới hạn khác phụ thuộc vào C, hàm cho giới hạn Ta có xy x2 + y2 −0 ≤ |x| x2 + y2 |y| ≤ |y| Lập luận tương tự câu suy xy lim (x,y)→(0,0) x + y2 =0 Bài giảng Giải tích Giới hạn liên tục hàm nhiều biến Tính liên tục 5.1 Định nghĩa • Hàm số f (M) xác định miền D M0 ∈ D Ta nói hàm số f (M) liên tục M0 lim f (M) = f (M0 ) M→M0 • Hàm số f (M) xác định miền D gọi liên tục miền D liên tục điểm M ∈ D • Hàm số f (M) liên tục miền đóng D liên tục miền D liên tục điểm N ∈ ∂ D theo nghĩa: lim f (M) = f (N) , M ∈ D M→N 5.2 Tính chất FT • Nếu đặt ∆ f (x0 , y0 ) = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) gọi số gia toàn phần hàm số (x0 , y0 ) Khi hàm số f (x, y) liên tục (x0 , y0 ) ∆ f (x0 , y0 ) → ∆x → ∆y → Hoàn toàn tương tự hàm biến số ta có tính chất quan trọng sau đây: Định lý Nếu f (x, y) liên tục miền đóng D giới nội đạt giá trị lớn giá trị bé miền D tức ∃M1 , M2 ∈ D để có bất đẳng thức kép: D RA f (M1 ) ≤ f (M) ≤ f (M2 ) , ∀M ∈ D ... − − x2 y − x2 − − x − y2 z − x − y2 Giới hạn hàm nhiều biến số Khái niệm giới hnaj hàm nhiều biến số đưa khái niệm giới hạn hàm biến số Ở biến số đóng vai trò khoảng cách d (M0 , M) hai... hàm nhiều biến Tính liên tục 5.1 Định nghĩa • Hàm số f (M) xác định miền D M0 ∈ D Ta nói hàm số f (M) liên tục M0 lim f (M) = f (M0 ) M→M0 • Hàm số f (M) xác định miền D gọi liên tục miền D liên. .. trị hàm có giới hạn khác phụ thuộc vào C, hàm cho giới hạn Ta có xy x2 + y2 −0 ≤ |x| x2 + y2 |y| ≤ |y| Lập luận tương tự câu suy xy lim (x,y)→(0,0) x + y2 =0 Bài giảng Giải tích Giới hạn liên tục