bài giảng giới hạn và liên tục

1 Nội dung I.2 – Giới hạn của hàm số  – Hàm số.  – Giới hạn của hàm số.  – Vô cùng bé, Vô cùng lớn. Định nghĩa (hàm hợp) Cho hai hàm . : ; : g X Y f Y Z   Khi đó tồn tại hàm hợp . : f g X Z   ( ( )) h f g f g x    Ví dụ. 2 ( ) 3; ( ) g x x f x x      2 ( ) ( ( ) ( 3) 3 f g x f g x f x x        2 2 ( ) ( ( )) ( ) 3 g f x g f x g x x       1. Hàm số 2 4 ) ( ) 2 2 a f g x x x      ( ,2 ] f g D     ) ( ) 2 b g f x x      0,4 g f D    4 ) ( ) c f f x x     0, f f D     ) ( ) 2 2 d g g x x       2,2 g g D     Cho . Tìm các hàm sau và miền Ví dụ. ( ) ; ( ) 2 f x x g x x    ) ; ; ; . b) c) d) a f g g f f f g g     xác định của nó: Đầu vào Đầu ra 3 Hàm y = f(x) là hàm 1 – 1 khi và chỉ khi không tồn tại đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị nhiều hơn một điểm. Hàm y = f(x) được gọi là hàm 1 – 1, nếu Định nghĩa (hàm 1 – 1) thì . 1 2 f x x D    1 2 ( ) ( ) f x f x  Hàm 1 – 1 Ví dụ. Không là hàm 1 – 1 4 ký hiệu , xác định bởi . Hàm ngược của y = f(x) là hàm từ E vào D, Cho y = f(x) là hàm 1 – 1 với miền xác định D và miền Định nghĩa (hàm ngược) giá trị E. 1 ( ) x f y   1 ( ) ( ) x f y y f x     Vì , nên (a,b) thuộc đồ thị y = f(x) Chú ý: khi và chỉ khi (b,a) thuộc đồ thị của . 1 f  1 ( ) ( ) a f b b f a     5 Đồ thị y = f(x) và đồ thị của đối xứng nhau qua qua đường thẳng y = x. 1 f  Ví dụ. Vẽ đồ thị của 1 y x    Vẽ đồ thị của và đồ thị hàm ngược. Xét hàm lượng giác y = sin x Định nghĩa (hàm lượng giác ngược) Trên đoạn , y = sin x là hàm 1 – 1. - , 2 2         Tồn tại hàm ngược, ký hiệu arcsin y x  6 Xét hàm lượng giác y = cos x Định nghĩa (hàm lượng giác ngược) Trên đoạn , y = cos x là hàm 1 – 1.   0,  Tồn tại hàm ngược, ký hiệu arccos y x  Miền xác định: [-1,1] Hàm arcsin x - , 2 2         Miền giá trị: Hàm luôn luôn tăng. Miền xác định: [-1,1] Hàm arccos x   0,  Miền giá trị: Hàm luôn luôn giảm. 7 Xét hàm lượng giác y = tanx Định nghĩa (hàm lượng giác ngược) Trên khoảng , y = tan x là hàm 1 – 1. , 2 2          Tồn tại hàm ngược, ký hiệu arctan y x  Xét hàm lượng giác y = cot x Định nghĩa (hàm lượng giác ngược) Trên khoảng , y = cot x là hàm 1 – 1.   0,  Tồn tại hàm ngược, ký hiệu arccot y x  8 Miền xác định: R Hàm arctan x - , 2 2         Miền giá trị: Hàm luôn luôn tăng. Miền xác định: R Hàm arccotan x   0,  Miền giá trị: Hàm luôn luôn giảm. Định nghĩa (hàm Hyperbolic) sin hyperbolic sinh( ) 2 x x e e x    cos hyperbolic cosh( ) 2 x x e e x    tan hyperbolic sinh( ) tanh( ) cosh( ) x x x  cotan hyperbolic cosh( ) coth( ) sinh( ) x x x  9 cosh( ) y x  Hàm sinh( ) y x  Hàm tanh( ) y x  Hàm coth( ) y x  Hàm 10 Có các công thức sau (tương tự công thức lượng giác) 2 2 1) cosh ( ) sinh ( ) 1 a a   2 2 2) sinh(2 ) 2sinh( ) cosh( ); cosh(2 ) cosh ( ) sinh ( ) a a a a a a    3) cosh( ) cosh( ) cosh( ) sinh( )sinh( ) a b a b a b    4) cosh( ) cosh( )cosh( ) sinh( )sinh( ) a b a b a b    5) sinh( ) sinh( ) cosh( ) sinh( )cosh( ) a b a b b a    6) sinh( ) sinh( )cosh( ) sinh( )cosh( ) a b a b b b    và các công thức lượng giác hyperbolic khác. Để thu được công thức lượng giác hyperbolic từ công thức lượng giác quen thuộc ta thay cos bởi cosh và thay sin bởi isinh. Ví dụ. Từ công thức 2 2 cos sin 1 a a   ta có 2 2 2 cosh sin 1 i a a   2 2 cosh sinh 1 a a    [...]... x0 x sin x Khơng tồn tại lim x0 |x| Vì lim sin x sin x  lim 1 x 0 |x| x và lim sin x sin x  lim  1 x 0 | x| x x 0 x  0   20 Định lý Hàm số y = f(x) có giới hạn tại x0 khi và chỉ khi nó có giới hạn trái và giới hạn phải tại x0 và chúng bằng nhau Chú ý Dùng định lý trên để chứng tỏ hàm khơng có giới hạn Chú ý Giới hạn một phía thường được dùng trong các trường hợp hàm chứa căn bậc chẵn,... trên suy ra trực tiếp từ định nghĩa và các giới hạn cơ bản 24 Qui tắc ngắt bỏ VCB cấp cao Tổng hữu hạn các VCB lim Tổng hữu hạn các VCB x  x0 VCB bậc thấp nhất của tử  lim VCB bậc thấp nhất của mẫu x  x0 Ví dụ Tính giới hạn I  lim x0 ln(1  x tan x ) x 2  sin 3 x ln(1  x tan x)  x tan x  x 2 ln(1  x tan x )  I  lim 2 x  0 x  sin 3 x Ví dụ Tính giới hạn x 2  sin 3 x  x 2 x2  lim 2 ...   f ( x)  M 2 Giới hạn của hàm số Định nghĩa (ngơn ngữ dãy ) Cho x0 là điểm tụ của miền xác định lim f ( x)  a  ( xn )  D f , x  x0 n  xn  x0 , xn  xo  n  f ( xn )  a  Chú ý: Thường dùng định nghĩa này chứng tỏ hàm khơng có giới hạn ' Nếu tìm được hai dãy ( xn ),( xn )  x0 mà ' f ( xn ), f ( xn ) hội tụ về hai số khác nhau thì hàm khơng có giới hạn 15 2 Giới hạn của hàm số Ví... tồn tại x  18 Các dạng vơ định 0 1) 0  2)  3) 0   4)    6) 0  5) 1 0 7) 0 Định nghĩa (giới hạn trái) Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm x0, nếu   0   0 x  D f ,0  x0  x   ký hiệu | f ( x)  a |  lim f ( x)  a  x  x0 Định nghĩa (giới hạn phải) Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm x0, nếu   0   0 x  D f ,0  x  x0   ký hiệu | f ( x) ... của ba VCL: x   2 x  4  2x  3 x Mẫu là tổng của hai VCL: 2 x 4  x 3x x   2x 3x 3  x  2 x 2 I  lim 35 3 Liên tục của hàm số Định nghĩa Hàm y  f ( x) được gọi là liên tục tại x0 , nếu xác định tại điểm này và lim f ( x)  f ( x0 ) x  x0 Định nghĩa Nếu hàm khơng liên tục tại x0, ta nói hàm gián đoạn tại điểm này thì f(x) tiến đến f(a) Khi x tiến đến a đồ thị liền nét (khơng đứt đoạn)... 0 2 x2 x2 25 Ví dụ 2 Tính giới hạn e x  cos x I  lim x 0 sin 2 x x2 e 1  x 1  cos x  sin x  x 2 2 x 2  x2 / 2 3 e x  1  1  cos x  lim   I  lim 2 2 x 0 x 0 2 x sin x Ví dụ x2 2 esin 5 x  esin x Tính giới hạn I  lim x 0 ln(1  2 x) esin 5 x  1  1  esin x sin 5 x  sin x 5x  x I  lim  lim  lim 2 x 0 x 0 x 0 2 x ln(1  2 x) 2x Ví dụ Tính giới hạn I  lim x 1 e x 1  1... dụ esinh 3 x  esinh x Tính giới hạn I  lim x 0 tan x esinh 3 x  1  1  esinh x sinh 3 x  sinh x 3x  x I  lim  lim  lim  2 x 0 x x 0 x 0 x x 26 Ví dụ e Tính giới hạn I  lim x 0 ex 1  x x ( x 2 / 2)  I  lim 3 x 0 x  2 x 4 Ví dụ x   1 (cos x  1) sin 3 x  2 x 4 cos x  1  - x 2 / 2 x ( x 2 / 2) 1  lim  x 0 x3 2 2 1/ x  cos(1/ x) 2 e Tính giới hạn I  xlim x   arctan...  x  Định nghĩa Cho f(x) và g(x) là hai vơ cùng lớn khi x  x0 f ( x) lim  k Giả sử x x 0 g ( x) 1) Nếu k   , thì f(x) gọi là VCL bậc cao hơn g(x) f ( x )  ( g ( x )) 2) Nếu k hữu hạn, khác khơng, thì f(x) và g(x) là hai VCL cùng cấp 3) Nếu k  1 , thì f(x) và g(x) là hai VCL tương đương f ( x )  g ( x) 30 Qui tắc ngắt bỏ VCL Tổng hữu hạn các VCL lim xx Tổng hữu hạn các VCL 0 VCL bậc cao...  x  Định nghĩa Cho f(x) và g(x) là hai vơ cùng lớn khi x  x0 f ( x) lim  k Giả sử x x 0 g ( x) 1) Nếu k   , thì f(x) gọi là VCL bậc cao hơn g(x) f ( x )  ( g ( x )) 2) Nếu k hữu hạn, khác khơng, thì f(x) và g(x) là hai VCL cùng cấp 3) Nếu k  1 , thì f(x) và g(x) là hai VCL tương đương f ( x )  g ( x) 34 Qui tắc ngắt bỏ VCL Tổng hữu hạn các VCL lim xx Tổng hữu hạn các VCL 0 VCL bậc cao... số khác nhau thì hàm khơng có giới hạn 15 2 Giới hạn của hàm số Ví dụ Chứng tỏ khơng tồn tại giới hạn limsin 1 x 0 x Chọn dãy xn  Chọn dãy 1 n  0  2n , xn   f ( xn )  sin 2n  0  0 1 n  0  2n   / 2   f ( xn )  sin(2n  )  1  1 2 Suy ra khơng tồn tại giới hạn Tính chất của giới hạn hàm số lim f ( x)  a, lim g ( x)  b x  x0 x  x0 1) lim ( f )   a,   R x  x0 3) lim . ( ) n n f x f x hội tụ về hai số khác nhau thì hàm không có giới hạn. 16 2. Giới hạn của hàm số Ví dụ. Chứng tỏ không tồn tại giới hạn 0 1 limsin x x  Chọn dãy 1 0 2 n n x n     ( ). nghĩa. (giới hạn trái) Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm x 0 , nếu | ( ) | . f x a     0 lim ( ) xx f x a    ký hiệu 0    0    0 ,0 f x D x x       Định nghĩa. (giới. 1 Nội dung I.2 – Giới hạn của hàm số  – Hàm số.  – Giới hạn của hàm số.  – Vô cùng bé, Vô cùng lớn. Định nghĩa (hàm hợp) Cho hai hàm