Đang tải... (xem toàn văn)
d Dạng 4: Các bài toán liên quan đến khoảng cách, góc Trong dạng bài toán này, ta dựa vào điều kiện khoảng cách hoặc góc từ đề bài để xác định chiều cao và diện tích đáy của khối chóp cầ[r]
(1)CÁC DẠNG TOÁN CÓ YẾU TỐ MAX- MIN TRONG BÀI TOÁN THỂ TÍCH Giáo viên: Hoàng Xuân Bính Nhóm giáo viên tiếp sức Chinh phục kỳ thi THPT 2021 Trong đề thi thử nhiều năm gần đây và đề thi chính thức giáo dục năm 2016-2017, chúng ta thấy xuất các dạng bài toán cực trị thể tích khối đa diện Đây là dạng bài tập mà khiến nhiều học sinh gặp khó khăn việc tiếp cận và tìm lời giải Do đó để giúp học sinh có cách nhìn khác và hệ thống dạng bài tập này, tôi xin gửi tới các quý thầy cô và học sinh chuyên đề: “Các dạng toán có yếu tố max-min bài toán thể tích” Lý thuyết: a) Một số phương pháp chung để giải các bài toán cực trị thể tích: - Thông thường để giải bài toán cực trị thể tích thì mục tiêu đầu tiên chúng ta chính là thiết lập các yếu tố công thức tính thể tích là tìm chiều cao, diện tích đáy khối chóp lăng trụ - Sau đã xác định công thức thể tích thì ta có thể sử dụng ba phương pháp sau đây: + Phương pháp 1: Khảo sát hàm số biến + Phương pháp 2: Sử dụng đánh giá bất đẳng thức cổ điển: Cauchy, Cauchy Schwarz,… + Phương pháp 3: Có thể sử dụng đánh giá hình học ( ví dụ so sánh hình chiếu với hình xiên…) b) Một số kết thường sử dụng các bài toán cực trị Bài toán 1: Cho tứ diện ABCD có góc hai đường thẳng AB và CD , khoảng cách hai đường thẳng AB và CD d Khi đó thể tích ABCD tính công thức: V AB.CD.d sin Chứng minh (2) Với tứ diện ABCD đã cho, ta dựng hình hộp AMBN ECFD hình vẽ 1 Ta có: VABCD Vhép 4.VD ABN Vhép Vhép Vhép d d AB; CD h là chiều cao hình hộp 1 Sđáy CD.EF sin AB.CD.sin 2 1 1 Do đú: VABCD Vhộp h.Sđáy d AB.CD.sin AB.CD.d sin (đpcm) 3 Bài toán 2: Cho tứ diện ABCD có AB CD a , AC BD b , AD BC c Khi đó thể tích ABCD tính công thức: V 12 a b2 c a b c a b c Chứng minh (3) Ta dựng các điểm M , N , P cho B, C , D là trung điểm các cạnh MN , NP, MP Khi đó: AB CD MN nên tam giác AMN vuông A Chứng minh tương tự, ta có ANP, AMP vuông A 1 Khi đó: VABCD VAMNP AM AN AP đó: 4 2 2 AM AN 4a , AN AP 4b , AP AM 4c nên ta có: AM a b2 c , AN a b c , AP a b2 c Suy ra: VABCD 12 a b2 c a b2 c a b c Bài toán 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành và mặt phẳng P bất kì cắt các cạnh SA, SB, SC , SD A, B, C , D Đặt x SA SB SC SD ,y ,z ,t SA ' SB ' SC ' SD ' Khi đó ta luôn có hai kết sau đây: x z y t 1 và Chú ý điều kiện: x, y, z, t Chứng minh (1) Chứng minh: x z y t Kẻ AK //A ' C ', K SO và CJ //A ' C ', J SO VS ABCD x y z t xyzt VS ABCD 2 (4) Ta có Và SA SK SA ' SI SC SJ SA SC SK SJ SK SJ SO OK SO OJ SO SC ' SI SA ' SC ' SI SI SI SI SI (do AK //CJ OK OA OK OJ ) OJ OC Tương tự ta tính Từ 1 , suy ra: (2) Chứng minh: Ta có 1 SB SD SO SB ' SD ' SI 2 SA SC SB SD x z y t SA ' SC ' SB ' SD ' VS AB C D x y z t xyzt VS ABCD VS ABCD VS ACD VS ACB SA SC SD SA SC SB VS ABCD 2VS ACD 2VS ACB SA SC SD SA SC SB SA SC SB SD 1 1 y t x y z t (do x z y t ) SA SC SB SD x z y t xyzt xyzt Chú ý: Qua bài toán này, ta có kết AC cắt trung tuyến SO I thì ta luôn có: SA SC SO SA SC SI c) Bất đẳng thức Cauchy: Trong dạng bài toán này, ta còn thường sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Bất đẳng thức Cauchy cho hai số: Với a, b thì ta luôn có: a b ab Dấu xảy a b - Bất đẳng thức Cauchy cho ba số: với a, b, c thì ta luôn có: a b c 3 abc Dấu xảy a b c Bài tập minh họa: Để làm rõ các phương pháp trên, tác giả xin chia các dạng bài toán bốn dạng bản: (5) + Dạng 1: Các bài toán cực trị tứ diện chóp tam giác + Dạng 2: Các bài toán cực trị chóp tứ giác + Dạng 3: Các bài toán cực trị hình hộp + Dạng 4: Các bài toán thực tế 2.1 Dạng 1: Các bài toán cực trị tứ diện hình chóp tam giác Ta xét các dạng toán thường gặp sau: Dạng 1: Tứ diện có cạnh độ dài và cạnh còn lại có dộ dài thay đổi tứ diện có cặp cạnh chéo có độ dài thay đổi và cạnh còn lại có độ dài Dạng 2: Tứ diện có cặp cạnh đối diện vuông góc với có cạnh bên chính là đoạn vuông góc chung cặp cạnh chéo Dạng 3: Tứ diện có đỉnh mà đỉnh đó độ dài cạnh chung đỉnh không đổi và hai góc có số đo cố định, góc còn lại có số đo chưa xác định Dạng 4: Tứ diện phân tích thành hai tứ diện nhỏ có chung mặt đáy và có cạnh bên vuông góc với mặt đáy chung đó Dạng 5: Sử dụng tính chất đồng phẳng điểm Dạng 6: Tứ diện gần a) Dạng 1: Tứ diện có cạnh độ dài và cạnh còn lại có dộ dài thay đổi tứ diện có cặp cạnh chéo có độ dài thay đổi và cạnh còn lại có độ dài Nhận xét: Các bài toán cực trị tứ diện thuộc dạng thường tương đối quen thuộc học sinh: Xét tứ diện ABCD có cạnh độ dài và cạnh còn lại có dộ dài thay đổi tứ diện có cặp cạnh chéo có độ dài thay đổi và cạnh còn lại có độ dài thì ta nghĩ tới việc sử dụng kết bài toán Vì đó có cặp cạnh chéo luôn vuông góc với và đoạn vuông góc chung hai cạnh này chính là đoạn thẳng nối hai trung điểm chúng Ta xét ví dụ đầu tiên: (6) Ví dụ 1: (MĐ 102 BGD&ĐT NĂM 2016-2017) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB x và các cạnh còn lại Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn A x B x 14 C x Lời giải Chọn C Gọi M , N là trung điểm CD và AB Ta có CD MB CD MN CD MAB CD MA CD AB Tam giác MAB cân M nên MN AB VABCD 1 AB.CD.d AB, CD sin AB, CD x.2 3.MN sin 90 6 2 3 x 36 x x 2 x.2 3 3 x 36 x 6 2 Dấu " " xảy x 36 x2 x Vậy với x thì VABCD đạt giá trị lớn 3 D x (7) Ví dụ 2: (Thi thử chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa, năm học 2020-2021) Cho tứ diện ABCD có ABC và ABD là các tam giác cạnh a Độ dài CD thay đổi Tính giá trị lớn đạt thể tích khối tứ diện ABCD a3 a3 a3 a3 B C D 12 12 Phân tích: Trong ví dụ này, từ kiện bài toán ta suy kết quan A trọng là AB BC AC AD BD còn độ dài cạnh CD thì thay đổi cho nên cách thực thực tương tự ví dụ Lời giải Chọn A Gọi M , N là trung điểm CD và AB Ta có CD MB CD MN CD MAB CD MA CD AB Tam giác MAB cân M nên MN AB Do tam giác BCD cân có đường cao BM nên BM BC CM a CD x Trong tam giác BMN có : BN AB a 3a x ; MN BM BN 2 4 x2 với (8) a x 3a x a x 3a x a3 Suy : VABCD 2 4 4 4 Dấu " " xảy x 3a x a x 4 Vậy giá trị lớn khối tứ diện ABCD là a a3 x Ví dụ 3: (Chuyên Ngữ Hà Nội, năm học 2019-2020) Cho hình chóp S ABC có SA SB SC AB AC a , BC x (trong đó a là số và x thay đổi thỏa mãn x a ) Tính thể tích lớn hình chóp S ABC A Vmax a3 B Vmax a3 C Vmax a3 D Vmax a3 12 Phân tích: Trong bài toán này ta hoàn toàn có thể áp dụng cách giải giống ví dụ trên, nhiên ta phát có hai nhận xét từ đề bài sau: + Nhận xét 1: Nếu ta lấy đỉnh B làm đỉnh và mặt SAC làm mặt đáy tương ứng để tính thể tích hình chóp thì ta thấy S SAC luôn không đổi cạnh SA SA AC a + Nhận xét 2: SAB là tam giác nên ta lấy N là trung điểm SA thì BN SA đó ta hạ BH SAC BH BN ( Tính chất đường vuông góc với đường xiên) với BN có độ dài không đổi Dấu xảy H N Do đó, ta thực lời giải sau: Lời giải Chọn C (9) Gọi H là hình chiếu vuông góc B lên mặt phẳng SAC Gọi N là trung điểm SA Khi đó VS ABC VB.SAC SSAC BH a2 nên thể tích khối chóp S ABC lớn và BH lớn Lại có nên BH BN Do đó thể tích khối chóp Do tam giác SAC có diện tích không đổi là S SAC S ABC lớn và H N hay tam giác BNC vuông N BN CN a a a BC x 2 1 a a a3 Vậy thể tích lớn khối chóp S ABC là: V SSAC BH 3 b) Dạng 2: Tứ diện có cặp cạnh đối diện vuông góc với có cạnh bên chính là đoạn vuông góc chung cặp cạnh chéo Ví dụ 4: Cho đoạn thẳng AB cố định không gian và có độ dài AB Qua các điểm A và B kẻ các đường thẳng Ax và By chéo thay đổi luôn vuông góc với đoạn thẳng AB Trên các đường thẳng đó lấy các điểm M , N cho AM BN Tìm giá trị lớn thể tích khối tứ diện ABMN A Vmax B Vmax Chọn C Ta có: VABMN AM BN AB.sin Ax, By C Vmax Lời giải D Vmax (10) Suy V 1 AM BN , By và bất đẳng thức AM BN (do sin Ax 6 Cauchy) 3 Vậy Vmax , dấu xảy Ax By , AM và BN Ví dụ 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a, trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD A ta lấy điểm S di động không trùng với A Hình chiếu vuông góc A lên SB, SD là H , K Tìm giá trị lớn thể tích khối tứ diện ACHK A a3 32 B a3 C a3 16 D a3 12 Lời giải Chọn C Ta có: VACHK AC.HK d AC , HK sin AC , HK SH HK x2 x a HK BD và Đặt SA x x Khi đó: HK SB BD x a x a2 Ta có: d HK ; AC d HK ; ABCD HI với HI AB, HI SA HI ABCD Mà: IH HB SH a2 a2 x 1 IH SA SB SB x a a2 x2 x2a a2 x a4 x3 Khi đó VACHK a a x2 a2 x2 a2 x2 x2 x2 x x2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a 4 a 3 3 2 a x2 16.a 3a3 x3 hay VACHK 16 3 đó (11) Vậy thể tích khối tứ diện ACHK lớn Vmax a3 x a 16 c) Dạng 3: Tứ diện có đỉnh mà đỉnh đó độ dài cạnh chung đỉnh không đổi và hai góc có số đo cố định, góc còn lại có số đo chưa xác định Nhận xét : Với dạng tứ diện này, ta sử dụng công thức sau: , CSA thì ta có công ASB , BSC Cho hình chóp S ABC có SA a, SB b, SC c và thức tính thể tích sau: VS ABC abc cos cos cos 2.cos cos cos Ví dụ 6: Cho x là các số thực dương Xét các hình chóp S ABC có cạnh SA x , các cạnh còn lại Khi thể tích khối chóp S ABC có giá trị lớn nhất, giá trị x A B C D Lời giải Chọn A Cách : Bài toán này chính là dạng bài toán dạng nên không trình bày lại đây ( các bạn đọc và các em học sinh tự thực hiện) 60o , Cách 2: Bây ta xét đỉnh B , ta có BA BS BC và ABC SBC ABS thay đổi Khi đó, áp dụng công thức tính thể tích dạng 3, ta có lời giải sau: VBASC 13 cos 60o cos 60o cos 2.cos 60o.cos 60o.cos (12) 1 1 1 cos cos cos 2 16 16 4 Vậy giá trị lớn hình chóp S ABC là x 2.1.1.cos 1 cos x 2 Nhận xét: Ta thấy áp dụng công thức tính nhanh thể tích trên thì giúp cho chúng ta tiếp cận lời giải tương đối ngắn gọn Để tiếp tục rõ hơn, ta xét đến ví dụ sau : Ví dụ 7: Cho hình chóp S ABCD có SC x x , các cạnh còn lại (tham khảo hình vẽ) Biết thể tích khối chóp S ABCD lớn và x a b a, b Mệnh đề nào đây đúng? A a 2b 30 B a 8b 20 C b2 a 2 D 2a 3b 1 Phân tích: Đây là bài toán hình chóp tứ giác, nhiên ta chuyển đổi VS ABCD 2VS ABD thì việc xử lí bài toán trở nên quen thuộc giống ví dụ trên vì đó đỉnh A ta thấy có ba cạnh có số đo không đổi đồng thời có hai góc 60o và góc còn lại chưa xác định Đây là nhận xét quan trọng giúp chúng ta có lời giải sau: (13) Lời giải Chọn B Ta có VS ABCD 2VS ABD AB AS AD cos 60o cos 60o cos 2.cos 60o.cos 60o.cos DAS 60o , BAD Với BAS 1 1 Khi đó: VS ABCD cos Dấu xảy cos Khi đó: 16 4 4 BD 2.1.1 6 10 AC AO nên 16 SA2 SC AC SB SD BD SO SC 4 2 d) Dạng 4: Tứ diện phân tích thành hai tứ diện nhỏ có chung mặt đáy và có cạnh bên vuông góc với mặt đáy chung đó Ví dụ 8: (Đề thi thử Chuyên Hà Nam, năm học 2020-2021) Cho tam giác OAB cạnh 2a Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng OAB lấy điểm M cho OM x Gọi E , F là hình chiếu vuông góc A trên MB và OB Gọi N là giao điểm EF và d Tìm x để thể tích tứ diện ABMN có giá trị nhỏ (14) A x a B x a 12 C x a D x a Lời giải Chọn D Giả thiết OAB cạnh 2a nên F là trung điểm OB đó OF a Ta có AF OB, AF MO AF MOB AF MB MB AEF Do đó MB EF suy mà MB AE OBM ONF suy đó OB ON OB.OF 2a.a 2a ON OM OF OM x x Thể tích: VABMN VABOM VABON SOAB OM ON 2a 4a 2a a a3 Dấu xảy x 2a xa x x 3 x e) Dạng 5: Sử dụng tính chất đồng phẳng điểm Ta có phát biểu sau: Cho tam giác ABC và điểm O bất kì Điều kiện cần và đủ để điểm M ABC là OM x.OA y.OB z.OC đó x y z và ngoài x, y, z không phụ thuộc vào điểm O Đồng thời với x, y , z không âm thì điểm M thuộc miền tam giác ABC (Phần chứng minh công thức này xin nhường lại cho các bạn đọc và các em học sinh tự tìm hiều) Áp dụng kết phát biểu trên, ta tìm lời giải bài toán hay sau: (15) Ví dụ 9: Cho hình chóp SABC có thể tích là V, gọi M , H , I theo thứ tự là trung điểm BC , AM , SH mặt phẳng qua I cắt các cạnh SA, SB, SC các điểm A, B, C Thể tích khối chóp SABC có giá trị lớn là V V V A B C D 27V 256 Lời giải Chọn B Ta có SI SH SA SM SA SB SC SI SA SB SC 4 8 x y z SA SB SC x, y, z suy SI SA SB SC bốn điểm I , A, B, C SA SB SC 8 x y z đồng phẳng nên x y z 8 Đặt Ta có VSABC SA SB SC V VSABC VSABC SA SB SC xyz xyz 2 x y z Bài toán trở thành tìm giá thị nhỏ P xyz với giải thiết x, y , z Ta có x y z x x Lại có y 1 z 1 yz y z x thay vào ta (16) P xyz x x 2 x x f x lập bảng biến thiên f x trên 1;3 ta f x đó giá trị lớn VSABC là V g) Dạng 6: Tứ diện gần Ví dụ 10: Cho hình chóp S ABC có độ dài các cạnh SA BC x , SB AC y , SC AB z thỏa mãn x y z Tính giá trị lớn thể tích khối chóp S ABC A B C D Phân tích: Ở ví dụ này, theo kiện bài toán SA BC x , SB AC y , SC AB z thì hình chóp đã cho chính là tứ diện gần Do đó sử dụng kết bài toán 3, ta có hướng xử lí gọn sau: Lời giải Chọn C Thể tích khối tứ diện V 12 Mà x y z nên V 12 y z x z x y x y z x y 2z 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương 2x , y , 2z ta có (17) x2 9 y z x y z 27 x y z V Vậy Vmax 27 V 12 , đạt x y z đó tứ diện đã cho là tứ diện 2.2 Các bài toán cực trị hình chóp tứ giác Ta xét các dạng toán thường gặp sau: Dạng 1: Hình chóp có các cạnh bên Dạng 2: Sử dụng tỉ số thể tích để xác định cực trị Dạng 3: Chóp có chiều cao không đổi Dạng 4: Các bài toán liên quan đến khoảng cách, góc a) Dạng 1: Hình chóp có các cạnh bên Phân tích: Trong bài toán dạng này thì ta lưu ý đến tính chất hình chóp có các cạnh bên thì chân đường cao chính là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Ví dụ 11: Cho hình chóp SA SB SC SD A a3 S ABCD , đáy ABCD hình chữ nhật có a Giá trị lớn thể tích khối chóp S ABCD B a3 C Lời giải Chọn B là 3a D 6a3 AB a , (18) Vì SA SB SC SD nên SO ABCD với O là tâm hình chữ nhật ABCD Ta gọi độ dài cạnh BC x , x Ta có: BO VS ABCD BD 4a x x2 a2 ; SO ; S ABCD a.x ; VS ABCD S ABCD SO 2 2 4a x ax a x a x a x a.x 6 Do đó, thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị lớn x 4a x đạt giá trị lớn Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, cho số dương: x , 4a x Ta có: x 4a x x 4a x 2a x 4a x Suy ra: VS ABCD a.2 a a3 Vậy, thể tích khối chóp S ABCD đạt giá trị lớn là a3 x a b) Dạng 2: Sử dụng tỉ số thể tích để xác định cực trị Đối với hình chóp có đáy là hình bình hành, ta chú ý đến kết bài toán Kết bài toán này giúp chúng ta xác định tương đối dễ dàng tỉ số thể tích khối chóp cần tính thể tích theo thể tích hình chóp ban đầu từ đó xác định cực trị thể tích cần tìm Ví dụ 12: (Đề thi học kì I, SGD Nam Định, năm học 2019-2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi I là điểm thuộc đoạn SO cho SI SO (19) Mặt phẳng thay đổi qua B và I cắt các cạnh SA, SC , SD M , N , P Gọi m, n là GTLN, GTNN A 15 B 75 VS BMPN Giá trị m n là VS ABCD 14 75 Lời giải C D Chọn C SB SC SO * ( theo kết bài SB SP SI SA SC SD SB SA SC toán 3) Áp dụng kết bài toán 3, ta có: , Đặt SM SN SP SB SM SN SA SB SC SD x; y 1, z, 5 x z yt 6 z 6 x SM SB SN SP V x y z t 12 Ta có SBMPN Do x 1, y x 1;5 , xét VSABCD 4.x y.z.t 4.x.1.z.5 x x Xét tam giác SBD : BP SO I thì f x 3 14 m ; n mn với x 1;5 f x 25 15 75 15 25 x(6 x) Chú ý: Để kết (*), ta có thể làm sau: Áp dụng định lí Menenauyt tam giác SOD có B, I , P thẳng hàng nên PS BD IO PS SP 1 PD BO IS PD SD c) Dạng 3: Chóp có chiều cao không đổi (20) Đối với dạng bài tập này, thường thì việc xác định đường cao khối chóp cần xác định cực trị tương đối đơn giản, nó thường chính là chiều cao khối chóp cho trước Vì ta cần xác định công thức tính diện tích đáy từ đó để xác định cực trị diện tích này thì đồng thời tìm cực trị thể tích khối chóp cần tìm Ví dụ 13: (Quốc học Huế, năm học 2019-2020) Cho khối chóp tứ giác S ABCD có tất các cạnh Gọi M , N thuộc các cạnh BC , CD cho MN luôn Tìm giá trị nhỏ thể tích khối tứ diện SAMN A 12 B 12 C 1 12 D 4 24 Lời giải Chọn D Đặt BM x x 1 suy ta có MC x, CN x x , ND x x Khi đó: S AMN S ABCD ( S ABM S MCN S NDA ) 1 x x x 1 x x x 2 VS AMN SO.S AMN với SO SA2 AO x 1 x x x x x 2 (21) Do đó thể tích khối chóp S AMN nhỏ và diện tích tam giác AMN nhỏ Xét hàm số f x 1 x x x 1 x x x với x 0;1 2 Đặt t x x x vì x 0;1 t 1; t2 1 f t t f t 1 t t 2 f 1 ; f 2 2 1 4 2 1 Do đó: Min f t VS AMN 4 24 1; d) Dạng 4: Các bài toán liên quan đến khoảng cách, góc Trong dạng bài toán này, ta dựa vào điều kiện khoảng cách góc từ đề bài để xác định chiều cao và diện tích đáy khối chóp cần tìm từ đó có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy phương pháp khảo sát hàm số để xác định cực trị thể tích Ta tìm hiểu các ví dụ cụ thể sau: Ví dụ 14: Cho hình chóp S ABCD có khoảng cách từ A đến SCD 2a Tính giá trị nhỏ thể tích khối chóp S ABCD theo a A V 2a3 B V 4a3 C V 3a3 D V 3a3 Phân tích: Trong bài toán này thì diện tích đáy và chiều cao khối chóp chưa xác định nên từ điều kiện khoảng cách từ A đến SCD 2a ta xác định hai đại lượng này theo đại lượng trung gian từ đó tìm công thức tính thể tích và đánh giá thể tích này Lời giải Chọn D (22) Hạ OM CD, OH SM thì d O; SCD OH a Ta có: d A, SCD 2d O, SCD 2OH 2a OH a Đặt AB x, OM 1 1 4a h2 x x , SO h SO OM OH h2 x a h2 a h h3 VS ABCD SO.S ABCD x a f h 3 h a2 Khảo sát hàm f h Ta có: f h h3 a với h a; h a2 2 h (l ) h h 3a ; f h h2 h2 3a a 3 h a h2 a Ta có bảng biến thiên: Vậy giá trị nhỏ thể tích khối chóp S ABCD là Vmin f a a3 3 a 3a3 3a a (23) Ví dụ 15: Xét khối chóp S ABCD có đáy là hình bình hành cho tam giác ABC vuông cân A , SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC Gọi là góc hai mặt phẳng SBC và ABCD , tính cos thể tích khối chóp S ABCD nhỏ A cos 3 B cos C cos D cos 2 Lời giải Phân tích: Trong bài toán này, để tính giá trị cos nên ta xác định diện tích đáy và chiều cao khối chóp theo đại lượng cos từ đó đưa việc sử dụng phương pháp hàm số để xác định cực trị Chọn A Ta có: VS ABCD 2VS ABC đó: VS ABCD đạt giá trị nhỏ VS ABC đạt giá trị nhỏ Đặt AB AC x, x Ta có BC AB AC x Gọi I là trung điểm AB , hạ AH SI H góc nhọn Ta có góc hai mặt phẳng SBC và ABCD là SIA BC AI BC SAI BC AH AH SBC Ta có BC SA Từ đó AH SBC d A, SBC AH (24) Xét tam giác AHI vuông H ta có cos Ta có AH AI HI x2 x2 2x cos x , AI 2 sin sin Xét tam giác SAI vuông A ta có SA HI 2x cos HI AI 1 1 sin cos AH AI SA2 SA2 9 cos 1 18 Do đó: VSABC SA.S ABC 3 cos sin cos 1 cos Đặt cos t , t 0;1 ta có f t f t t t t t t 1 t2 t 1 3t ; f t t t t Vậy thể tích khối chóp S ABC nhỏ cos 3 2.3 Các bài toán cực trị hình hộp Trong dạng bài tập này thì cách thức để giải bài toán tương tự dạng bài toán cực trị hình chóp (25) Từ giả thiết bài toán, ta xác định mối quan hệ đường cao và diện tích đáy hình hộp theo các đại lượng cho trước và thiết lập công thức tính thể tích theo đại lượng biến nào đó Sau đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy sử dụng phương pháp hàm số để xác định đáp số bài toán Để hiểu rõ hơn, chúng ta tìm hiểu các ví dụ sau đây: Ví dụ 16: (Chuyên Lê Thánh Tông, Quảng Nam, năm học 2018-2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD AB C D có AB x , AD Biết góc đường thẳng AC và mặt phẳng ABBA 30 Tìm giá trị lớn Vmax A Vmax 3 B Vmax thể tích khối hộp ABCD AB C D C Vmax D Vmax Phân tích: Trong bài toán này ta thấy AD không đổi, AB x thay đổi nên mục tiêu bài tập này là ta dựa vào kiện góc góc đường thẳng AC và mặt phẳng ABBA 30 , ta xác định độ dài đường cao hình hộp chữ nhật theo x Từ đó tìm công thức xác định thể tích khối hộp theo biến x và cực trị thể tích khối hộp đã cho Lời giải Chọn D Ta có BC BB, BC AB CB ABBA AB là hình chiếu vuông góc AC trên mặt phẳng ABBA góc đường thẳng AC và mặt phẳng ABBA là góc C (vì BA C 30 C nhọn BAC vuông B ) Suy : BA BA (26) Ta có AB BC nên AA AB AB2 x tan 30 tan BA C VABCD ABC D AB AD AA x x x2 x Dấu xảy x x x x x Vậy Vmax (vì x ) Ví dụ 17: (Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Bắc Ninh, năm học 2020-2021) Cho hình chóp S ABC có thể tích Mặt phẳng Q thay đổi song song với mặt đáy cắt các cạnh SA, SB, SC M , N , P Qua các điểm M , N , P kẻ các đường thẳng song song với cắt mặt phẳng ABC M , N , P Tính giá trị lớn thể tích khối lăng trụ MNP.M N P A B C D 27 Phân tích: Trong bài toán này vì thể tích khối chóp S ABC đã cho trước cố định 1, nên ý tưởng chúng ta thực bài tập này chính là xác định tỉ số chiều cao và diện tích đáy khối lăng trụ MNP.M N P với chiều cao và diện tích đáy khối chóp S ABC , từ đó tìm công thức tính thể tích khối lăng trụ này Lời giải Chọn C (27) Gọi H , K là hình chiếu vuông góc S , M xuống mặt phẳng ABC Đặt MN NP MP MK AM SA SM x x x , x 1 AB BC AC SH SA SA VMNPQ.M N Q S MNP MN MP MK S MNP x2 1 x x VMNPQ.M N Q 1 x x S ABC AB AC VS ABC SH S ABC 3 VMNPQ.M N Q 3 2x x x x x.x 2 Dấu “=” xảy x x x 2.4 Các bài toán thực tế Với các bài toán thực tế liên quan đến cực trị thể tích các khối đa diện thường dẫn đến yêu cầu xác định đúng các điều kiện chiều cao, diện tích đáy theo đại lượng biến cần tìm bài toán Sau đó dựa vào đánh giá bất đẳng thức Cauchy sử dụng phương pháp hàm số là giải bài toán Ví dụ 18: (Chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An, năm học 2019-2020) Cho nhôm hình vuông cạnh 12 cm Người ta cắt bốn góc nhôm đó bốn hình vuông nhau, hình vuông có cạnh x cm , gập nhôm lại để cái hộp không nắp (tham khảo hình vẽ bên) Tìm x để hộp nhận có thể tích lớn (giải thiết bề dày tôn không đáng kể) A x B x C x Lời giải Chọn A D x (28) Ta thấy hộp có đáy là hình vuông cạnh 12 2x , đường cao x x Ta có: V Sd h 12 x x x 48 x 144 x f (6) x f (2) 128 Xét V f ( x) x 48x 144 x , f ( x) 12 x 96 x 144 x f (0) 2 Vậy với x hộp có thể tích lớn Ví dụ 19: Từ bìa hình vuông ABCD có cạnh 5dm , người ta cắt bỏ bốn tam giác cân là AMB , BNC , CPD và DQA Với phần còn lại, người ta gấp lên và ghép lại để thành hình chóp tứ giác Hỏi cạnh đáy khối chóp bao nhiêu để thể tích nó là lớn nhất? A dm B dm C 2 dm Lời giải Chọn C D dm (29) x Gọi cạnh đáy mô hình là x (cm) với x Ta có AI AO IO 25 2 x x Chiều cao hình chóp h AI OI 25 1250 25 x 2 2 2 1 Thể tích khối chóp V x 1250 25 x 1250 x 25 x5 3 Điều kiện: 1250 25 x x 25 Xét hàm số y 1250 x 25 x5 với x 25 5000 x3 125 x Ta có y 1250 x 25 x3 Có y 5000 x 125 x x 20 x0 Bảng biến thiên Vậy để mô hình có thể tích lớn thì cạnh đáy mô hình 20 cm 2 dm Bài tập tự luyện: Câu 1: (Thpt Đông Sơn, Thanh Hóa, năm học 2020-2021) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt đáy ABCD và góc SC với mặt phẳng SAB 300 Gọi M là điểm di động trên cạnh CD và H là hình chiếu vuông góc S lên đường thẳng BM Khi M di động trên CD thì thể tích khối chóp S ABH lớn là (30) a3 A V Câu 2: B V a3 12 a3 15 C V D V a3 (Thpt Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương, năm học 2020-2021) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là V Gọi M là điểm thuộc SM Mặt phẳng chứa AM và cắt hai cạnh SB, SD cạnh SC cho SC SP SQ V' x; y ; x; y 1 Khi tỉ số P và Q Gọi V ' là thể tích S APMQ ; SB SD V đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị tổng x y A Câu 3: B C D (Thpt Nguyễn Trung Thiên, Hà Tĩnh, năm học 2020-2021) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M , N thuộc các đoạn thẳng AB , AD ( AB AD M , N không trùng A ) cho 2 Ký hiệu V , V1 là thể tích AM AN V các khối chóp S ABCD và S MBCDN Giá trị lớn tỷ số V B C D A Câu 4: Cho hình chóp S ABC có SA x , BC y , AB AC SB SC Thể tích khối chóp S ABC lớn tổng x y A Câu 5: B C D Cho hình chóp S ABC có AB a , BC a , ABC 60o Hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng ABC là điểm thuộc cạnh BC Góc đường thẳng SA và mặt phẳng ABC 45o Thể tích khối chóp S ABC đạt giá trị nhỏ a3 A 12 Câu 6: a3 B a3 C a3 D 45o Hình Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang, AB//CD, AB 2CD, ABC chiếu vuông góc đỉnh S lên mặt phẳng ABCD là trung điểm cạnh AB và SC BC , SC a Gọi góc hai mặt phẳng SBC và ABCD là Khi thay đổi, tìm cos để thể tích khối chóp S ABCD có giá trị lớn A cos B cos C cos D cos (31) Câu 7: (Thpt Tiên Du 1, Bắc Ninh, năm học 2020-2021) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA x và tất các các cạnh còn lại Khi thể tích khối chóp S ABCD đạt giá trị lớn thì x nhận giá trị nào sau đây? A x Câu 8: 35 B x C x D x Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh Gọi M , N là hai điểm thuộc các cạnh AB , AC cho mặt phẳng DMN vuông góc với mặt phẳng ABC Đặt AM x , AN y Tìm x , y để diện tích toàn phần tứ diện DAMN nhỏ A x y Câu 9: B x y C x y D x ; y (SGD Bình Phước, năm học 2018-2019) Cho x , y là các số thực dương Xét khối chóp S ABC có SA x , BC y , các cạnh còn lại bẳng Khi x , y thay đổi, thể tích khối chóp S ABC có giá trị lớn bằng? A Câu 10: 12 B C D 27 (Chuyên Hạ Long, Quảng Ninh, năm học 2018-2019) Cho tứ diện ABCD có AB x , CD y , tất các cạnh còn lại Khi thể tích tứ diện ABCD là lớn tính xy A Câu 11: B C 16 D (Chuyên Bắc Giang, năm học 2018-2019) Cho hai đường thẳng Ax , By chéo và vuông góc với nhau, có AB là đoạn vuông góc chung hai đường thẳng đó và AB a Hai điểm M và N di động trên Ax và By cho MN b Xác định độ dài đoạn thẳng AM theo a và b cho thể tích tứ diện ABMN đạt giá trị lớn b2 a A AM Câu 12: b2 a B AM b2 a2 C AM b2 a2 D AM (Chuyên Thái Nguyên, năm học 2018-2019) Cho hình chóp S ABC , đó SA ( ABC ) , SC a và đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C Gọi là góc hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) Khi thể tích khối chóp S ABC đạt giá trị lớn thì sin 2 A B C D 2 (32) Câu 13: Cho nhôm hình chữ nhật ABCD có BC 90cm Ta gập nhôm theo hai cạnh MN , PQ vào phía đến AB và CD trùng hình vẽ sau đây để lăng trụ đứng khuyết hai đáy Giá trị x để thể tích khối lăng trụ lớn là? A x 20cm B x 22, 5cm C x 25cm Câu 14: D x 30cm (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội, năm học 2019-2020) Trong mặt phẳng P cho tam giác OAB có cạnh bẳng Trên đường thẳng vuông góc với P O lấy điểm C cho OC x Gọi E , F là hình chiếu vuông góc A trên BC và OB Đường thẳng EF và đường thẳng cắt D Thể tích khối tứ diện ABCD đạt a a với là phân số tối giản Tính T a 3b b b B T 11 C 17 D T giá trị nhỏ x A T 14 Câu 15: (Thpt Quỳnh Lưu, Nghệ An, năm học 2019-2020) Cho khối lập phương ABCD ABC D cạnh a Các điểm M , N di động trên các tia AC , BD cho AM BN a Thể tích khối tứ diện AMNB có giá trị lớn là: A Câu 16: a3 12 B a3 C a3 D a3 12 (Thpt Hoàng Hoa Thám, Hưng Yên, năm học 2019-2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V Gọi P là điểm trên cạnh SC cho SC SP Một mặt phẳng qua AP cắt SB và SD M và N Gọi V1 là thể tích hình chóp S AMNP Tìm giá trị lớn A 15 B 25 C 25 V1 V D 15 Câu 17: (SGD Bình Phước, năm học 2019-2020) Cho các tia Ox, Oy , Oz cố định đôi vuông góc Trên các tia đó lấy các điểm A, B, C thay đổi luôn thỏa mãn OA OB OC AB BC CA đó A, B, C không trùng với O Giá trị lớn (33) thể tích tứ diện OABC m 1 n đó m , n Giá trị biểu thức P m n A 192 B 150 C 164 D 111 Câu 18: (Chuyên Hà Tĩnh, năm học 2019-2020) Trong các khối chóp tứ giác S ABCD mà khoảng cách từ A đến mp SBC 2a , khối chóp có thể tích nhỏ A 3a C 3a3 B 2a D 3a3 Câu 19: Khi xây nhà, anh Tiến cần xây bể đựng nước mưa có thể tích V m dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp ba lần chiều rộng, đáy và nắp đổ bê tông, cốt thép; xung quanh xây gạch và xi măng Biết chi phí trung bình là 1.000.000 đ/m2 diện tích nắp bể Tính chi phí thấp mà anh Tiến phải trả (làm tròn đến hàng trăm nghìn)? và nắp để hở khoảng hình vuông có diện tích A 22000000 đ B 20970000 đ C 20965000 đ D 21000000 đ Câu 20: (Chuyên Bắc Giang, năm học 2018-2019) Một công ty muốn thiết kế loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cho thể tích khối hộp tạo thành là dm3 và diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ Độ dài cạnh đáy hộp muốn thiết kế là B dm A dm C dm D 2 dm BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 11.B 2.A 12.D 3.D 13.D 4.C 14.B 5.B 15.A 6.B 16.C 7.D 17.C 8.A 18.A 9.D 19.D 10.C 20.A (34)