Các dạng toán và bài tập giới hạn và liên tục

ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CHƯƠNG GIỚI HẠN Mục lục BÀI GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 22 BÀI GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 25 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 25 B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP 26 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 70 BÀI HÀM SỐ LIÊN TỤC 113 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 113 B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP 114 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 138 BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG IV 139 A BÀI TẬP 139 B LỜI GIẢI 145 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC BÀI GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa (Giới hạn ) Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn với số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương Khi ta viết lim un = hay lim un = hay un → n → + n →+ Định nghĩa (Giới hạn a ) Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn số thực a lim ( un − a ) = Khi ta viết lim un = a hay lim un = a hay un → a n → + Dãy số có giới hạn số a hữu hạn gọi n →+ dãy số có giới hạn hữu hạn Định nghĩa (Giới hạn vơ cực) Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn + n → + un lớn số dương bất kỳ, kể từ số hạng trở Ký hiệu: lim un = + hay un → + n → + Dãy số ( un ) có giới hạn − n → + lim ( −un ) = + Ký hiệu: lim un = − hay un → − n → + GIỚI HẠN HỮU HẠN Các giới hạn đặc biệt Các giới hạn đặc biệt ( ) • = 0, k  * k n lim q n = 0, ( q  1) • lim C = C , ( C  • lim lim ( un  ) = a  b u a lim n = (b  0) b • • lim nk = + , k  • lim q n = 0, ( q  1) * ) Định lí • lim ( un  ) = a  b • ( • ) Định lí Nếu lim un = a lim = b • GIỚI HẠN VÔ CỰC Nếu lim un = a lim =  lim • Nếu un  0, n lim un = a a  lim un = a un =0 Nếu lim un = a  lim =  0, n lim • un = + Nếu lim un = + lim = a  lim ( un  ) = + Định lí (Nguyên lý kẹp) Cho ba dãy số ( un ) , ( ) , ( wn ) Lúc đó, un   wn , n lim un = lim wn = a , ( a  ) lim = a Định nghĩa Cấp số nhân ( un ) có cơng bội q gọi kà cấp số nhân lùi vô hạn q  Nhận xét Cho cấp số nhân lùi vơ hạn ( un ) có cơng bội q Với n  đó: lim Sn = u1 1− q * , đặt S = u1 + u2 + + un Lúc ( 4.1) Định nghĩa Giới hạn ( 4.1) gọi tổng cấp số nhân lùi vô hạn ( un ) ký hiệu Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC S = u1 + u2 + + un Như vậy: S = lim Sn = u1 , ( q  1) 1− q B DẠNG TỐN VÀ BÀI TẬP Dạng Tính giới hạn L = lim P (n) với P ( n ) , Q ( n ) đa thức Q (n) Phương pháp giải: Rút lũy thừa bậc cao tử mẫu, sử dụng công thức: • lim nk = + ( k  c • lim k = 0, ( k  * , c  ) • • n lim un = +  lim ( un  ) = +  lim = a  lim un = +  lim ( un  ) = −  lim = a  * ) • lim un = −  lim ( un  ) = −  lim = a  • lim un = −  lim ( un  ) = +  lim = a   VÍ DỤ Ví dụ Tính giới hạn L 4n n lim 2n ĐS: L = Lời giải 1  n2  − − n n Ta có L = lim    n2  +  n   1 4− −   = lim n n = 4−0−0 = 0+2 +2 n Nhận xét: Nếu bậc tử P ( n ) bậc mẫu Q ( n ) lim P (n) Q (n) = (Hệ số bậc cao tử)  (Hệ số bậc cao mẫu) Ví dụ Tính giới hạn L lim 2n n 20n6 2n 4n n 4 ĐS: L = 128 Lời giải  2     n  − n  n  − n       Ta có L = lim    2 20n  n  − +   n n    Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 5 1 2 1  2    n  −  n4  −  2−  4−  − ) ( − ) 128 ( n n n  n    = lim = lim = lim = 4 20 ( − + ) 1 1  8 20n n  − +  20  − +  n n  n n    10 Nhận xét: Với tốn có lũy thừa bậc cao, ta thường rút bậc cao dấu ngoặc, sau áp dụng cơng thức ( a.b ) = a n b n tính tốn trước n Ví dụ Tính giới hạn L = lim n2 − n + n + 2n ĐS: L = Lời giải  3  n 1 − +   1 − n + n2 n n   = lim  Ta có L = lim 2 3  n + 22 n 1 +  n   n    1− + =0  = 1+   Nhận xét: Nếu bậc tử P ( n ) nhỏ bậc mẫu Q ( n ) L = lim Ví dụ Tính giới hạn L = lim P(n) =0 Q(n) 2n3 − 11n + n2 − ĐS: L = + Lời giải  11  11  n3  − +  2− +  n n  = lim n n n L = lim   2    1− n 1 −  n   n  11   − n + n3 (vì lim n = + lim   − 22 n     = +      =  )   Nhận xét: - Nếu bậc tử P ( n ) lớn bậc mẫu Q ( n ) L = lim P(n) =  Q(n) - Để biết + hay − ta dựa vào dấu giới hạn tích theo quy tắc “cùng dấu tích dương, trái dấu tích âm” Thơng thường, để dấu =  xét dấu điền vào sau - Về trắc nghiệm, tích hệ số bậc cao tử mẫu + + + + (2n + 1) ĐS: L = 3n + Lời giải Xét cấp số cộng 1,3,5, 7,9, , 2n + có số hạng u1 = công sai d = số hạng cuối Ví dụ Tính giới hạn L = lim um = 2n + ta có: u1 + (m − 1)d = 2n +  + 2(m − 1) = 2n +  m = n + Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Vậy cấp số cộng có n + số hạng Suy tổng m n +1 S = + + + + + 2n + = (u1 + um ) = (1 + 2n + 1) = n2 + 2n + 2 Vì L n n2 n 2n lim 3n lim n2 n2 n lim n2 n2 n2 0 Nhận xét: Cần nhớ công thức cấp số cộng: uk +1 − uk = d , với d công sai un = u1 + ( n − 1) d , với d công sai uk Sn uk 1 u1 u2 2uk , k un n u1  1 1 Ví dụ Tính giới hạn L = lim  + + + + 1.2 2.3 3.4 4.5 un +   n ( n + 1)  ĐS: L = Lời giải Số hạng tổng quát 1 = − ; ( k = 1, 2, , n ) k (k + 1) k k + 1   1 1 1 L = lim 1 − + − + − + − + −  n n +1   2 3 4  1   n  = lim 1 − =1  = lim   = lim = +  n +1   n +1  1+ n Nhận xét: Phân tích a b 1 = + = 1; b = = −1 với a = k ( k + 1) k k + k + k =0 k k =−1  BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Tính giới hạn sau: 3n n ; 2n a) L lim c) L 6n 2n lim ; 5n n n n e) L lim 2n 4n 2 b) L 4n3 n ; d) L f) L lim lim lim n3 2n n ; 3n3 2n n17 3n 2n 4 n ; 2n 9n 2n 2n ; Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC g) L Bài n2 lim n 2n n + 2n + ; n4 + 5n3 + n b) L = lim 7n + ; 2n + 3n3 + n2 + 4n − ; 3n3 + n2 + d) L = lim −2n3 + 3n2 + ; n + 4n + n n3 − 5n + ; 3n2 + n − b) L = lim 5n4 − n3 + 5n2 + ; n2 − 3n3 − 3n4 + 2n2 − ; n + 2n + d) L = lim 3n5 − 2n4 + 2n + ; −6n4 + 2n3 + n2 − c) L = lim e) L = lim −2n2 + n + 3n4 + Tính giới hạn sau: a) L = lim c) L = lim Bài Tính giới hạn sau: a) L = lim Bài n Tính giới hạn sau: a) L = lim + + + + n ; 3n2 + b) L = lim + + + + + ( 2n − 1) ; n2 + 3n + 1 + + + + n ; 2n2 − n + d) L = lim + + 13 + + ( 4n − 3) ; 3n2 + 5n − 1 − + − + + ( 2n − 1) − 2n ; 2n + f) L = lim [ c) L = lim e) L = lim g) L = lim [ 1 1 + + + + ]; 1.3 3.5 5.7 ( 2n − 1)( 2n + 1) h) L = lim [ 1 1 + + + + ] 1.3 3.5 5.7 ( 2n − 1)( 2n + 1) 1 1 + + + + ]; 1.3 2.4 3.5 n ( n + 2)  LỜI GIẢI n2 Bài a) L lim 3n n 2n lim n2 n n2 n2 n lim n2 n2 0 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC b) L c) L d) L n lim 2n lim n 3n3 6n 5n n 17 n n n3 2n n n2 n 2n lim lim n2 n3 3 6n lim 4n n4 lim 1 lim 2n n2 n n8 n3 n3 17 n 1 n2 n 3 n3 n3 n2 lim n3 n n3 n2 n3 2 n n9 n4 lim n17 n2 lim n 2 n 1 n3 n2 n17 (2 + 0)2 (1 + 0)9 = lim = 1+ 2 1 1       n  −  n3  −   −   − 4 ( 2n − 1) ( − 4n3 ) n n n n  = lim   e) L = lim = lim  3 2 1 2  1 ( 4n + ) ( − n )    n3  +  n  −  + −     n n n  n    2 lim 2 0 (3n f) L = lim − 1) ( 2n + 5) ( 9n + ) ( 2n − ) ( 2n + 1)( 2n − )  2      4 1  5  4  3−   +  9 +  n  − n2  n  + n  n  + n  n   n  n        = lim  L = lim  4 4   7 4 1      n  −  n3  +  n  −   −   +  −  n n   n  n  n  n     lim 3 2 2 243 16 (n g) L = lim + ) ( n − 1) ( n + 1) ( 2n2 + 3) lim 1 2   1     n  +  n3  −  1 + 1 −  n   n n  n  = lim  = lim  2 3 3  1 4   n 1 +  n  +  1 +  +  n  n   n   n  Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1   n3  + +  7+ +  n + 2n + n n  = lim n n = lim  a) L = lim  5 n n + 5n3 + n    + + 13 n 1 + +  n n   n n  Bài b) L lim n n n (Vì lim 0; lim 7n 2n (Vì lim n lim n n 3 n lim ) n n 3n3 n3 n3 n n3 lim n n n n3 ) n3   =      n 1 + −  1+ −  n + 4n − n n  = lim n n = lim  c) L = lim  3n + n +    n + + 73 n3  + +  n n  n n     =0   1+ − 1 (Vì lim = lim n n = ) n 3+ + 3 n n 4  n3  −2 + +  −2n + 3n + n n  = lim  d) L = lim  1 n + 4n + n n 1 + +   n n  3 n n3 lim n n n3 (Vì lim n lim n n3 n n3 ) 2   n  −2 + +  −2 + +  −2n + n + n n  n n = lim  = lim  e) L = lim 5   3n + n 3+ n4  +  n  n   (Vì lim n2 lim n n4 n2    =   ) Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3   n3  − +  1− +  n − 5n + n n  = lim n n n = lim  a) L = lim  1 3n + n −    + − 12 n2  + −  n n  n n   Bài    = +   + (Vì lim n = + lim n n = ) 1 3+ − n n 1− 3   n4  − + +  5− + +  5n − n + 5n + n n n  n n n = lim  = lim  n b) L = lim 1 1 n − 3n − 31  −3− n  −3−  n n  n  n    = −   5− + + (Vì lim n = + lim n n n = − ) 1 −3− n n    n4  + −  3+ −  3n + 2n − n n  n n = lim  = lim  n c) L = lim 9 n + 2n +   + 22 + 93 n3  + +  n n   n n     = +   − n n = ) (Vì lim n = + lim 1+ + n n 3+ 2 7  2  n5  − + +  3− + +  3n − 2n + 2n + n n n   n n n = lim = lim  n d) L = lim 2 1 −6n + 2n + n −    −6 + + 12 − 14 n  −6 + + −  n n n  n n n      = −   2 3+ + + n n n = − ) (Vì lim n = + lim 1 −6 + + − n n n Bài a) Theo tính chất cấp số cộng, ta có + + + + n = n ( n + 1) n2 + n = 2 1+ + + + + n n2 + n =1 = lim = lim Do L = lim 2 3n + 6n + 6+ n b) Theo tính chất cấp số cộng, ta có + + + + + ( 2n − 1) = (1 + ( 2n −1) ) n = n 2 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Do L = lim + + + + + ( 2n − 1) n2 = lim = lim = 2 n + 3n + n + 3n + 1+ + n n c) Theo tính chất cấp số cộng, ta có + + + + n = Do L = lim n ( n + 1) n2 + n = 2 1+ n + + + + n n +n = lim = lim = 2 18 2n − n + 4n − 2n + 18 4− + n n d) Xét cấp số cộng với u1 = 5; d =  un−1 = + ( n − ) = 4n −  + + 13 + + ( 4n − 3) = ( + 4n − 3)( n − 1) = 2n2 − n −1 1 2− − 2 + + 13 + + ( 4n − 3) 2n − n − n n =2 = lim = lim Do L = lim 3n + 5n − 3n + 5n − 3+ − n n e) Ta có − + − + + ( 2n − 1) − 2n = (1 − ) + ( − ) + + ( ( 2n − 1) − 2n ) = ( −1) + ( −1) + + ( −1) = − n Do L = lim f) Ta có − + − + + ( 2n − 1) − 2n −n −1 = lim = lim =− 2n + 2n + 2+ n 1 1 1 1 1  + + + + =  − + − + + −  1.3 2.4 3.5 n ( n + 2)  n n+2 1 1  1 = 1 + − − − = −  n + n +  2n + 2n + Do L = lim [ 1 1 1  3 + + + + ]=lim  − − = 1.3 2.4 3.5 n ( n + 2)  2n + 2n +  g) Ta có 1 1 1 1 1  1  + + + + =  − + − + + −  = 1 −  1.3 3.5 5.7 2n − 2n +   2n +  ( 2n − 1)( 2n + 1)  3 Do L = lim [ h) Ta có 1 1 1  + + + + ]= lim [ 1 − ] = 1.3 3.5 5.7  2n +  ( 2n − 1)( 2n + 1) 1 1 + + + + 1.4 4.7 7.10 ( 3n − 2)( 3n + 1) 1 1 1 1  1  = 1 − + − + − + + +  = 1 −   4 7 10 3n − 3n +   3n +  Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm 10 Chúc em học tốt ! ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC a) lim x →1 c) lim− x →4 x3 − x − x + ĐS: x2 − 2x + x −5 ( x − 4) − x3 − ĐS: −2 x+2 b) lim x →−2 ĐS: − d) lim x →− ( ) x + x + + x ĐS: − x  1 − − x x  Tìm a để hàm số f ( x ) =  liên tục x0 = ĐS: a = − x a − + x  x +1  Bài (HKII – THPT Hoàng Hoa Thám) x + x + 3x Tính giới hạn sau lim 4x +1 − x + x →− ĐS: −2 ax + x x   Tìm a để hàm số f ( x ) =  liên tục x0 = ĐS: a = −1 4− x x  a − + x +1  Chứng minh phương trình x − x3 − x − 15x − 25 = có nghiệm dương nghiệm âm Bài (HKII – THPT Hàn Thuyên) Tính giới hạn sau x −3 a) lim ĐS: x →3 x + x − 15 b) ( 3x + 1) lim x →− x2 − ĐS: −3x + x  x −1 x   − x Tìm m để hàm số f ( x ) =  liên tục x0 = ĐS: m = m − x x   Bài (HKII – THPT Hùng Vương) x3 − x + 19 x − 16 17 ĐS: x →1 5x − 8x + Tính giới hạn sau lim  − x2 x   Tìm m để hàm số f ( x ) =  x + − liên tục x0 = ĐS: m = 2 x − m x   Chứng minh phương trình ( m − m + ) x 2015 − x + = có nghiệm âm với giá trị tham số m Bài (HKII – THPT Hưng Đạo) Tính giới hạn sau − 6x ĐS: −3 x →+ + x a) lim Fb: ThayTrongDGL b) lim+ x →2 Tài liệu biên soạn sưu tầm x −3 ĐS: − x−2 140 Chúc em học tốt ! ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC ( ) c) lim 3x − x3 ĐS: + x →−  x + 3x − x   Tìm m để hàm số f ( x ) =  x − liên tục x0 = ĐS: m = m x =  Bài 10 (HKII – THPT Bà Điểm) 1) Tính giới hạn sau a) lim x →2 x − 3x + ĐS: x −4 b) lim x →+ ( ) x + x − x − x ĐS: ( x − 5)2 + x   2) Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  x − điểm x0 = ĐS: liên tục x    2x −1 −  x2 − 5x + x   3) Tìm m để hàm số f ( x ) =  x − liên tục điểm x0 = 2mx + x =  Bài 11 (HKII-THPT Bình Tân)  x+2 −2 x   x − 1) Tìm m để hàm số f ( x ) =  mx + x   2) Chứng minh phương trình (1 − m ) x5 − 3x − = có nghiệm với giá trị tham số m Bài 12 (HKII-THPT Củ Chi) 1) Tính giới hạn sau 3n2 − n + a) lim ĐS: − − 2n b) lim (1 − 3n ) (n 3n7 − ) ( + 1) ĐS: −9 x →− 2  x −4 x   x − x − 10 2) Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  điểm x0 = ĐS: liên tục  −8 x x =  c) lim x − + x − x + ĐS: − 3) Chứng minh phương trình x + x − x − = có hai nghiệm Bài 13 (HKII-THPT Đinh Thiện Lý) 1) Tính giới hạn sau 3n + a) A = lim ĐS: n + 2n3 − 5n + 2 x3 − x − x − 11 c) C = lim ĐS: x →3 x −9 Fb: ThayTrongDGL 3n − 6n b) B = lim n ĐS: − +3 d) D = lim Tài liệu biên soạn sưu tầm x →+ ( ) x + x + − x ĐS: 141 Chúc em học tốt ! ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC  2− x x   2) Cho hàm số f ( x ) =  x + − 2ax + x   a) Khi a = , xét tính liên tục hàm số x = ĐS: Khơng liên tục b) Tìm giá trị a để hàm số liên tục x = ĐS: a = − 3) Chứng minh phương trình x − 3x + 5x − = có ba nghiệm phân biệt Bài 14 (HKII- THPT Lý Tự Trọng) 1) Tính giới hạn sau a) lim x →5 x −5 ĐS: x− x2 + − ĐS: − x+2 b) lim x →−2  x2 − 4x + x   2) Tìm a để hàm số f ( x ) =  − x liên tục điểm x0 = ĐS: a = − 12 4ax + x =  3) Chứng minh phương trình 5x5 − 3x + x3 − = có nghiệm Bài 15 (HKII-THPT Lê Quý Đôn)  x+3 −2 27 x   1) Tìm giá trị a để hàm số f ( x ) =  x − 3x + liên tục x0 = ĐS: a = −2a + x   2) Chứng minh phương trình ( m − 3m + 3) x3 + x − = có nghiệm với m Bài 16 (HKII – THPT Chuyên Nguyễn Thượng Hiền) 1) Tính giới hạn sau a) lim x →− ( ) x + x − x + ĐS: − tan x − sin x ĐS: x →0 4x b) lim  1− x x   2) Tìm tham số m để hàm số f ( x ) =  x + − liên tục x0 = ĐS: m = −1 m2 x + 7m m   m = −6 3) Chứng minh phương trình mx14 − ( 3m + ) x15 − = ln có nghiệm với m Bài 17 (HKII – THPT An Lạc)  Tính giới hạn sau a) lim x→2 x + x − 26 x − x2 + x − ĐS: −84 b) lim x →− ( ) x − x + x − ĐS: −  x3 − x + x − x    Tìm m để hàm số f ( x ) =  liên tục điểm x0 = ĐS: m = −2 − x3 4mx + x + x =  Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm 142 Chúc em học tốt ! ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Bài 18 (HKII – THPT Nam Kỳ Khỏi Nghĩa)  Tính giới hạn sau a) lim x →3 x − x + 3x + ĐS: x4 − 8x2 − b) lim x →− x2 + − x2 + ĐS: −1 3− x  x3 − x + x    Tìm m để hàm số f ( x ) =  x − x + liên tục điểm x0 = ĐS: m =  mx x =  Bài 19 (HKII – THPT Nguyễn Chí Thanh)  Tính giới hạn sau x3 − 3x − x + a) lim ĐS: x →−2 x3 − x − ) ( b) lim x − − x − x − ĐS: x →+  x2 − 5x + x    Tìm a để hàm số f ( x ) =  x + − liên tục điểm x0 = ĐS: a = ax + x   Bài 20 (HKII – THPT Nguyễn An Ninh)  Tính giới hạn sau x3 + 3x − x − 12 ĐS: − x →−2 x − x−6 a) lim ) ( b) lim x + x + x + ĐS: − x →−  x2 + −  x   Tìm m để hàm số f ( x ) =  x − liên tục điểm x0 = ĐS: m =  x − 2m x =  Bài 21 (HKII – THPT Nguyễn Du)  Tính giới hạn sau a) lim x →2 x2 − 5x + ĐS: − x − 3x + x − 10 b) lim  x x →−   ( ) x + + x  ĐS: −   x2 + − x    Tìm m để hàm số f ( x ) =  x − liên tục điểm x0 = ĐS: m = 1 m2 x − x =  Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm 143 Chúc em học tốt ! ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Bài 22 (HKII – THPT Mạc ĐĨnh Chi)  Tính giới hạn sau  2.3n − 3.7 n +  a) lim   ĐS: − n  3.2 +   x2 − x + −  b) lim   ĐS: − x →0   x +x   ) ( c) lim 3x + + x + 3x + ĐS: x →−  4x + − x   x −  Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  x0 = ĐS: liên tục  2x x   25 Bài 23 (HKII – THPT Gia Định)  Tính giới hạn sau 55 x − x3 + x − ĐS: x →3 13 x − 11x − a) lim  x + x − 28 − 12  17 b) lim  ĐS:   x →4  54  x − 4x + 2x −  12 x + − 36 x + c) lim ĐS: − x →0 16 x − 12 x d) lim x →+ ( ) 64 x3 − x − x + ĐS: 11 12  x +1− x + x   x −1  3 x = x0 = ĐS: liên tục  Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  4  3x3 − x − 3x + x   x − 14 x + 11  Bài 24 (HKII – Nguyễn Hiền)  Tính giới hạn sau 80 x − 82 x + ĐS: x →3 x − 54 a) lim b) Fb: ThayTrongDGL x + 3) x + ( ĐS: lim x →− ( x + 5) − Tài liệu biên soạn sưu tầm 144 Chúc em học tốt ! ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC  3x + − − x x    Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  −2 x3 + 3x − x điểm x0 = ĐS: liên −2 x + x   tục Bài 25 (HKII – THPT Nguyễn Hữu Cảnh)  Tính giới hạn sau x − 3x + 1 ĐS: − x →1 − 3x − x a) lim x− 6− x ĐS: − x →2 − x + x − b) lim  x +1 − x    x −3  Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  điểm x0 = ĐS: liên tục x −  x   Bài 26 (HKII – THPT Nguyễn Thái Bình)  x + x − 12  x − x   Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  điểm x = ĐS: liên tục x +5 x =  x −  Chứng minh phương trình ( m + m + 3) ( x − ) + x + x − = có nghiệm m Bài 27 (HKII – THPT Tây Hạnh)  Tính giới hạn sau a) lim x3 − x + x ĐS: − 9− x b) lim ( x →3 x →− ) x − x + x ĐS:  m ( m − 3) x =   Tìm m để hàm số f ( x ) =  liên tục x0 = ĐS: m = x−2 x    − 2x − − x m = −2  Chứng minh phương trình 5x + 3x3 − x − x + = có hai nghiệm khoảng ( −1;1) B LỜI GIẢI Bài 1) Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm 145 Chúc em học tốt ! ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x+2 −2 1 = lim = x → x −4 ( x + ) x + + 16 a) Ta có lim ( x →2 b) Ta có lim x →+ x + 3x + = lim x →+ x −1 ) + x x2 =  1 x 1 −   x x 4+ 2) Ta có: +) f (1) = +) lim+ f ( x ) = lim+ ( x + ) = x →1 x →1 3x − x − = lim− ( 3x + 1) = x →1 x →1 x →1 x −1 Suy lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f (1) , nên hàm số cho liên tục x0 = +) lim− f ( x ) = lim− x →1 Bài x →1 1) Tính: ( x + )( x − 5) = lim x − = − x − x − 10 = lim x →−2 x − x + x →−2 x + ( ) ( x − x + 3) x→−2 x − x + 11 a) lim ) ( b) lim 3x + x − x + = lim x →− x →− 8x2 + x − 3x − x − x + 3  x2  + −  x x   = lim = − x →−   x  + 1− +  x x   Ta có - f ( 2) = x2 − −1 x+2 = lim = x→2 x−2 x2 − + - lim f ( x ) = lim x→2 Bài x→2 ( 3x − 1) ( x2 − x + 1) x3 − x + x − 2x2 − x + a ) Ta có lim1 = lim = lim =  3 1 x + 8x −1 x→ x → ( x − 1) ( x + x + x + 1) x→ 3x + x + 3x + b) Ta có lim x →− = lim x →− ( ) x + 3x + + 3x + = lim x →− −3x  1 x− + + −3−  x x x  −3 =  1 − 9+ + −3− x x x Ta có f (1) = a + b ( ) - lim− f ( x ) = lim− x2 + 2bx + 3a = 3a + 2b + x→1 Fb: ThayTrongDGL x→1 Tài liệu biên soạn sưu tầm 146 Chúc em học tốt ! ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x2 + 5x − = lim+ ( x + ) = x →1 x →1 x →1 x −1 Hàm số f ( x ) liên tục x0 = - lim+ f ( x ) = lim+ 3a + 2b + = a = −10 lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f (1)    x →1 x →1 a + b = b = 19  Ta có hàm số f ( x ) = ( m − 3m + )( x − 3x + ) + ( − x )( − 2m ) liên tục Mặt khác f (1)  f ( ) = ( − 2m )( 2m − 3) = − ( 2m − 3) - Nếu m = f (1)  f ( ) = nên phương trình có nghiệm x = 1; x = f (1)  f ( )  nên phương trình cho có nghiệm thuộc khoảng (1; ) - Nếu m  Vây phương trình ( m − 3m + )( x − 3x + ) + ( − x )( − 2m ) = ln có nghiệm với m Bài a) Ta có lim x →1 x −1 = lim x − x →1 ( ) x + ( x + 1) = x ( x + 1)( x + ) x ( x + 1) x3 + 3x + x = lim = lim =− x →−2 x →− x →− x − x−6 x −3 ( x + )( x − 3) b) Ta có lim Ta có - f (1) = −1 - lim f ( x ) = lim x →1 x →1 x − 3x + = lim ( x − ) = −1 x →1 x −1 Suy lim f ( x ) = f (1) nên hàm số cho liên tục x0 = x →1 ( x − 1) ( x + 1) = lim x + = x3 − x − x + 1 a) Ta có lim = lim ( ) x →1 x → x →1 x − 2x +1 ( x − 1) Bài − ( x3 + 8) − ( x2 − 2x + 4) − x3 − b) Ta có lim = lim = lim = −2 x →−2 x →−2 x+2 ( x + 2) − x3 + x→−2 − x3 + ( )  lim− ( x − ) = −1   x →4 x −5   lim− = − c) Ta có  lim− ( x − ) = x →4 ( x − 4)  x →4 ( x − )  x  Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm 147 Chúc em học tốt ! ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC d) Ta có lim x →− ( ) x + x + + x = lim x →− 1  x  + 1 x +1 x  = lim =−   x + x + − x x →−  x  − x + + − 1 x   2) Ta có - f ( 0) = a −1 - lim− f ( x ) = lim− x →0 x →0 ( ) x 1+ 1− x x = lim− = x − − x x →0 4− x  - lim+ f ( x ) = lim+  a − +  = a −1 x →0 x →0  x +1  Hàm số f ( x ) liên tục x0 = lim f ( x ) = lim+ f ( x ) = f ( )  a − =  a = x →0− Bài Ta có lim x →− x →0   x − + +   x x + x + 3x   =−2 = lim 2 x + − x + x →−  x  − + −1+  x x  Ta có - f (1) = ( ) - lim− f ( x ) = lim− ax + x = a + x →1 x →1 - lim+ f ( x ) = lim+ cos ( x − 1) = x →1 x →1 Hàm số f ( x ) liên tục x0 = lim f ( x ) = lim+ f ( x ) = f (1)  a + =  a = −1 x →1− x →1 Ta có hàm số f ( x ) = x − x3 − x − 15 x − 25 liên tục Mặt khác f ( ) = −25  lim ( x4 − x3 − x2 − 15x − 25) = + x →− lim ( x4 − x3 − x2 − 15x − 25) = + x →+ Vậy phương trình x − x3 − x − 15x − 25 = có nghiệm khoảng ( −;0 ) có nghiệm khoảng ( 0; + ) Do phương trình x − x3 − x − 15x − 25 = có nghiệm dương nghiệm âm Bài 1) a) Ta có lim Fb: ThayTrongDGL x →3 x −3 x −3 1 = lim = lim = x → x → x + x − 15 x+5 ( x − 3)( x + 5) Tài liệu biên soạn sưu tầm 148 Chúc em học tốt ! ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC       x + − x − + − −         x  x2  x  x2  3x + 1) x −   ( = lim = lim = b) Ta có lim x →− x →− x →− 1 1 −3x + x  2 x  −3 +   −3 +  x x   2) Ta có - f (1) = m − - lim f ( x ) = lim x →1 x →1 ( −1 ) x +1 =− 14 Hàm số f ( x ) liên tục x0 = lim f ( x ) = f (1)  m − x →1 Bài 1 −3 =− m= 14 ( x − 1) ( x2 − 3x + 16 ) x3 − x + 19 x − 16 x − 3x + 16 17 Ta có lim = lim = lim = x →1 x →− x →− 5x2 − 8x + 5x − ( x − 1)( 5x − 3) Ta có - f ( 2) = − m - lim− f ( x ) = lim− ( x − m ) = − m x →2 x →2 − x2 - lim+ f ( x ) = lim+ = x →2 x →2 x + −1 Hàm số f ( x ) liên tục x0 = lim f ( x ) = lim+ f ( x ) = f ( )  − m =  m = x → 2− x →2 Ta có hàm số f ( x ) = x − x3 − x − 15 x − 25 liên tục Mặt khác f ( ) =    lim f ( x ) = lim x 2015  m2 − m + − 2014 x + 2015  = − (Vì m2 − m +  với x →− x →− x x   m ) lim ( x4 − x3 − x2 − 15x − 25) = + x →+ Vậy phương trình ( m − m + ) x 2015 − x + = có nghiệm khoảng ( −;0 ) Bài (nghiệm âm) với giá trị tham số m 5  x − 6 − 6x x  = −3 = lim  1) a Ta có lim x →+ + x x →+   x + 2 x  Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm 149 Chúc em học tốt ! ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC  lim+ ( x − 3) = −1   x →2 x −3 b Ta có lim+ = −  lim+ ( x − ) = x→2 x →2 x −   x −  x    c Ta có lim ( 3x − x3 ) = lim x3  −  = + x →− x →− x  2) Ta có: f (1) = m lim f ( x ) = lim x →1 x →1 ( x − 1)( x + ) = lim x + = x + 3x − = lim x →1 x − x + x + x −1 ( )( ) x→1 x2 + x + Hàm số f ( x ) liên tục x0 = lim f ( x ) = f (1)  m = x →1 Bài 10 1) a Ta có lim x →2 b Ta có lim \ x →+ ( x − 2)( x − 1) = lim x − = x − 3x + = lim x →2 ( x − )( x + ) x →2 x + x −4 ( ) 2x x + x − x − x = lim x2 + x + x2 − x x →+ = lim x →+ 2x  1 x  1+ + 1−  x x  = 2) Ta có f ( ) = , lim− f ( x ) = lim− x →5 lim+ f ( x ) = lim+ x →5 x →5 x →5 ( ( x − ) + 3) = , ( ) ( x − 5) x − + x −5 = lim+ = ( x − 5) x − − x →5 Suy lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f ( 5) nên hàm số cho liên tục x0 = x →5 x →5 3) Ta có: f ( 3) = 6m + , lim f ( x ) = lim x →3 x →3 ( x − 3)( x − 2) = x2 − 5x + = lim x →3 x −3 x −3 Hàm số cho liên tục x0 = lim f ( x ) = f ( 3)  6m + =  m = x →3 Bài 11 x+2 −2 1) Ta có f ( ) = 2m + ; lim+ f ( x ) = lim+ = x→2 x→2 ( x − 2) x + + ( lim+ f ( x ) = lim+ x →2 x →2 x+2 −2 ( x − 2) ( x+2 +2 ) = lim+ x →2 ) 1 = x+2+2 Hàm số cho liên tục điểm x0 = 2m + 1 =  m = 4 2) Đặt f ( x ) = (1 − m ) x − 3x − Ta có, f ( ) = −1, f ( −1) = m + Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm 150 Chúc em học tốt ! ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Suy ra, f ( ) f ( −1) = −m2 −  0, m Mặt khác, vì f ( x ) hàm số đa thức liên tục nên f ( x ) liên tục  −1;0 Do đó, phương trình cho có nghiệm khoảng ( −1; ) với giá trị Bài 12 m Vậy ta có đpcm 1) Tính giới hạn 3n − n + a) lim = lim − 2n b) lim (1 − 3n ) (n + 1) 3n7 − ( 3− + n n = 3−0+ = − 0−2 2 n −2 1   − 3 n  = lim  x →−   1 +   n  = ( − 3) (1 + ) = −9 3−0 3− n ) c) lim x − + x − x + = lim x →− ( x − 3) − ( x − x + 1) x − − x2 − x + −5 x + x →− 1 x − − x 1− + x x −5 + x = lim =− x →− 1 1− + 1− + x x x 16 2) Ta có f ( ) = − = lim ( ) ( ) ( x + ) x + x − 10 ( x2 − ) x + x − 10 x2 − 16 lim = lim = lim =− x → x − x − 10 x →2 x →2 x − x + 10 x −5 Ta thấy f ( ) = lim f ( x ) Vậy hàm số cho liên tục x0 = x →2 3) Đặt f ( x ) = x + x − x − Ta có, f ( −1) = 4, f ( ) = −3, f (1) = Suy ra, f ( −1) f ( ) = −12  0, f ( ) f (1) = −6  Vì f ( x ) hàm số đa thức liên tục nên f ( x ) liên tục đoạn  −1;0  0;1 Do đó, phương trình f ( x ) = có nghiệm khoảng ( −1; ) (1; ) Vậy phương trình cho có hai nghiệm Bài 13 1) Tính giới hạn + 3n + n3 n = lim =0 a) A = lim n + 2n3 − 5n + 1+ − + n n n n 1   −1 n n −6 b) B = lim n = lim  n = − +3 2   + n 3 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm 151 Chúc em học tốt ! ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC ( x − 3) ( x2 + x + 1) x3 − x − x − x + x + 11 c) C = lim = lim = lim = x →3 x →3 x →3 x2 − x+3 ( x − 3)( x + 3) d) D = lim x →+ ( ) x + x + − x = lim x →+ x2 + x + − x2 x2 + x + + x = lim x →+ 1 x = 1 4+ + +2 x x 1+  2− x x   2) y = f ( x ) =  x + − 2ax + x    2− x x   a) Khi a = , ta y = f ( x ) =  x + − 2 x + x   Ta thấy f ( ) = lim f ( x ) = lim− ( x + 3) = x → 2− x →2 lim+ f ( x ) = lim+ x →2 x →2 ( ) (2 − x) x + + 2− x = lim+ = lim+ − x + − = −6 x →2 x +7−9 x + − x →2 ( ) Vì lim− f ( x )  lim+ f ( x ) nên hàm số cho không liên tục x = x →2 x →2 b) Ta có f ( ) = lim− f ( x ) = 4a + x →2 lim f ( x ) = −6 x → 2+ Do hàm số cho liên tục x = 4a + = −6  a = − 3) Đặt f ( x ) = x − 3x + x − Ta có, f ( ) = −2, f (1) = 1, f ( ) = −8, f ( 3) = 13 Suy ra, f ( ) f (1) = −2  0, f (1) f ( ) = −8  0, f ( ) f ( 3) = −104  Mặt khác, vì f ( x ) hàm đa thức liên tục 0;1 , 1; 2 ,  2,3 Do đó, phương trình f ( x ) = ( 0;1) , (1; ) , ( 2;3) nên f ( x ) liên tục đoạn có nghiệm khoảng Vậy phương trình cho có nghiệm Bài 14 1) Tìm giới hạn x −5 a) lim =0 x →5 x − b) lim x →−2 x2 + − x2 + − x−2 = lim = lim =− x →−2 x+2 ( x + ) x + + x→−2 x + + 3 ( ) 2) Ta có f ( 3) = 12a + ( x − 3)( x − 1) = lim − x + = −2 x2 − 4x + lim f ( x ) = lim = lim ( ) x →3 x →3 x →3 x →3 3− x 3− x Hàm số cho liên tục điểm x0 = 12a + = −2  a = − Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm 12 152 Chúc em học tốt ! ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3) Đặt f ( x ) = x5 − 3x + x − Ta có, f ( ) = −5, f (1) = Suy ra, f ( ) f (1) = −5  nên f ( x ) liên tục đoạn  0;1 Do Mặt khác, vì f ( x ) hàm đa thức liên tục đó, phương trình f ( x ) = có nghiệm khoảng ( 0;1) Vậy phương trình cho có nghiệm khoảng ( 0;1) Vậy ta có dpcm Bài 15  Ta có f (1) = −2a + lim f ( x ) = lim+ ( −2a + ) = −2a + x →1+ x →1 lim f ( x ) = lim− x →1− x →1 x+3 −2 x +3− 1 − lim− = lim− = x → x → x − 3x + ( x − )( x − 1) x + + ( x − 1) x + + ( Hàm số cho liên tục x0 = −2a + = ) ( ) 27 27 Vậy a = giá trị cần tìm a= 8  Đặt f ( x ) = ( m − 3m + 3) x + x − = 3  Ta có f ( ) = −3 , f ( ) = 8m − 24m + 25 =  m −  +  m Suy f ( ) f ( )  m 2  Mặt khác, f ( x ) hàm đa thức liên tục nên f ( x ) liên tục đoạn  0;  Do phương trình f ( x ) = ln có nghiệm khoảng ( 0; ) với m Vậy ta có đpcm Bài 16  Tính giới hạn a) lim x →− ( ) x + x − x + = lim 1− x →− x2 + x − x2 − x2 + x + x2 + x −1 = lim x →− x 1+ 1 + x 1+ x x x =− x →− 1 − 1+ − 1+ x x = lim sin x x − sin x sin x 2sin sin x − cos x ( ) = lim tan x − sin x = lim cos x = lim b) lim 3 x →0 x → x → x → 4x 4x cos x.4 x cos x.4 x  x  sin  sin x 2=1 = lim  x →0  8cos x x  x 2      2    Ta có Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm 153 Chúc em học tốt ! ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC f (1) = m + m lim f ( x ) = lim− ( m2 x2 + 7mx ) = m2 + 7m x →1− x →1 lim+ f ( x ) = lim+ x →1 x →1 ( ) (1 − x ) x + + 1− x = lim+ = lim+ − x + − = −6 x →1 x +8−9 x + − x→1 ( )  m = −1 Do đó, hàm số cho liên tục x0 = m2 + 7m = −6  m2 + 7m + =    m = −6 Vậy m = −1, m = −6 giá trị cần tìm  Đặt f ( x ) = mx14 − ( 3m + ) x15 − 1  Ta có f ( ) = −5, f ( −1) = 3m + m + = 2m +  m +  +  m Suy 2  f ( −1) f ( )  m 2 Mặt khác, f ( x ) hàm số đa thức liên tục nên liên tục đoạn  −1;0 Do phương trình f ( x ) = có nghiệm khoảng ( −1; ) Vậy phương trình cho ln có nghiệm với m Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm 154 Chúc em học tốt !