15 DẠNG TOÁN vận DỤNG vận DỤNG CAO ôn THI môn TOÁN THPT

15 DẠNG TỐN VD – VDC ƠN THI THPT MƠN TỐN TOANMATH.com TÍNH XÁC SUẤT BẰNG ĐỊNH NGHĨA TOANMATH.com Câu Cho tập X = {0;1; 2; 4;6;7} Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên có chữ số lập X Tính xác suất để số chọn có chữ số xuất hai lần chữ số cịn lại xuất khơng q lần 1 A B C D 11 Lời giải Chọn A Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên có bốn chữ số lập từ X = {0;1; 2; 4;6;7} Số phần tử không gian mẫu: Ω = 5.6 = 1080 Gọi A biến cố cần tìm xác suất Ta có trường hợp sau: Trường hợp 1: Chữ số xuất lần Có C32 cách chọn vị trí cho chữ số Có A52 cách xếp chữ số chữ số vào vị trí cịn lại Suy trường hợp có: C32 A52 = 60 số thỏa mãn Trường hợp 2: Chữ số x (khác 0) xuất lần x vị trí hàng nghìn Có cách chọn x từ tập X Có cách chọn thêm vị trí cho x Có A52 cách xếp chữ số chữ số vào vị trí cịn lại Suy trường hợp có 5.3 A52 = 300 số thỏa mãn Trường hợp 3: Chữ số x (khác 0) xuất lần x khơng nằm vị trí hàng nghìn Có cách chọn x Có C32 cách chọn vị trí cho chữ số x Có cách chọn chữ số (khác khác x )vào vị trí hàng nghìn Có cách chọn chữ số vào vị trí cịn lại Suy ra: trường hợp có 5.4.4.C32 = 240 số thỏa mãn Do đó, theo quy tắc cộng có Ω A = 60 + 300 + 240 = 600 Vậy xác suất biến cố A : P = ( A) ΩA 600 = = Ω 1080 Câu Từ hộp có bút bi màu xanh, bút bi màu đen bút bi màu đỏ, chọn ngẫu nhiên bút Xác suất để bút chọn có hai màu 460 118 119 272 A B C D 1001 429 429 1001 Lời giải Chọn A Gọi A biến cố: “ bút chọn có hai màu” Ta có n ( Ω ) =C155 Vì bút chọn có hai màu nên có trường hợp: TH1: Có hai màu xanh đen: - Chọn bút hai màu xanh, đen (có bút), có C95 cách chọn - Trong C95 cách chọn bút trên, có C55 cách chọn bút màu đen khơng có cách chọn để bút màu xanh Số cách chọn bút có hai màu xanh đen C95 − C55 TH2: Có hai màu đen đỏ: - Chọn bút hai màu đen, đỏ (có 11 bút), có C115 cách chọn - Trong C115 cách chọn bút trên, có C55 cách chọn bút màu đen C65 cách chọn bút màu đỏ Số cách chọn bút có hai màu đỏ đen C115 − C55 − C65 TH3: Có hai màu đỏ xanh: - Chọn bút hai màu đỏ, xanh (có 10 bút), có C105 cách chọn - Trong C105 cách chọn bút trên, có C65 cách chọn bút màu đỏ khơng có cách chọn bút màu xanh Số cách chọn bút có hai màu đỏ xanh C105 − C65 Vậy P ( A ) C − C ) + (C − C − C ) + (C − C ) (= 5 11 5 10 15 C 118 429 Câu Một hộp đựng thẻ đánh số từ 1, 2, 3,…, Rút ngẫu nhiên hai lần, lần thẻ nhân số ghi hai thẻ với nhau, xác suất để tích nhận số chẵn 25 11 A B C D 36 14 14 Lời giải Chọn D Số phần tử không gian mẫu: n ( Ω ) = × = 56 Gọi A biến cố: “tích nhận số lẻ” n ( A ) = × = 12 ⇒ n( A) = 56 − 12 = 44 ⇒ xác suất biến cố A : P ( A = ) n( A) 44 11 = = n(Ω) 56 14 Câu Đội niên tình nguyện trường THPT gồm 15 HS, có HS khối 12, HS khối 11 HS khối 10 Chọn ngẫu nhiên HS thực nhiệm vụ Tính xác suất để HS chọn có đủ khối 4248 757 151 850 A B C D 5005 5005 1001 1001 Lời giải Chọn D Số phần tử không gian mẫu n ( Ω )= C156= 5005 Gọi A biến cố: “6 HS chọn có đủ khối” Xét trường hợp biến cố A + Số cách chọn HS bao gồm khối 10 11: C116 − C66 + Số cách chọn HS bao gồm khối 10 12: C106 − C66 + Số cách chọn HS bao gồm khối 11 12: C96 + Số cách chọn HS khối 10: C66 ( ) 6 6 Vậy n A = C11 + C10 + C9 − C6 = 755 ⇒ n ( A ) = 5005 − 755 = 4250 Vậy xác suất cần tìm là: P= ( A) 4250 850 = 5005 1001 Câu Từ hộp chứa 12 cầu, có màu đỏ, màu xanh màu vàng, lấy ngẫu nhiên Xác suất để lấy cầu có hai màu bằng: 23 21 139 81 B C D A 44 44 220 220 Lời giải Chọn C Số phần tử không gian mẫu là: n ( Ω = ) C123= 220 Gọi A biến cố: “Lấy cầu có hai màu” - Trường hợp 1: Lấy màu vàng màu đỏ có: C82 = 28 cách - Trường hợp 2: Lấy màu vàng màu xanh có: C32 = cách - Trường hợp 3: Lấy màu đỏ màu xanh có: C81.C32 = 24 cách - Trường hợp 4: Lấy màu xanh màu đỏ có: C31.C82 = 84 cách Số kết thuận lợi biến cố A là: n ( A ) = 28 + + 24 + 84 = 139 cách Xác suất cần tìm là: P= ( A) n ( A ) 139 = n ( Ω ) 220 Cách 2: Lấy trừ trường hợp khác màu (1 Đ, 1X, V), chung màu ( đỏ xanh) ĐS: (220-81)/220 Chọn C Câu Chọn ngẫu nhiên hai số tự nhiên có chữ số khác Tính xác suất chọn số chẵn ( lấy kết hàng phần nghìn) A 0, 652 B 0, 256 C 0, 756 D 0,922 Lời giải Chọn C Gọi A biến cố: “chọn số chẵn.” - Số số tự nhiên có chữ số khác là: 9.9.8.7 = 4536 ⇒ Không gian mẫu: Ω =C4536 - Số số tự nhiên lẻ có chữ số khác là: 5.8.8.7 = 2240 ( ) ⇒ n A = C2240 ( ) ⇒ P= A ( ) n A C2 = 2240 C4536 Ω C2240 P A = − P A = − ≈ 0, 756 ⇒ ( ) C4536 ( ) Câu Chọn ngẫu nhiên hai số tự nhiên có chữ số khác Tính xác suất chọn số chẵn ( lấy kết hàng phần nghìn) A 0, 652 B 0, 256 C 0, 756 D 0,922 Chọn C Lời giải Gọi A biến cố: “chọn số chẵn.” - Số số tự nhiên có chữ số khác là: 9.9.8.7 = 4536 ⇒ Không gian mẫu: Ω =C4536 - Số số tự nhiên lẻ có chữ số khác là: 5.8.8.7 = 2240 ( ) ⇒ n A = C2240 ( ) ⇒ P= A ( ) n A C2 = 2240 C4536 Ω C2240 P A = − P A = − ≈ 0, 756 ( ) ⇒ C4536 Câu Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên có hai chữ số Tính xác suất để số chọn có hai chữ số giống A 0,1 B 0,3 C 0,7 D 0,9 Lời giải: Chọn A Số phần tử không gian mẫu n(Ω) =90 Gọi A biến cố ‘‘ số chọn có chữ số giống ’’ A= {11;22;33;44;55;66;77;88;99} ; n(A) = ( ) = Do xác suất để số chọn có hai chữ số giống P (A) n(A) = = 0,1 n(Ω) 90 Câu Một hộp đựng thẻ đánh số từ 1, 2, 3,…, Rút ngẫu nhiên hai lần, lần thẻ nhân số ghi hai thẻ với nhau, xác suất để tích nhận số chẵn là: 25 13 B C D A 18 36 Lời giải Chọn D Số phần tử không gian mẫu: n ( Ω ) = × = 72 Gọi A biến cố: “tích nhận số lẻ” n ( A ) = × = 20 ⇒ n( A) = 72 − 20 = 52 ⇒ xác suất biến cố A : P( A= ) n( A) 52 13 = = n(Ω) 72 18 Câu 10 Một hộp kín có bút bi màu xanh khác 10 bút bi màu đỏ khác Lấy ngẫu nhiên bút bi Xác suất để lấy bút bi xanh bút bi đỏ 200 45 A B C D 273 91 Lời giải Chọn D Số phần tử không gian mẫu n ( Ω ) =C153 C51.C102 Gọi A biến cố lấy bút bi xanh bút bi đỏ ⇒ n ( A ) = P ( A) Xác suất biến cố A = C51.C102 45 = C153 91 Câu 11 Chọn ngẫu nhiên số từ tập số tự nhiên có năm chữ số khác đơi Xác suất để số chọn có ba chữ số chẵn hai chữ số lẻ lại đứng kề nhau? 85 58 A B C D 567 567 147 75 Lời giải Chọn C Số phần tử không gian mẫu n ( Ω ) =9 A94 Gọi A biến cố: “Số chọn có ba chữ số chẵn hai chữ số lẻ cịn lại đứng kề nhau” Có C53 cách chọn chữ số chẵn, có A52 cách chọn chữ số lẻ xếp chúng kề nhau, có 4! Cách xếp cho chữ số lẻ đứng kề Suy có C53 A52 4! cách xếp thoả mãn (kể chữ số đứng đầu) Ta tính số số thoả mãn đề mà có số chữ số đứng đầu, ta xét chữ số cuối: Có C42 cách chọn chữ số chữ số chẵn, có C52 cách chọn chữ số lẻ, coi chữ số lẻ nhóm ta có số số C42 C52 2!.3! C53 A52 4!− C42 C52 2!.3! = 4080 Suy số số thoả mãn đề là: n ( A ) = P= ( A) n ( A ) 4080 85 = = n ( Ω ) A94 567 Câu 12 Một hộp đựng thẻ đánh số từ 1, 2, 3,…, Rút ngẫu nhiên hai lần, lần thẻ nhân số ghi hai thẻ với nhau, xác suất để tích nhận số chẵn là: 25 13 A B C D 18 36 Lời giải Chọn D Số phần tử không gian mẫu: n ( Ω ) = × = 72 Gọi A biến cố: “tích nhận số lẻ” n ( A ) = × = 20 ⇒ n( A) = 72 − 20 = 52 ⇒ xác suất biến cố A : P( A= ) n( A) 52 13 = = n(Ω) 72 18 Câu 13 Từ hộp có bút bi màu xanh, bút bi màu đen bút bi màu đỏ, chọn ngẫu nhiên bút Xác suất để bút chọn có hai màu 460 118 119 272 A B C D 1001 429 1001 429 Lời giải Chọn A Gọi A biến cố: “ bút chọn có hai màu” Ta có n ( Ω ) =C155 Vì bút chọn có hai màu nên có trường hợp: TH1: Có hai màu xanh đen: - Chọn bút hai màu xanh, đen (có bút), có C95 cách chọn - Trong C95 cách chọn bút trên, có C55 cách chọn bút màu đen khơng có cách chọn để bút màu xanh Số cách chọn bút có hai màu xanh đen C95 − C55 TH2: Có hai màu đen đỏ: - Chọn bút hai màu đen, đỏ (có 11 bút), có C115 cách chọn - Trong C115 cách chọn bút trên, có C55 cách chọn bút màu đen C65 cách chọn bút màu đỏ Số cách chọn bút có hai màu đỏ đen C115 − C55 − C65 TH3: Có hai màu đỏ xanh: - Chọn bút hai màu đỏ, xanh (có 10 bút), có C105 cách chọn - Trong C105 cách chọn bút trên, có C65 cách chọn bút màu đỏ khơng có cách chọn bút màu xanh Số cách chọn bút có hai màu đỏ xanh C105 − C65 Vậy P ( A ) C − C ) + (C − C − C ) + (C − C ) (= 5 11 5 10 15 C 118 429 Câu 14 Chọn ngẫu nhiên hai số khác từ 27 số nguyên dương Xác suất để chọn hai số có tổng số chẵn 13 14 365 A B C D 27 27 729 Lời giải Chọn A Gọi A tập tất số nguyên dương đầu tiên, A = {1; 2; 3; ; 26; 27} = 351 Tổng hai số số chẵn hai số chẵn Chọn hai số khác từ A có: n ( Ω ) C= 27 lẻ Do đó: Chọn hai số chẵn khác từ tập A có: C13 = 78 Chọn hai số lẻ khác từ tập A có: C14 = 91 169 Số cách chọn là: 78 + 91 = Xác suất cần tìm là:= P 169 13 = 351 27 Câu 15 Cho tập hợp A = {1; 2; ;100} Chọn ngẫu nhiên phần tử A Xác suất để phần tử chọn lập thành cấp số cộng 1 A B 66 132 ChọnB C Lời giải 33 D 11 Chọn ngẫu nhiên phần tử từ tập A ⇒ Không gian mẫu Ω =C100 Gọi biến cố A:“Ba phần tử chọn lập thành cấp số cộng” ∗ Cách Giả sử phần tử x; x + d ; x + 2d với x, d ∈  99 ⇒ d ∈ {1; 2; ; 49} ⇒ có 49 ba số thỏa mãn Với x = ta có x + 2d ≤ 100 ⇔ d ≤ 98 Với x = ta có x + 2d ≤ 100 ⇔ d ≤ ⇒ d ∈ {1; 2; ; 49} ⇒ có 49 ba số thỏa mãn 97 Với x = ta có x + 2d ≤ 100 ⇔ d ≤ ⇒ d ∈ {1; 2; ; 48} ⇒ có 48 ba số thỏa mãn … Với x = 97 ta có x + 2d ≤ 100 ⇔ d ≤ ⇒ d ∈ {1} ⇒ có ba số thỏa mãn Với x = 98 ta có x + 2d ≤ 100 ⇔ d ≤ ⇒ d ∈ {1} ⇒ có ba số thỏa mãn Với x = 99 ta có x + 2d ≤ 100 ⇔ d ≤ ⇒ d ∈∅ ⇒ khơng có ba số thỏa mãn 49 ( 49 + 1) Do ta thấy có tất ( 49 + 48 + 47 += + + 1) = 2450 ba số thỏa mãn Cách Giả sử phần tử a; b; c với a, b, c ∈ A Trong tập A có 50 số lẻ, 50 số chẵn 2b số chẵn Do a, b, c lập thành CSC nên a + c = Do hai số a, c chẵn lẻ Đồng thời ứng với cách chọn hai số a, c xác định số b 2 2450 (bộ ba) Tổng số ba số a, b, c C50 + C50 = Vậy xác suất biến cố A = P 2450 = C100 66 Câu 16 Cho tập A = {1;2;3;4;5;6} Tính xác suất biến cố chọn số tự nhiên có chữ số khác lập từ tập A, cho tổng chữ số A B 20 20 Chọn D C Lời giải 20 D 20 Gọi A biến cố: “ số tự nhiên chữ số khác nhau, có tổng chữ số “ - Số số tự nhiên có chữ số khác lập là: A63 = 120 ⇒ Không gian mẫu: Ω =120 - Ta có + + 6= 9;1 + + 5= 9;2 + + 4= ⇒ Số số tự nhiên có chữ số khác có tổng là: 3!+ 3!+ 3! = 18 ⇒ n ( A) = 18 A) ⇒ P (= n ( A) 18 = = Ω 120 20 Câu 17 Có 60 thẻ đánh số từ đến 50 Rút ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để tổng số ghi thẻ chia hết cho 11 409 A B C D 1225 89 171 12 Lời giải Chọn D Số phần tử không gian mẫu: Ω= C503= 19600 ⇒ A 16 {3;6; ; 48}= B {1; 4; ; 49}= tập thẻ đánh số b cho ≤ b ≤ 50 b chia dư = ⇒ B 17 C {2;5; ;59}= tập thẻ đánh số c cho ≤ c ≤ 50 c chia dư= ⇒ C 17 Gọi A tập thẻ đánh số a cho ≤ a ≤ 50 a chia hết cho= A Gọi B Gọi C Với D biến cố: “Rút ngẫu nhiên thẻ đánh số từ đến 50 cho tổng số ghi thẻ chia hết cho ” Ta có trường hợp xảy ra: Trường hợp 1: Rút thẻ từ A : Có C163 (cách) Trường hợp 2: Rút thẻ từ B : Có C173 (cách) Trường hợp 3: Rút thẻ từ C : Có C173 (cách) Trường hợp 4: Rút tập thẻ: Có 16.17.17 = 4624 (cách) Suy D = 2.C173 + C163 + 4624= 6544 P Vậy xác suất cần tìm = D 6544 409 = = Ω 19600 1225 Câu 18 Gọi A tập hợp số tự nhiên chẵn có chữ số đôi khác Chọn ngẫu nhiên số tập hợp A Tính xác suất để số chia hết cho 10 A B C D 41 41 50 Lời giải Chọn A Gọi số tự nhiên có chữ số có dạng abc Vì abc số tự nhiên chẵn nên c ∈ {0, 2, 4, 6,8} TH1: c = Ta có A92 = 72 số tự nhiên chẵn ( ) 256 số tự nhiên chẵn TH2: c = 2, 4, 6,8 Ta có A9 − A8 = Vậy, số phần tử tập hợp A là: 328 số tự nhiên chẵn, suy Ω = 328 Gọi X biến cố số lấy ngẫu nhiên từ A chia hết cho 5, suy Ω A = 72 Vậy, xác suất xảy biến cố A PA = ΩA 72 = = Ω 328 41 Câu 19 Một người đứng gốc O trục tọa độ Oxy Do say rượu nên người bước ngẫu nhiên sang trái sang phải trục tọa độ với độ dài bước đơn vị Xác suất để sau 10 bước người quay lại gốc tọa độ O 15 63 63 A B C D 20 128 100 256 Lời giải Chọn C Mỗi bước người có lựa chọn sang trái phải nên số phần tử không gian mẫu 210 Để sau 10 bước người quay lại gốc tọa độ O người phải sang trái lần sang phải lần, số cách bước 10 bước C105 Xác suất cần tính C105 63 = 10 256 Câu 20 Chọn ngẫu nhiên số từ tập số tự nhiên có ba chữ số đơi khác Xác suất để số chọn có tổng chữ số lẻ bằng: 41 40 16 A B C D 81 81 81 Lời giải Chọn B Số phần tử khơng gian mẫu: n(Ω) = × × = 648 Gọi A biến cố: “tổng chữ số số lẻ ” Gọi số cần tìm là: abc ( a, b, c ∈  ) Th1: ba chữ số a, b, c lẻ có × × = 60 số Có g′( x) = −5 f ′ (1 − x ) + 125 x 15    25 − 25 x + = −5  f ′ (1 − x ) −  x − x +   2      ( x − 1)2  = −5  f ′ (1 − x ) −  + 1         t2  −5  f ′ ( t ) −  + 1  − 5x ⇒ g ′ ( x ) = Đặt t = 2   g ( x ) đồng biến  x≤−   t ≤ −2 1 − x ≤ −2 t  t  t ⇔ ⇔ −5  f ′ ( t ) −  + 1  ≥ ⇔ f ′ ( t ) −  + 1 ≤ ⇔ f ′ ( t ) ≤ + ⇔  t ≥ 1 − x ≥ x ≥ 2  2    2 Câu 72 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Hàm số = y f ( x − x + 1) + 2020 nghịch biến khoảng A ( −∞;1) B ( 2; +∞ ) Chọn D C Lời giải ( 0;1) D (1; ) Xét y '= ( x − 1) f ' ( x − x + 1) < (*) TH 1: x − > ⇔ x > Khi (*) trở thành f ' ( x − x + 1) < ⇔ −1 < x − x + < ⇔ < x < suy hàm số nghịch biến khoảng (1; ) Nên chọn phương án y ' < nữa) D ( Tìm đáp án thơi, không xét trường hợp khác dấu Câu 73 Cho hàm số g = ( x ) f ( x + 1) có đạo hàm g ' ( x=) nhiêu giá trị nguyên dương m để A Chọn B B ( x + 1)  x + ( − m ) x − m + 5 , ∀∈  Có bao f ( x ) đồng biến ( 0; +∞ ) C Lời giải g '( x) = ( x + 1)  x + ( − m ) x − m + 5 =( x + 1) ( x + 1) − m ( x + 1) + 4 D ⇒ f ' ( x )= x ( x − mx + ) Để f ( x ) đồng biến ( 0; +∞ ) ⇔ f ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ x ( x − mx + ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ x − mx + ≥  a= > ⇔ −4 ≤ m ≤ Vì m > ⇒ m ∈ ( 0; 4] TH 1: x − mx + ≥ ⇔  ∆= m − 16 ≤  x1 x2 >  4>0   TH 2: x − mx + = có hai nghiệm x1 < x2 < ⇔  x1 + x2 < ⇔  m <  ∆>0 m − 16 >   Vì đề cho m > ⇒ m ∈∅ Vậy m ∈ ( 0; 4] ⇒ có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 74 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm bảng sau: 1  Hỏi hàm số f  x +  nghịch biến khoảng đây? x  1 1     A  − ;0  B  ;  C  −2; −  2 2     Lời giải Chọn A 1  ( x) f  x +  Từ gt ta có BBT g= x    1   1   g '( x) = 1 −  f '  x +  g '( x) =0 ⇔ 1 −  f '  x +  =0 x x  x    x    1 − x = x = ⇔ ⇔  f ' x +  =  x = −1    x BXD g '( x)  1 D  0;   2 Hàm số nghịch biến (−1;0) (1; +∞) Chọn A Câu 75 Cho hàm số f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm sau: Hàm số = y f (1 − x ) + x + − x nghịch biến khoảng A ( −∞ ; − ) B ( −∞ ;1) C ( −2;0 ) Lời giải Chọn B y′ = −2 f ′ (1 − x ) + x x2 + −1 D ( −3; − ) x Có x +1 − < , ∀x ∈ ( −2;0 ) Bảng xét dấu: ⇒ −2 f ′ (1 − x ) < 0, ∀x ∈ ( −2;0 ) ⇒ −2 f ′ (1 − x ) + x x2 + − < 0, ∀x ∈ ( −2;0 ) Câu 76 Cho hàm số f ( x ) Đồ thị y = f ' ( x ) cho hình bên Hàm số g ( x )= f ( − x ) − x + x đồng biến khoảng đây? A ( −1;1) B ( 0; ) 1 2 D (1;3)   C  −3;  Lời giải Chọn A t ta có g ' ( x ) =− f ' ( t ) + t − > ⇔ f ' ( t ) < t − Đường thẳng y = t − qua điểm Đặt − x = ( −1; −2) (1;0 )  ( 3; ) đồ thị f ' ( t ) f ' ( t ) < t − (1;3) (−∞; −1) hay ta có 1 < − x <  x ∈ ( −1;1) , theo g ( x ) nghịch biến ( −1;1)  − x < −1 ⇒    x ∈ ( 3; +∞ ) Câu 77 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục  Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Hàm số g ( x= ) f ( x − 3) + x − x + đồng biến khoảng khoảng đây? A ( 0;3) B ( 3; +∞ ) C ( −∞; ) Lời giải Chọn D g ′ ( x ) f ′ ( x − 3) + x − ⇒ g ′ ( x ) ≥ ⇔ f ′ ( x − 3) ≥ −2 x + (1) Ta có = t x − (1) ⇒ f ′ ( t ) ≥ −t − (2) Đặt = 5  D  ;3  2  t ≤ −3 (vì phần đồ thị f ' ( t ) nằm phía đường thẳng Dựa vào đồ thị ⇒ f ′ ( t ) ≥ −t − ⇔  1 ≤ t ≤ y =−t − )  x − ≤ −3 x ≤ ⇔ Như f ′ ( x − 3) ≥ −2 x + ⇔  1 ≤ x − ≤  ≤ x ≤ Vậy hàm số g ( x= ) f ( x − 3) + x − x + đồng biến khoảng ( −∞;0 ) ( 2;3) 5  Mà  ;3  ⊂ ( 2;3) nên hàm số g ( x= ) f ( x − 3) + x − x + đồng biến khoảng   Câu 78 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục xác định  có đồ thị hàm số y = 5   ;3  2  f ′ ( x ) hình vẽ Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m ∈ [ −2021; 2021] để hàm số y= f ( x + x − + x − m ) có điểm cực trị Số phần tử tập S A 2025 B 2024 Chọn A Xét hàm số: u = x + x − + x − m TH1: m > C 2023 Lời giải D 2026 TH2: m < TH3: m = Xét hàm số y= f ( u ) ⇒ y=' u ′ f ′ ( u ) có nghiệm Dựa vào bảng biến thiên trên, ta thấy hàm số u có cực trị ⇒ u ′ = Để hàm số có cực trị f ′ ( u ) = phải có nghiệm phân biệt x + x − + x − m = a <  ⇔ x + x − + x − m =  x + x − + x − m =c > (1) → VN ( 2) ( 3) Mỗi phương trình ( ) , ( 3) có hai nghiệm phân biệt Vì c > nên pt ( ) có nghiệm phân biệt pt ( 3) có nghiệm phân biệt cần xét phương ttrình ( ) Với m ≤ , dựa vào bảng biến thiên phương trình ( ) ln có hai nghiệm phân biệt Với m > , để pt ( ) có nghiệm phân biệt m < Suy giá trị nguyên m thoả điều kiện −2021 ≤ m ≤ Vậy có 2025 giá trị nguyên m thoả mãn Câu 79 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục  Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình bên Hàm số g ( x= ) f ( x − 3) + x − x + đồng biến khoảng khoảng đây? A ( 0;3) 5  B  ;3  2  C ( −∞; ) D ( 3; +∞ ) Lời giải Chọn B = g ′ ( x ) f ′ ( x − 3) + x −  → g ′ ( x ) ≥ ⇔ f ′ ( x − 3) ≥ −2 x + (1) Ta có t x − (1) ⇒ f ′ ( t ) ≥ −t − (2) Đặt = t ≤ −3 Dựa vào đồ thị ⇒ f ′ ( t ) ≥ −t − ⇔  (vì phần đồ thị f ' ( t ) nằm phía đường thẳng 1 ≤ t ≤ y =−t − )  x − ≤ −3 x ≤ ⇔ Như f ′ ( x − 3) ≥ −2 x + ⇔  1 ≤ x − ≤  ≤ x ≤ Vậy hàm số g ( x= ) f ( x − 3) + x − x + đồng biến khoảng ( −∞;0 ) ( 2;3) 5  Mà  ;3  ⊂ ( 2;3) nên hàm số g ( x= ) f ( x − 3) + x − x + đồng biến khoảng  ;3  2  2  Câu 80 Cho hàm số f ( x) Hàm số y = f ′( x) có đồ thị hình sau Hàm số = g ( x) f ( x3 ) + A ( 0; ) Chọn D x6 đồng biến khoảng  1 B ( −2;0 ) C  − ;   2 Lời giải D (1; ) ′( x) x f ′( x3 ) += Có g= x5 x  f ′( x3 ) + x3  g ′( x) x  f ′( x3 ) + x3  ≥ ⇒ f ′( x3 ) ≥ − x3 (1) g ( x) đồng biến =  −1 ≤ x ≤  −1 ≤ t ≤  −1 ≤ x ≤ Đặt t= x ⇒ (1) ⇔ f ′(t ) ≥ −t ⇔  ⇔ ⇔ t ≥ x ≥ x ≥ Câu 81 Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ y x -3 -1 Đồ thị hàm số A O (x y= + x + 3) x + x x  f ( x ) − f ( x )  B có đường tiệm cận? C Lời giải D Chọn D Hàm số y = f ( x ) có nghiệm kép x = −3 nghiệm đơn x = a với a ∈ ( 0;1) Giả sử f ( x ) =m ( x + 3) ( x − a ) với m > Hàm số f ( x ) − có nghiệm kép x = −1 , x = b x = c với b ∈ ( −3; −1) , c ∈ ( −∞; −3) Giả sử f ( x ) − 2= m ( x + 1)( x − b )( x − c ) Điều = kiện xác định hàm ( x + 1)( x + 3) x ( x + 1) x.m ( x + 3) ( x − a ) m ( x + 1)( x − b )( x − c ) số = (x y= + x + 3) x + x x  f ( x ) − f ( x ) x ( x + 1) m x ( x + 3)( x − a )( x − b )( x − c ) = ( x + 1)( x + 3) x ( x + 1) xf ( x )  f ( x ) −  Ta thấy đường thẳng x = 0, x = −3, x = b, x = c đường tiệm cận đứng Câu 82 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ Hàm số g ( x )= f ( x − 1) + y 2020 − 2019 x đồng biến khoảng đây? 2019 −1 O x −1 A ( -1 ; ) B (1 ; ) Chọn A Ta có g ′ ( x= ) f ′ ( x − 1) − C ( ; 3) D ( ; 1) Lời giải  x − ≤ −1  x ≤ ⇔ g ′ ( x ) ≥ ⇔ f ′ ( x − 1) − ≥ ⇔ f ′ ( x − 1) ≥ ⇔   x −1 ≥ x ≥ 2020 − 2019 x Từ suy hàm số g ( x )= f ( x − 1) + đồng biến khoảng 2019 Câu 83 Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị hàm số y  f ( x) hình vẽ: Hàm số y  f (1 x)  A 3;1 x2  x nghịch biến khoảng  3 B 1;  C 2;0  2 Lời giải D 1;3 Chọn C Ta có: y    f (1 x)  x 1 Hàm số cho nghịch biến  y     f (1 x)  x 1   f (1 x)  1 x  Đặt t  1 x , ta có: f  t   t  t  3 Dựa vào đồ thị ta có:  1  t  + t  3   x  3  x  +  t     x   2  t  Vậy hàm số nghịch biến 2;0  4;  Câu 84 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ Hàm số y = f (1 − x ) + 3  A  −1;  2  x2 − x nghịch biến khoảng B ( −2;0 ) Chọn B C ( −3;1) D (1;3) Lời giải Ta có y′ =− f (1 − x ) + x − Hàm số nghịch biến y′ =− f (1 − x ) + x − < ⇔ − f (1 − x ) − (1 − x ) < ⇔ f (1 − x ) > − (1 − x ) (dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) hình vẽ đồ thị hàm số y = − x ) 1 − x < −3 x > ⇔ ⇔ < − x < − < x <   Câu 85 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm  có đồ thị f ′ ( x ) hình vẽ ( ) Xét hàm số g= ( x ) f x − Mệnh đề sai? A Hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng ( −1;0 ) B Hàm số g ( x ) đồng biến khoảng ( 2; +∞ ) C Hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng ( 0; ) D Hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng ( −∞; −2 ) Lời giải Chọn A ( ) = g ′ ( x ) x f ′ x − hàm số liên tục  Ta có x = x = x =  2 g ′ ( x ) =0 ⇔ x f ′ x − =0 ⇔  ⇔  x − =−1 ⇔  x =±1 ′  f x −2 =    x = ±2  x − = x > f ′ x2 − > ⇔ x2 − > ⇔ x2 > ⇔   x < −2 Bảng biến thiên hàm số g ( x ) ( ( ) ( ) ) Từ bảng biến thiên, ta thấy câu A sai Câu 86 Cho hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx + cx + d có đồ thị hình bên Đặt g= ( x) f Chọn khẳng định khẳng định sau y O x ( ) x2 + x + A g ( x ) nghịch biến khoảng ( 0; ) B g ( x ) đồng biến khoảng ( −1;0 )  −1  C g ( x ) nghịch biến khoảng  ;0    D g ( x ) đồng biến khoảng ( −∞; −1) Lời giải Chọn C Hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx + cx + d ; f ′ ( x ) = 3ax + 2bx + c , có đồ thị hình vẽ Do x = ⇒ d = ; x = ⇒ 8a + 4b + 2c + d = ; f ′ ( ) = ⇒ 12a + 4b + c = ; f ′ ( ) = ⇒ c = Tìm a = 1; b = −3; c = 0; d = hàm số y =x − x + Ta g= ( x) f ⇒ g ′ ( x= ) ( ) ( x + x + 2= x2 + x + 2 ( x + 1) x + x + − ( x + 1=) ( x + 1)  x + x + − 1 ; 2  Bàng xét dấu g ( x ) : x −∞ y′ y − −2 −1/ + +∞ 7 − 10 có ) − 3( x + x + 2) + − +∞ 1  x = −  g ′ ( x ) =0 ⇒  x =1  x = −2   + +∞ 4  −1  Vậy g ( x ) nghịch biến khoảng  ;0    Câu 87 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục  Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình bên x2 − x nghịch biến khoảng khoảng sau ? 3  B ( −2;0 ) C  −1;  D (1;3) 2  Lời giải Hỏi hàm số g ( x ) = f (1 − x ) + A ( −3;1) Chọn B Ta có g ′ ( x ) =− f ′ (1 − x ) + x − Để g ′ ( x ) < ⇔ f ′ (1 − x ) > x − Đặt t = − x , bất phương trình trở thành f ′ ( t ) > −t Kẻ đường thẳng y = − x cắt đồ thị hàm số f ' ( x ) ba điểm x = −3; x = −1; x = t < −3 1 − x < −3 x > ⇒ ⇔ Quan sát đồ thị ta thấy bất phương trình f ′ ( t ) > −t ⇔  1 < t < 1 < − x <  −2 < x < Đối chiếu đáp án ta chọn B Câu 88 Cho hàm số f ( x ) có đồ thị hàm số f ' ( x ) hình bên Hàm = số y f ( cos x ) + x − x đồng biến khoảng A (1; ) B ( −1;0 ) Chọn A Đặt g= ( x ) f ( cos x ) + x − x C ( 0;1) D ( −2; −1) Lời giải − sin x f ' ( cos x ) + x − Ta có g ' ( x ) = Do cos x ∈ [ −1;1] từ đồ thị hàm số f ' ( x ) suy f ' ( cos x ) ∈ [ −1;1] Từ suy − sin x f ' ( cos x ) ≤ với ∀x ∈  ⇒ g '( x) = − sin x f ' ( cos x ) + x − ≥ −1 + x − = 2x − ⇒ g ' ( x ) > 0, ∀x > Vậy hàm số đồng biến khoảng (1; ) Câu 89 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị đạo hàm f ′ ( x ) cho hình vẽ bên Hàm số = y f ( 3x − 1) − x3 + 3x + 2020 đồng biến khoảng ( a; b ) Giá trị lớn ( b − a ) A B C Lời giải Chọn B D y f ( 3x − 1) − x3 + 3x + 2020 ⇒= Xét hàm số: = y′ f ′ ( x − 1) − ( x − 1) Hàm số đồng biến nên y′ ≥ ⇔ f ′ ( x − 1) − ( x − 1) ≥ ⇔ f ′ ( x − 1) − ( x − 1) ≥  t +1  t +1 t 3x − ⇒ x = Đặt = ⇒ f ′ (t ) −   +1 ≥   ( *) ⇔ f ′ (t ) ≥ t + 2t − ( *) thoả mãn đồ thị y = f ′ ( t ) nằm phía so với đồ thị y = Đồ thị tương giao y = f ′ ( t ) y = t + 2t − t + 2t − Dựa vào đồ thị, ta thấy (*) thoả mãn ⇒ −4 ≤ t ≤ ⇔ −4 ≤ x − ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ y f ( 3x − 1) − x3 + 3x + 2020 đồng biến khoảng ( −1; ) Hàm số = Suy ( a; b ) ⊂ ( −1; ) ⇒ b − a ≤ Vậy giá trị lớn ( b − a ) = Câu 90 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm y = f ′ ( x ) cho hình bên Hàm số y= −2 f ( − x ) + x nghịch biến khoảng khoảng sau đây? A ( −1;0 ) B ( 0; ) C ( −3; −2 ) Lời giải Chọn A Xét hàm số y = −2 f ( − x ) + x [ −3; 2] có y'= f ′ ( − x ) + x; y′ =⇔ f ′(2 − x) = − x ( *) D ( −2; −1) Đặt − x = t ⇒ t ∈ [ 0;5] ⇒ (*) có dạng f ′ ( t ) = t − t =  x = −1   Dựa vào đồ thị suy f ′ ( t ) = t − ⇔ t = t0 ∈ ( 4;5 ) ⇒ y′ = ⇔  x = − t0 = x0 ∈ ( −3; −2 ) t = t ∈ 0;  x = − t = x ∈ 0; ( ) ( ) 1   Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy hàm số nghịch biến khoảng ( −1;0 ) Câu 91 Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + d có đồ thị hình vẽ bên Hàm số g ( x ) =  f ( x )  nghịch biến khoảng đây? A ( −∞;3) C ( 3; +∞ ) B (1;3) D ( −3;1) Lời giải Chọn B Cách 1: ( ) ( ) ( ) ( )  f ( x) =  x = 3; x = −3 (nghiệ m ké p) ⇔  f ′ ( x ) =  x = 1; x = −3 f x f ′ x ⇒ g′ x = 0⇔  Ta có g′ x = x > ⇒ f ′ ( ) > Do  x < −3 = y f ( x ) ⇒ f ( ) > f ′ ( x ) > ⇔  Từ đồ thị hàm số = g ′ ( ) f ( ) f ′ ( ) > Ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng ( −∞; −3) (1;3) Câu 92 Cho hàm số Xét hàm số g ( x ) = f (x − ) có đạo hàm R có đồ thị hình vẽ Mệnh đề sau sai? A Hàm số nghịch biến C Hàm số nghịch biến đồng biến D Hàm số nghịch biến Lời giải Chọn D Ta có g ( x ) = f (x − ) ( B Hàm số ) g ' ( x ) = f ' x − 2 x x = x = x =  x =   x = −1 g ' (x ) = ⇔  x ⇔ − = − ⇔   f' x −2 =0  x −2 = x =   x = −2 ( ) Ta có g ' (3) = f ' (7 ) > , g’(x) đổi dấu qua nghiệm đơn bội lẻ, không đổi dấu qua nghiệm bội chẵn nên ta có bảng xét dấu g’(x): ... ONB vuông O, đường cao OK nên 1 1 = + = + = 2 2 OK ON OB 3a a 3a Tam giác AOK vuông O, đường cao OH nên A H N K C O M 1 a 15 = + = + = ⇒ OH = 2 3a 3a 3a OH OK OA Vậy d ( OM , AB ) = a 15 Câu... số Không thể hiển thi? ? ảnh tạo Cách 3: Xếp chữ số {2, 3, 4, 5} vào vị trí ta có A 94 cách, vị trí cịn lại cho chữ số có C55 cách Theo quy tắc nhân có#A = 3024 số tạo Không thể hiển thi? ?... lẻ là: 15 Số phần tử không gian mẫu: n ( Ω ) =C362 Gọi A biến cố: “Chọn số có tích số chẵn” TH1: Chọn số chẵn, có: C212 TH2: Chọn số chẵn, số lẻ, có: C21 C151 = ĐS: P ( A ) C212 + C21 C151 =