Các dạng toán có yếu tố max – min trong bài toán thể tích

CÁC DẠNG TỐN CĨ YẾU TỐ MAX- MIN TRONG BÀI TỐN THỂ TÍCH Giáo viên: Hồng Xn Bính Nhóm giáo viên tiếp sức Chinh phục kỳ thi THPT 2021 Trong đề thi thử nhiều năm gần đề thi thức giáo dục năm 2016-2017, thấy xuất dạng toán cực trị thể tích khối đa diện Đây dạng tập mà khiến nhiều học sinh gặp khó khăn việc tiếp cận tìm lời giải Do để giúp học sinh có cách nhìn khác hệ thống dạng tập này, xin gửi tới quý thầy cô học sinh chuyên đề: “Các dạng tốn có yếu tố max-min tốn thể tích” Lý thuyết: a) Một số phương pháp chung để giải toán cực trị thể tích: - Thơng thường để giải tốn cực trị thể tích mục tiêu thiết lập yếu tố cơng thức tính thể tích tìm chiều cao, diện tích đáy khối chóp lăng trụ - Sau xác định cơng thức thể tích ta sử dụng ba phương pháp sau đây: + Phương pháp 1: Khảo sát hàm số biến + Phương pháp 2: Sử dụng đánh giá bất đẳng thức cổ điển: Cauchy, Cauchy Schwarz,… + Phương pháp 3: Có thể sử dụng đánh giá hình học ( ví dụ so sánh hình chiếu với hình xiên…) b) Một số kết thường sử dụng toán cực trị Bài toán 1: Cho tứ diện ABCD có góc hai đường thẳng AB CD  , khoảng cách hai đường thẳng AB CD d Khi thể tích ABCD tính cơng thức: V AB.CD.d sin  Chứng minh Với tứ diện ABCD cho, ta dựng hình hộp AMBN ECFD hình vẽ 1 Ta có: VABCD  Vhép  4.VD ABN  Vhép  Vhép  Vhép d  d  AB; CD   h l chiu cao ca hỡnh hp 1 Sđáy  CD.EF sin   AB.CD.sin  2 1 1 Do đó: VABCD  Vhép  h.Sđáy d AB.CD.sin AB.CD.d sin  (đpcm) 3 Bài toán 2: Cho tứ diện ABCD có AB  CD  a , AC  BD  b , AD  BC  c Khi thể tích ABCD tính cơng thức: V  12 a  b2  c  a  b  c   a  b  c  Chứng minh Ta dựng điểm M , N , P cho B, C , D trung điểm cạnh MN , NP, MP Khi đó: AB  CD  MN nên tam giác AMN vuông A Chứng minh tương tự, ta có  ANP, AMP vng A 1 Khi đó: VABCD  VAMNP  AM AN AP đó: 4 2 2 AM  AN  4a , AN  AP  4b , AP  AM  4c nên ta có: AM  a  b2  c , AN  a  b  c , AP   a  b2  c Suy ra: VABCD  12 a  b2  c  a  b2  c   a  b  c  Bài toán 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành mặt phẳng  P  cắt cạnh SA, SB, SC , SD A, B, C , D Đặt x  SA SB SC SD ,y ,z  ,t  SA ' SB ' SC ' SD ' Khi ta ln có hai kết sau đây: x  z  y  t 1 Chú ý điều kiện: x, y, z, t  Chứng minh (1) Chứng minh: x  z  y  t Kẻ AK //A ' C ', K  SO CJ //A ' C ', J  SO VS ABCD  x  y  z  t  VS ABCD xyzt  2 Ta có Và SA SK  SA ' SI SC SJ SA SC SK SJ SK  SJ  SO  OK    SO  OJ  SO         SC ' SI SA ' SC ' SI SI SI SI SI (do AK //CJ  OK OA    OK  OJ ) OJ OC Tương tự ta tính Từ 1 ,   suy ra: (2) Chứng minh: Ta có 1 SB SD SO   SB ' SD ' SI 2 SA SC SB SD     x  z  y  t SA ' SC ' SB ' SD ' VS AB C D x  y  z  t  VS ABCD xyzt VS ABCD VS ACD VS ACB SA SC  SD SA SC  SB     VS ABCD 2VS ACD 2VS ACB SA SC SD SA SC SB SA SC  SB SD  1  1  y  t x  y  z  t     (do x  z  y  t )     SA SC  SB SD  x z  y t  xyzt xyzt Chú ý: Qua tốn này, ta có kết AC  cắt trung tuyến SO I ta ln có: SA SC SO   SA SC  SI c) Bất đẳng thức Cauchy: Trong dạng tốn này, ta cịn thường sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Bất đẳng thức Cauchy cho hai số: Với a, b  ta ln có: a  b  ab Dấu xảy a  b - Bất đẳng thức Cauchy cho ba số: với a, b, c  ta ln có: a  b  c  3 abc Dấu xảy a  b  c Bài tập minh họa: Để làm rõ phương pháp trên, tác giả xin chia dạng toán bốn dạng bản: + Dạng 1: Các tốn cực trị tứ diện chóp tam giác + Dạng 2: Các tốn cực trị chóp tứ giác + Dạng 3: Các toán cực trị hình hộp + Dạng 4: Các tốn thực tế 2.1 Dạng 1: Các toán cực trị tứ diện hình chóp tam giác Ta xét dạng toán thường gặp sau: Dạng 1: Tứ diện có cạnh độ dài cạnh cịn lại có dộ dài thay đổi tứ diện có cặp cạnh chéo có độ dài thay đổi cạnh cịn lại có độ dài Dạng 2: Tứ diện có cặp cạnh đối diện vng góc với có cạnh bên đoạn vng góc chung cặp cạnh chéo Dạng 3: Tứ diện có đỉnh mà đỉnh độ dài cạnh chung đỉnh khơng đổi hai góc có số đo cố định, góc cịn lại có số đo chưa xác định Dạng 4: Tứ diện phân tích thành hai tứ diện nhỏ có chung mặt đáy có cạnh bên vng góc với mặt đáy chung Dạng 5: Sử dụng tính chất đồng phẳng điểm Dạng 6: Tứ diện gần a) Dạng 1: Tứ diện có cạnh độ dài cạnh lại có dộ dài thay đổi tứ diện có cặp cạnh chéo có độ dài thay đổi cạnh cịn lại có độ dài Nhận xét: Các toán cực trị tứ diện thuộc dạng thường tương đối quen thuộc học sinh: Xét tứ diện ABCD có cạnh độ dài cạnh cịn lại có dộ dài thay đổi tứ diện có cặp cạnh chéo có độ dài thay đổi cạnh cịn lại có độ dài ta nghĩ tới việc sử dụng kết toán Vì có cặp cạnh chéo ln vng góc với đoạn vng góc chung hai cạnh đoạn thẳng nối hai trung điểm chúng Ta xét ví dụ đầu tiên: Ví dụ 1: (MĐ 102 BGD&ĐT NĂM 2016-2017) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB  x cạnh cịn lại Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn A x  B x  14 C x  Lời giải Chọn C Gọi M , N trung điểm CD AB Ta có CD  MB  CD  MN   CD   MAB    CD  MA  CD  AB Tam giác MAB cân M nên MN  AB VABCD  1 AB.CD.d  AB, CD  sin  AB, CD   x.2 3.MN sin 90 6 2 3  x   36  x    x 2  x.2 3      3 x 36  x   6  2   Dấu "  " xảy  x  36  x2  x  Vậy với x  VABCD đạt giá trị lớn 3 D x  Ví dụ 2: (Thi thử chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa, năm học 2020-2021) Cho tứ diện ABCD có ABC ABD tam giác cạnh a Độ dài CD thay đổi Tính giá trị lớn đạt thể tích khối tứ diện ABCD a3 a3 a3 a3 B C D 12 12 Phân tích: Trong ví dụ này, từ kiện toán ta suy kết quan A trọng AB  BC  AC  AD  BD độ dài cạnh CD thay đổi cách thực thực tương tự ví dụ Lời giải Chọn A Gọi M , N trung điểm CD AB Ta có CD  MB  CD  MN   CD   MAB    CD  MA  CD  AB Tam giác MAB cân M nên MN  AB Do tam giác BCD cân có đường cao BM nên BM  BC  CM  a  CD  x Trong tam giác BMN có : BN  AB a 3a x  ; MN  BM  BN   2 4 x2 với a x 3a x a  x 3a x  a3       Suy : VABCD  2 4  4 4 Dấu "  " xảy x 3a x a   x 4 Vậy giá trị lớn khối tứ diện ABCD a a3 x  Ví dụ 3: (Chuyên Ngữ Hà Nội, năm học 2019-2020) Cho hình chóp S ABC có SA  SB  SC  AB  AC  a , BC  x (trong a số x thay đổi thỏa mãn  x  a ) Tính thể tích lớn hình chóp S ABC A Vmax  a3 B Vmax  a3 C Vmax a3  D Vmax  a3 12 Phân tích: Trong tốn ta hồn tồn áp dụng cách giải giống ví dụ trên, nhiên ta phát có hai nhận xét từ đề sau: + Nhận xét 1: Nếu ta lấy đỉnh B làm đỉnh mặt  SAC  làm mặt đáy tương ứng để tính thể tích hình chóp ta thấy S SAC ln khơng đổi cạnh SA  SA  AC  a + Nhận xét 2:  SAB tam giác nên ta lấy N trung điểm SA BN  SA ta hạ BH   SAC   BH  BN ( Tính chất đường vng góc với đường xiên) với BN có độ dài khơng đổi Dấu xảy H  N Do đó, ta thực lời giải sau: Lời giải Chọn C Gọi H hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng  SAC  Gọi N trung điểm SA Khi VS ABC  VB.SAC  SSAC BH a2 nên thể tích khối chóp S ABC lớn BH lớn Lại có nên BH  BN Do thể tích khối chóp Do tam giác SAC có diện tích khơng đổi S SAC  S ABC lớn H  N hay tam giác BNC vuông N BN  CN  a a a  BC  x 2 1 a a a3  Vậy thể tích lớn khối chóp S ABC là: V  SSAC BH  3 b) Dạng 2: Tứ diện có cặp cạnh đối diện vng góc với có cạnh bên đoạn vng góc chung cặp cạnh chéo Ví dụ 4: Cho đoạn thẳng AB cố định khơng gian có độ dài AB  Qua điểm A B kẻ đường thẳng Ax By chéo thay đổi ln vng góc với đoạn thẳng AB Trên đường thẳng lấy điểm M , N cho AM  BN  Tìm giá trị lớn thể tích khối tứ diện ABMN A Vmax  B Vmax  Chọn C Ta có: VABMN  AM BN AB.sin  Ax, By  C Vmax  Lời giải D Vmax  2 Suy V  1  AM  BN   , By  bất đẳng thức AM BN   (do sin Ax   6    Cauchy) 3 Vậy Vmax  , dấu xảy Ax  By , AM  BN  Ví dụ 5: Cho hình vng ABCD cạnh a, đường thẳng vng góc với mặt phẳng  ABCD  A ta lấy điểm S di động khơng trùng với A Hình chiếu vng góc A lên SB, SD H , K Tìm giá trị lớn thể tích khối tứ diện ACHK A a3 32 B a3 C a3 16 D a3 12 Lời giải Chọn C Ta có: VACHK  AC.HK d  AC , HK  sin  AC , HK  SH HK x2 x a HK  BD Đặt SA  x  x   Khi đó:    HK  SB BD x  a x  a2 Ta có: d  HK ; AC   d  HK ;  ABCD    HI với HI  AB, HI  SA  HI   ABCD  Mà: IH HB SH a2 a2 x   1   IH  a2  x2 SA SB SB x  a x2a a2 x a4 x3 Khi VACHK   a     a  x2 a2  x2 a2  x2    x2  x2 x x2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a     4 a   3  3 2  a  x2   16.a 3a3 x3 hay VACHK  16 3 Mặt phẳng   thay đổi qua B I   cắt cạnh SA, SC , SD M , N , P Gọi m, n GTLN, GTNN A 15 B 75 VS BMPN Giá trị m  n VS ABCD 14 75 Lời giải C D Chọn C SB SC SO     * ( theo kết SB SP SI SA SC SD SB SA SC toán 3) Áp dụng kết toán 3, ta có:       , Đặt SM SN SP SB SM SN SA SB SC SD  x;  y  1,  z, 5 x z  yt  6 z  6 x SM SB SN SP V x y z t 12 Ta có SBMPN  Do x  1, y   x  1;5 , xét   VSABCD 4.x y.z.t 4.x.1.z.5 x   x  Xét tam giác  SBD : BP  SO   I  f  x  3 14  m  ; n   mn  với x  1;5   f  x   25 15 75 15 25 x(6  x) Chú ý: Để kết (*), ta làm sau: Áp dụng định lí Menenauyt tam giác SOD có B, I , P thẳng hàng nên PS BD IO PS SP 1    PD BO IS PD SD c) Dạng 3: Chóp có chiều cao không đổi Đối với dạng tập này, thường việc xác định đường cao khối chóp cần xác định cực trị tương đối đơn giản, thường chiều cao khối chóp cho trước Vì ta cần xác định cơng thức tính diện tích đáy từ để xác định cực trị diện tích đồng thời tìm cực trị thể tích khối chóp cần tìm Ví dụ 13: (Quốc học Huế, năm học 2019-2020) Cho khối chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh Gọi M , N thuộc cạnh BC , CD cho MN ln Tìm giá trị nhỏ thể tích khối tứ diện SAMN A 12 B 12 C 1 12 D 4 24 Lời giải Chọn D Đặt BM  x   x  1 suy ta có MC   x, CN  x  x , ND   x  x Khi đó: S AMN  S ABCD  ( S ABM  S MCN  S NDA )    1  x  x  x  1  x  x  x   2 VS AMN  SO.S AMN với SO  SA2  AO  x  1  x  x  x   x  x 2   Do thể tích khối chóp S AMN nhỏ diện tích tam giác AMN nhỏ Xét hàm số f  x   1  x  x  x  1  x  x  x  với x   0;1  2 Đặt t   x  x  x x   0;1  t  1;   t2 1  f t    t    f   t   1  t    t  2  f 1  ; f  2  2 1 4 2 1 Do đó: Min f  t    VS AMN      24 1;  d) Dạng 4: Các toán liên quan đến khoảng cách, góc Trong dạng tốn này, ta dựa vào điều kiện khoảng cách góc từ đề để xác định chiều cao diện tích đáy khối chóp cần tìm từ áp dụng bất đẳng thức Cauchy phương pháp khảo sát hàm số để xác định cực trị thể tích Ta tìm hiểu ví dụ cụ thể sau: Ví dụ 14: Cho hình chóp S ABCD có khoảng cách từ A đến  SCD  2a Tính giá trị nhỏ thể tích khối chóp S ABCD theo a A V  2a3 B V  4a3 C V  3a3 D V  3a3 Phân tích: Trong tốn diện tích đáy chiều cao khối chóp chưa xác định nên từ điều kiện khoảng cách từ A đến  SCD  2a ta xác định hai đại lượng theo đại lượng trung gian từ tìm cơng thức tính thể tích đánh giá thể tích Lời giải Chọn D Hạ OM  CD, OH  SM d  O;  SCD    OH  a Ta có: d  A,  SCD    2d  O,  SCD    2OH  2a  OH  a Đặt AB  x, OM  1 1 4a h2 x       x  , SO  h  SO OM OH h2 x a h2  a h h3 VS ABCD  SO.S ABCD  x  a  f h 3 h  a2 Khảo sát hàm f  h   Ta có: f   h   h3 a với h   a;   h  a2   2  h  (l ) h h  3a ; f   h    h2 h2  3a    a 3  h a  h2  a    Ta có bảng biến thiên: Vậy giá trị nhỏ thể tích khối chóp S ABCD   Vmin  f a  a3 3 a  3a3 3a  a  Ví dụ 15: Xét khối chóp S ABCD có đáy hình bình hành cho tam giác ABC vng cân A , SA vng góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  Gọi  góc hai mặt phẳng  SBC   ABCD  , tính cos  thể tích khối chóp S ABCD nhỏ A cos   3 B cos   C cos   D cos   2 Lời giải Phân tích: Trong tốn này, để tính giá trị cos  nên ta xác định diện tích đáy chiều cao khối chóp theo đại lượng cos  từ đưa việc sử dụng phương pháp hàm số để xác định cực trị Chọn A Ta có: VS ABCD  2VS ABC đó: VS ABCD đạt giá trị nhỏ VS ABC đạt giá trị nhỏ Đặt AB  AC  x,  x   Ta có BC  AB  AC  x Gọi I trung điểm AB , hạ AH  SI H    góc nhọn Ta có góc hai mặt phẳng  SBC   ABCD  SIA  BC  AI Ta có   BC   SAI   BC  AH  AH   SBC   BC  SA Từ AH   SBC   d  A,  SBC    AH  Xét tam giác AHI vng H ta có cos   Ta có AH  AI  HI   x2 x2 2x  cos   x  , AI   2 sin  sin  Xét tam giác SAI vng A ta có  SA  HI 2x  HI  cos  AI 1 1 sin  cos        AH AI SA2 SA2 9 cos  1 18 Do đó: VSABC  SA.S ABC   3 cos  sin  cos  1  cos   Đặt cos   t , t   0;1 ta có f  t   f  t      t  t   t t t 1 t2    t  1  3t  ; f t      t  t  t    Vậy thể tích khối chóp S ABC nhỏ cos   3 2.3 Các tốn cực trị hình hộp Trong dạng tập cách thức để giải toán tương tự dạng toán cực trị hình chóp Từ giả thiết tốn, ta xác định mối quan hệ đường cao diện tích đáy hình hộp theo đại lượng cho trước thiết lập cơng thức tính thể tích theo đại lượng biến Sau áp dụng bất đẳng thức Cauchy sử dụng phương pháp hàm số để xác định đáp số tốn Để hiểu rõ hơn, tìm hiểu ví dụ sau đây: Ví dụ 16: (Chuyên Lê Thánh Tơng, Quảng Nam, năm học 2018-2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD AB C D  có AB  x , AD  Biết góc đường thẳng AC mặt phẳng  ABBA  30 Tìm giá trị lớn Vmax A Vmax  3 B Vmax  thể tích khối hộp ABCD AB C D C Vmax  D Vmax  Phân tích: Trong tốn ta thấy AD  không đổi, AB  x thay đổi nên mục tiêu tập ta dựa vào kiện góc góc đường thẳng AC mặt phẳng  ABBA 30 , ta xác định độ dài đường cao hình hộp chữ nhật theo x Từ tìm cơng thức xác định thể tích khối hộp theo biến x cực trị thể tích khối hộp cho Lời giải Chọn D Ta có BC  BB, BC  AB  CB   ABBA   AB hình chiếu vng góc AC mặt phẳng  ABBA  góc đường thẳng AC mặt phẳng  ABBA góc    C (vì BA C  30 C nhọn BAC vuông B ) Suy : BA BA Ta có AB  BC   nên AA  AB  AB2   x  tan 30   tan BA C VABCD ABC D  AB AD AA  x  x  x2    x  Dấu  xảy  x   x  x   x  x  Vậy Vmax   (vì x  ) Ví dụ 17: (Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Bắc Ninh, năm học 2020-2021) Cho hình chóp S ABC tích Mặt phẳng  Q  thay đổi song song với mặt đáy cắt cạnh SA, SB, SC M , N , P Qua điểm M , N , P kẻ đường thẳng song song với cắt mặt phẳng  ABC  M , N , P Tính giá trị lớn thể tích khối lăng trụ MNP.M N P A B C D 27 Phân tích: Trong tốn thể tích khối chóp S ABC cho trước cố định 1, nên ý tưởng thực tập xác định tỉ số chiều cao diện tích đáy khối lăng trụ MNP.M N P  với chiều cao diện tích đáy khối chóp S ABC , từ tìm cơng thức tính thể tích khối lăng trụ Lời giải Chọn C Gọi H , K hình chiếu vng góc S , M xuống mặt phẳng  ABC  Đặt MN NP MP MK AM SA  SM x   x     x ,   x  1 AB BC AC SH SA SA VMNPQ.M N Q S MNP MN MP MK S MNP   x2    1  x  x  VMNPQ.M N Q  1  x  x S ABC AB AC VS ABC SH S ABC 3 VMNPQ.M N Q 3   2x  x  x     x  x.x     2  Dấu “=” xảy  x  x  x  2.4 Các toán thực tế Với toán thực tế liên quan đến cực trị thể tích khối đa diện thường dẫn đến yêu cầu xác định điều kiện chiều cao, diện tích đáy theo đại lượng biến cần tìm tốn Sau dựa vào đánh giá bất đẳng thức Cauchy sử dụng phương pháp hàm số giải tốn Ví dụ 18: (Chun Phan Bội Châu, Nghệ An, năm học 2019-2020) Cho nhơm hình vng cạnh 12  cm  Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x  cm , gập nhôm lại để hộp không nắp (tham khảo hình vẽ bên) Tìm x để hộp nhận tích lớn (giải thiết bề dày tôn không đáng kể) A x  B x  C x  Lời giải Chọn A D x  Ta thấy hộp có đáy hình vng cạnh 12  2x , đường cao x   x   Ta có: V  Sd h  12  x  x  x  48 x  144 x  f (6)  x     f (2)  128 Xét V  f ( x)  x  48x  144 x , f ( x)  12 x  96 x  144    x    f (0)  2 Vậy với x  hộp tích lớn Ví dụ 19: Từ bìa hình vng ABCD có cạnh 5dm , người ta cắt bỏ bốn tam giác cân AMB , BNC , CPD DQA Với phần lại, người ta gấp lên ghép lại để thành hình chóp tứ giác Hỏi cạnh đáy khối chóp để thể tích lớn nhất? A dm B dm C 2 dm Lời giải Chọn C D dm x Gọi cạnh đáy mô hình x (cm) với x  Ta có AI  AO  IO  25  2 x  x  Chiều cao hình chóp h  AI  OI   25       1250  25 x 2  2  2 1 Thể tích khối chóp V  x 1250  25 x  1250 x  25 x5 3 Điều kiện: 1250  25 x   x  25 Xét hàm số y  1250 x  25 x5 với  x  25 5000 x3  125 x Ta có y  1250 x  25 x3 Có y   5000 x  125 x   x  20  x0 Bảng biến thiên Vậy để mô hình tích lớn cạnh đáy mơ hình 20 cm  2 dm Bài tập tự luyện: Câu 1: (Thpt Đông Sơn, Thanh Hóa, năm học 2020-2021) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt đáy  ABCD  góc SC với mặt phẳng  SAB  300 Gọi M điểm di động cạnh CD H hình chiếu vng góc S lên đường thẳng BM Khi M di động CD thể tích khối chóp S ABH lớn a3 A V  Câu 2: B V  a3 12 a3 15 C V  D V  a3 (Thpt Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương, năm học 2020-2021) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích V Gọi M điểm thuộc SM  Mặt phẳng   chứa AM cắt hai cạnh SB, SD cạnh SC cho SC SP SQ V'  x;  y ;   x; y  1 Khi tỉ số P Q Gọi V ' thể tích S APMQ ; SB SD V đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị tổng x  y A Câu 3: B C D (Thpt Nguyễn Trung Thiên, Hà Tĩnh, năm học 2020-2021) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N thuộc đoạn thẳng AB , AD ( AB AD M , N không trùng A ) cho 2  Ký hiệu V , V1 thể tích AM AN V khối chóp S ABCD S MBCDN Giá trị lớn tỷ số V A B C D Câu 4: Cho hình chóp S ABC có SA  x , BC  y , AB  AC  SB  SC  Thể tích khối chóp S ABC lớn tổng x  y A Câu 5: B C D Cho hình chóp S ABC có AB  a , BC  a ,  ABC  60o Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng  ABC  điểm thuộc cạnh BC Góc đường thẳng SA mặt phẳng  ABC  45o Thể tích khối chóp S ABC đạt giá trị nhỏ a3 A 12 Câu 6: a3 B a3 C a3 D   45o Hình Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang, AB//CD, AB  2CD, ABC chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng  ABCD  trung điểm cạnh AB SC  BC , SC  a Gọi góc hai mặt phẳng  SBC   ABCD   Khi  thay đổi, tìm cos  để thể tích khối chóp S ABCD có giá trị lớn A cos    B cos   C cos   D cos    Câu 7: (Thpt Tiên Du 1, Bắc Ninh, năm học 2020-2021) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA  x tất các cạnh lại Khi thể tích khối chóp S ABCD đạt giá trị lớn x nhận giá trị sau đây? A x  Câu 8: 35 B x  C x  D x  Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh Gọi M , N hai điểm thuộc cạnh AB , AC cho mặt phẳng  DMN  vng góc với mặt phẳng  ABC  Đặt AM  x , AN  y Tìm x , y để diện tích tồn phần tứ diện DAMN nhỏ A x  y  Câu 9: B x  y  C x  y  D x  ; y  (SGD Bình Phước, năm học 2018-2019) Cho x , y số thực dương Xét khối chóp S ABC có SA  x , BC  y , cạnh lại bẳng Khi x , y thay đổi, thể tích khối chóp S ABC có giá trị lớn bằng? A Câu 10: 12 B C D 27 (Chuyên Hạ Long, Quảng Ninh, năm học 2018-2019) Cho tứ diện ABCD có AB  x , CD  y , tất cạnh lại Khi thể tích tứ diện ABCD lớn tính xy A Câu 11: B C 16 D (Chuyên Bắc Giang, năm học 2018-2019) Cho hai đường thẳng Ax , By chéo vng góc với nhau, có AB đoạn vng góc chung hai đường thẳng AB  a Hai điểm M N di động Ax By cho MN  b Xác định độ dài đoạn thẳng AM theo a b cho thể tích tứ diện ABMN đạt giá trị lớn b2  a A AM  Câu 12: b2  a B AM  b2  a2 C AM  b2  a2 D AM  (Chun Thái Ngun, năm học 2018-2019) Cho hình chóp S ABC , SA  ( ABC ) , SC  a đáy ABC tam giác vng cân đỉnh C Gọi  góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) Khi thể tích khối chóp S ABC đạt giá trị lớn sin 2 A B C D 2 Câu 13: Cho nhơm hình chữ nhật ABCD có BC  90cm Ta gập nhôm theo hai cạnh MN , PQ vào phía đến AB CD trùng hình vẽ sau để lăng trụ đứng khuyết hai đáy Giá trị x để thể tích khối lăng trụ lớn là? B x  22, 5cm C x  25cm A x  20cm Câu 14: D x  30cm (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội, năm học 2019-2020) Trong mặt phẳng  P  cho tam giác OAB có cạnh bẳng Trên đường thẳng  vng góc với  P  O lấy điểm C cho OC  x Gọi E , F hình chiếu vng góc A BC OB Đường thẳng EF đường thẳng  cắt D Thể tích khối tứ diện ABCD đạt a a với phân số tối giản Tính T  a  3b b b B T  11 C 17 D T  giá trị nhỏ x  A T  14 Câu 15: (Thpt Quỳnh Lưu, Nghệ An, năm học 2019-2020) Cho khối lập phương ABCD ABC D cạnh a Các điểm M , N di động tia AC , BD cho AM  BN  a Thể tích khối tứ diện AMNB có giá trị lớn là: A Câu 16: a3 12 B a3 C a3 D a3 12 (Thpt Hoàng Hoa Thám, Hưng n, năm học 2019-2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tích V Gọi P điểm cạnh SC cho SC  SP Một mặt phẳng   qua AP cắt SB SD M N Gọi V1 thể tích hình chóp S AMNP Tìm giá trị lớn A 15 B 25 C 25 V1 V D 15 Câu 17: (SGD Bình Phước, năm học 2019-2020) Cho tia Ox, Oy , Oz cố định đôi vng góc Trên tia lấy điểm A, B, C thay đổi thỏa mãn OA  OB  OC  AB  BC  CA  A, B, C không trùng với O Giá trị lớn thể tích tứ diện OABC  m 1 n  m , n   Giá trị biểu thức P  m  n A 192 B 150 C 164 D 111 Câu 18: (Chuyên Hà Tĩnh, năm học 2019-2020) Trong khối chóp tứ giác S ABCD mà khoảng cách từ A đến mp  SBC  2a , khối chóp tích nhỏ A 3a C 3a3 B 2a D 3a3 Câu 19: Khi xây nhà, anh Tiến cần xây bể đựng nước mưa tích V   m  dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp ba lần chiều rộng, đáy nắp đổ bê tông, cốt thép; xung quanh xây gạch xi măng Biết chi phí trung bình 1.000.000 đ/m2 diện tích nắp bể Tính chi phí thấp mà anh Tiến phải trả (làm tròn đến hàng trăm nghìn)? nắp để hở khoảng hình vng có diện tích A 22000000 đ B 20970000 đ C 20965000 đ D 21000000 đ Câu 20: (Chuyên Bắc Giang, năm học 2018-2019) Một công ty muốn thiết kế loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật có đáy hình vng cho thể tích khối hộp tạo thành dm3 diện tích tồn phần đạt giá trị nhỏ Độ dài cạnh đáy hộp muốn thiết kế B dm A dm C dm D 2 dm BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 11.B 2.A 12.D 3.D 13.D 4.C 14.B 5.B 15.A 6.B 16.C 7.D 17.C 8.A 18.A 9.D 19.D 10.C 20.A ... dạng toán bốn dạng bản: + Dạng 1: Các toán cực trị tứ diện chóp tam giác + Dạng 2: Các tốn cực trị chóp tứ giác + Dạng 3: Các tốn cực trị hình hộp + Dạng 4: Các toán thực tế 2.1 Dạng 1: Các toán. .. Ta xét dạng tốn thường gặp sau: Dạng 1: Hình chóp có cạnh bên Dạng 2: Sử dụng tỉ số thể tích để xác định cực trị Dạng 3: Chóp có chiều cao khơng đổi Dạng 4: Các tốn liên quan đến khoảng cách,... ABC có SA  SB  SC  AB  AC  a , BC  x (trong a số x thay đổi thỏa mãn  x  a ) Tính thể tích lớn hình chóp S ABC A Vmax  a3 B Vmax  a3 C Vmax a3  D Vmax  a3 12 Phân tích: Trong tốn