Đang tải... (xem toàn văn)
Tính giới hạn vô định dạng , trong đó tử thức và mẫu thức có chứa căn thức.. Phương pháp giải:.[r]
(1)CHƯƠNG 4 GIỚI HẠN
Mục lục
BÀI GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP
C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 22
BÀI GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 25
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 25
B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP 26
C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 70
BÀI HÀM SỐ LIÊN TỤC 113
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 113
B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP 114
C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 138
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG IV 139
A BÀI TẬP 139
(2)BÀI GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa 1 (Giới hạn 0) Ta nói dãy số ( )un có giới hạn với số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương Khi ta viết lim n
n→+u = hay limun=0 hay un→0 n→ +
Định nghĩa (Giới hạn a) Ta nói dãy số ( )un có giới hạn số thực a lim(un−a)=0 Khi ta viết lim n
n→+u =a hay limun=a hay un→a n→ + Dãy số có giới hạn số a hữu hạn gọi dãy số có giới hạn hữu hạn
Định nghĩa 3 (Giới hạn vô cực)
1 Ta nói dãy số ( )un có giới hạn + n→ + un lớn số dương bất kỳ, kể từ số hạng trở
Ký hiệu: limun = + hay un→ + n→ +
2 Dãy số ( )un có giới hạn − n→ + lim( )−un = + Ký hiệu: limun = − hay un→ − n→ +
GIỚI HẠN HỮU HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC
Các giới hạn đặc biệt
• ( *)
lim k 0, k
n =
• limqn =0, (q 1) • limC=C, (C )
Các giới hạn đặc biệt
• ( *)
limnk = +, k • limqn=0, (q1)
Định lí 1. Nếu limun=a limvn =b • lim(unvn)= a b
• lim(u vn n)= a b • lim n ( 0)
n
u a
b
v =b
• Nếu un 0, n limun=a a0 lim un = a
Định lí 2.
• Nếu limun=a limvn= lim n
n
u
v =
• Nếu limun = a limvn =0 0,
n
v n lim n n
u
v = +
• Nếu limun = + limvn = a
( )
lim unvn = +
Định lí 3 (Nguyên lý kẹp) Cho ba dãy số ( ) ( ) ( )un , vn , wn Lúc đó, unvnwn,n
( )
limun=limwn =a a, limvn =a
Định nghĩa 4. Cấp số nhân ( )un có cơng bội q gọi kà cấp số nhân lùi vô hạn q 1 Nhận xét. Cho cấp số nhân lùi vô hạn ( )un có cơng bội q Với
*
n , đặt S= +u1 u2+ + un Lúc
đó: lim ( )4.1
1 n
u S
q
= −
(3)1 n
S= +u u + +u
Như vậy:
( )
1
S lim ,
1 n
u
S q
q
= =
− B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP
Dạng Tính giới hạn ( )
( )
limP n
L
Q n
= với P n Q n( ) ( ), đa thức Phương pháp giải:
Rút lũy thừa bậc cao tử mẫu, sử dụng cơng thức: • lim 0, ( *, )
k
c
k c
n =
• lim lim( )
lim
n
n n n
u
u v
v a
= +
= +
=
• lim lim( )
lim
n
n n n
u
u v
v a
= +
= −
=
• limnk = + (k *)
• lim lim( )
lim
n
n n n
u
u v
v a
= −
= −
=
• lim lim( )
lim
n
n n n
u
u v
v a
= −
= +
=
VÍ DỤ
Ví dụ 1.Tính giới hạn
2
4
lim
3
n n
L
n ĐS: L=2
Lời giải
Ta có
2
2 2
2
2
1 1 1
4 4
4 0
lim lim
3
3 2
2
n
n n n n
L
n
n n
− −
− −
− −
= = = =
+
+ +
Nhận xét: Nếu bậc tử P n( ) bậc mẫu Q n( ) ( )
( )
limP n
Q n =(Hệ số bậc cao tử)
(Hệ số bậc cao mẫu)
Ví dụ 2.Tính giới hạn
5
2
4
2
lim
20
n n n L
n n n
ĐS: 128
L=
Lời giải
Ta có
5
2
4
2
1
2
lim
3
20
n n
n n
L
n n
n n
− −
=
− +
(4)( ) ( )
( )
5
10
5
4 4
6
2
1 2
2 4
2 128
lim lim lim
5 20 0
3
20 20
n n
n n n n
n n
n n n n
− − − −
− −
= = = =
− +
− + − +
Nhận xét:Với tốn có lũy thừa bậc cao, ta thường rút bậc cao dấu ngoặc, sau đó áp dụng cơng thức ( )a b n =a bn n tính tốn trước
Ví dụ 3.Tính giới hạn
2
3 lim
2 n n L
n n − + =
+ ĐS: L=0
Lời giải
Ta có
2
2 2
3
2
1 1 3
1 1
1 0
lim lim 0
2
2 1
1 n
n n n n
L
n n
n n
− +
− +
− +
= = = =
+
+ +
Nhận xét: Nếu bậc tử P n( ) nhỏ bậc mẫu Q n( ) lim (n) (n) P L
Q
= =
Ví dụ Tính giới hạn
3
2 11
lim
2 n n L
n
− +
=
− ĐS: L= +
Lời giải
3
3 3
2
2
11 11 1
2 2
lim lim
2
1
n
n n n n
L n
n
n n
− +
− +
= = = +
− −
(vì limn= +
3
2
11
2
lim
2
n n n − +
=
−
)
Nhận xét: - Nếu bậc tử P n( ) lớn bậc mẫu Q n( ) thì lim (n) (n) P L
Q
= =
- Để biết + hay − ta dựa vào dấu giới hạn tích theo quy tắc “cùng dấu tích dương, trái dấu tích âm” Thơng thường, để dấu = xét dấu sẽ điền vào sau
- Về trắc nghiệm, tích hệ số bậc cao tử mẫu
Ví dụ Tính giới hạn lim1 72 (2 1)
3
n L
n
+ + + + +
=
+ ĐS: L=
Lời giải
Xét cấp số cộng 1,3,5, 7,9, , 2n+1 có số hạng u1 =1 cơng sai d =2 số hạng cuối um=2n+1ta có:
1 ( 1) 1 2( 1) 1
(5)Vậy cấp số cộng có n+1 số hạng Suy tổng
2
1
1 ( ) (1 1)
2 m
m n
S = + + + + + n+ = u +u = + + n+ =n + n+
Vì
2
2 2
2
2
2
2 2 1
1 1
2 1 0
lim lim lim
4
3 3
3
n
n n n n n n
L
n
n
n n
Nhận xét: Cần nhớ công thức cấp số cộng:
1
k k
u + −u =d, với d công sai
( )
1
n
u = +u n− d, với d công sai
1 ,
k k k
u u u k
1
2
n n n
n
S u u u u u
Ví dụ Tính giới hạn
( )
1 1 1
lim
1.2 2.3 3.4 4.5
L
n n
= + + + + +
+
ĐS: L=1
Lời giải
Số hạng tổng quát 1 ;( 1, 2, , )
(k 1) k n
k + = −k k+ =
1 1 1 1
lim
2 3 4
L
n n
= − + − + − + − + −
+
1 1
lim lim lim
1
1 1
1 n
n n
n
= − = = = =
+ + +
+
Nhận xét: Phân tích
( 1)
a b
k k+ = +k k+ với 0 1
1
1;
1k k
a b
k = k =−
= = = = −
+
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài Tính giới hạn sau: a)
2
3
lim
2
n n
L
n ; b)
3 3
3 lim
2
n n
L
n n ;
c)
3
6
lim
5
n n L
n n n n ; d)
2
17
2
lim
1
n n
L
n ;
e)
2 3
2
lim
4 2
n n
L
n n ; f)
3
2
4
3
lim
2 2
n n n
L
(6)g)
3
2
2
lim
1
n n
L
n n
Bài Tính giới hạn sau: a)
3
7
lim n n L
n n n
+ +
=
+ + ; b)
7
lim
2
n L
n n + =
+ + ;
c)
2
4
lim
3
n n L
n n + − =
+ + ; d)
3
2
lim
4 n n L
n n n
− + +
=
+ + ;
e)
2
2
lim
3
n n L
n − + + =
+ Bài Tính giới hạn sau:
a)
3
5
lim
3
n n L
n n − + =
+ − ; b)
4 2
5
lim
3
n n n L
n n
− + +
=
− − ;
c)
4
3
lim
2
n n L
n n
+ −
=
+ + ; d)
5 4
3 2
lim
6
n n n L
n n n
− + +
=
− + + − ; Bài Tính giới hạn sau:
a) lim1 2
3
n L
n + + + + =
+ ; b)
( )
2
1
lim
3
n L
n n
+ + + + + − =
+ + ;
c) lim1 2
2
n L
n n + + + + =
− + ; d)
( )
2
5 13
lim
3
n L
n n + + + + − =
+ − ;
e) lim1 (2 1)
2
n n
L
n
− + − + + − − =
+ ; f) ( )
1 1
lim
1.3 2.4 3.5
[ ]
L
n n
= + + + +
+ ;
g)
( )( )
1 1
lim
1.3 3.5 5.7 2
[ ]
L
n n
= + + + +
− + ;
h)
( )( )
1 1
lim
1.3 3.5 5.7 2
[ ]
L
n n
= + + + +
− +
LỜI GIẢI
Bài a)
2
2 2
2
2
2
1 1 5
3 3
3 0
lim lim lim
1
2 2 2
2 n
n n n n n n
L
n
n
n n
(7)b)
3
3
2
3
3
1
1
lim lim
2
2
3 n
n n n n
L
n n
n
n n
2
3
1
1
1 lim
2 3
3 n n
n n
c)
3
3 3 2 3
3
3
2
2 2 1
6 6
6
lim lim lim lim
1
1
4
5 4
4 n
n n n n n n n n
L
n n n n n n n
n
n n n n
d)
2 9
8
2
4 4 4
17
17
17 17
1 2
2
2
lim lim lim
1
1
1
n n
n n n n n n
L
n
n
n n
2
(2 0) (1 0)
lim
1
+ +
= =
+
e) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 3 3
3 3
3
1 3
2 4
2
lim lim lim
4 2 2
4
n n
n n n n n n
L
n n
n n
n n n n
− − − −
− −
= = =
+ − + − + −
2
3
2 0
lim
4
4
f) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
3
2
4 3 2
3
lim
2 2
n n n
L
n n n
− + +
=
− + −
3
2
2
4
3
1
3
lim
4
2 2
n n n
n n n
L
n n n
n n n
− + +
=
− + −
3
2
3
1
3
lim
4
2 2
n n n
n n n
− + +
=
− + −
3
3 243
lim
16
2 2
g) ( )( )
( )( )
3
2
3
2 2 2
2 2
2
4
2
2
1 1
2
lim lim lim
1 3
1
1 2
n n
n n n n n n
L
n n
n n
n n n n
+ − + −
+ −
= = =
+ + + + + +
3
1 1
lim
4
(8)Bài a)
3
3
4
4
3
2
7
7
lim lim
5
5
1 n
n n n n
L
n n n
n
n n + +
+ +
= =
+ + + +
3
3
2
7
lim
5
1
n n n
n n
+ +
= =
+ +
(Vì lim1 0; n
3
3
2
7
lim
5
1
n n n n
)
b) lim 27 33
2
n L
n n
3
3 3
7 7
1
lim lim
2
2
3
n
n n
n n
n n
n n
(Vì lim 12 n và
3
3
7 lim
2
3 n
n n
).
c)
2
2
3
3
3
4
1
4
lim lim
1
3
3 n
n n n n
L
n n
n
n n + −
+ −
= =
+ + + +
2
3
4
1
lim
1
3
n n
n
n n
+ −
= =
+ +
(Vì lim1 n= và
2
3
4
1
1 lim
1
3
n n n n + −
=
+ + ).
d)
3
2
lim
4 n n L
n n n
− + +
=
+ +
3
3
4
3
3
2 lim
4
1 n
n n n
n n − + +
=
+ +
3
3
3
2
lim
4
1
n n n
n n
(Vì lim1 n và
3
3
3
2
2
4
1
n n lim
n n
)
e)
2
2
lim
3
n n L
n − + + =
+
2
2 2
2
4
1 1 2
2 2
1
lim lim
5
3
n
n n n n
n n
n n
− + +
− + +
= = =
+ +
(Vì lim 12 n
2
4
1
2
2 lim
5
3
n n n
(9)Bài 3. a)
3
3 2 3
2
2
2
5 5 3
1 1
5
lim lim lim
1
1
3
3
n
n n n n n n
L n
n n
n
n n n n
− +
− +
− +
= = = = +
+ − + − + −
(Vì limn= +và
2
2
5
1
1 lim
1 3
3
n n n n − +
=
+ − ).
b)
4
4 2 2 4
2
3
3
1 1 5 3
5 5
5
lim lim lim
1
1
3 3
3 n
n n n n n n n n n
L n
n n
n
n n
n n
− + +
− + +
− + +
= = = = −
− − − − − −
(Vì limn= +và
2
3
1
5
5 lim
1 3
n n n
n n
− + +
= −
− − ).
c)
4
4 2 2 4
3
3
2 3
2 2 1
3 3
3
lim lim lim
2
2
2 1
1 n
n n n n n n
L n
n n
n
n n n n
+ −
+ −
+ −
= = = = +
+ + + + + +
(Vì limn= +và
2
2
2
3
lim
2
1
n n n n + −
=
+ + ).
d)
5
5 4 4 5
4
4
2 4
2 2 2 7
3 3
3 2
lim lim lim
2 1
2 1
6 6
6 n
n n n n n n n n n
L n
n n n
n
n n n n n n
− + +
− + +
− + +
= = = = −
− + + − − + + − − + + −
(Vì limn= +và
4
2
2
3
1 lim
2 1
6
n n n n n n + + +
= −
− + + − ).
Bài a) Theo tính chất cấp số cộng, ta có ( )
2
1
2
n n n n
n + +
+ + + + = =
Do
2 2
2
2
2
1
lim lim lim
2
3 6
n n n
L
n n
n +
+ + + + +
= = = =
+ + +
b) Theo tính chất cấp số cộng, ta có ( ) (1 (2 1))
1
2
n n
n + − n
(10)Do ( )
2
2
2
1 1
lim lim lim
3
3 1
n n
L
n n n n
n n + + + + + −
= = = =
+ + + + + +
c) Theo tính chất cấp số cộng, ta có ( )
2
1
2
n n n n
n + +
+ + + + = =
Do
2
2
2
1
1
lim lim lim
2 18
2 18 4
n n n n
L
n n n n
n n +
+ + + + +
= = = =
− + − + − +
d) Xét cấp số cộng với u1=5;d =4
( ) ( ) ( )( )
1
5
5 4 13
2 n
n n
u − n n n + − − n n
= + − = − + + + + − = = − −
Do ( )
2 2
2
2
1
2
5 13 2
lim lim lim
5
3 5
3
n n n n n
L
n n n n
n n − −
+ + + + − − −
= = = =
+ − + − + −
e) Ta có
( ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( )
1 − + − + + 2n− −1 2n= −1 + −3 + + 2n− −1 2n = − + − + + − = −1 n
Do lim1 (2 1) lim lim 1
1
2 2
2
n n n
L
n n
n
− + − + + − − − −
= = = = −
+ + +
f) Ta có 1 ( ) 1 1 1
1.3 2.4 3.5 n n 2 n n
+ + + + = − + − + + −
+ +
1 1 1
1
2 n n 2n 2n
= + − − = − −
+ + + +
Do
( )
1 1 1
lim
1.3 2.4 3.5 2 4
[ ]=lim
L
n n n n
= + + + + − − =
+ + +
g) Ta có
( )( )
1 1 1 1 1 1 1
1.3 3.5 5.7 2n 2n 3 2n 2n 2n
+ + + + = − + − + + − = −
− + − + +
Do
( )( )
1 1 1 1
lim lim
1.3 3.5 5.7 2 2
[ ]= [ ]
L
n n n
= + + + + − =
− + +
h) Ta có
( )( )
1 1
1.4+4.7+7.10+ + 3n−2 3n+1
1 1 1 1
1
3 4 7 10 3n 3n
= − + − + − + + +
− +
1
1
3 3n
= −
+
(11)Dạng Tính giới hạn dạng L limP n( )( ) Q n
= với P n Q n( ) ( ), hàm mũ n a Phương pháp giải:
Áp dụng limqn =0 với q 1
Sử dụng công thức mũ, chia mẫu cho n
a với a là số lớn nhất. Công thức mũ cần nhớ
m n m n
a + =a a
m m n
n a a
a
− =
. VÍ DỤ
Ví dụ Tính giới hạn
2
1 4.5
lim
2
n n
n n n
L
+
+ + +
− + =
+ + ĐS: L=20 Lời giải
Chia tử mẫu cho 5n, ta có
1
1 100
100
0 100
5
5
lim lim 20
2 3 0
2 2. 9. 5
5 5 5
n n
n
n n
n n n n
n n
L
− +
− + − +
= = = =
+ +
+ + + +
Nhận xét:Ta chia cho an với a số lớn sau chia ln tạo số có trị tuyệt
đối nhỏ 1 để áp dụng cơng thức limqn =0 với q 1.
Ví dụ Tính giới hạn
2
1 2
lim
5.2
n n
L= + + + + +
+ ĐS: L=
Lời giải
Xét cấp số nhân
1, 2, , , , 2n
có số hạng u1 =1, cơng bội q=2 có số hạng tổng quát
1
2n m 2n 1
m
u = u q − = − = = +m n m n Suy tổng số hạng cấp số nhân là:
1
1
1
2
1
m n
n m
q S u
q
+
+
− −
= = = −
− −
Suy
1
1
2 2
lim lim
5.2 1 5
5
n
n
n n
L
+ − − −
= = = =
+ +
(12)1
1 k k u
q u
+ = (q công bội).
1
1
2
1 n
n n
q
S u u u u
q − = + + + =
−
1
3 n
n
u =u q −
1
4.uk+.uk− =uk với k2
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài Tính giới hạn sau: a)
1
4.3
lim
3.2
n n
n n
L
+
+ =
+ ĐS: L=5 b)
2 1
4
lim
5 2.6
n n
n n
L
+ +
− +
+ =
+ ĐS:
1 72 L=
c)
2 2
2 3.5
lim
2
n n n
n n n
L
− +
− + +
− +
=
+ + ĐS: L=15 d)
2
2
lim
2
n n n
n n n
L
+
+ + +
− + =
+ + ĐS: L=5
e) ( )
1
3 4.5
lim
2.4 3.5
n n
n n
L
+
− − =
+ ĐS:
20
L= − f) ( )
( )
2
lim
2.3
n n
n n
L= + −
+ − ĐS: L=
g) ( )
5
1
lim
3
n n
n L
+ +
−
= ĐS: L=0
Bài Tính giới hạn sau: a)
2 3
1 2
lim
1 3
n n L= + + + + +
+ + + + + ĐS: L=0
b)
1 1
1
2
lim
1 1
1
3
n
n L
+ + + + =
+ + + +
ĐS: L=
LỜI GIẢI
Bài 1. a)
1
4.3
lim
3.2
n n
n n
L
+
+ =
+
3
4
0 5
lim
0
3
5 n
n +
+
= = =
+ +
b)
2 1
2
16
4 6
lim lim
5 2.6 1 5 432 72
432
5
n
n n
n
n n
L
+ +
− +
+
+ +
= = = =
+ + +
c)
2 2
2
75
2 3.5 0 75
lim lim 15
2 0
2 5
n n
n n n
n n
n n n
L
− +
− + +
− +
− + − +
= = = =
+ + + +
+ +
(13)d)
2
2
25
2 5 0 25
lim lim
2 2 3 0
2
5
n n
n n n
n n
n n n
L
+
+ + +
− +
− + − +
= = = =
+ + + +
+ +
e) ( )
1
3
20
3 4.5 20 20
lim lim
2.4 3.5 3
2
5 n
n n
n
n n
L
+ − −
− − −
= = = = −
+ + +
f)
2
2 5 1
lim lim
0 3
2.3
2
5 n n
n
n n
n
L
g) ( )
5
1 32
.2
1 243 243
lim lim
3 9
n n
n n
n L
+ +
−
−
= = = =
Bài a) Áp dụng cơng thức tính tổng cấp số nhân, ta có
1
2 1
1 2 2
2 n
n n
+
+
−
+ + + + + = = −
−
1
2 3
1 3
3
n n
n
+ − + −
+ + + + + = =
−
Do
1
2
2
2 2.2 3 0
lim 2.lim 2.lim
3 3.3 1
3
2 3
n n
n n
n n n
L
+ +
−
− − −
= = = = =
− − −
−
b) Áp dụng cơng thức tính tổng cấp số nhân, ta có
( )
1
1
1
1 1 1
1
1
2 1 2
2 n
n
n
+
−
+ + + + = = − −
−
1
1
1 1 3 1
1
1
3 1 3
3 n
n
n
+
−
+ + + + = = − − −
Do
( ) 1 1
2 .0 1
2 4 2 4
lim
1
3
3 1 .0 1
3
2 3
n
n L
− − −
= = =
− − −
(14)Dạng Tính giới hạn dãy số chứa thức
Phương pháp giải: Rút lũy thừa bậc cao liên hợp sử dụng lim k n =
Lưu ý: Dấu hiệu nhận dạng liên hợp (dạng +.0) sau rút n có mũ cao nhóm thừa số, xuất số 0 Chẳng hạn:
- Tính giới hạn dãy
3
n
u = n + n+ −n: biểu thức có
n là lũy thừa cao
ta quan tâm đến nó, hạng tử sau bỏ hết, có nghĩa ta xem
0
n
u = n − = − =n n n nên cần liên hợp
- Tính giới hạn dãy
2
n
u = n + n+ −n: biểu thức có
2n là lũy thừa cao
nên nháp ( )
2n − =n n 2− =n n 1− , có 0− nên ta không cần liên hợp mà rút giải trực tiếp
VÍ DỤ
Ví dụ Tính giới hạn ( )
lim
L= n + n+ −n ĐS: L= + Lời giải
Ta có:
2
2
2
lim n n
L n n
n
+ +
= −
3
lim n n
n n
= + + −
3
limn
n n
= + + −
Vì limn= +và lim 52
n n
+ + − = −
nên L
Ví dụ Tính giới hạn ( )
lim 20
L= n + n− − n+ ĐS: 41 L= Lời giải
Ta có:
lim 20 lim
L n n n
2
3
20 lim
9
n
n n n
2
4
20 lim
3
9
n n
n n
n n
4
20 lim
3
9
n n n
3
20
9 0
41
Cần nhớ : Liên hợp hình thức trục dựa vào HĐT ( )( )
( )( )
2
2 3
a b a b a b a b a ab b a b
− + = −
+ =
➢ a b a b
a b − − =
+
3
3 3
a b
a b
a ab b
+
+ =
− +
➢
2
a b
a b
a b
− − =
+
3
3
a b a b
a ab b − − =
(15)➢ 3
3 3
a b
a b
a ab b
−
− =
+ +
3
3
a b a b
a ab b + + =
− +
Ví dụ Tính giới hạn L=lim(3 n+ −2 3n) ĐS: L=0
Lời giải
Ta có: 2 2
3
3
2 lim
2
n n
L
n n n n
2
2 3
3
2 lim
2
1
n n n n
n n
3 2
3 3 3 3 3
2
2
lim lim
3
2
2
1 1
1 1
n n
n n
n n
Cần nhớ: 3
3 3
a b
a b
a ab b
−
− =
+ +
Ví dụ Tính giới hạn (3 )
8
im
l n 3n 2n
L= + − + − ĐS: 21
4
L= Lời giải
Ta có: 3
8
l mi n n 2n
L lim5 lim 38n3 3n2 2n
3
5 lim 8n 3n 2n
3
2
3 2
3
8
5 lim
8 2
n n n
n n n n n n
2
3
3
3
3
5 lim
3
8
n
n n n n
n n n n
2
3
2
2
5 lim
3
8
n
n n n n
3 21
5
4 4
Cần nhớ:
3
2
3
a b a b
a a b b − − =
+ + Trong lời giải trên, sử dụng hai tính chất: ➢ lim(un+vn)=limun +limvn
➢ limC=C với C số C Ví dụ Tính giới hạn ( 3 2)
im
l n n n n
(16)Lời giải Ta có:
( 3 2)
im
l n n n n
L= + + − +
( ) ( 3 2)
lim n n n n n n
= + + − + − +
( ) ( 3 2)
lim n n n lim n n n
= + + − + − +
( )
( )
3
2
2 2 3 3 2 3 3 2
1
lim lim
1
n n n n n n
n n n n n n n n n
− + + + −
= +
+ + + + + + +
( )
2
2 2 3 3 2 3 3 2
1
lim lim
1
n n
n n n n n n n n n
+ −
= +
+ + + + + + +
2
2 3
1
1 lim
1
1
1
1 1
n n n
n n
+ −
= +
+ + + + + + +
1 1
2
= − =
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài Tính giới hạn sau: a)
2
9
lim
4
n n L
n ĐS:
3 b)
2
4
lim
9
n n n
L
n n
ĐS:
3 c)
4
2
lim
2
n n
L
n n ĐS:
2
d) lim
4
n n
L
n ĐS:
2
2
e)
2 3 2 4
4
lim
16
n n n
L
n n n
ĐS:
3 L
f)
6 3
7
lim
2
n n n
L
n ĐS: L
g) ( )
2
1
2
lim n
L
n n n
+ + ++ +
=
+ + + ĐS: L=0
(17)a)
lim
L n n n ĐS:
b) 2
lim
L n n n ĐS:
c) 2
lim 4
L n n n ĐS:
4
d)
lim 10
L n n n ĐS: 21
2
e)
lim 25
L n n n ĐS: 53
2
f)
lim 2019
L n n n ĐS: L 2019
g)
lim
L n n ĐS: L
h) 2
lim
L n n n ĐS:
2 L
Bài Tính giới hạn sau:
a) L lim n 4 3n 1 ĐS: L 0
b) 3
lim
L n n n ĐS: 25
4 L
c) 3
lim
L n n n ĐS: L
d) 3
lim
L n n n ĐS: L
e) 3
lim
L n n n ĐS:
3 L
f)
lim
L n n n ĐS:
2 L
g) 3
lim
L n n n n ĐS:
6 L
Bài Tính giới hạn sau:
f)
lim
L n n n ĐS:
2 L
g) 3
lim
L n n n n ĐS:
(18) LỜI GIẢI
Bài a)
2
2
2 2
1 1 1
9 9
9
lim lim lim
2
4
4
n n
n n
n n n n
L
n
n n
n n
− +
− +
− +
= = =
− − −
2
1
9 lim
2
n n n
9 0
4
3
b)
2
4
lim
9
n n n
L
n n − + − =
+
2
1
4
lim
3
n n
n
− + −
=
+
4 0 − + − =
+
1 =
c)
4
2
lim
2
n n L
n n + − =
− +
2
3
2
3
2 lim
1
2
n
n n
n
n n
+ −
=
− +
3
2
3
2 lim
1
2
n n n n + − =
− +
2 0
2 0
+ −
= =
− +
d)
1 1 3
2 2 1
2
lim lim lim
2
4 5
4
n
n n
n n n n
L
n
n
n n
+ − +
+ − +
+ − + −
= = = =
− − −
e)
2
3
2
3
2
2 4
2
4
4
1
4
4
lim lim
4
16
16
n n
n n n
n n n
L
n n n
n n
n n
− + + −
− + + −
= =
+ − + + − +
3
2 3
4
4
1 3
4 8
lim lim
4
16 16
n n
n n n n n n
n n
n n n n
− + + − − + + −
= =
+ − + + − +
2
4
+
= =
−
f)
3 6
3
7
1
7
lim lim
2
n
n n n
n n n
L
n = n
− − +
− − +
=
+
+
2 3
3
7
lim
2 n
n n n n
n − − + =
+
3
3
7
1
2
n n n n
n − − + =
+
lim =+ (Vì limn= +
3
3
7
1
1
1
n n n n − − +
= +
(19)g) ( ) ( )( )
( )
2 4
1 1
2 2 2
n n n
L
n n n n n n
+ + ++ + + +
= =
+ + + + + +
lim lim
2
2
3
2 2
lim n n
n n n
+ + =
+ + +
4
2
2
3
4
3
2
2 2
n
n n n
n n
n n + +
=
+
+ +
lim
4
2 3
2
3
2
4
3 5
0
lim lim
2
2 2 2
n
n n n n n n
n n
n n n n
Bài a) L lim( 4n2 n 9n) lim n2 12 9n lim n 12 9n
n n n n
= + + − = + + − = + + −
2
1
lim n
n n
+ + −
(Vì limn= + và
1
lim
n n
+ + − = −
)
b) L lim( 9n2 2n 4n2 1) limn 12 12
n n n
= + − − + = + − − + = +
(Vì limn= + và lim 12 12
n n n
+ − − + =
)
c) L=lim( 4n2+ −n 4n2+2) ( ) ( )
2
2
4
lim
4
n n n n n n
+ − +
=
+ + + 2
2 lim
4
n n n n
− =
+ + +
2
2 lim
1
4
n
n n
− =
+ + +
1
4
4
−
= =
+ + +
d)
lim 10
L n n n lim10 lim n2 n n
2
1
10 lim
1 n
n n n
2
1
10 lim
1
1
n n n
1
10 10
2
1 0
21
e)
lim 25
(20)2 2
3
25 lim
3
n n n
n n n
25 lim
5
3
3
n n n
n
2
3
25 lim
3
5
1
n n n
3 53
25
2
1 0
f)
lim 2019
L n n n lim2019 lim n2 n4 3n
4 4
3
2019 lim
3
n n n
n n n
3
2019 lim
3
n
n n n
2
3
3
2019 lim
3
1
n n n n
0 2019
1 0 2019 2019
g)
lim
L n n
lim 3n 9n lim5
2 2
9
lim lim5
3
n n
n n
1
lim lim5
3n 9n
0 5
h) 2
lim
L n n n
2
2
1
lim
1
n n n
n n 2
lim
1
n
n n
2
1
lim
2
1
1
n n
Bài a) L=lim(3 n+ −4 3 n+1 )
( )2 ( ) ( ) ( )2
3 3
3
4
lim
n n n n
=
+ + + + + +
2
2 2
3 3
3
4 1
lim
n n n
n n n n
=
+ + + + − +
2
3 3 3
3
3
0
4 1
1 1
lim n
n n n n
= =
+ + + + + +
b) 3
lim
L n n n 3
lim 8n 3n 2n
3
6 lim 8n 3n 2n
2
3 3 2
3
3
6 lim
8 4
n
n n n n n n
2
3
3
4
6 lim
3 4
8
n
n n n n
1 25
6
(21)c) L=lim(3 2n n− + −n 1) =lim(3 2n n− + −n 1) = − +1 lim(3 2n n− +n)
( 3)2 3 3 2
3
2 lim
2
n
n n n n n n
=− +
− − − +
3
2
2
2
1
n
n n
= − +
− − − +
lim = − + =−1
d) 3
lim
L n n n lim n n3 n 2 lim n n3 n
2 3
3
3
2 lim
n
n n n n n n 3 3
2
1 lim
1
1
n
n n
2
e) 3
lim
L n n n lim 3n3 2n2 n 1 lim 3n3 2n2 n
2 3
3 2
3
2 lim
2 2
n
n n n n n n 3 3
2 lim
2
1 1
n n
2
1
3
Bài a)
lim
L n n n lim n4 n2 n2 n6 n2
4 2
lim n n n lim n n
4 6
4 2 6 2 6 4
3
1
lim lim
1
n n n n n
n n n n n n n
2
4 2 6 2 6 4
3
1
lim lim
1
n
n n n n n n n
2
1
lim
2
1
n
b) 3
lim
L n n n n lim n2 n n n n3 n2
3
2
2
2 2 3 2 3 2
3
1 lim
1
n n n
n n n
n n n n n n n n n
2
2
2 2 3 2 3 2
3
1 lim
1
n n
n n n n n n n n n
2
3
2
1
1 lim
1 1 1
1 1 1 1
n
n n n n
1 1
(22)C BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Tính giới hạn sau:
1)
2
2
lim
5
n n n
− +
+ ĐS:
5 2)
2
5
lim
2
n n n n
− +
+ − ĐS: 3)
3
3 lim
2
n n n n
− +
+ − ĐS:
3 4)
3 2
8
lim
1
n n n n
− +
− + ĐS: 4 5)
( )
3
6
lim
2
n n n n n n
− +
− + − ĐS: 6 6)
( )( )
( )( )
2
2
2
lim
3
n n n
n n
+ − +
+ − ĐS: −
7) ( ) ( )
( ) ( )
2 3
2
lim
4 2
n n
n n
− −
+ − ĐS:
1
− 8) ( ) ( )
2
17
2
lim
1
n n
n
+ +
+ ĐS: 4
9) ( )( )
( )( )
2
3
2
lim
1
n n
n n
+ −
+ + ĐS:
1
8 10) ( )( )( )
4 2
4
lim
2
n n
n n n
− +
+ − + ĐS: −2
11) ( ) ( )
( )( )
3
2
2
lim
3
n n
n n
+ −
+ − ĐS:
− 12) ( ) ( )
( ) ( )
3 2
2
lim
3
n n
n n n
+ −
+ + − ĐS: 27 −
13) lim 2 21
2
n n n
−
+ +
. ĐS: 0 14)
3
2
lim
2
n n
n n
−
− +
.ĐS:
1
Bài Tính giới hạn sau 1) lim2
4
n n
n n
+
− ĐS: 1 2)
3.2
lim
5.4 6.5
n n
n n
−
+ ĐS: −
3) lim4 2.3
n n
n +
+ ĐS: + 4)
1 2.3 lim
5 n n +
+ ĐS: 2 5)
1
4.3
lim
3.2
n n
n n
+
+
+ ĐS: 5 6)
2 1
4
lim
5 2.6
n n
n n
+ +
− +
+
+ ĐS:
1 72
7) ( )
1
3 4.5
lim
2.4 3.5
n n
n n
+
− −
+ ĐS:
20
−
8)
2
2 4.5
lim
2
n n n
n n n
+
+ + +
− +
+ + ĐS: 20
9)
2
2
lim
2
n n n
n n n
+
+ + +
− +
+ + ĐS: 10)
( ) ( )
2
lim
2.3
n n
n n
+ −
+ − ĐS:
11) lim
3
n n
+
− ĐS: 12)
2
1 lim
.3n
n n
n
+ +
(23)13) ( )
5
1 lim
3
n n
n
+ +
−
ĐS: 14) ( )
( ) 1
5
lim
7
n n
n+ n+
− +
− + ĐS:
15) ( )
2
4 2.2
lim
5.2
n n
n n
+ +
+
+ ĐS:
1
−
16) lim3
3 2.5
n n
n n
− +
− ĐS:
1
−
17) lim 31 1
2
n n n
n n+ n+
+ −
+ + ĐS:
4 18)
1 1
4 2.3
lim
2
n n
n n n
− −
+ +
+ −
+ + ĐS: 64 −
19) ( )
( )
3
lim
3
n n
n− n+
− −
− + + ĐS:
1
−
20)
1 2
3
lim
3
n n n
n n
− +
+ +
+
+ ĐS: 12
Bài Tính giới hạn sau: 1)
2
4
lim
9
n n n
n n
ĐS:
3 2)
2
lim
4
n n
n ĐS:
2
2
3)
2 3 2 4
4
lim
16
n n n
n n n
ĐS:
3 4)
2 3 4
3 lim
16
n n n n
n
ĐS:1
5) lim 3n2 n n ĐS: 6) 3
lim 8n n n n ĐS:
Bài Tính giới hạn sau:
1) ( )
lim n + + −n n ĐS:
2 2) ( )
2
lim 4n + −n 4n +2 ĐS:
4
3) lim( n2+3n+ −5 n) ĐS:
2 4) ( )
2
lim 4n +3n−2n ĐS:
4
5) limn( n+ −1 n) ĐS: + 6) limn( n2+ −1 n2+2)
ĐS:
1
−
7) lim( n2+2n− +n 3) ĐS: 8) lim( 4n2+3n+ −1 2n+1) ĐS:
4
9) ( )
lim 9n +3n− −4 3n+2 ĐS:
2 10) ( )
2
lim 1+n − n +3n+1 ĐS:1 11) lim(3 n+ −2 3n) ĐS: 0 12) (3 )
lim n +3n −n ĐS:1 13) lim(3n n− + +n 2) ĐS: 14) lim(32n n− + −n 1) ĐS: −1 15) lim(3n3−2n2 − −n 1) ĐS:
3 −
16) lim(38n3+4n2+ −2 2n+3) ĐS: 10
(24)Bài 5. Tính giới hạn sau:
1) lim2 2
4
n
n ĐS:
3 2)
2
1
lim
2
n
n n n
ĐS:
3) lim2
3.2
n
n ĐS:
2
4) lim 1
(25)BÀI GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa 1 (Giới hạn hàm số điểm)
Giả sử khoảng chứa điểm hàm số xác định tập hợp Ta nói hàm số có giới hạn số thực dần đến (hoặc điểm )
với dãy số tập hợp mà ta có
Khi ta viết
Định nghĩa 2 (Giới hạn hàm số vô cực)
Giả sử hàm số xác định khoảng Ta nói hàm số có giới hạn số thực
dần tới với dãy số khoảng mà ta có
Khi ta viết
GIỚI HẠN HỮA HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC
Giới hạn đặc biệt
1)
2)
Giới hạn đặc biệt
1) 2)
3) 4)
5) Định lí
Nếu
1)
2)
3) với
Nếu
Định lí
Nếu
Nếu
Giới hạn bên
(a b; ) x0 f
(a b; ) \ x0 f L x x0 x0
( )xn (a b; ) \ x0 limxn =x0 limf x( )n =L
( )
lim
x→x f x =L f x( )→L x→x0
f (a;+) f
L x + ( )xn (a;+) limxn = +
( )
lim f xn =L
( )
lim
x→+f x =L f x( )→L x→ +
0
lim x→x x=x
0
lim
x→x c=c (c )
lim k
x→+x = + xlim k
c x
→ =
0
1 lim
x→− x = −
1 lim
x→+ x = +
( )
li
m
x
k k k
k x
→−
+ =
−
( )
lim
x→x f x =L ( )
lim
x→x g x =M
( ) ( )
0
lim
x→x f x g x = L M
( ) ( )
lim
x→x f x g x =L M
( ) ( )
lim
x x
f x L
g x M
→ = M 0
( )
f x ( )
0
lim
x→x f x =L
( )
lim
x→x f x = L xlim→x0 f x( )= L
( )
lim
x→x f x = L ( )
lim
x→x f x =
( ) ( ) ( )
( ) 0
0
lim
lim
lim
x x x x
x x L g x f x g x
L g x
→ →
→
+
=
−
( )
lim
x→x g x =
( )
( ) ( )( )
0
lim
x x
L g x f x
g x L g x
→
+
=
−
( ) ( ) ( )
0 0
lim l
i i
l m m
x x
(26)B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP
Dạng Tính giới hạn vơ định dạng , đó tử thức mẫu thức đa thức Phương pháp giải:
Khử dạng vơ định cách phân tích thành tích cách chia Hooc – nơ (đầu rơi, nhân tới, cộng chéo), sau đơn giản biểu thức để khử dạng vơ định
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính giới hạn Đs:
Lời giải
Ta có
! Cần nhớ: với nghiệm phương trình
Học sinh thường quên nhân thêm
Ví dụ Tính giới hạn Đs:
Lời giải
Nhận xét:Bảng chia Hooc – nơ (đầu rơi, nhân tới cộng chéo) sau: Phân tích thành tích số:
Phân tích thành tích số:
Ví dụ Tính giới hạn Đs:
Lời giải
0
2 2
2 14
lim
4 x
x x A
x
→
+ − =
−
11 A=
2
2 2
7
2(x 2)(x )
2 14 2 11
lim lim lim
4 (x 2)(x 2)
x x x
x x x
A
x x
→ → →
− +
+ − +
= = = =
− − + +
( )( )
2
1
( ) a
f x = x +bx+ =c a x−x x−x x x1,
( )
f x = a
3 2
2
lim
4 13
x
x x x A
x x x
→
− − −
=
− + −
11 17 A=
( )( )
( )( )
2
3 2
3 2
3 3
3
2 11
lim lim lim
4 13 3 4 17
x x x
x x x
x x x x x
A
x x x x x x x x
→ → →
− + +
− − − + +
= = = =
− + − − − + − +
3
2x −5x −2x−3
( )( )
3 2
2x 5x 2x x 2x x
− − − = − + +
3
4x −13x +4x−3
( )( )
3 2
4x 13x 4x x 4x x
− + − = − − +
100 50
2
lim
2
x
x x
A
x x
→
− + =
− +
(27)Ta có
!Cần nhớ:Hằng đẳng thức
Chứng minh: Xét cấp số nhân có số hạng
Khi
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tính giới hạn sau:
1) ĐS: 2) ĐS:
3) ĐS: 4) ĐS:
5) ĐS: 6) ĐS:
7) ĐS: 8) .ĐS:
9) ĐS: 10) ĐS:
Bài 2. Tính giới hạn sau:
1) ĐS: 2) ĐS:
3) ĐS: 4) ĐS:
( ) ( )
( ) ( )
99
100 100
50 50 49
1 1
1
2 ( ) ( 1)
lim lim lim
2 ( ) ( 1) 1
x x x
x x x
x x x x x
A
x x x x x x x x
→ → → − − − − + − − − = = = − + − − − − − − ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )
98 97 96 48 47 46
99 98 97 49 48 47
1 1
lim
1 1
1
lim
1
x
x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
→ → − + + + + + − − = − + + + + + − − − + + + + + − = − + + + + + − ( ) ( )
99 98 97 49 48 47
98 49
lim
48 24
x
x x x x x
x x x x x
→
+ + + + + −
= = =
+ + + + + −
( )( 2 )
1 1
n n n
x − = x− x − +x − + +x + +x
2
1, ,x x x, , ,xn− n u1=1,q=x
( )( )
2
1
1
1 1 1
1
n n
n n n
n
q x
S x x x u x x x x x
q x − − − − = + + + + = = − = − + + + + − − 2 lim x x x A x → − + = − A= 2 1 lim x x A x x → − = + − A= 2 12 lim x x x A x → − + = − A= −
2 20 lim x x x A x x → − + = − A= 2
3 10
lim x x x A x x → − + =
− + A=8
2 2 lim x x x A x x → + − = − − A= 2 16 lim x x A x x →− − =
+ + A= −16
2 lim x x x A x x → − − = − + A= −
3 2 lim x x A x x → − =
− + A=12
3 2 lim 11 18 x x A x x →− + = + + 12 A= 2
2
lim
1 x
x x x A
x
→
− + +
=
− A= −1
3 lim x x x A x x → − + = − + A= 3
2
lim
1 x
x x x A
x x x
→− + + + = + − − A= 3 1 lim
5
x
x x x A
x x x
(28)5) ĐS:
6) ĐS:
7) ĐS: 8) ĐS:
9) ĐS:
10) ĐS:
Bài 3. Tính giới hạn sau:
1) ĐS: 2) ĐS:
3) (Với số nguyên) ĐS:
4) ĐS:
5) ( số nguyên) ĐS:
6) ĐS:
LỜI GIẢI
Bài 1. 1) Ta có
2) Ta có
3) Ta có
4) Ta có
5) Ta có
3 2
2
lim
3
x
x x x
A x →− − + + + = −
18 19
A= +
3
5
lim
8
x
x x x A
x x
→
− + +
=
− − A=0
3 1 lim x x A x x → − = − +
A= 3
2 12 lim x A x x → = − − − A= 2 1 lim
3
x A
x x x x
→
= +
− − − −
A= −2
2 1 lim x A
x x x
→ = − + − − A= 20 30 lim x x x A x x → − + = − + 14 A= 50 1 lim x x A x x → − =
− + A= −50
( )2
1 lim n x
x nx n A x → − + − = − n 2 n n A= −
( ) ( ) 1 lim n x
x n x n
A x + → − + + = −
( 1)
2 n n A= +
2 3 lim n m x
x x x x n A
x x x x m
→
+ + + + − =
+ + + + − m n,
( ) ( ) 1 n n A m m + = + lim
1 m n
x m n A x x → = − − −
m n A= −
( )( )
( )( )
2
2 2
1
3 1
lim lim lim
4 2
x x x
x x
x x x
A
x x x x
→ → → − − − + − = = = = − − + + ( )( ) ( )( ) 2
1 1
1
1
lim lim lim
3 4
x x x
x x
x x
A
x x x x x
→ → → − + − + = = = = + − − + + ( )( ) ( )( ) 2
3 3
3
7 12
lim lim lim
9 3
x x x
x x
x x x
A
x x x x
→ → → − − − + − = = = = − − − + + ( )( ) ( ) 2
5 5
4
9 20
lim lim lim
5 5
x x x
x x
x x x
A
x x x x x
→ → → − − − + − = = = = − − ( )( ) ( )( ) 2
3 3
3
3 10 3
lim lim lim
5
x x x
x x
x x x
A
x x x x x
→ → →
− −
− + −
= = = =
(29)6) Ta có
7) Ta có
8) Ta có
9) Ta có
! Cần nhớ: Hằng đẳng thức
10) Ta có
Bài 2. 1)
2)
3)
4)
5) Ta có
6) Ta có
7) Ta có
( )( )
( )( )
2
1 1
1
2 3
lim lim lim
2 1 2
x x x
x x
x x x
A
x x x x x
→ → →
− +
+ − +
= = = =
− − − + +
( )( )( )
( )( )
( )( )
( )
2
4
2 2
2 4
16
lim lim lim 16
6 4
x x x
x x x x x
x A
x x x x x
→− →− →−
− + + − +
−
= = = = −
+ + + + +
( )( )
( )( ) (( ))
1 1
1 3
2
lim lim lim
3
5 4
x x x
x x x
x x A
x x x x x
→ → →
− + +
− −
= = = = −
− + − − −
( )( )
( )( ) ( ( ) )
2
3
2 2
2 4
8
lim lim lim 12
3 2 1
x x x
x x x x x
x A
x x x x x
→ → →
− + + + +
−
= = = =
− + − − −
( )( )
3 2
a +b = a+b a −ab b+ a3−b3=(a b− )(a2+ab b+ 2)
( )( )
( )( ) ( ( ) )
2
3
2 2
2 4
8 12
lim lim lim
11 18 9
x x x
x x x x x
x A
x x x x x
→− →− →−
+ − + − +
+
= = = =
+ + + + +
( )( )
( )( )
2
3 2
2
1 1
1
2 2
lim lim lim
1 1
x x x
x x x
x x x x x
A
x x x x
→ → →
− − −
− + + − −
= = = = −
− − + +
( ) ( )
( ) ( )
2
2
4 2
1 1
1
3 2
lim lim lim
4 3
x x x
x x
x x x
A
x x x x x x x
→ → →
− +
− + +
= = = =
− + − + + + +
( ) ( )
( ) ( )
2
2
1 1
1
2 1
lim lim lim
1 1
x x x
x x
x x x x
A
x x x x x x
→− →− →−
+ +
+ + + +
= = = =
+ − − + − −
( ) ( )
( ) ( )
2 2
4
2
1 1
1
1
lim lim lim
5 3
x x x
x x x
x x x x x
A
x x x x x x
→ → →
− + +
− − + + +
= = = = −
− + − − − −
( )( ( ) )
( )( )
2
2
3
3 3 3
2
lim lim
3 3 3
x x
x x x
x x x
A
x x x
→− →−
+ − + + +
− + + +
= = −
− + −
( )
2
3
2 3 3 18 19 3
lim
6
x
x x
x
→−
− + + + +
= − =
−
( )( )
( )( )( ) (( ))(( ))
2
4 2
3 3
1 3
5
lim lim lim
8 3
x x x
x x x x
x x x A
x x x x x x x
→ → →
− − − −
− + +
= = = =
− − − + + + +
( )( )
( )( ) ( ( ) )
2
3
4 3
1 1
1 1
1
lim lim lim
4 3 3
x x x
x x x x x
x A
x x x x x x x x x
→ → →
− − − − − − −
−
= = = =
(30)8) Ta có
9) Ta có
10) Ta có
Bài 3. 1) Ta có
2) Ta có
3) Ta có
( )( )
3
3
2
1 12 12 16
lim lim
2 8
x x
x x A
x x x x
→ →
− +
= − =
− − − −
( )( )
( ) ( )
2
2 2
2
4
lim lim
2
2
x x
x x x
x x
x x x
→ →
+ − +
= = =
+ +
− + +
( )( )
2
2 2
2
1
lim lim
3 6
x x
x x x x
A
x x x x x x x x
→ →
− − + − −
= + =
− − − − − − − −
( )
( ) ( )( ) ( )( )
2
2
2 2
lim lim
3
2
x x
x
x x
x x x
→ →
−
= = = −
− −
− − −
( )( ) ( )( )
3
2 3
1 1
1 1
lim lim lim
2 2
x x x
x x x x x x
A
x x x x x x x x x
→ → →
− − − + − − +
= − = =
+ − − + − − + − −
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )
2
2 2
1
1 1
lim lim
9
2
1
x x
x x x
x x x
x x x x
→ →
− + +
= = =
+ + +
− + + +
( )
( ) (( )) (( ))
19 20
20
30 30 29
1 1
1
1
2
lim lim lim
2 1 1
x x x
x x x
x x x x x
A
x x x x x x x x
→ → →
− − − − − −
− +
= = =
− + − − − − − −
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( )
18 17 19 18
28 27 29 28
1
1 1
lim lim
1 1
x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
→ →
− + + + + − − − + + + −
= =
− + + + + − − − + + + −
( )
( )
19 18 29 28
18 9
lim
28 24
x
x x x
x x x
→
+ + + −
= = =
+ + + −
( )( )
( )( )
49 48
50 49 48
2
1 1
1 x
1 x
lim lim lim 50
3 2
x x x
x x x
x x x
A
x x x x x
→ → →
− + + + +
− + + + +
= = = = −
− + − − −
( )
( ) ( )
( )
2
1
1
1
lim lim
1
n n
x x
x n x x nx n
A
x x
→ →
− − −
− + −
= =
− −
( )( ) ( )
( )
1 2
1 x 1
lim
1
n n
x
x x x n x
x
− −
→
− + + + + − −
=
−
( )( )
( )
1 1 2
2
1
1 x x 1
lim lim
1
n n n n
x x
x x x n x x n
x x
− − − −
→ →
− + + + + − + + + + −
= =
− −
1 2
1
1 x 1
lim
1
n n
x
x x x
x
− −
→
− + − + + − + − =
−
( )( ) ( )( ) ( )
1
1 x 1 x
lim
1
n n n n
x
x x x x x x x
x
− − − −
→
− + + + + + − + + + + + + −
=
−
( ) ( )
1
lim n n x n n x
x x x x x
− − − −
→
= + + + + + + + + + + + ( 1) ( 2)
2 n n
n n −
(31)4) Ta có
5) Ta có
6) Ta có
Và
Tương tự ta có
Vậy
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1
2 2
1 1
1 1
1
lim lim lim
1 1
n n
n
x x x
x x n x x x n x
x n x n A
x x x
+ +
→ → →
− − − − − −
− + +
= = =
− − −
( )( ) ( )
( )
( )( )
( )
1
2
1
1 x 1 x
lim lim
1
n n n n
x x
x x x x n x x x x n
x x
− − −
→ →
− + + + + − − − + + + −
= =
− −
1 2
1
x 1 x 1
lim lim
1
n n n n
x x
x x x n x x x
x x
− −
→ →
+ + + + − − + − + + − + −
= =
− −
( )( ) ( )( ) ( )
1
1 x 1 x
lim
1
n n n n
x
x x x x x x x
x
− − − −
→
− + + + + + − + + + + + + −
=
−
( ) ( )
1
lim n n x n n x
x x x x x
− − − −
→
= + + + + + + + + + + +
( 1) ( 2) ( 1)
2 n n
n n n +
= + − + − + + =
2
2
1
1 1
lim lim
1 1
n n n
m m m
x x
x x x x n x x x x
A
x x x x m x x x x
− −
→ →
+ + + + − − + − + + − + −
= =
+ + + + − − + − + + − + −
( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
1 2
1 2
1
1 x 1 x
lim
1 x 1 x
n n n n
m m m m
x
x x x x x x x
x x x x x x x
− − − −
− − − −
→
− + + + + + − + + + + + + −
=
− + + + + + − + + + + + + −
( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2
1
x x
lim
x x
n n n n
m m m m
x
x x x x
x x x x
− − − −
− − − −
→
+ + + + + + + + + + +
=
+ + + + + + + + + + +
( ) ( )
( ) ( ) (( ))
1
1 1
lim
1 1
x
n n n n n
m m m m m
→
+ − + − + + +
= =
+ − + − + + +
1
1
lim lim
1 m n m 1 n
x x
m n m n
A
x x x x x x
→ →
= − = − − −
− − − − − −
1
1
lim lim
1 m 1 n
x x
m n
x x x x
→ →
= − − −
− − − −
( 1) ( ) ( 2) ( 1)
1 1
1 x 1 x
1
lim lim lim
1 1 x
m m
m m m
x x x
m x x x x
m
x x x
− −
→ → →
− + + + + − + − + + −
− = =
− − − −
( ) ( ) ( )
( )( )
2
2
1
1 1
lim
1
m
m x
x x x x x
x x x x
− −
→
− + + + + + + + + =
− + + + +
( ) ( 2)
2
1
1 1 1 1 1
lim
1
m
m x
x x x x m m
x x x m
− −
→
+ + + + + + + + + + + + − −
= = =
+ + + +
1
1
lim
1 n
x
n n
x x
→
−
− =
− −
1
1
lim
1 m n 2
x
m n m n m n
x x
→
− − −
− = − =
− −
(32)Dạng Tính giới hạn vơ định dạng , đó tử thức mẫu thức có chứa thức Phương pháp giải:
Nhân lượng liên hợp để khử dạng vô định. VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính giới hạn Đs:
Lời giải
Ta có:
Ví dụ 2. Tính giới hạn Đs:
Lời giải
Ta có
Suy
Ví dụ Tính giới hạn Đs:
Lời giải
0
6
3
lim
6
x
x B
x
→
− +
=
−
1 B= −
( )( )
( )( )
6
3 3
3
lim lim
6 6 3 3
x x
x x
x B
x x x
→ →
− + + +
− +
= =
− − + +
( )
( )( ) ( )( )
6 6
9 1
lim lim lim
6
3 3
6 3 3
x x x
x x
x
x x x x
→ → →
− + − − −
= = = = = −
+ + + +
− + + − + +
3
3
lim
2
x
x x
E
x
→
+ − −
=
− E= −1
3
3
2 2
3 2 3 2 2 2 5 6
lim lim lim
2 2
x x x
A B
x x x x
E
x x x
3
2 3 3
3
3 2
lim lim
2 2 3 2 2 3 2 4
x x
x x
A
x x x x
2
2 3 3 3 3
3
lim lim
4
3 2
2 2
x x
x
x x
x x x
2 2
4
2
lim lim lim
2 2 2 5 6 2 2 5 6
x x x
x x
x B
x x x x x
2
5
lim
4
2
x x x
1
1
4
E A B
3
5
lim
1
x
x L
x
→−
− + =
+
(33)Ta có:
Ví dụ Tính giới hạn Đs:
Lời giải
Ta có
Ví dụ Tính giới hạn Đs:
Lời giải
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài Tính giới hạn sau:
3
1 3 3
5
5
lim lim
1 1 5 3 2 5 3 4
x x
x x
L
x x x x
2
1 3 13
5 5
lim lim
12
5
1 5
x x
x
x x
x x x
3
3
lim
2
x
x x
E
x
→
+ − −
=
−
1 E= −
3
3
2 2
3 2 2 3 2 2 3 2 2
lim lim lim
2 2
x x x
x x x x
E
x x x
2 3
3
3
lim lim
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x x
2 3 3
3
lim lim
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x x
2
2 3 3
3 3
lim lim
4
3 2
3 2
x x x
x x
3
1
lim
x
x x
F
x
→
+ + −
= F
3 =
3
0
1 1
1
lim lim
x x
x x x
x x
F
x x
3
0
1 1 2 1
lim lim
x x
x x x
x x
0 3
3
1 1
lim lim
1
1 4
x x
x x x
x x
x x x
2
0 3 3
4 2
lim lim
3
1
1 4
x x
x
x
(34)1) Đs: 2) Đs:
3) Đs: 4) Đs:
5) Đs: 6) Đs:
7) Đs: 8) Đs:
9) Đs:
Bài Tính giới hạn sau:
1) Đs: 2) Đs:
3) Đs: 4) Đs:
5) Đs: 6) Đs:
7) Đs:
Bài Tính giới hạn sau:
1) Đs:
2) Đs:
3) Đs:
4) Đs:
5) Đs:
8
8 lim
3
x x B
x B
2
4
lim
1
x
x x
B
x
1 B
2
2
lim
2
x
x x x B
x
1
B 2
2
2
lim
4
x x B
x
1 16 B
2
2
lim
4
x
x B
x
3 16
B 2
9
3 lim
9
x x B
x x
1 54 B
2
2
lim
2 10
x x B
x x
1 36
B 2
1
7 2
lim
1
x
x x
B
x
1 B
2
2
lim
3
x
x x x
B
x x
5 B
1
3
lim
8
x
x x
B
x B
3
lim
4
x
x B
x x
3 B
2
2
lim
1
x
x x
B
x x
1 B
3
1
lim
2
x
x x
B
x x B
2
2
lim
x
x x x
B
x x B
4
4
lim
1
x
x B
x B
2 2
2
lim
1
x
x x
B
x x
2
B
0
9 16
lim
x
x x
L
x
7 24 B
1
2 5
lim
1
x
x x
L
x
4 B
3
2 2
lim
3
x
x x
L
x
5 L
2
2
lim
2
x
x x x
L
x L
6
5 84
lim
6 x
x x x
L
x
(35)6) Đs:
7) Đs:
8) Đs:
9) Đs:
10) Đs:
Bài Tính giới hạn sau:
1) Đs: 2) Đs:
3) Đs: 4) Đs:
5) Đs: 6) Đs:
7) Đs: 8) Đs:
9) Đs:
10) Đs:
11) Đs:
12) Đs:
Bài Tính giới hạn sau:
1) Đs:
0
1
lim
x
x x
L
x L
2
4 3
lim
2
x
x x x
L
x x
5 L
2
3 2
lim
2
x
x x x
L
x x
17 16 L
2
4
lim
x
x x
L
x
5 12 L
2
6
lim
1 x
x x x
L
x
11 L
3
4
lim
2
x
x L
x
1
L
3
1
lim
x
x L
x
1
L
3
1
lim
3 x
x L
x
1 L
3
7
lim
1
x x L
x
1 L
3
2 lim
2
x
x L
x
5 12 L
3
1 lim
2
x
x L
x L
3
2
10
lim
3
x
x x
L
x x
3 L
3 2
8 11
lim
3
x
x x
L
x x
7 54 L
3
3
7
lim
1 x
x x
L
x
1 L
3
2
lim
x
x x
L
x
11 12 L
2
2
2 11
lim
4 x
x x x
L
x
5 72 L
3
4
lim
x
x x
L
x x L
0
1
lim
n
x
ax F
x
(36)2) Đs:
3) Đs:
4) Đs:
LỜI GIẢI
Bài 1. 1)
2)
3)
4)
5)
1
lim
n m
x
ax bx
F
x
a b n m
0
1
lim ( 0)
1
n
m x
ax
F ab
bx
am bn
0
1
lim
1
n m
x
ax bx
F
x
a b
n m
8 8
8
8
lim lim lim
9
3 3
x x x
x x x x
x B
x
x x x
8
8
lim lim
8
x x
x x
x x
2
2
1
4
4
lim lim
1 1 4 2
x x
x x x x
x x
B
x x x x
2
2
1 2
1
4
lim lim lim
4
4
1 4
x x x
x x
x x x
x x
x x x x x x
2
2
3
2 3
2
lim lim
2 2 6 2 3
x x
x x x x x x
x x x
B
x x x x x
3
3
lim lim
4
2 3 2
x x
x x x
x x x x x x x
2 2
2
2 2
2
lim lim
4 4 2 2
x x
x x
x B
x x x
2
2 lim
2 2
x
x
x x x
1
lim
16
2 2
x x x
2 2 2
2 2
2 2 4 3 2
2
lim lim lim
4 4
x x x
x x x
x B
x x x x x
2
3 3
lim lim
16
2 2 2
x x
x
(37)6)
7)
8)
9)
Bài 2. 1)
2)
3)
4)
5)
2 2
9 9
3
3
lim lim lim
9 9 3 9 3
x x x
x x
x x
B
x x x x x x x x
1
lim
54
x x x
2
2
2 2
lim lim
2 10 2 2 5 2 2
x x
x x
B
x x x x x
1
lim
36
2 2
x
x x
2
2 2
1
7 2
7 2
lim lim
1 1 7 2 2
x x
x x x x
B
x x x x
2
2
lim
1 2
x
x x
x x x
1
1 lim
1 2
x
x x
x x x x
3
lim
3
1 2
x
x
x x x
2 2
2
1 2
2
2
lim lim
3 3 2 2 5 2 8
x x
x x x
x x x
B
x x x x x x x
2
1 2
1 17
2 19 17
lim lim
3 2 2
x x
x x
x x
x x x x x x x x x x
1
2 17
lim
2
2
x
x
x x x x
1 1
2 8
3
lim lim lim
8 3 3
x x x
x x x
x x
B
x x x x x x
1
3
lim
4
x
x B
x x
1
lim
1
x
x x x
x x
1
4
lim
3
x
x x
x
3
2
2
lim
1
x
x x
B
x x
2
lim
2 2
x
x x x
x x x
1
lim
2 2
x
x x
x x
1
3
1
lim
2
x
x x
B
x x
2 3
lim
3
x
x x x
x x x
3
2
lim
1
x
x x
x x
2
2
lim
x
x x x
B
x x
2
1 2
2
lim
1 2
x
x x x
(38)6)
7)
Bài 3. 1)
2)
3)
1 2
1 lim
1 2
x
x
x x x x x x x 2
1 lim
2
x
x
x x x x x x
0
4
4
lim
1
x
x B
x 4 4 4
4
lim
1 4
x
x
x x x x
3
1 4 4 4
4 lim
4 4
x
x x x
1
2 2
2
lim
1
x
x x
B
x x
2
2 2
2
lim
2 2
x
x x x x
x x x x
2
2
2
lim
2
x
x x
x x
2
0
9 16
lim
x
x x
L
x
9
lim x
x x
x
0
9 16
lim x
x x
x x
x
1
lim
9 16
x x x
7 24
1
2 5
lim
1
x
x x
L
x
2 2
lim x
x x
x
1
2
2 2
lim
1 x
x x
x x
x
2
lim
2 2
x x x
4
3
2 2
lim
3
x
x x
L
x
2 6 2
lim
3 x
x x
x
3
6 2
2
6 2
lim
3 x
x x
x x
x
3
2
6 2
lim
3 x
x x
x x
x
3
2
lim
6 2
x x x
(39)4)
5)
6)
7)
8)
2
2
lim
2
x
x x x
L
x
2
2
2
lim
2 x
x x x x
x
2
2
4
2 2
2
lim
2 x
x x
x x x
x x
x
2
2
2
2 2
2
lim
2 x
x
x x x
x x
x
2
2
lim 2
2
x
x
x x
x x
6
5 84
lim
6 x
x x x
L
x
5 3 16 96
lim
6 x
x x x x
x
6
5 3 16
lim
6 x
x x x
x
2
5 16
2 3
lim
6 x
x
x x
x x
6
10
lim 16
2 3
x
x x
74
0
1
lim
x
x x
L
x
2
24 10 1
lim x
x x
x
2
0
24 10 1
lim
24 10 1
x
x x
x x x
0
24 10
lim
24 10 1
x
x x
x x x
24 10
lim
24 10 1
x
x
x x
5
2
4 3
lim
2
x
x x x
L
x x 2
4
2
lim
1
x
x x
x x
x x
2
2
1
4
2
lim
1 1
x
x x
x x
x x x x x x
1
1
lim
2
x x x x x
5
2
3 2
lim
2
x
x x x
L
x x
4 2
lim
1 x
x x x x
x
2
2
4
16 48 14 49
2 2
7
lim
1 x
x x
x x x
x x
x x
x
2
2
1
2 2
7
lim
1
x
x x
x x
x x
x
1
1
lim
7 2
x x x x x
(40)9)
10)
Bài 4. 1)
2)
3)
4)
5)
2
4
lim
x
x x
L
x
4
lim x
x x x x
x
2
2
4 4 6
4
lim x
x x x x x x
x x x x
x
2
2
2
lim x
x x
x x x x
x
0
1
lim
2 4
x x x x x
5 12
2
6
lim
1 x
x x x
L
x
2
2
2
lim
1 x
x x x
x
2
2
6 4
2
6
lim
1
x
x x x
x
x x
x
2
2
1
2
6
lim
1 x
x x
x x
x
1
1 lim
6
x x x
11
3
4
lim
2
x
x L
x 3
4
lim
2 16 4
x
x
x x x 3
4 lim
16 4
x
x x
1
3
1
lim
x
x L
x 3 3
1
lim
1 1
x
x
x x x 3
1 lim
1 1
x
x x
1
3
1
lim
3 x
x L
x
2
3 2 3 2
3
9 lim
3
x
x
x x x
2
3 2 3 2
3 lim
1
x
x
x x
1
3
7
lim
1
x x L
x 3 3
1 lim
1
7
1 x
x x
x x
x
2
1 3 3
1 lim
7
x
x
x x
1
3
2 lim
2
x
x L
x
3
8
2
lim
2 16
2
x
x
x x
x x
8 3
2
lim
2
x
x
x x
(41)6)
7)
8)
9)
3
1 lim
2
x
x L
x
3
2 3
1 lim
1
2
x
x x x
x
x x
2 3
3
1
2
lim
1 x
x x
x x
1
3
2
10
lim
3
x
x x
L
x x
3
1
10 2
lim
1
x
x x
x x
3
3 3
3
2
1
10 2 10
lim
1
x
x
x
x x
x x
2
3 3
3
2 1
1
10 2 10
lim
1
x
x x x
x
x x
x x
2
3 3
3
2
1
10 2 10
lim
2 x
x x
x x
x
3
3 2
8 11
lim
3
x
x x
L
x x
3 2
8 11
lim
3
x x
x x 2
7
lim
3
x x x x
2 3 3
8 11 27
lim
1 11 11
x
x
x x x x
7
lim
1
x
x
x x x
2 3 3
8 lim
1 11 11
x
x x x
1 lim
1
x x x
8
27 54
3
3
1 1
7
lim lim lim
1 1
x x x
x x x x
L
x x x
3
1 3 3
3
7
lim lim
1
1 7
x x
x x
x x
x x x
3
1 3 3
3
1
lim lim
1
1 7
x x
x x
x x
x x x
2
2
1 3 3 3
3
1 1 1
lim lim
4
3
7
x x
x x x
x
(42)10)
11)
12)
Bài 5. 1)
2)
3
0 0
2 2
lim lim lim
x x x
x x x x
L
x x x
0 3 3
4 8
lim lim
2 8 2 8 4
x x
x x
x x x x x
2
0 3 3
4 1 11
lim lim
12 12
2 8 2 8 4
x x x
x x
2
3
2 2
2 2
2 11 11
lim lim lim
4 4
x x x
x x x x x x
L
x x x
2
2
2 2 2 2
3
2 11 27
lim lim
4
4 11 11
x x
x x x
x x
x x x x x
2
2 2 2 3 2
3
2
lim lim
4
4 11 11
x x
x x x
x x
x x x x x
2 2 2
3
2
lim lim
2
2 11 11
x x
x
x x
x x x x x
1
9 24 72
3
2
0
4 2 4
4
lim lim
x x
x x x
x x
L
x x x x
3
2
0
0 3 3
0 3 3
4 2 4 4
lim lim
4 8 4
lim lim
1
1 8 4)
4
lim lim
1
1 8
1
1
2
x x
x x
x x
x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x x
x
x x
x x x
0
1 1
lim lim
1 1
n
x x n n n n n
ax ax
F
x x ax ax ax
1
0
lim
1 n n 1
x n n n
a a
n
ax ax ax
0
1 1
1
lim lim
n m
n m
x x
ax bx
ax bx F
(43)3)
Xét
4)
Ta có
Dạng Giới hạn hàm số khi
Phương pháp giải:
- Đối với dạng đa thức không căn, ta rút bậc cao áp dụng công thức khi
1
3 (c số)
- Đối với dạng phân sốkhông căn, ta làm tương tựnhư giới hạn dãy số, tức rút bậc cao tử
và mẫu, sau áp dụng cơng thức trên
- Ngồi việc đưa khỏi bậc chẵn cần có trị tuyệt đối, học sinh cần phân biệt đưa căn, liên hợp Phương pháp suy luận tương tựnhư giới hạn dãy số, cần phân biệt khi hoặc
0
1 1
lim lim
n m
x x
ax bx a b
x x n m
0
1 1 1
lim lim
1 1
n n
m m
x x
ax ax
F
x
bx bx
x
0
1
lim ;
n
x
ax a
A
x n
1
lim
m
x
bx b
B
x m
1
a am
F
b
n bn
m
0
1 1
1
lim lim
1 1
n m
n m
x x
ax bx
ax bx F
x x
0
1 1
lim lim
1 1
n m
x x
ax bx
x x
0
1 1
lim lim
1 1
n m
x x
ax x bx x
x x x x
0
1
lim
n
x
ax a
A
x n
0
1
lim
m
x
bx b
B
x m 0
1
lim lim lim 1
1
1
x x x
x x
x
C x
x x
.2 2
a b a b
F
n m n m
x→
x→ + lim k
x→+x = +
2 lim
2
k x
khi k l x
khi k l
→−
+ =
= − = +
lim k
x c x
→+ =
(44) VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính giới hạn Đs:
Lời giải
(vì và )
Ví dụ 2. Tính giới hạn Đs:
Lời giải
Ví dụ Tính giới hạn Đs:
Lời giải
(Vì và )
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tính giới hạn sau:
1) Đs: 2) Đs:
3) Đs: 4) Đs:
5) Đs:
Bài Tính giới hạn sau:
1) Đs:
2) Đs:
( )
lim
x
A x x x
→+
= − − + +
3
2
6
lim
x
A x
x x x
3
lim
x x
6
lim 1
x x x x
3
2
3
lim
2 6
x
x x B
x x
1
3
2 2 3
3
3
3 3 1
1 1
1 0
lim lim
2
2 6 0 6
6
x x
x
x x x x
B
x
x x x x
2
lim
x
C x x x
2
2
1 1
lim lim
x x
C x x x x
x x x x
→− →−
= + + + = + + +
2
1 1
lim lim
x→− x x x x x→− x x x
= − + + + = − + + = −
lim
x x
1
lim 2 1
x x x
3
lim
x
A x x lim 3
x
A x x
4
lim
x
A x x lim 2
x
A x x
4
lim
x
A x x
1 lim
2
x
x B
x B
2 lim
1 x
x B
(45)3) Đs:
4) Đs:
5) Đs:
6) Đs:
7) Đs:
8) Đs:
9) Đs:
10) Đs:
Bài 3. Tính giới hạn sau:
1) Đs:
2) Đs:
3) Đs: 14
4) Đs:
5) Đs:
6) Đs:
7) Đs:
8) Đs: -2
4
2 15
lim
1
x
x x
B
x B
3
2
lim
1
x
x x
B
x x B
2
3
lim
2
x
x x B
x B
3
2
lim
3
x
x x
B
x x
2 B
3
7
4
lim
2
x
x x
B
x
8
B
20 30 50
2 3
lim
1
x
x x
B
x
30
3
B
2
3
lim
4 x
x x B
x B
3
2
lim x
x x B
x B
2
lim 10
x
C x x x 17
2
4
2
lim
1 x
x x C
x
2
lim 4 13
x
C x x x
2
lim
x
C x x x
2
2
lim
x
C x x
2
lim 2021
x
C x x x 2019
2
lim
x
C x x x
2
2
2
lim
5
x
x C
(46)9) Đs:
10) Đs:
11) Đs:
12) Đs:
13) Đs:
14) Đs:
15) Đs:
16) Đs: -1
17) Đs:
18) Đs:
19) Đs:
Bài 4. Tính giới hạn sau:
1) Đs:
2) Đs:
3) Đs:
4) Đs:
4 2
lim
x
C x x x
4
2
2 lim
2
x
x x x
C
x
1
2
lim 1
x
C x x x
2
2
lim
10
x
x x x
C
x
2
lim 21 13
x
C x x x x
2
2 2 2
4
lim
2
x
x x x x C
x x x
2
lim 4
x
C x x x
3
3
lim
5
x
x
C x
x x
2
lim 16
x
C x x x 43
8
3
2
lim
3 x
x x
C x
x x
2
lim
x
C x x x
2
3
2
lim
3 x
x x x
x x
2
2
lim
5
x
x
x x
2
2
lim
4 1
x
x x x
x x
4 2
2
lim
5
x
x x x x
x x
2
(47)5) Đs:
6) Đs:
7) Đs:
8) Đs:
9) Đs:
10) Đs:
11) Đs:
12) Đs:
Bài Tính giới hạn sau:
Đs:
Đs:
Đs:
Đs:
Đs:
Đs:
Đs:
Đs:
2
2
lim
1 10
x
x x x
x x x
8
3
2
3 1
lim
6
x
x x
x
1
2
2
lim
5
x
x x
x x
2
2
4
lim
9
x
x x x
x x x
1
2
2
lim x
x
x x x x
2
8
lim
6
x
x x x x
2
1
lim
3
x
x x
x x x
1
2
lim
x
x x
x
2
1) lim
x x x x
2
2) lim
x x x x
3) lim 2
x x x
2
4) lim
x x x x
1
2
5) lim
x x x x
2
6) lim
x x x x
5
3
7) lim 27
x x x x
1 27
2
8) lim
x x x x
(48)Đs:
Đs:
Đs:
Đs:
Đs:
Đs:
LỜI GIẢI
Bài 1. 1) , (vì và )
2)
3)
4)
5)
Bài 2. 1)
2)
3)
2
9) lim 4
x x x x
4 2
10) lim
x x x x
3
2
11) lim 4
x x x x
19
2
12) lim 4
x x x x
3
4 13) lim
2
x
x x x
x x x
16
3
14) lim
x x x
3
3
3
lim
x
A x
x x
3
lim
x x
3
lim 1
x x x
3
3
3
lim , ì lim lim 1
x x x
A x v x v
x x x x
4
2 4
2
lim , ì lim lim 1
x x x
A x v x v
x x x x
4
2 4
2 3
lim , ì lim lim 1
x x x
A x v x v
x x x x
4
2 4
1 6
lim , ì lim lim 1
x x x
A x v x v
x x x x
1 1
8 8
1 8
lim lim lim
1
2
2
x x x
x
x x x
B
x
x
x x
2 2
1 1
2
lim lim lim
1
1
1
x x x
x
x x x
B
x
x
x x
4
4 4
4
4
4
7 15 7 15
2 2
2 15 0
lim lim lim
1
1 1
1
x x x
x
x x x x x x
B
x
x
(49)4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
3 3
3
3
3
3 4
2
2 0
lim lim lim
1 1
1 0
1
x x x
x
x x x x x x
B
x x
x
x x x x
2
3
lim
2
x
x x B
x
3
2 3
3
3
3 7
0 0
lim lim
1
2
x x
x
x x x x x x
x
x x
3
2
lim
3
x
x x
B
x x
2
2
lim
3
x
x x
x x
3
3
2
4
2
lim lim
4
3 3
x x
x
x x
x
x x x x
2
3
3
7
4
lim
2
x
x x
B
x
3
3
7
3
4
4
lim
3
2 x
x x
x
20 30 50
2 3
lim
1
x
x x
B
x
20 30
20 30 30
50 50
3
2
2 3
lim
2
1
2 x
x x
x
2
3
lim
4 x
x x B
x
2
2 2
1 1 3
3 3
lim lim ,
4
1
x x
x
x x x x
x x
x x
2
1
3
ì lim lim
4
x x
x x
v x v
x
3
2
lim x
x x B
x
3
2 2 3
2
2 2 3
2 2
lim lim ,
5
1
x x
x
x x x x
x x
x x
2
2
2
ì lim lim
5
x x
x x
v x v
(50)Bài 3. 1)
2) ,
3)
4)
lim 10
x
C x x x 10 lim
x x x x
2
3
10 lim
3
x
x
x x x
3
10 lim
3
x
x
x x x
2
2
10 lim
3
1
x
x x x
3 17
10
2
4
2
lim
1 x
x x C
x
2
2 4
1 1
2
lim lim
1
2
x x
x
x x x x
x x
x x
2
1
2
2
ì lim lim
1
2
x x
x x
v x v
x
2
lim 4 13
x
C x x x
13 lim 4
x x x x
2
2
4 4
13 lim
4
x
x x x
x x x
2
4
13 lim
4
4
x
x
x x
x x
2
1
13 lim
4
4
x
x x
x x
x x
1
13 lim
4
4
x
x x
x x
x x
2
1
13 lim 14
4
4
x
x x x
2
lim
x
C x x x lim 1 lim 1
x x x x x x x
1 1
1
5 lim lim
2
1
1 1
x x
x x
(51)5) ,
6)
7)
8)
9)
10)
lim
x
C x x lim 12 lim 12
x x x x x x x
2
1
ì lim 2 lim
x x
v v x
x
2
lim 2021
x
C x x x 2021 lim 2021 lim
x x x x x x x
4
1
4
2021 lim 2021 lim 2021 2019
2
4
1 1
x x
x x
x x
2
2
1
lim lim
1
x x
x
C x x x
x x x
2
2
1
lim lim
1 1
1 1
1
1 lim
2
1
1
x x
x
x x
x x x x
x x x x
x
x x
2
2
lim
5
x
x C
x x
2
2
2
lim lim
1 5 0
1
x x
x
x x x
x
x x x x
4 2
lim
x
C x x x lim 32 14 2
x x x x x
2
2
2 4
3 1
4
3
lim lim
4
3
4
x x
x x x
x
x x x x
2
2 lim
2
x
x x x
C
x
1
1
lim
2
x
x x
x x
1 1
1 1 2
1
lim lim
3
3 2
2
x x
x
x x
x
(52)11)
12)
13)
14)
15)
16)
2
lim 1
x
C x x x lim 1 12
x x x x x
2
1
1 lim 1
x x x x
2
2
1
1
1 lim
1
1
x
x x x
x x
2
1
1
1 lim
2
1
1
x
x x x
2
lim
10
x
x x x
C
x
1
1
1
lim lim
10
10
1
x x
x x x
x x x
x
x
2
lim 21 13
x
C x x x x lim 212 132
x x x x x x x
2
2
9 21 13
4
lim
9 21 13
4
x
x x x x
x
x x x x 2
34
2
lim
2 2
9 21 13
4
x
x
x x x x
2 2 2
4
lim
2
x
x x x x C
x x x
3
2 3
2 2
2
4 7
4
lim lim
2
1 3
2
x x
x x
x
x x x x x x x x
x x
x x x x
2
lim 4
x
C x x x lim 4 12
x x x x x
2
2
4
4
3 lim
4
4
x
x x x
x x
1
4
3 lim
4
4
4
x
x x x
3
3
lim
5
x
x
C x
(53)
17)
18)
19)
Bài
3 2
3
1
1 1
lim lim 1
5 0
1
x x
x x
x
x x
x
x x x x
2
lim 16
x
C x x x
3
5 lim 16 lim 16
3
16 16
3 3 43
5 lim lim 5
4 8
3
16 16
x x
x x
x x x
x x
x x
x x
3
2 lim
3 x
x x
C x
x x
3
2 2
5
3 5
1 1
2 2
lim lim
1
1
1
x x
x
x x
x x
x x x x
2
lim
x
C x x x lim 1 12
x x x x x
2
1
3 lim 1
x x x x
2
2
1
1
3 lim
1
1
x
x x x
x x
2
1
1
3 lim
2
1
1
x
x x x
1)
3
5 2
2
1
2
lim lim lim
1
3
x x x
x x
x x x x x
x x
x x x x x x
x x
2)
2
2
3
2 3
lim lim lim
1 5
5
1
x x x
x x x
x x
x
(54)
3)
2 2 2
2
2
1 2
1 1
2 1
lim lim lim
2
1 1
4 1
4
x x x
x x
x x x x x x x x
x x
x x
x x x
4)
2
4 2 2 2
2
1 3
2
2
lim lim lim
5
5 2
2
x x x
x x
x x x x x x x x
x x
x
x x
5)
2 2 2
2
2
1 1
2 4
2
lim lim lim
3
1 10 1 10
1 10
1 9
x x x
x x
x x x x x x x x
x x x
x x
x x x x x
6)
3
2 2 3 2 3
1 1
3 8
3 1
lim lim lim
9
6 9
6
x x x
x x
x x x x x x
x x
x
7)
2
2
1
3
2 1
2 1
2
lim lim lim
1
5 5
5
x x x
x x
x x x x x
x x x x
x
8)
2 2
2
2
3
4
4 1
lim lim lim
4
1 3
9
9
x x x
x x
x x x x x x x
x x x
x x
x x x x x
9)
2
1
2 2
lim lim lim
2
1 1
1 1
x x x
x x x
x x x x
x x
x x x x
10)
2
2
3
8
lim lim lim
1 3
6
6
x x x
x x x
x x x
x x
x x x x
11)
2 2 2
2
2
1
1 7
1
lim lim lim
3 3
3 1 5 3 1 5
x x x
x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x
12)
2
1 2
2
2
lim lim lim
1
1
1
x x x
x x
x x x x x x
x x
(55)Bài
2 1
1) lim lim lim 1
x x x x x x x x x x x
1
ì lim lim 1
x x
V x v
x
2
2
2
4
2) lim lim lim
4
1
x x x
x x x x
x x x
x x x
x x
2
3) lim 2 lim lim
2 2
1
x x x
x x
x x
x x
x
x x
4 1
ì lim lim
2
2
1
x x
V v
x
x x
2
2
2
2
1 1
4) lim lim lim
1
1
1
x x x
x x x x
x x x
x x x
x x
x x
2
1
1 lim
2
1
1
x
x
x x
2
2
2
2
4
5) lim lim lim
4
4
1
x x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x
2
3
lim
4
1
x x
x x x
2
2
2
2
3 5
6) lim lim lim
3
3
1
x x x
x x x x
x x x
x x x
x x
x x
2
4
5 lim
2
3
1
x
x
(56)
3 3
2
3 3 2
27 27
7) lim 27 lim
27 27
x x
x x x
x x x
x x x x x x
2
2
2 3 23 3 3
1
lim lim
27
1 1
27 27 27 27
x x
x
x x x
x x x x
2 2
2
2
4 2
8) lim lim lim
2
2
2
x x x
x x x x
x x x
x x x
x x
x x
2
1
1 lim
2
2
2
x
x x x
2 2
2
2 4 16
9) lim 4 lim lim
2 4 3 4
x x x
x x x x
x x x
x x x x x x
2
6 16
16
lim lim
4 3
2 4
x x
x x
x x
x x x x x
4
4 2
4 2
2
2
4
10) lim lim lim
3
4
4
x x x
x x x x
x x x
x x x
x x
x x
2
2
1
3 lim
4
3
4
x
x x x
2
2
2
2
4 19 15
11) lim 4 lim lim
3
4
4
x x x
x x x x
x x x
x x x
x x
x x
2
15 19
19 lim
4
3
4
x
x
x x x
2
2
2
2
4 16
12) lim 4 lim lim
4
4
4
x x x
x x x x
x x x
x x x
x x
(57)
13)
14)
Dạng Giới hạn bên
Phương pháp giải:
- Sử dụng định lý giới hạn hàm số
Chú ý:
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính giới hạn Đs:
Lời giải
Vì
Ví dụ 2. Tính giới hạn Đs:
Lời giải
2
8 16
lim
4
4
x
x
x x x
3 3
2 2
2 2 3 2 3 3 2 3
4 4
lim lim
4
2 4 4
x x
x x x x x x x x x
x x x
x x x x x x x x x
2
3
3
2
4 16
lim
3 4 4
1 1
x
x
x x
3
3
2
2
3
3
8
lim lim
8
x x
x x
x x
x x x x
2
2
3
3
12
lim
8
x
x x
x x x x
2
2 2
3
3
6
12
lim
1 1
8
x
x x
x x x x
0
x→x+ x→x0−
0 x x0 x x0
x→x+ −
0 x x0 x x0
x→x− −
1
2
lim
1 x
x A
x
+ →
− =
− −
1
1
lim
2
lim lim
1
1 1
x
x x
x
x
x A
x
x x x
2
15
lim
2 x
x A
x
+ →
− =
(58)Vì
Ví dụ 3. Tính giới hạn Đs:
Lời giải
Vì
Ví dụ 4. Tính giới hạn Đs:
Lời giải
Vì
Ví dụ 5. Tính giới hạn Đs:
Lời giải
Vì
Ví dụ 6. Tính giới hạn Đs:
Lời giải
Vì
Ví dụ 7. Tính giới hạn Đs:
Lời giải
2
2
lim 15 13
15
lim lim
2
2 2
x
x x
x
x
x A
x
x x x
3
2
lim
3 x
x A
x
− →
− =
− −
( )
( )
3
3
lim
2
lim lim
3
3 3
x
x x
x
x
x A
x
x x x
−
− −
→
→ →
−
− = −
−
− = = = −
−
→ −
2
1
lim
2
x x A
x
+ →
+ =
− +
( )
( )
2
2
lim
1
lim lim
2
2 2
x
x x
x
x
x A
x
x x x
+
+ +
→
→ →
+
+ =
+
− = = = +
−
→ −
( )2
4
5
lim
4
x x A
x
− →
− =
− −
( )
( )
( ) ( )
4
2
2
4
2
lim
5
lim lim
4
4
x
x x
x
x
x A
x
x x
−
− −
→
→ →
−
− = −
−
− = = = −
−
→ −
( )2
3
3
lim
3
x x A
x
− →
− =
− +
( )
( )
( ) ( )
3
2
2
3
2
lim
3
lim lim
3
3
x
x x
x
x
x A
x
x x
−
− −
→
→ →
−
− =
−
− = = = +
−
→ −
( ) ( )
2
2
lim
3 x
x x A
x
+ → −
+ − =
(59)Ta có
Vì
Ví dụ 8. Tính giới hạn Đs:
Lời giải Ta có:
Vì
Ví dụ 9. Tính giới hạn Đs:
Lời giải
Vì
Do
Ví dụ 10 Tính giới hạn Đs:
Lời giải Vì
Do
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài Tính giới hạn sau:
1) Đs:
2) Đs: Không tồn
( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
2
2
3 3
2
2
lim lim lim
3
3
x x x
x x
x x x
x
x x
+ + +
→ − → − → −
− +
+ − = = −
+
+ +
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
3
lim
2
lim lim
3
3 3
x
x x
x
x x
x A
x
x x x
+
+ +
→ −
→ − → −
+
− = −
+ −
+ = = = −
+
→ − − +
2
1
lim
2
x A
x x
− →
= −
− −
−
( )( )
2
2
1 1
lim lim
2 2
x x
x A
x x x x
− −
→ →
+
= − =
− − − +
( )
( )( )
( )( )
2
2
2
lim
1
lim 2 lim
2
2 2
x
x x
x
x x A
x x
x x x x
−
− −
→
→ →
−
+ =
− + = = − = −
− −
→ − +
2
2
lim
2
x
x B
x x
− →
− =
− +
1 −
2 2
x→ − − = −x x x
( )( )
2
2 1
lim lim
2 2
x x
x B
x x x
− −
→ →
− −
= = = −
− − −
3
3
lim
5 15
x x B
x
+ →
− =
−
1
3 3
x→ + − = −x x x
( )
3
3 1
lim lim
5 5
x x
x B
x
− −
→ →
−
= = =
−
3
1
lim
2
x
x A
x x
− →
− =
+ −
1 −
2
2
lim
2 x
x B
x
→
− =
(60)3) Đs: Khơng tồn
Bài 2. Tính giới hạn sau:
1) Đs:
2) Đs:
3) Đs:
4) Đs:
5) Đs:
6) Đs:
7) Đs:
Bài 1)Tính giới hạn với Đs:
2) Tính giới hạn với Đs:
3) Tính giới hạn với Đs:
Bài 4. Tìm để hàm số có giới hạn
Đs:
2
3
9
lim
3
x x C
x
→
− =
−
2
2
lim
2
x
x x x x C
x x
− →
− + − +
=
− +
7
2
2
lim
1 x
x C
x
− →
− =
− − −2
2
7 12
lim
9 x
x x D
x
− →
− + =
−
1
2 2
5
lim
4 x
x x D
x
− →
− + =
−
1
2
1
lim
x
x x
D
x x
− →
− + − =
−
( ) 3 2
1
5
lim
2
x
x
D x
x x
+ →
+
= −
+ −
3
3
lim
5
x
x x D
x x
− →
− + =
− +
3
( )
1
lim x C f x
→
= ( )
3
5
3
x x x khi x f x
x x khi x
− −
=
−
−2
( )
1
lim x C f x
→
= ( )
2
3
1
x khi x
f x
x khi x
−
=
− +
−2
( )
2
lim x
C f x
→−
= ( )
3
2
10
x
khi x
f x x
x khi x
−
−
= +
+ −
8
m ( )
3
2
1
1
1 x
khi x f x x
mx x m khi x
+ −
= +
− + −
1 x= −
1
(61) LỜI GIẢI
Bài 1. 1)
Vì Do
2)
+) Vì nên
+) Vì nên
Suy nên không tồn giới hạn
3)
Ta có Do đó:
+)
+)
Suy giới hạn không tồn
Bài 2. 1)
Vì Do
2)
3
1
lim
2
x
x A
x x
− →
− =
+ −
( )
1 1
x→ − = − −− x x x
( )
( )( )
1
1 1
lim lim
2
1 2
x x
x A
x x
x x x
− −
→ →
− − −
= = = −
+ +
− + +
2
2
lim
2 x
x B
x
→
− =
−
( )
2 2
x→ − − = − −x x x ( ) ( )
2
2
lim lim 1
2
x x
x x
− −
→ →
− −
= − = − −
2 2
x→ + − = −x x x
2
2
lim lim 1
2
x x
x x
− −
→ →
−
= =
−
2
2
lim lim
2
x x
x x
x x
− +
→ →
− −
− −
2
lim
2 x
x B
x
→
− =
−
2
3
9
lim
3
x x C
x
→
− =
−
3
3
lim
3 x
x x C
x
→
− +
=
−
( )
2
3 3
9
lim lim lim
3
x x x
x x x
x
x x
+ + +
→ → →
− − +
= = + =
− −
( ) ( )
2
3 3
9
lim lim lim
3
x x x
x x x
x
x x
− − −
→ → →
− − − +
= = − + = −
− −
2
9 lim
3
x x C
x
→
− =
−
2
2
lim
2
x
x x x x C
x x
− →
− + − +
=
− +
( )
1 1
x→ − − = − −− x x x
( ) ( )
( ) ( )( )
2
1 1
2 1 3
lim lim lim
1
1
x x x
x x x x x x x x
C
x
x x x x
− − −
→ → →
− − − + − + − −
= = =
−
− − + +
( )( )
( )( )
1
1 4
lim lim
4
2
1
x x
x x x
x x
x x x
− −
→ →
− + +
= = =
+ +
− + +
2
lim x
(62)Vì Do đó:
3)
Ta có
4)
Ta có
5)
Ta có
6)
Ta có
7)
Ta có
Bài 1)Ta có: +) +)
+) Vì nên hàm số có giới hạn
( )
2 2
x→ − − − = − −x x x
( )( )
( ) ( )
2
2 1
lim lim 1
1
x x
x x
C x
x
− −
→ →
− − − +
= = − − + = −
− −
2
7 12
lim
9 x
x x D
x
− →
− + =
−
( )( )
( )( )
3 3
3 3 4 4 1
lim lim lim
3 3
3
x x x
x x x x x
D
x x x
x x
− − −
→ → →
− − − − −
= = = =
− + +
− +
2 2
5
lim
4 x
x x D
x
− →
− + =
−
( )( )
( )( )
2 2
2 2 3 3 1
lim lim lim
2
2 2
2
x x x
x x x x x
D
x x x
x x
− − −
→ → →
− − − − −
= = = =
− + +
− +
2
1
lim
x
x x
D
x x
− →
− + − =
−
( )
( )
( )2
2
1 1
1
1 1
lim lim lim
1
x x x
x x
x x x
D
x
x x
x x
− − −
→ → →
− − −
− − − − −
= = = =
− −
( ) 3 2
1
5
lim
2
x
x
D x
x x
+ →
+
= −
+ −
( ) ( )
( )( ) ( )( )
2
2
1
1 5
lim lim
3
1 3
x x
x x x x
D
x x
x x x
+ +
→ →
− + − +
= − = − =
+ +
− + +
3
3
lim
5
x
x x D
x x
− →
− + =
− +
( ) ( )
( )( ) (( ))( )
2
1 1
1 2
lim lim lim
1 4
x x x
x x x x x
D
x x x x x
− − −
→ → →
− + − + +
= = = =
− − − − −
( ) ( )
1
lim lim
x x
f x x x
− −
→ = → − = −
( ) ( )
1
lim lim 6
x x
f x x x x
+ +
→ = → − − = − − = −
( ) ( )
1
lim lim
x x
f x f x
− +
→ = → = − f x( ) x=1
( )
1
lim
(63)2) Ta có: +) +)
+) Vì nên
3) Ta có: +) +)
+)Vì nên
Bài 4. Ta có: +) +)
+) Để hàm số có giới hạn
Dạng Giới hạn hàm số lượng giác
Phương pháp giải:
- Sử dụng định lý giới hạn hàm số
- Sử dụng công thức biến đổi lượng giác - Lưu ý:
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính giới hạn Đs:
Lời giải Ta có:
Ví dụ 2. Tính giới hạn Đs:
( ) ( )
1
lim lim
x x
f x x
− −
→ = → − = −
( ) ( )
1
lim lim 2
x→+ f x =x→+ − x + = −
( ) ( )
1
lim lim
x x
f x f x
− +
→ = → = − C=limx→1 f x( )= −2
( )2 ( ) ( )2
3
lim lim
1
x x
x f x
x
− −
→ − → −
−
= =
+
( )2 ( ) ( )2 ( )
lim lim 10
x x
f x x
+ +
→ − = → − + =
( )2 ( ) ( )2 ( )
lim lim
x x
f x f x
− +
→ − = → − = C=xlim→−2 f x( )=8
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
2
1 1
1
lim lim lim
1
x x x
x
f x x x
x
− − −
→ − → − → −
+
= = − + =
+
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1
lim lim
x x
f x mx x m m m
+ +
→ − = → − − + = + +
1 x= −
2
3
2
m
m m m m
m =
= + + + − = = −
0
sin
lim
x
x x
2
2sin
lim
4 cos
x
x A
x
→
− =
−
1 A= −
( )
2 2
6 6
2sin 2sin 2sin 1
lim lim lim lim
4 cos sin 4sin 2sin
x x x x
x x x
A
x x x x
→ → → →
− − − −
= = = = = −
− − − − +
2
2 sin
lim
2 cos
x
x A
x
→
− =
−
(64)Lời giải Ta có:
Ví dụ 3. Tính giới hạn Đs:
Lời giải Ta có:
Ví dụ 4. Tính giới hạn Đs:
Lời giải Ta có:
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tính giới hạn sau: 1)
0
1 sin cos
lim
1 sin cos x
x x
A
x x
→
+ −
=
− − Đs: A= −1 2)
sin
lim
1 sin cos x
x A
x x
→
=
− − Đs: A= −1
3)
0
sin sin
lim
sin x
x x
A
x
→
−
= Đs: A=2 4)
0
sin sin
lim
sin x
x x
A
x
→
−
= Đs: A=2
5)
0
1 cos
lim
sin x
x A
x
→
−
= Đs: A=0
6)
3
cos cos 2
lim
sin
x
x x
A
x
→
+ +
= Đs:
3
A=
7)
2
1 sin cos
lim
cos
x
x x
A
x
→
+ +
= Đs: A=2
Bài 2. Tính giới hạn sau: 1)
0
1 cos
lim
1 cos x
ax B
bx
→
− =
− Đs:
2
a B
b =
2)
sin
lim
x
x B
x
→
= Đs: B=5
( )
2 2
4 4
2 sin sin sin 1
lim lim lim lim
2 cos sin 1 2sin sin
x x x x
x x x
A
x x x x
→ → → →
− − − −
= = = = = −
− − − − +
0
cos
lim
sin x
x A
x
→
−
= A=0
2 2
0
cos cos sin cos sin
lim lim
sin 2sin cos
x x
x x x x x
A
x x x
→ →
− − − −
= =
2
0
2sin sin
lim lim
2sin cos cos
x x
x x
x x x
→ →
− −
= = =
0
1 sin cos
lim
1 sin cos x
x x
A
x x
→
− −
=
+ − A= −1
( )
( )
2 2
0
1 2sin cos cos sin
1 sin cos
lim lim
1 sin cos 2sin cos cos sin
x x
x x x x
x x
A
x x x x x x
→ →
− − −
− −
= =
+ − + − −
( )
( )
2
0 0
2sin sin cos
2sin 2sin cos sin cos
lim lim lim
2sin 2sin cos 2sin sin cos sin cos
x x x
x x x
x x x x x
x x x x x x x x
→ → →
−
− −
= = = = −
(65)3) 3
sin sin sin lim
45 x
x x x B
x
→
= Đs:
3
B= 4) 2
0 cos lim x x B x → −
= Đs:
2 B=
5)
0
1 cos lim
1 cos x x B x → − =
− Đs:
25
B= 6) 2
0 cosa lim x x B x → −
= Đs:
2
2 a B=
7)
2
1 cos lim sin x x B x x → −
= Đs: B=4 8) 3
0 sin tan lim x x x B x → −
= Đs:
2 B= −
9) 3
0 tan sin lim sin x x x B x → −
= Đs:
2
B= 10)
3 cos lim sin x x B x x → −
= Đs:
2
B=
Bài 3. Tính giới hạn sau:
1) ( )
2
cos8 sin
lim x x x B x → −
= Đs: B= −48 2)
0
1
lim sin x x B x → − +
= Đs:
2 B= −
3) 2
0
1 cos cos lim x x B x → −
= Đs:
2
B= 4)
3 cos lim tan x x B x → −
= Đs:
6 B=
5) tanx lim 2sin x B x → − =
− Đs:
B=
6) 3
0
1 tan sin
lim x x x B x → + − +
= Đs:
4
B= 7)
( )2
0 cos lim 1 x x B x → − =
− − Đs: B=2
8) 2 cos lim x x x B x → + −
= Đs: B=1 9)
0
1 sin
lim
3
x x x B x x → − + + =
+ − − Đs: B=0
10)
3
2 1
lim sin x x x B x → + − +
= Đs:
Bài Tính giới hạn sau: 1)
4
lim tan tan
4 x
C x x
→
= −
Đs:
1
C=
2)
( )2
1 cos lim x x C x → + =
− Đs:
1
C=
3) lim sin2 ( 1)
4 x x C x x → − =
− + Đs:
1 C= −
4) limsin sin x a x a C x a → − =
(66) LỜI GIẢI
Bài 1. 1) ( )
( )
2 2
0
1 2sin cos cos sin
1 sin cos
lim lim
1 sin cos 2sin cos cos sin
x x
x x x x
x x
A
x x x x x x
→ →
+ − −
+ −
= =
− − − − −
( )
( )
2
0 0
2sin sin cos
2sin 2sin cos sin cos
lim lim lim
2sin 2sin cos 2sin sin cos sin cos
x x x
x x x
x x x x x
x x x x x x x x
→ → →
+
+ +
= = = = −
− − −
2)
( 2 )
0
sin 2sin cos
lim lim
1 sin cos 2sin cos cos sin
x x
x x x
A
x x x x x x
→ →
= =
− − − − −
( )
2
0 0
2sin cos 2sin cos cos
lim lim lim
2sin 2sin cos 2sin sin cos sin cos
x x x
x x x x x
x x x x x x x x
→ → →
= = = = −
− − −
3)
0 0
sin sin 2cos sin
lim lim lim 2cos
sin sin
x x x
x x x x
A x
x x
→ → →
−
= = = =
4)
0 0
sin sin 2cos sin
lim lim lim 2cos
sin sin
x x x
x x x x
A x
x x
→ → →
−
= = = =
5)
2
0 0
2sin sin
1 cos 2 2
lim lim lim
sin
2sin cos cos
2 2
x x x
x x
x A
x x x
x
→ → →
−
= = = =
6) ( )
3 2
3
3
4 cos 3cos cos sin
cos cos 2
lim lim
sin 3sin 4sin
x x
x x x x
x x
A
x x x
→ →
− + − +
+ +
= =
−
( ) ( ( ) )
2
3
2
3
cos cos cos
4 cos 3cos cos
lim lim
sin 4sin sin cos
x x
x x x
x x x
x x x x
→ →
− +
− +
= =
− − −
( ) ( )( )
( )( ) (( ))
2
2
3 3
cos cos cos 2 cos 3 cos 1 cos 2 cos 3 2 3
lim lim lim
sin cos cos sin cos
sin cos
x x x
x x x x x x x
x x x x x
x x
→ → →
+ − + − +
= = = =
− + +
−
7)
2
2
1 sin cos 2 cos 2sin cos
lim lim
cos cos
x x
x x x x x
A
x x
→ →
+ + +
= =
( ) ( )
2
2 cos cos sin
lim lim cos sin
cos
x x
x x x
x x x
→ →
+
= = + =
Bài 1)
2
2
0 2
2sin sin
1 cos 2 2 2
lim lim lim
1 cos 2sin sin
2 2
x x x
ax ax bx
ax a a
A
bx ax bx
bx b b
→ → →
−
= = = =
−
(67)(Vì
0
sin
lim
2 x
ax ax
→ =
2
lim
sin x
bx bx
→ = )
2)
0
sin sin
lim lim 5
5
x x
x x
B
x x
→ →
= = =
(Vì
sin
lim
5 x
x x
→ = ).
3) 3
0
sin sin sin sin sin sin 1
lim lim
45 3
x x
x x x x x x
B
x x x x
→ →
= = =
(Vì
0
sin
lim
5 x
x x
→ = ,
sin
lim
3 x
x x
→ = ,
sin
lim
x
x x
→ = )
4)
2
2
0
2sin
1 cos 2
lim lim
2
x x
x x
B
x x
→ →
−
= = =
, (vì
2
2
sin
lim
2 x
x x
→ =
.
5)
2
2
2
0 2
2
5
5 sin .
2sin
1 cos 2 2 25 25
lim lim lim
3
1 cos 5 3 9
2sin .sin
2 2 2
x x x
x x x
x B
x
x x x
→ → →
−
= = = =
−
(Vì
2
2
5 sin
2
lim
5 x
x x
→ =
2
0 2
3
lim
3 sin
2 x
x x
→
= )
6)
2
2 2
2
0
2sin
1 cosa 2
lim lim
4
2
x x
ax
x a a
B
x ax
→ →
−
= = =
, (vì
2
2
sin
lim
2 x
ax ax
→ =
).
7)
2 2
2
0 0
sin 4sin cos sin
lim lim lim cos
.sin sin
x x x
x x x x
B x
x x x x x
→ → →
= = = =
, (vì
sinx
lim
x→ x = ).
8) 3 3 3
0 0
sin sin
sin tan cos sin cos sin
lim lim lim
cos
x x x
x x
x x x x x x
B
x x x x
→ → →
−
− −
= = =
( )
2
0
sin
sin cos 2sin 2
lim lim
cos cos
2
x x
x
x x x
x x x x x
→ →
− − − − −
= = =
(68)(vì
0
sinx
lim
x→ x = và
2
2
sin
lim
2 x
x x
→
=
)
9) 3 3 3
0 0
sin
sin
tan sin cos sin sin cos
lim lim lim
sin sin sin x cos
x x x
x
x
x x x x x x
B
x x x
→ → →
−
− −
= = =
2
2
0 2 2 2
2sin
1 cos 2 1
lim lim lim
sin x cos
4.sin cos cos cos cos
2 2
x x x
x x
x x x
x
x x
→ → →
−
= = = =
10) ( )( ) ( )
2
2
0
2sin cos cos
1 cos cos cos 2
lim lim
sin 2 sin cos
2
x x
x
x x
x x x
B
x x
x x x
→ →
+ +
− + +
= =
2
sin
1 cos cos
2
lim
2 cos
2
x
x
x x
x x
→
+ +
= =
, (vì
0
sin
lim
2 x
x x
→ = )
Bài 3. 1) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
4 4 4
0 0
cos8 sin cos8 1 sin 3 2sin sin 3
lim lim lim
3 3 cos8 1 3 cos8 1
x x x
x x x x x x
B
x x x x x
→ → →
− − −
= = =
+ +
=
2
0
sin sin 96
lim 48
4 cos8
x
x x
x x x
→
−
= −
+
2)
0
1 2 1
lim lim
sin sin 2
x x
x x
B
x x x
→ →
− + −
= = = −
+ +
3)
( ) ( ( ))
2
2
2 2 2
0 0
1 cos sin
1 cos cos cos cos
lim lim lim
1 cos cos cos cos
x x x
x
x x x x
B
x x x x x x x
→ → →
− −
− −
= = =
+ +
( )
( ) ( )
2 2 2 2 2
2
0
2 2
0
sin cos cos 2sin sin 2sin cos
lim lim
1 cos cos cos cos
sinx cos
lim
2
1 cos cos
x x
x
x x x x x x x
x x x x x x
x
x x x
→ →
→
+ − − +
= =
+ +
+
= + =
4)
( )
3
2
0
3
2
1 cos cos
lim lim
sin tan
1 cos cos
cos
x x
x x
B
x x
x x
x
→ →
− −
= =
(69)( ) ( )
2
2
0 2 2 3 3 2 2 3 3 2
4sin cos
cos
2
lim lim
6
2sin cos cos cos cos cos cos
2
x x
x x
x
x x x
x x x x
x
→ →
= = =
+ + + +
5)
( )( )
3
2 2 2 3 2
3
4
tanx tan
lim lim
2 sin sin cos tan tan 1
x x
x B
x x x x x
→ →
− −
= =
− − + +
( 2 )(3 ) ( )(3 )
4
sin cos
1
cos
lim lim
3
sin cos tan tan cos sin cos tan tan
x x
x x
x
x x x x x x x x x
→ →
−
= = =
− + + + + +
6)
( )
3 3
0
1 tan sin tan sin
lim lim
1 tan sin
x x
x x x x
B
x x x x
→ →
+ − + −
= =
+ + +
( ) ( )
( )
2
3
0
2
0
2 sin sin
sin sin cos 2
lim lim
cos tan sin cos tan sin
sin
sin 2
lim
4
4 tan sin
2
x x
x
x x
x x x
x x x x x x x x
x x
x
x x x
→ →
→
−
= =
+ + + + + +
= =
+ + +
7)
( )
( ) ( )
2 2
2
2
0 0
2 sin 1 sin 2 1 1
1 cos 2 2
lim lim lim
4
1
2
x x x
x x
x x
x B
x x
x
→ → →
+ − + −
−
= = = =
− −
8)
( ) ( )
2 2 2
2
0 2 2
1 cos cos sin
lim lim lim
1 cos cos
x x x
x x x x x x
B
x x x x x x x
→ → →
+ − + − +
= = =
+ + + +
2
2 2 2
0
sin 1 1
= lim
2
1 cos cos
x
x
x x x x x
→
+ = + =
+ + + +
9)
0 0
1 sin sin
lim = lim lim
3 4
x x x
x x x x
B
x x x x x x
→ → →
− + + − +
= +
+ − − + − − + − −
( )
( )( ) ( ( ) )
( )
( )( )
2
0
0
2 sin
lim lim
1
1
2 sin 3 4 2
lim lim
1
1
4
x x
x x
x x x x x x
x x
x x x
x x x x x
x x
x x
→ →
→ →
− + + + + + +
= +
− +
− − + +
− + + + + + +
= +
− −
− − + +
(70)10)
3 3
0 0
2 1 1 1 1 1
lim lim lim lim
sin sin sin sin
x x x x
x x x x x x
B
x x x x
→ → → →
+ − + + − + − + + − − +
= = = +
( ) ( )
2
0 3 2 2
3
2
lim lim
sin 1 sin 1 1 1
x x
x x
x x x x x
→ →
−
= + =
+ + + + + +
Bài 4. 1)
4
lim tan tan x
C x x
→
= −
Đặt
4
t= −x ,
x→ → t Khi đó:
( )
0 0
cos
lim tan ( 1) tan lim cot tan lim
2 cos
t t t
t
C t t t t
t
→ → →
= + − = = =
2)
( )2
1 cos lim
x
x C
x
→
+ =
−
Đặt t = −x , x→ → t Khi đó:
2
0
2 sin
1 cos 2
lim lim
2
t t
t t
C
t t
→ →
−
= = =
3) lim sin2 ( 1)
4
x
x C
x x
→
− =
− +
Đặt t = −x , x→ →1 t Khi đó:
( ) ( )
( )( ) ( )
2 0
sin sin sint
lim lim lim
4 3 2
x x t
x x
C
x x x x t t
→ → →
− −
= = = = −
− + − − −
4) limsin sin x a
x a C
x a
→
− =
−
Đặt t= −x a x→ →a t Khi đó:
( )
0
2
2 cos sin
sin sin 2 2
lim lim cos
2
t t
t a t t a a
C a
t t
→ →
+ + −
= = =
C BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1. Tính giới hạn sau:
1 2
3
lim
6 x
x x x
→
−
− − ĐS:
5
2
2 15
lim
3 x
x x x
→
+ −
− ĐS :
3 2
3 lim
2
x
x x x
→−
+
+ − ĐS:
4
2 2
3
lim
4 x
x x x
→
− +
− ĐS:
(71)5 2 lim x x x x →− + +
− ĐS:
1 − 2 12 lim x x x x → − +
− ĐS:
1 − 2 1 lim x x x x → −
+ − ĐS:
5
2 2 lim x x x x → + − − ĐS: 2
2 14
lim x x x x → + −
− ĐS:
11
4 10
2
9
l im
4 x x x x → −
− + ĐS:
11 2 10 lim 18 x x x x x → − −
+ − ĐS:
11
7 12
2 5 lim 25 x x x x → −
− ĐS:
1 13 2 lim
2 10 12
x
x x x
→
−
− + ĐS: 14
2 2 lim x x x x → −
− − ĐS:
4 − 15 2 lim x x x x x → − +
− ĐS:
1
3 16
2 20 lim x x x x x → − +
− ĐS:
1 17 2
3 10
lim x x x x x → − +
− + ĐS: 18
2 3 lim x x x x x → + −
− − ĐS:
19 2 lim x
x x x x
→
− +
− ĐS:
1
− 20
4 2 16 lim x x x x →− −
+ + ĐS: −16
21 2 lim x x x x → −
− + ĐS: 12 22
3 2 lim 11 18 x x x x →− +
+ + ĐS:
12 23 2 lim 2 x x x x → − − +
− ĐS:
2 − 24 2 lim x x x x → −
− + ĐS: 12
25 2 2 lim x x x →− +
− ĐS:
3
− 26 ( )
3 1 lim x x x → + −
ĐS:
27 ( ) 27 lim x x x → + −
ĐS: 27 28
4
27
lim
2
x
x x
x x
→
−
− − ĐS:
29
3 2
5 10
lim
2 x
x x x
x
→
− + −
− ĐS: 30
3 2
2
lim
1 x
x x x x
→
− + +
− ĐS: −1
31 2 lim x x x x → − −
− ĐS:
5
2 32
3 2 lim x
x x x x x
→−
+ +
− − ĐS: − 33 2 10 lim x x x x x →− − −
− + ĐS: 11 − 34 2 1 lim x
x x x x x
→
− − +
− + ĐS:2
35 lim x x x x → −
− − ĐS:
4
9 36
3 2 2 lim x
x x x x
→
− − +
− ĐS:
3 37 3 lim x x x x x → + −
+ − ĐS:
5
8 38
3 2
3
lim
3
x
x x x x x
→
− − +
(72)39 2 lim x
x x x x x
→
+ − −
− + ĐS: 11 40
3
2
lim x x x x x → − +
− + ĐS: -1
41 2 lim
3
x
x x x x x
→−
− −
+ − + ĐS:
6 19
− 42
3 1 lim x x x x → −
− + ĐS:
3 43
5
lim
8
x
x x x x x
→
− + +
− − ĐS: 44
3
3
6
lim
9
x
x x x x x
→
− + −
+ − ĐS: 45 lim x x x x x → + −
− + ĐS:
4
− 46 lim x x x x x → − +
− + ĐS: 47 2 2 lim x
x x x x
→
− + −
− ĐS:
17
4 48
4 3
1 lim
5
x
x x x x x x
→
− − +
− + − ĐS: − 49 3
2
lim
4 13
x
x x x
x x x
→
− − −
− + − ĐS: 11
17 50
3
2
lim
1 x
x x x x x x
→−
+ + +
+ − − ĐS: 51 3
2
lim
4 12 12
x
x x x
x x x
→
− − −
− + − ĐS: 11
20 52
3 2 lim ( 1) x x x x → − +
− ĐS:
1
53
4 3 2
2 4
lim
3 14 20
x
x x x x
x x x
→−
+ + − −
+ + + ĐS:
7
− 54
3 2
2
lim
3
x
x x x
x
→−
− + + +
− ĐS:
7
55
4
5
lim
3
x
x x x x
x x x x
→
− + − +
− + + − ĐS: 56
5 2 lim x
x x x x x x
→
+ + + + −
− ĐS:
15
57 2
1
1
lim
1
x→ x x
−
− −
ĐS:
1
2 58
1 12
lim
2
x→ x x
−
− −
ĐS:
1
59 2 2
2
1
lim
3
x→ x x x x
+
− + − +
ĐS: −2 60 2
2 26
lim x x x x x →− − − − + −
ĐS:
7
61 2 3
1
1
lim
2
x→ x x x
−
+ − −
ĐS:
2
9 62
(1 )(1 )(1 )
lim x
x x x
x
→
+ + + −
ĐS:
63 1 lim n m x x x → −
− ĐS: n
m 64 1
1 lim
( 1)
n
x
x nx n x
→
− + −
− ĐS:
( 2)( 1)
2 n− n−
65 100 50 lim x x x x x → − +
− + ĐS: 66
2 lim n x
x x x n x
→
+ + + −
− ĐS:
( 1)
2 n n+
Lời giải
1
( )( )
2
3 3
3 1
lim lim = lim
6
x x x
x x
x x x x x
→ → →
− −
= =
− − + − +
2 ( )( ) ( )
2
3 3
3
2 15
lim lim = lim
3
x x x
(73)3 2 3 lim x x x x →− +
+ − 3( )( )
3 lim x x x x →− + = + − 2 lim x x x x → − + − ( )( ) ( )( ) 2 lim 2 x x x x x → − − =
− +
1
lim
1
x→− x
= = − 1 lim x x x → − = = +
5 ( )( )
( )( )
2
2 2
1
3 1
lim lim = lim
4 2
x x x
x x
x x x
x x x x
→− →− →−
+ +
+ + +
= = −
− − + −
6 ( )( )
( )( )
2
3 3
3
7 12
lim lim = lim
9 3
x x x
x x
x x x
x x x x
→ → →
− −
− + = − = −
− − + +
7 ( )( )
( )( )
2
1 1
1
1
lim lim = lim
3 4
x x x
x x
x x
x x x x x
→ → →
− +
− = + =
+ − − + +
8 ( )( )
( )( )
2
2 2
2
6
lim lim = lim
4 2
x x x
x x
x x x
x x x x
→ → →
− +
+ − = + =
− − + +
9 ( )( )
( )( )
2
2 2
2
2 14 11
lim lim = lim
4 2
x x x
x x
x x x
x x x x
→ → →
− +
+ − = + =
− − + +
10 ( )( )
( )( )
2
3 3
3
9
l im lim = lim
4 3 1
x x x
x x
x x
x x x x x
→ → →
− +
− +
= =
− + − − −
11 ( )( )
( )( )
2
2 2
2
3 10 11
lim lim = lim
4 18 9 17
x x x
x x
x x x
x x x x x
→ → →
− +
− − = + =
+ − − + +
12 ( )
( )( )
2
5 5
5
5
lim lim = lim
25 5
x x x
x x
x x x
x x x x
→ → →
−
− = =
− − + +
13 ( )( )
( )( ) ( )
2
2 2
2
4
lim lim lim
2 10 12 2 3
x x x
x x
x x
x x x x x
→ → →
− +
− − −
= = =
− + − − −
14 ( )( )
( )( )
2
2 2
2
4
lim lim lim
2 2 3
x x x
x x
x x
x x x x x
→ → →
− +
− − − −
= = =
− − − + +
15 ( )( )
( )
2
3 3
2
5
lim lim = lim
3 2
x x x
x x
x x x
x x x x
→ → →
− −
− + = − =
− −
16 ( )( )
( )
2
5 5
4
9 20
lim lim = lim
5 5
x x x
x x
x x x
x x x x x
→ → →
− −
− + = − =
− −
17 ( )( )
( )( )
2
3 3
3
5
lim lim = lim
3
x x x
x x
x x x
x x x x x
→ → →
− −
− + −
= =
− − − −
18 ( )( )
( )( )
2
3 3
1
2 3
lim lim = lim
2 1 2
x x x
x x
x x x
x x x x x
→ → →
− +
+ − +
= =
(74)19 ( )( )
( )( ) ( )
3 2
3 3
2
5
lim lim = lim
9 3
x x x
x x x x x
x x x
x x x x
→ → →
− − −
− + = = −
− − + − −
20 ( )( )( )
( )( ) ( )
( )
2
4
2 2
4 2
16
lim lim = lim 16
6 4
x x x
x x x x x
x
x x x x x
→− →− →−
+ − + + −
− = = −
+ + + + +
21
3 2
8 lim
5
x
x x x
→
−
− + =
( )( )
( )( )
2
2
lim
2
x
x x x x x
→
− + +
− −
22 ( )( )
( )( )
2
2
2
2
8
lim lim
11 18
x x
x x x
x
x x x x
→− →−
+ − +
+ =
+ + + +
( )
2
2
lim 12
3
x
x x
x
→
− + +
= =
−
2
2 12
lim
9
x
x x x
→−
− +
= =
+
23 ( )( )
( )( )
2
3 2
2 2
2
2 2 2
lim lim = lim
6
2 2 2 2
x x x
x x
x x x
x x x x x x
→ → →
− − +
− − + − + −
= =
− − + + + +
24 ( )( )
( )( )
2
3
2
2 2
2
8
lim lim = lim 12
3 2
x x x
x x x
x x x
x x x x x
→ → →
− + +
− = + + =
− + − − −
25 ( )( )
( )( )
2
3
2
2 2
2 2
2 2
lim lim = lim
2 2 2
x x x
x x x
x x x
x x x x
→− →− →−
− − +
+ = − + = −
− − + −
26 ( ) ( )
3 3 2
2
0 0
1 3
lim lim lim 3
x x x
x x x x
x x
x x
→ → →
+ − = + + = + + =
27 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
0 0
3 3
1 27
lim lim = lim 3 27
x x x
x x x
x
x x
x x
→ → →
+ + + +
+ −
= + + + + =
28 ( )( )
( )( ) ( )
2
4
3 3
3 9
27
lim lim = lim
2 3
x x x
x x x x x x x
x x
x x x x x
→ → →
− + + + +
−
= =
− − − + +
29 ( )( ) ( )
2
2
2 2
2
5 10
lim lim = lim
2
x x x
x x x
x x x
x x
x x
→ → →
− − +
− + −
= − + =
− −
30 ( )( )
( )( )
2
3 2
2
1 1
1
2 2
lim lim = lim
1 1
x x x
x x x
x x x x x
x x x x
→ → →
− − −
− + + − −
= = −
− − + +
31 ( )( )
( )( )
2
3
2
2 2
2 2
2 2
lim lim = lim
4 2 2
x x x
x x x
x x x x
x x x x
→ → →
− + +
− − = + + =
− − + +
32 ( )( )
( )( ) ( )
3 2
2 2
1
3 2
lim lim = lim
6 3
x x x
x x x x x
x x x
x x x x x
→− →− →−
+ + +
+ +
= = −
(75)33 ( )( )
( )( )
2
3 2
2 2
2
2 10
lim lim lim
6 2 3 11
x x x
x x
x x x
x x x x x x x
→− →− →−
+ −
− − = = + = −
− + + − + − +
34 ( ) ( )
( ) ( )
2
2
1 1
1
1
lim lim = lim
2 1
x x x
x x
x x x
x
x x x
→ → →
− +
− − + = + =
− + −
35 ( )( )
( )( ) ( )
2
2
3
2 2
2
4
lim lim = lim
3 2 1
x x x
x x
x x
x x x x x
→ → →
− +
− = + =
− − − + +
36 ( )( )
( )( )
2
3 2
2
2 2
2
2
lim lim = lim
4 2
x x x
x x
x x x x
x x x x
→ → →
− −
− − + = − =
− − + +
37
2
3 2
1 1
3 ( 1)( 4)
lim lim lim
2 ( 1)(2 3) 3
x x x
x x x x x
x x x x x x x
→ → →
+ − = − + = + =
+ − − + + + +
38
3 2
2
1 1
3 ( 1)(3 3) 3
lim lim lim
3 ( 1)(3 1)
x x x
x x x x x x x x
x x x x x
→ → →
− − + = − − − = − − = −
− − − + +
39
3 2
2
2 2
5 ( 2)( 1)
lim lim lim 11
3 ( 2)( 1)
x x x
x x x x x x x x
x x x x x
→ → →
+ − − = − + + = + + =
− + − − −
40
3 2
2
1 1
2 ( 1)(2 3) 2
lim lim lim
3 ( 2)( 1)
x x x
x x x x x x x
x x x x x
→ → →
− + = − + − = + − = −
− + − − −
41
2
3 2
2 2
2 ( 2)( 4)
lim lim lim
3 ( 2)(3 3) 3 19
x x x
x x x x x
x x x x x x x x
→− →− →−
− − = + − = − = −
+ − + + − + − +
42
3 2
4 3
1 1
1 ( 1)( 1)
lim lim lim
4 ( 1)( 3) 3
x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x
→ → →
− = − − − − = − − − =
− + − + − − + − −
43
3 2
4 3
3 3
5 ( 3)( 3)
lim lim lim
8 ( 3)( 3) 3
x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x
→ → →
− + + = − − − = − − =
− − − + + + + + +
44
3 2
4 3
1 1
3 3
6 (3 1)(2 1) 2
lim lim lim
9 (3 1)(3 1) 3
x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x
→ → →
− + − = − − + = − + =
+ − − + + + + + +
45
1 1
2 ( 1)( 3)
lim lim lim
3
5 ( 1)( 4)
x x x
x x x x x
x x x x x
→ → →
+ − = − + = + = −
− + − − −
46
3
4 2
1 1
3 ( 2)( 1)
lim lim lim
4 ( 1)( 3)
x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
→ → →
− + = + − + = + =
− + − + + + + +
47
5 4
2
2 2
2 ( 2)( 1) 17
lim lim lim
4 ( 2)( 2)
x x x
x x x x x x
x x x x
→ → →
− + − − + +
= = =
− − + +
48
4 2
3 2
1 1
1 ( 1)( 1)
lim lim lim
5 ( 1)( 3)
x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x
→ → →
− − + = − + + + = + + = −
(76)49
3 2
3 2
3 3
2 ( 3)(2 1) 11
lim lim lim
4 13 ( 3)(4 1) 17
x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
→ → →
− − − = − + + = + + =
− + − − − + − +
50
3 2
3 2
1 1
2 (2 1)( 1) 1
lim lim lim
1 ( 1)( 1)
x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
→− →− →−
+ + + = + + + = + =
+ − − − + + −
51
3 2
3 2
3 3
2 ( 3)(2 1) 11
lim lim lim
4 12 12 4( 3)( 1) 4( 1) 20
x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
→ → →
− − − = − + + = + + =
− + − − + +
52
3 3
2 2 3 2 2 3 2 2
1 3
2 ( 1) 1
lim lim lim
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
x x x
x x x
x x x x x x
→ → →
− + = − = =
− − + + + +
53
4 2 2
3 2
2 2
2 4 (2 1)( 4)
lim lim lim
3 14 20 (3 2)( 4)
x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
→− →− →−
+ + − − − + + −
= = = −
+ + + + + + +
54
3 2
2
3
2 ( 3)(2 (3 3) 3)
lim lim
3 ( )( )
x x
x x x x x x
x x x
→− →−
− + + + = + − − + −
− − +
2
2 (3 3) 3
lim
6
x
x x
x
→−
− − + −
= =
−
55
4 3
4 2
1 1
5 ( 1) ( 2)
lim lim lim
3 ( 1) ( 2)( 1)
x x x
x x x x x x x
x x x x x x x x
→ → →
− + − + = − − = − =
− + + − − − + +
56
5 4
2
1
5 ( 1)( 5)
lim lim
1 ( 1)( 1)
x x
x x x x x x x x x x
x x x
→ →
+ + + + − = − + + + +
− − +
4
2 15
lim
1
x
x x x x
x
→
+ + + +
= =
+
57 2
1 1
1 1
lim lim lim
1 ( 1)( 1)
x x x
x
x x x x x
→ → →
−
− = = =
− − − + +
58 3 2 2
2 2
1 12 ( 2)( 4)
lim lim lim
2 ( 2)( 4)
x x x
x x x
x x x x x x x
→ → →
− + +
− = = =
− − − + + + +
59 2 2
2 2
1 2( 2)
lim lim lim
3 ( 2)( 3)( 1) ( 3)( 1)
x x x
x
x x x x x x x x x
→ → →
−
+ = = = −
− + − + − − − − −
60 2
2 2
2 26 2( 5)( 2) 2( 5)
lim lim lim
2 ( 2)( 2) 2
x x x
x x x x x
x x x x x
→− →− →−
− − − + −
− = = =
+ − − + −
61 2 3 2 2
1 1
1 ( 1)( 1)
lim lim lim
2 ( 1)( 2)( 1) ( 2)( 1)
x x x
x x x
x x x x x x x x x x
→ → →
− + +
− = = =
+ − − − + + + + + +
62 ( )
2
2
0 0
(1 )(1 )(1 ) (6 11 6)
lim lim lim 11 6
x x x
x x x x x x
x x
x x
→ → →
+ + + − + +
= = + + =
63
1 2
1 2
1 1
1 ( 1)( 1)
lim lim lim
1 ( 1)( 1)
n n n n n
m m m m m
x x x
x x x x x x x x n
x x x x x x x x m
− − − −
− − − −
→ → →
− = − + + + + = + + + + =
(77)64
1
2
1
1 ( 1)( 1) n( 1)
lim lim
( 1) ( 1)
n n n
x x
x nx n x x x x x
x x
− −
→ →
− + − = − + + + + − −
− −
1 2
1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
lim
1
n n
x
x x x x
x − − → − + − + + − + − = −
( 3 )
1
lim ( n n 1) ( n n 1)
x x x x x x x
− − − −
→
= + + + + + + + + + + +
( 2)( 1)
( 2) ( 3)
2 n n
n n − −
= − + − + + + = 65 100 50 lim x x x x x → − + − + 99 98 49 48
( 1)( 1) ( 1)
lim
( 1)( 1) ( 1)
x
x x x x x
x x x x x
→ − + + + + − − = − + + + + − − 99 98 49 48 49 lim 24 x
x x x
x x x
→ + + + = = + + + 66 2 1
( 1) ( 1) ( 1)
lim lim
1
n n
x x
x x x n x x x
x x → → + + + − = − + − + + − − −
( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)
lim
1
n n
x
x x x x x x x
x − − → − + − + + + − + + + + = −
lim(1 ( 1) ( n n 1))
x x x x x
− −
→
= + + + + + + + + n ( 1)
2 n n+ = + + + + =
Bài Tính giới hạn sau:
1 lim x x x → + −
− ĐS:
1
4 2
2 lim x x x →− +
+ − ĐS:
3 3 lim x x x → − +
− ĐS:
1
−
8 lim x x x → −
− + ĐS: −6 lim x x x x →− + + −
+ ĐS:
1
−
2 3 lim x
x x x x
→
− −
− ĐS:
1
7 2
2 2 lim x x x → + −
− ĐS:
1
16 2
2
lim x x x → − −
− ĐS:
3 16 − 9 lim x x x → −
+ − ĐS: 24 10 9
3 lim x x x x → −
− ĐS:
1 54 − 11 49 lim x x x → −
− − ĐS: −56 12 1
2 lim x x x x → − +
− ĐS:
13 2
3 lim x x x x x → − +
− ĐS:
2
9 14
2 lim x x x x x → −
− − ĐS:
15 2
2
4
lim x x x x → + −
− ĐS:
1
3 16
3 3
lim x x x x → − −
− ĐS:
1
17 2
2 2 lim 10 x x x x → + −
+ − ĐS:
1
4 18
2 lim 1 x x x x → − +
(78)19 4 lim x x x x → − −
+ − ĐS: 30 20 1
3
lim x x x x → + −
+ − ĐS:
21 2
1 lim x x x → −
− ĐS:
1
4 22
2
3 3( 1)
lim
3
x
x x x
→
− +
− + ĐS: 12−
23 1 lim x x x x → + −
+ ĐS: 24
2 lim x x x →− +
− − ĐS:
1 − 25 2 lim x x x x x → − −
− ĐS: 26 2
2 5
lim x x x x x → + + −
− ĐS:
2 27 lim
2
x
x x
x x
→
−
+ + − ĐS:
4 28
2
lim x x x x →− − + −
− ĐS:
1 29 2
2
lim
3
x
x x x
x x
→−
+ − + +
+ + ĐS:
5
2 30
5
lim x x x x → − − +
− ĐS:
31
1
3
lim
3 2
x
x x x
→−
+
+ − + ĐS:6 32
2
2
2 6
lim
4
x
x x x x
x x
→
− + − + −
− + ĐS:
1 − 33 lim x
x x x
x
→−
+ + − −
+ ĐS: 34
2 lim x x x → − +
+ − ĐS:
3 − 35 lim x x x → −
− − ĐS:
2
− 36
1
3
lim x x x x → + − +
+ − ĐS: 37 2 lim x x x x x → + −
− − − ĐS:
1
− 38
1
3
lim
4
x
x
x x
→
+ −
+ − + ĐS:
3 39
3
1
lim
2
x
x x
x x
→
+ − −
+ − + ĐS: −3 40
2 2
2
lim x x x x x → + − +
+ − + ĐS:
2 41 1 lim 3 x x
x x x
→
−
+ + − ĐS:
− 42
4
4
lim x x x → + −
− ĐS:
43
4 2
1 3
lim
2
x
x x x x
x
→
− + − + +
− ĐS:
Lời giải
1 Ta có
1 1
3 ( 2)( 2) 1
lim lim lim
1 ( 1)( 2)
x x x
x x x
x x x x
→ → →
+ − = + − + + = =
− − + + + +
2 Ta có
2 2
2 ( 2)( 1)
lim lim lim ( 1)
3 ( 1)( 1)
x x x
x x x
x
x x x
→− →− →−
+ = + + + = + + =
(79)3 Ta có
6 6
3 (3 3)(3 3) 1
lim lim lim
6 ( 6)(3 3) 3
x x x
x x x
x x x x
→ → →
− + − + + + −
= = = −
− − + + + +
4 Ta có
8 8
8 ( 8)(3 1)
lim lim lim
1
3 (3 1)(3 1)
x x x
x x x x
x x x
→ → →
− − + + + +
= = = −
−
− + − + + +
5 Ta có
2
2
1 1
4 ( 1)
lim lim lim
1 ( 1)( 4 2) 4 2
x x x
x x x x x
x x x x x x
→− →− →−
+ + − +
= = = −
+ + + + − + + −
6 Ta có
2 2
2
3
2 ( )( )
lim lim
2 (2 6)( 2 3 )
x x
x x x x x x x x x
x x x x x
→ →
− − − − − +
=
− − − +
2
3
( 3)
lim lim
4
2( 3)( ) 2( )
x x
x x x
x x x x x x x
→ →
−
= = =
− − + − +
7 Ta có 2
2 2
2 2 1
lim lim lim
4 ( 2)( 2)( 2) ( 2)( 2) 16
x x x
x x
x x x x x x
→ → →
+ − −
= = =
− − + + − + + −
8 Ta có 2
2 2
2 3(2 ) 3
lim lim lim
4 ( 2)( 2)(2 2) ( 2)(2 2) 16
x x x
x x
x x x x x x
→ → →
− − = − = = −
− − + + − + + −
9 Ta có
2
3 3
9 ( 3)( 3)( 2)
lim lim lim ( 3)( 2) 24
1 ( 2)( 2)
x x x
x x x x
x x
x x x
→ → →
− = + − + + = + + + =
+ − + − + +
10 Ta có 2
9 9
3 1
lim lim lim
9 (9 )( 3) ( 3) 54
x x x
x x
x x x x x x x
→ → →
− = − = − = −
− − + +
11 Ta có
2
7
49 ( 7)( 7)(2 3)
lim lim
2 (2 3)(2 3)
x x
x x x x
x x x
→ →
− = − + + −
− − − − + −
7
( 7)( 7)(2 3)
lim lim( 7)(2 3) 56
7
x x
x x x
x x
x
→ →
− + + −
= = − + + − = −
− 12 Ta có
2
1 1
2 4
lim lim lim
1 ( 1)( 1)(2 3) ( 1)(2 3)
x x x
x x x x x
x x x x x x x x
→ → →
− + = − − = + =
− − + + + + + +
13 Ta có
2
3 3
3 2
lim lim lim
3 ( 3)( ) ( )
x x x
x x x x x
x x x x x x x x x
→ → →
− + − − +
= = =
− − + + + +
14 Ta có
2 2
2
1 1
( 1)( 1) ( 1)
lim lim lim
2 ( 1)
2
x x x
x x x x x x x x x
x x x
x x
→ → →
− − − + − +
= = =
− + − − −
− −
15 Ta có 2
2 2
4 4( 2)
lim lim lim
2 ( 2)( 3) ( 3)
x x x
x x
x x x x x x x
→ → →
+ − = − = =
− − + + + +
16 Ta có 2
4 4
3 3 3( 4)
lim lim lim
4 ( 4)( 3 3) ( 3 3)
x x x
x x
x x x x x x x
→ → →
− − −
= = =
(80)17 Ta có 2
2 2
2 ( 2)( 2)
lim lim lim
2 10 ( 2)(2 5)( 2) (2 5)( 2)( 2)
x x x
x x x x
x x x x x x x x
→ → →
+ − + − + + −
= =
+ − − − + + − − + +
2
1
lim
4
(2 5)( 2)
x→ x x
= = −
− + +
18 Ta có
2
2 2
3 ( 1)( 2)( 1)
lim lim lim( 1)( 1)
1 ( 1)( 1)
x x x
x x x x x
x x
x x x
→ → →
− + − − − +
= = − − + =
− − − − − +
19 Ta có
2
4 4
3 ( 1)( 4)( 3)
lim lim lim( 1)( 3) 30
4
5
x x x
x x x x x
x x
x x
→ → →
− − + − + +
= = + + + =
−
+ −
20 Ta có 2
1 1
3 3( 1)
lim lim lim
2 ( 1)( 2)( 2) ( 2)( 2)
x x x
x x
x x x x x x x
→ → →
+ − = − = =
+ − − + + + + + +
21 Ta có 2
1 1
1 1
lim lim lim
1 ( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)
x x x
x x
x x x x x x
→ → →
− = − = =
− + − + + +
22 Ta có
2
2
3 4( 1) ( 2)(3 2)(3 1)
lim lim
3 (3 1)(3 1)
x x
x x x x x
x x x
→ →
− + − + + +
=
− + − + + +
( 2)(3 2)(3 1)
lim
4(2 )
x
x x x
x
→
− + + +
=
−
2
(3 2)(3 1)
lim 12
4 x
x x
→
+ + +
= = −
23 Ta có
3
2 3 3
0 0
1
lim lim lim
( 1)( 1) ( 1)( 1)
x x x
x x x
x x x x x x x
→ → →
+ − = = =
+ + + + + + +
24 Ta có
3
2
3
2 2
2 ( 2)( 3)
lim lim lim
( 2)( 4) ( 4)
1
x x x
x x x x
x x x x x
x
→− →− →−
+ = + − + = − + =
− + − + − − +
− −
25 Ta có
2
2 2 2
1 1
2 ( 1) ( 1)
lim lim lim
( 1)( 1) ( 1)
x x x
x x x x
x x x x x x x x x
→ → →
− − = − − = − − =
− − − + − +
26 Ta có
2
2
2 5 12 20
lim lim
2 ( 2)( ( 5))
x x
x x x x
x x x x x x
→ →
+ + − = − + −
− − + − +
2
( 2)( 10) ( 10)
lim lim
3
( 2)( ( 5)) ( ( 5))
x x
x x x
x x x x x x x
→ →
− − − − −
= = =
− + − + + − +
27 Ta có
2
2
1 1
( 1)( ( 4) ( ( 4)
lim lim lim
10 ( 9)
2
x x x
x x x x x x x x x
x x x
x x
→ → →
− = − + − − = + − − =
− + − − −
+ + −
28 Ta có
2
1
2 2
lim lim
1 ( 1)( 1)(( 2) )
x x
x x x x
x x x x x
→− →−
− + − = − −
− − + − − −
1
3
lim
6
( 1)(( 2) )
x
x
x x x
→−
+
= =
(81)29 Ta có
2
2 2
1
2 17
lim lim
3 ( 2)((2 5) 2 8)
x x
x x x x
x x x x x x
→− →−
+ − + + = + =
+ + + + + + +
30 Ta có
2 2
5 4( 2)
lim lim lim
2 ( 2)( 2) ( 2)
x x x
x x x
x x x x x x
→ → →
− − + = − = =
− − − + + − + +
31 Ta có
1
3 3( 1)( 2)
lim lim
1
3 2
x x
x x x x
x
x x
→− →−
+ = + + + +
+
+ − + =xlim 3( 2→−1 + x+ x+2)=6
32 Ta có
2
2 2 2
3
2 6
lim lim
4 ( 1)( 2 6 2 6)
x x
x x x x
x x x x x x x
→ →
− + − + − = − =
− + − − + + + −
33 Ta có
2
4 2 2
1
2 1
lim lim
( 1)( )
x x
x x x x
x x x x x x x x
→− →−
+ + − − +
= =
+ − + + + + −
34 Ta có
2
2 3
lim lim
2
7 2
x x
x x
x x
→ →
− + = − + + = −
+ − + +
35 Ta có
9
3 2
lim lim
3
5
x x
x x
x x
→ →
− = − − + = −
− − +
36 Ta có
1
3 2( 3)
lim lim
8 3
x x
x x x
x x x
→ →
+ − + = + + =
+ − + + +
37 Ta có
2
2
lim lim
4
1 2
x x
x x x x
x x x x
→ →
+ − = − + − = −
− − − + +
38 Ta có
1
3
lim lim
2
4
x x
x x x
x x x
→ →
+ − = + + + =
+ − + + +
39 Ta có
3
1
lim lim
2
x x
x x x x
x x x x
→ →
+ − + = − + + + = −
+ − + + + +
40 Ta có
2
2
2
2 5
lim lim
3
1 2
x x
x x x x
x x x x
→ →
+ − + = + + + =
+ − + + + +
41 Ta có
2 2
1
1 ( )
lim lim
5 3
3
x x
x x x x
x x x
x x x
→ →
− = + − − = −
− + − −
+ + −
42 Ta có
4
3
1 4
4
lim lim
1 (4 3) (4 3) 4 3 1
x x
x
x x x x
→ →
− − = =
− − + − + − +
43 Ta có
4 2
1 3
lim
2
x
x x x x
x
→
− + − + + =
(82)Bài Tính giới hạn sau: lim x x x → −
− ĐS:
1
3
3
5
lim x x x →− − +
+ ĐS:
5 12 3 1 lim x x x x → − −
+ ĐS:
1
3
3
2
lim x x x → − +
− ĐS:
5 12 − 3 lim x x x → −
− − ĐS:
1 lim x x x → −
+ − ĐS: lim x x x x x → − −
− − ĐS:
9 1
1 lim x x x → −
− ĐS: 3 27 lim
1 28
x
x
x x
→
−
+ − + ĐS: 54 10
3 3 lim 30 x x x x → + −
+ − ĐS: 336 11 3
10
lim x x x x x →− + + −
+ + ĐS:
2 12
3 1 lim x x x → −
+ + − ĐS:
2 13 1 lim x x x → −
+ − ĐS: 14
2 3 lim x x x →− + −
+ ĐS:
3 − 15 3 lim x x x x → − −
− ĐS:
2
3 16
3 1 lim x x x → −
− + ĐS:
17 3 1 lim
4
x
x x
→
−
+ − ĐS: 18
3 2 lim x x x x →− + +
− ĐS:
1 − 19 3
9
lim x x x x → + + −
+ ĐS:
12 20
3 3
19
lim
4 3
x
x x
→
− +
− − ĐS:
27 − 21 3 1 lim x x x x x → + − −
− ĐS:
− 22
3
2 1
lim x x x → − −
− ĐS: 23 3 lim
3 2
x
x x
x
→
+ −
− − ĐS: 1− 24
3
1 lim
2 1
x x
x
→
+ −
+ − ĐS:
2
Lời giải
1) Ta có
3
3
2
4
lim lim
2 16 2 4 4
x x
x
x x x
→ →
− = =
− + +
2) Ta có
( )
3
2
1 13
5 5
lim lim
1 5 3 2 5 3 4 12
x x
x
x x x
→− →−
− + = =
+ − − − +
3) Ta có
( )( ( ) )
3
0 3 3
1 1
lim lim
3
1 1
x x
x
x x x x x
→ →
− −
= =
(83)4) Ta có
( )
3
2
1 3
2 5
lim lim
1 4 5 3 5 3 12
x x
x
x x x
→ →
− + −
= = −
− + + + +
5) Ta có ( )
2 3
2
3
3
1
3
lim lim
3
x x
x x
x
x x
→ →
− + − +
−
= =
+ − −
6) Ta có ( 3( )2)
3
1
1
lim lim 2
1
x x
x
x x
x
→ →
− = − − + − =
+ − 7) Ta có
( ) (( ) )
2
2
1 3 3
5 4
lim lim
2 2 1 5 4 5 4 4
x x
x x x x
x x x x x
→ →
− − = − − + =
− − + − + − +
8) Ta có (3 )
3
1
1
lim lim
1
x x
x
x x x
→ →
−
= + + =
− 9) Ta có
3 3
27 lim
1 28
x
x
x x
→
−
+ − +
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
2
2 3
2 3
2
3 1 28 28
lim
3
x
x x x x x x x
x x x
→
− + + + + + + + +
=
− + +
( 2 ) ( ) (2 )3 2 ( 2 )2
3
2
3 1 28 28
lim 72
2
x
x x x x x x
x x
→
+ + + + + + + +
= =
+ + 10) Ta có
( ) ( )
3
3 2 3 3
5 1
lim lim
30 3 10 5 5 4 336
x x
x
x x x x x x
→ →
+ − = =
+ − + + + + + +
11) Ta có
3
2
10
lim
3
x
x x x x
→−
+ + −
+ + ( )( ) ( ) ( ) ( )
3
1 3 2
3
3
3 3
lim
1 10 10
x
x x x
x x x x x x
→−
− + +
=
+ + + + − + + −
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 3 3 3
3
3
lim
2
2 10 10
x
x x
x x x x x
→−
− +
= =
+ + + − + + −
12) Ta có
( )( )
2
2
1 3
1 2
lim lim
3
3 1
x x
x x
x x x x
→ →
− + +
= =
+ − + + +
13) Ta có ( )
2 3
3
1
7
1
lim lim
7
x x
x x
x
x x
→ →
+ + + +
− = =
+ − +
14) Ta có
( )(3 )
2
3
1
1
3
lim lim
2
1
x x
x x x
x
x x
→− →−
− − +
+ − = = −
(84)15) Ta có
( ) ( )
3
2
1 3
2 1
lim lim
3
1 2 1 2 1
x x
x x x
x x x x x
→ →
− − +
= =
− − + − +
16) Ta có ( )
2 3
3
3
1
2
1
lim lim
2 1
x x
x x
x
x x x
→ →
− − − +
− = =
− + + +
17) Ta có ( )
( )
2 3
3
1 3
4 4 4
1
lim lim
4 4 1
x x
x x
x
x x x
→ →
+ + + +
−
= =
+ − + +
18) Ta có
( ) ( ) ( )
3
2
1 3 2
3
2
lim lim
1 1 2 2
x x
x x
x x x x x x
→− →−
+ + = = −
− − + − + +
19) Ta có
3
3
9
lim
1
x
x x
x
→−
+ + −
+
( ) ( ) ( )( ) ( )
1 2 2
3 3
3
lim
2
1 9 6
x
x x x x x x
→−
= =
− + + − + − + +
20) Ta có ( )( )
( )
2 3
3 3 3 3
3
9 3
19 27
lim lim
8
4 3
4 19 19
x x
x x x x
x
x x
→ →
− + − +
− +
= = −
− − − − − − +
21) Ta có
( ) ( ) ( )
3
2
0 3 3 2 3
1
lim lim
4 4 1 1 1
x x
x x
x x x x x x
→ →
+ − − = = −
− − + + − + −
22) Ta có
( ) ( )
3
1 2 3 3
2 1 2
lim lim
1 1 2 1 2 1 1
x x
x
x x x x x
→ →
− − = =
− + + − + − +
23) Ta có ( ) ( )
( )
2
2 3 3 2
1 2
3
lim lim
3 2 3 3 2 3 2
x x
x x
x x
x x x x x
→ →
− + − +
+ − = = −
− − + + + +
24) Ta có ( )( )
( )
4
4
0 3 3
2 1 1
1
lim lim
3
2 1 2 1 1 1
x x
x x
x
x x x
→ →
+ + + +
+ − = =
+ − + + + +
Bài Tính giới hạn sau:
1)
0
9 16
lim
x
x x
x
→
+ + + −
ĐS:
24 2)
2 5
lim
1
x
x x
x
→
+ + + −
− ĐS:
4 3)
3
2 2
lim
3
x
x x
x
→
+ + − −
− ĐS:
5
6 4)
2 4
lim
x
x x
x
→
+ + + −
(85)5)
2
2 7
lim
2
x
x x x
x
→
+ + + −
− ĐS:
8
3 6)
2
2
lim
2
x
x x x
x
→
− + −
− ĐS:8
7) ( )
6
5 84
lim
6 x
x x x
x
→
− − + −
− ĐS:
74
3 8)
3
1
lim x x x x → + − + ĐS:0 9)
3 lim x x x x → + − + − ĐS: − 10) 2
8 11
lim x x x x x → + − +
− + ĐS:
7 54
11)
3
2
lim x x x x → + − − ĐS:13
12 12)
3
3
lim x x x x → + − + − ĐS: 13) lim x x x x → + − − − ĐS:
12 14)
3
3
lim x x x x → + − − − ĐS: − 15)
3
lim x x x x → + − −
− ĐS:−1 16)
3 2
2 11
lim
4 x
x x x
x → + + − + − ĐS: 72 17) 3 2 lim x x x x → − − + − ĐS: 11 24 − 18) 3 2
3 24
lim
4 x
x x x
x → − + + − − − ĐS: 17 16 − 19) 2
3
lim
3
x
x x x
x x
→
− − − −
− + ĐS:
5
6 20)
3
2 2
lim
1
x
x x x
x → − + − − − ĐS: 21)
3
1
lim x x x x x → + − − + ĐS:
2 22)
3
2
6
lim x x x x → + − + − ĐS: 13 96 − 23)
1
lim x x x x → + + −
ĐS:5 24)
3
1
lim x x x x → + + − ĐS:7 25)
3 2
lim x x x x → + − − − ĐS:
12 26)
3
4
lim x x x x x → + + −
+ ĐS:1
27) 2
0
4
lim x x x x → + + − − ĐS: 12 − 28)
1
lim x x x x → + − + ĐS:1 29) ( ) 2
6
lim
1 x
x x x
x
→
+ + −
− ĐS:
11
6 30)
4 3
lim
2
x
x x x
x x
→
− + − − +
− + ĐS:
5 −
31) 2
1
3 2
lim
2
x
x x x
x x
→
− − + + + −
− + ĐS:
17 16 − 32) 2 4 lim
2 2
x
x x
x x x
→
− +
+ − − + − ĐS:
8 33) 3
6 2
lim
1 x
x x
x x x
→
+ −
− − + ĐS:
8 34) ( )
3
2
2
2
lim
2 x
x x x x
x → − + − − + − ĐS: 35)
1
lim x x x x → + − + ĐS:1
2 36)
3
1
(86)Lời giải
1)
0
9 16
lim
x
x x
I
x
→
+ + + −
=
Ta có
0
9 16
lim x
x x
I
x x
→
+ − + −
= +
( )( )
( ) ( ( )( ) )
0
9 16 16
lim
9 16
x
x x x x
x x x x
→
+ − + + + − + +
= +
+ + + +
( ) ( ) ( ) ( )
0
9 16 16
lim lim
9 16 16
x x
x x x x
x x x x x x x x
→ →
+ − + −
= + = +
+ + + + + + + +
0
1 1
lim
6 24
9 16
x→ x x
= + = + =
+ + + +
2)
1
2 5
lim
1
x
x x
I
x
→
+ + + −
=
− Ta có
1
2 2
lim
1
x
x x
I
x x
→
+ − + −
= +
− −
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
1
2 2 2 5
lim
1 2
x
x x x x
x x x x
→
+ − + + + − + +
= +
− + + − + +
( )( ) ( )( )
1
2
lim
1 2
x
x x
x x x x
→
+ − + −
= +
− + + − + +
( )
( )( )
( )
( )( )
1
2
lim
1 2
x
x x
x x x x
→
− −
= +
− + + − + +
1
2 5
lim
4
2 2
x→ x x
= + = + =
+ + + +
3)
3
2 2
lim
3
x
x x
I
x
→
+ + − −
=
− Ta có
3
2 6 2
lim
3
x
x x
I
x x
→
+ − − −
= +
− −
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
3
2 6 2 2 2
lim
3 3 2
x
x x x x
x x x x
→
+ − + + − − − +
= +
− + + − − +
( )
( )( ) ( )( )
3
2 2
lim
3 3 2
x
x x
x x x x
→
+ − − −
= +
− + + − − +
(87)( )
( )( )
( )
( )( )
3
2 3
lim
3 3 2
x
x x
x x x x
→
− −
= +
− + + − − +
3
2 2
lim
6
6 2
x→ x x
= + = + =
+ + − +
4)
0
2 4
lim
x
x x
I
x
→
+ + + −
=
Ta có
0
2
lim x
x x
I
x x
→
+ − + −
= +
( )( )
( ) ( ( )( ) )
0
2 1 1 4
lim
1
x
x x x x
x x x x
→
+ − + + + − + +
= +
+ + + +
( )
( ) ( )
0
2 1 4
lim
1
x
x x
x x x x
→
+ − + −
= +
+ + + +
2
lim
2 4
1
x→ x x
= + = + =
+ + + +
5)
2
2 7
lim
2
x
x x x
I
x
→
+ + + −
=
−
Ta có ( )
2
2 2
lim
2 x
x x x x
I
x
→
− + + + − + + −
=
−
2
lim
2
x
x x
x
x x
→
+ − + −
= + + +
− −
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2
2 2 2 7
2 lim
2 2
x
x x x x
x x x x
→
+ − + + + − + +
= + +
− + + − + +
2
2
2 lim
4
2
x→ x x
= + + = + + =
+ + + +
6)
2
2
lim
2
x
x x x
I
x
→
− + −
=
−
Ta có ( )
2
2 4
lim
2 x
x x x x
I
x
→
− − + − − + −
=
−
2
4 4
lim
2
x
x x
x
x x
→
− − −
= − + +
− −
( )( )
( )( )
( )( ) ( )
( )( )
2
4 1 1 2 2 4 1 1
2 lim lim
2
2 1 1
x x
x x x x x
x x
x x x x
→ →
− − − + − + − −
= + + = + + +
− + + − − + +
2
4
2 lim 2
2 1
x→ x x
= + + + = + + =
− +
7) ( )
6
5 84
lim
6 x
x x x
I
x
→
− − + −
=
−
Ta có ( )
6
5 30 26 78
lim
6 x
x x x x
I
x
→
− − + − − + −
=
−
( ) ( )
6
26 3
5 6
lim
6 6
x
x
x x x
x x x
→
− − − − −
= + +
− − −
(88)( )( )
( )( )
6
26 3 3
lim
6 3
x
x x
x
x x
→
− − − +
= − + +
− − +
( )
( )( )
( )
( )( )
6
26 26.2
15 lim 15 lim
6 3 3
x x
x x
x x x x
→ →
− − −
= + + = + +
− − + − − +
6
52 52 74
15 lim 15
6
2 3
x→ x
= + + = + + =
− + 8)
3
1
lim
x
x x
I
x
→
+ − +
=
Ta có
3
0
1 1 1
lim lim
x x
x x x x
I
x x x
→ →
+ − + − + + − − +
= = +
( )( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
3 3
0 3
3
1 1 3
1 1
lim
1 1 1 3 1 3
x
x x x
x x
x x x x x
→
− + + + + +
+ − + +
= +
+ + + + + +
( ) ( ( () ) ) ( )2
0 3 3 3
3
1
1 2
lim lim
1
1 1 1 3 1 3 1 1 3 1 3
x x
x x
x
x x x x x x x
→ →
− +
+ − −
= + = +
+ +
+ + + + + + + + + +
2
0
2
− = + =
9)
3
7
lim
1 x
x x
I
x
→
+ − +
=
− Ta có
3
1
7 2
lim
1 x
x x
I
x
→
+ − + − + =
−
3
1
7 2
lim
1
x
x x
x x
→
+ − − +
= +
− −
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
2
3 3 3 2 2
1 3 3 3
3
7 7 2 3 2 3
lim
1
1 7
x
x x x x x
x x
x x x
→
+ − + + + +
− + + +
= +
− + + + + − + +
( ) ( )
( )
( )( )
2
1 3 3 3
3
4
7 lim
1
1 7
x
x x
x x
x x x
→
+ − − +
= +
− + + + + − + +
( ) ( ) ( )( )
3
1 3 3 3
3
1
lim
1
1 7
x
x x
x x
x x x
→
− −
= +
− + + + + − + +
( )
2
2
1 3 3 3
3
1
lim
12 4
2
7
x
x x x
x
x x
→
+ + +
= − = − = −
+ +
+ + + +
(89)10)
3 2
8 11
lim
3
x
x x
I
x x
→
+ − +
=
− +
Ta có
3
2 2
2
8 11 3 11 3
lim lim
3 3
x x
x x x x
I
x x x x x x
→ →
+ − + − + + − − +
= = +
− + − + − +
( )( ( ) )
( )( ( ) )
( )( )
( )( )
2
3 3
2
2 2 3
3
8 11 11 11 3 7 3 7
lim
3
3 11 11
x
x x x x x
x x x
x x x x
→
+ − + + + +
− + + +
= +
− + + +
− + + + + +
( )( ( ) )
( )
( )( )
2 2 3
3
9
8 11 27
lim
3
3 11 11
x
x x
x x x
x x x x
→
− +
+ −
= +
− + + +
− + + + + +
( )
( )( ) (( ) ) ( )( )( )
2 3
3
8 2
lim
1
1 11 11
x
x x
x x x
x x x x
→
−
−
= +
− − + +
− − + + + +
( ) (( ) ) ( )( )
2 3
3
8
lim
27 54
1
1 11 11
x
x x
x x x
→
= − = − =
− + +
− + + + +
11)
3
2
lim
x
x x
I
x
→
+ − −
=
Ta có
3
0
2 2 2
lim lim
x x
x x x x
I
x x x
→ →
+ − + − − + − − −
= = +
( )( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
3 3
0 3 3
2 8
2 1 1
lim
1 4 8 8
x
x x x
x x
x x x x x
→
− − + − + −
+ − + +
= +
+ + + − + −
( )
( ) ( ( )( ) )
0 3 3
2 1 8
lim
1 4 8 8
x
x x
x x x x x
→
+ − − −
= +
+ + + − + −
( )2
0 3 3
2 13
lim
2 12 12
1 4 8 8
x x
x x
→
= + = + =
+ + + − + −
12)
3
3
lim
1 x
x x
I
x
→
+ − + =
(90)Ta có
3
1
3 2 3 2
lim lim
1 1
x x
x x x x
I
x x x
→ →
+ − + − + + − − +
= = +
− − −
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
2
3 3
1 2 3 2
3
3 5 2 3 2 3
lim
1
1 5
x
x x x x x
x x
x x x
→
+ − + + + +
− + + +
= +
− + + + + − + +
( ) ( )
( )
( )( )
2
1 2 3 2
3
4
3
lim
1
1 5
x
x x
x x
x x x
→
+ − − +
= +
− + + + + − + +
( )
( ) ( ) ( )( )
2
1 2 3 2
3
3 1
lim
1
1 5
x
x x
x x
x x x
→
− −
= +
− + + + + − + +
( )
( )2
1 2 3 2
3
3 1 1
lim
12 4
2
3 5
x
x
x
x x
→
+
= − = − =
+ +
+ + + +
13)
2
1
7
lim
1 x
x x
I
x
→
+ − − =
− Ta có
2
3
1
7 2 2
lim lim
1 1
x x
x x x x
I
x x x
→ →
+ − + − − + − − −
= = +
− − −
( )( ( ) )
( ) (( ) )
( )( )
( )( )
2
3 3 2
1 3 3
7 7 5
lim
1
1 7
x
x x x x x
x x
x x x
→
+ − + + + + − − + −
= +
− + −
− + + + +
( ) (( ) )
( )
( )( )
2
1 3 3
4
7 lim
1
1 7
x
x x
x x
x x x
→
− −
+ −
= +
− + −
− + + + +
( ) (( ) ) ( )( )
2
1 3 3
1
lim
1
1 7
x
x x
x x
x x x
→
− −
= +
− + −
− + + + +
( )2
1 3 3
1 1
lim
12 12
2
7
x
x x
x x
→
+
= + = + =
+ + + + + −
14)
3
3
lim
2
x
x x
I
x
→
+ − −
=
(91)Ta có
3
2
3 2 3 2
lim lim
2 2
x x
x x x x
I
x x x
→ →
+ − + − − + − − −
= = +
− − −
( )( ( ) )
( ) (( ) )
( )( )
( )( )
2
3 3
2 3 3
3 2 2 2 3 2 2 3 2
lim
2
2 2
x
x x x x x
x x
x x x
→
+ − + + + +
− − + −
= +
− + −
− + + + +
( ) (( ) )
( )
( )( )
2 3 3
4
3
lim
2
2 2
x
x x
x x
x x x
→
− −
+ −
= +
− + −
− + + + +
( )
( ) (( ) ) ( )( )
2 3 3
3
lim
2
2 2
x
x x
x x
x x x
→
−
−
= +
− + −
− + + + +
( )2
2 3 3
3 3
lim
12
2
3 2
x x
x x
→
−
= − = + = −
+ + + + + −
15)
3
3
lim
2
x
x x
I
x
→
+ − −
=
−
Ta có
3
2
3 2 2
lim lim
2 2
x x
x x x x
I
x x x
→ →
+ − + − − + − − −
= = +
− − −
( )( ( ) )
( ) (( ) )
( )( )
( )( )
2
3 3
2 3 3
3 2 2 2 5 6 2 5 6
lim
2
2 2
x
x x x x x
x x
x x x
→
+ − + + + +
− − + −
= +
− + −
− + + + +
( ) (( ) )
( )
( )( )
2 3 3
4
3
lim
2
2 2
x
x x
x x
x x x
→
− −
+ −
= +
− + −
− + + + +
( )
( ) (( ) ) ( )( )
2 3 3
3 10
lim
2
2 2
x
x x
x x
x x x
→
−
−
= +
− + −
− + + + +
( )2
2 3 3
3 5
lim
12
2
3 2
x x
x x
→
−
= − = + = −
+ + + + + −
16)
3 2
2 11
lim
4 x
x x x
I
x
→
+ + − +
=
− Ta có
3
2 2
2
2 11 3 11 3
lim lim
4 4
x x
x x x x x x
I
x x x
→ →
+ + − + − + + + − − +
= = +
(92)( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
2
3 3
2
2 2 2 3 2
3
2 11 11 11 3 7 3 7
lim
4
4 11 11
x
x x x x x x x x
x x
x x x x x
→
+ + − + + + + + +
− + + +
= +
− + + + + + + − + +
( ) ( )
( )
( )( )
2
2
2 2 2 3 2
3
9
2 11 27
lim
4
4 11 11
x
x x x
x x
x x x x x
→
+ + − − +
= +
− + + + + + + − + +
( ) ( ) ( )( )
2
2
2 2 2 3 2
3
2 16
lim
4
4 11 11
x
x x x
x x
x x x x x
→
+ − −
= +
− + + + + + + − + +
( )( )
( ) ( ) ( )( )
2 2 2 3 2
3
2
lim
4
4 11 11
x
x x x
x x
x x x x x
→
− + −
= +
− + + + + + + − + +
( )
( ) ( ) ( )( )
2 2 3 2
3
2 12
lim
108 24 72
2
2 11 11
x
x
x x
x x x x x
→
+ −
= − = + =
+ + + + + + + + + +
17)
3
2
5
lim
1 x
x x I
x
→
− − +
=
− Ta có
3
3
2 2
1
5 2 2
lim lim
1 1
x x
x x x x
I
x x x
→ →
− − + − + − − − +
= = +
− − −
( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
2 3 3
3
1 2 3 2 2
3
2 7
5
lim
1 1 4 2 7 7
x
x x x
x x
x x x x x
→
− + + + + +
− − − +
= +
− − + − + + + +
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
1 2 3 2 2
3
8
5
lim
1 1 4 2 7 7
x
x x
x x x x x
→
− − − +
= +
− − + − + + + +
(93)( )( ) ( ) ( )
3
1 2 3 2 2
3
1
lim
1 1 4 2 7 7
x
x x
x x x x x
→
− −
= +
− − + − + + + +
( )
( )( ) ( )
2
2
1 3 2 2
3
1 1 3 1 11
lim
8 12 24
1 4 2 7 7
x
x x
x x x x
→
− + +
− −
= + = − + = −
+ − + + + + +
18)
3
2
3 24
lim
4 x
x x x
I
x
→
− + + − −
=
− Ta có
3
2
3 24 2 8
lim
4 x
x x x
I
x
→
− − + + − + − − =
−
1
3
2 2
2 2
3 24 2 8
lim lim lim
4 4
x x x
I I I
x x x
x x x
→ → →
− − + − − −
= + +
− − −
1
I
3 2
3 24
lim x
x x
→
− − =
−
( )
( )
2
3 3 3
2
2 2 3 3 3 3 2
3 24 24 24.2
lim
4 24 24.2
x
x x x
x x x
→
− − − + − +
=
− − + − +
( )
( ) ( )
3
2 2 3 3 3 3 2
3 24
lim
4 24 24.2
x
x
x x x
→
− − =
− − + − +
( )
( ) ( )
3
2 2 3 3 3 3 2
3.4
lim
4 24 24.2
x
x
x x x
→
− =
− − + − +
( )( )
( )( ) ( )
2
2 3 3 3 3 2
12 2
lim
2 24 24.2
x
x x x
x x x x
→
− + +
=
− + − + − +
( )
( ) ( )
2 2
3 3
12
lim
2 24 24.2
x
x x
x x x
→
− + +
=
+ − + − +
144 48
= − = −
2
I 2
2
2
lim
x x
x
→
+ − =
−
( )( )
( 2)( )
2
2 2
lim
4 2
x
x x
x x
→
+ − + +
=
− + +
( )
( )( )( )
2
2 lim
2 2
x
x
x x x
→
+ − =
− + + +
( )( )
1
lim
16
2 2
x
x x
→
−
= = −
(94)3
I 2
2
8
lim
x
x x
→
− −
=
−
( )( )
( 2)( )
2
8 3
lim
4
x
x x
x x
→
− − + −
=
− + −
( )
( )
( )( )
2
8
lim
2
x
x x x
→
− −
=
+ −
( )
( )( )( )
2
8.2 lim
2 2
x
x
x x x
→
− =
− + + + 2( )( )
16 lim
2 1
x→ x x
=
+ + + −
16 = =
3
16
I = − − + 17 16 = −
Bài Tính giới hạn sau:
1 ( )
lim
x→+ x − x ĐS: + ( )
3
lim
x→− x − x + ĐS: −
3 lim( 6 9 1)
x→+ − −x x + x+ ĐS: − ( )
3
lim
x→− − +x x− ĐS: +
5 ( )
lim
x→+ x − x + ĐS: + ( )
4
lim 10
x→− x − x + ĐS: +
7 ( )
lim
x→+ − +x x + ĐS: − ( )
4
lim
x→− − − +x x ĐS: −
9
lim
x→ x − x+ ĐS: + 10 ( )
2
lim
x→− x + +x ĐS: +
11 ( )
lim
x→− x + + +x x ĐS: − 12 ( )
2
lim
x→+ x + + −x x ĐS: +
13 lim( 1)
x→+ x+ − x+ ĐS: −
14 lim( 16 3)
x→− x+ + x+ ĐS: không tồn giới hạn
Lời giải
1 lim 2( 3 )
x
I x x
→+
= −
Ta có lim 2( 3 )
x
I x x
→+
= −
2
3
lim
x→+x x
= − = +
(vì
3
lim
x→+x = +
3
lim 2
x→+ x
− =
)
lim( 3 2)
x
I x x
→−
= − +
Ta có lim( 3 2)
x
I x x
→−
= − +
3
3
lim
x→−x x x
= − + = −
(vì
3
lim
x→−x = −
3
3
lim 1
x→− x x
− + =
)
3 lim( 1)
x
I x x x
→+
= − − + +
Ta có
2
6
lim
x
I x
x x x
→+
= − − + + = −
(vì lim
x→+x = +
6
lim 1
x→+ x x x
− − + + = −
)
4 lim( 3 1)
x
I x x
→−
(95)Ta có
2
3
lim
x
I x
x x
→−
= − + − = +
(vì
3
lim
x→−x = −
3
lim 1
x→− x x
− + − = −
)
5 lim( 2 1)
x
I x x
→+
= − +
Ta có
2
2
lim
x
I x
x x
→+
= − + = +
(vì
4
lim
x→+x = +
2
lim 1
x→+ x x
− + =
)
6 lim( 10)
x
I x x
→−
= − +
Ta có lim 82 104
x
I x
x x
→−
= − + =
(vì
4
lim
x→−x = +
8 10
lim 1
x→− x x
− + =
)
7 lim( 2 3)
x
I x x
→+
= − + +
Ta có lim 22 34
x
I x
x x
→+
= − + + = −
(
4
lim
x→+x = +
2
lim 1
x→+ x x
− + + = −
)
8 lim( 6)
x
I x x
→−
= − − +
Ta có lim 12 64
x
I x
x x
→−
= − − + = −
(vì
4
lim
x→−x = +
1
lim 1
x→− x x
− − + = −
)
9 lim
x
I x x
→
= − +
Ta có lim 42
x
I x
x x
→
= − +
3
lim
x→ x x x
= − + = +
(vì lim
x→ x = +
3
lim 1
x→ x x
− + =
)
10 lim( 2 )
x
I x x
→−
= + +
Ta có ( )
lim
x
I x x
→−
= + + lim 12
x→−x x
= − + + = +
(vì lim
x→−x= −
1
lim 2
x→− x
− + + = − +
)
11 lim( 2 )
x
I x x x
→−
= + + + lim 1 12
x→−x x x
= − + + + = −
(vì lim
x→−x= −,
1
lim
x→− x x
− + + + =
)
12 ( )
lim
x
I x x x
→+
= + + − lim 12
x→+x x x
= + + − = +
(vì lim
x→+x= +,
1
lim 1
x→+ x x
= + + − =
)
13 lim( 1)
x
I x x
→+
= + − + lim 1
x→+ x x x
= + − + = −
(vì lim
x→+ x = +,
1
lim
x→+ x x x
= + − + = −
(96)14 lim ( 16 3)
x
I x x
→−
= + + +
Tập xác định hàm số f x( )= 16x+ +7 9x+3 1;
D= − +
Ta có x→ − hàm số f x( )= 16x+ +7 9x+3 không xác định Do
( )
lim 16
x→− x+ + x+ không tồn
Bài Tính giới hạn sau:
1 lim x x x →+ +
− ĐS:
2 lim x x x
→− + ĐS:
3 lim
2 x x x →+ − − ĐS:
− lim
1 x x x →− −
+ ĐS:
5
3
2
lim x x x x x →+ + −
− − + ĐS: −2
( )
( )( )
2
3
lim
5
x
x x
x x x
→+
−
− + ĐS:
6
7
4
2 15
lim x x x x →− + −
+ ĐS:
( )( )
( )( )
2
4
lim
2
x
x x
x x
→+
+ −
− + ĐS:
9 ( ) ( )
( )
2
4
1
lim x x x x →− − +
+ ĐS:
25 81 10 ( ) ( ) ( ) ( ) 2
1
lim
2
x
x x
x x
→−
+ −
+ + ĐS:
1 −
11 ( ) ( )
( )( ) 2 2 2 lim
2 1
x
x x
x x
→−
+ +
+ − ĐS: − 12
( ) ( ) ( ) 2 lim x x x x x →− + −
− ĐS:
1 32 − 13 2 lim
3
x x x x x →− − − +
ĐS:
2 14 3 lim x x x x →− − +
− ĐS:
15 2 lim x x x x x →+ + +
+ + ĐS: 16
( )( )
( )( )
2
4
lim
2
x
x x
x x
→+
+ −
− + ĐS:
17 ( )( )
2
4
lim x x x x x →− + +
− + ĐS: − 18
3 2 lim x x x x x →+ + +
+ + ĐS: +
19 3 2 lim x
x x x x x
→−
+ + +
+ + ĐS: − 20
4 3 2 lim x
x x x x x
→+
+ + +
− ĐS: −
21 11 lim x x x x →+ − +
− ĐS: + 22
4 2 lim x x x x →+ + −
− ĐS: +
23 lim x x x x →+ −
− ĐS: + 24 ( )( )
5 3 2 3
2
lim
2
x
x x
x x x
→+
+ −
− + ĐS:
25 3 lim x x x x →+ + +
+ ĐS: 26
4 2 lim x x x x →+ + −
(97)Lời giải
1 lim
1 x x I x →+ + = − lim 1 x x x x x →+ + = − lim 1 x x x →+ + = − =
2 lim
1 x x I x →− = + lim 1 x x x x →− + lim 1 x x →− = + =
3 lim
2 x x I x →+ − = − 1 lim x x x x x →+ − = − 1 lim 2 x x x →+ − = = − −
4 lim
1 x x I x →− − = + lim 1 x x x x x →− − = + lim 1 x x x →− − = + = 3
2
lim x x x I x x →+ + − = − − + 3 3 lim 1 x x x x x x x →+ + − = − − + 3 lim 1 x x x x x →+ + − = − − − + 2
3
lim x x x x I x x x x →+ − = − + lim
1
5 x x x x →+ − = = − + 4
2 15
lim x x x I x →− + − = + 4 4 15 lim 1 x x x x x x →− + − = + 4 15 lim 1 x x x x →− + − = = +
8 ( )( )
( )( )
2
4
lim
2
x x x I x x →+ + − = − + 2 3 1 lim x x x x x x x x x →+ + − = − + 1 lim x x x x x x x →+ + − = = − +
9 ( ) ( )
( )
2
4
1
lim x x x I x →− − + = + 2 2 4 lim x x x x x x x →− − + = + 2 25 lim 81 x x x x →− − + = = +
10 ( ) ( )
( ) ( )
4
5 2
1
lim
2
(98)11 ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 lim
2 1
x x x I x x →− + + = + − 2 2 2 1 lim 1 x x x x x x x x x →− + + = + − 2 2 2
1
lim 1 x x x x x x →− + + = = − + −
(vì lim
x→−x= −,
2 2 2 1 lim 1 x x x x x →− + + = + − )
12 ( ) ( )
( ) 2 lim x x x I x x →− + − = − 4 5 2 1 lim x x x x x x x x →− + − = − 1 1 lim 32 x x x x →− + − = = − − 13 2 lim
3
x x x I x x →− = − − + Ta có 2 lim
3
x x x I x x →− = − − + ( ) ( ) ( )( )
3 2
2
3
lim
3
x
x x x x
x x →− + − − = − + ( )( ) 2 lim
3
x x x x x →− + = − + lim 3 x x x x x x x →− + = − + 2 lim
4
3 x x x x →− + = = − + 14 3 lim x x x I x →− − + = − 2 3
3
lim
1 x
x
x x x x x →− − + = −
3
lim
1 x
x x x x →− − + = −
Bài Tính giới hạn sau:
1 lim x x x + → −
− ĐS: − 2
15 lim x x x + → −
− ĐS: −
3 lim x x x − → −
− ĐS: + ( )2
4 lim x x x − → −
− ĐS: −
5 lim x x x − → − +
− ĐS: +
3 lim x x x − → −
− ĐS: − lim x x x + → −
− ĐS: −
1 lim x x x + → +
− ĐS: + 3 lim 15 x x x + → −
− ĐS:
1
5 10 ( )3
7 lim x x x − → − −
+ ĐS: −
11 2
2
2 lim
2
x x x x − → −
− + ĐS:
1
3 12
1 lim x x x x + → −
+ − ĐS:
1
13 3
1 lim x x x x − → −
+ − ĐS:
1
− 14
2 lim x x x x + → − +
(99)15 lim x x x → −
− ĐS: không tồn 16 4
4 lim 20 x x x x → −
+ − ĐS: không tồn 17 2 lim 1 x x x − → −
− − ĐS: 18
3 lim
5 11
x x x − → −
− − ĐS:
4 − 19 2 lim 1 x x x − → −
− − ĐS: −3 20
2 25 lim x x x − → −
− − ĐS: −30 21
( )2
3 lim x x x + → −
− ĐS: + 22
3 2 25 lim x x x x → + −
− − ĐS:
1 81 23 2 lim 16 x x x + → +
− ĐS: + 24
lim x x x x x + → +
− ĐS: −1
25 2 lim x x x + → −
− ĐS: 26
2 lim x x x x x + → +
− ĐS: −2
27 ( ) ( )( ) lim 1 x x x x x + → − + +
+ − − ĐS: 28
2 lim x x x x − → − +
− ĐS:
1 − 29 2 lim x x x x x − → − +
− + − ĐS: − 30 ( )
2 lim x x x x x + → − + +
+ ĐS:
31 ( ) 2
2 lim x x x x +
→ − − ĐS: 32 ( ) ( )
3 lim 1 x x x x +
→ − + − ĐS:
33 ( ) 2
1 lim x x x x x + → + −
+ − ĐS: 34
1 lim
2 1
x x x x x − → −
− + − ĐS: 35 lim x x x x + → −
ĐS: 36 ( ) ( )
2
2
lim x x x x + → − + −
+ ĐS: −
37 2
2
1
lim
2
x→ − x x
−
− −
ĐS: − 38
3 lim x x x x x − → − +
− + ĐS:
3 − Lời giải 1 lim x x x + → − = − −
( )
( )
1
1
lim
lim
1 0,
x x x x x x + + → → + − = − − = − → 2 15 lim x x x + → − = − −
( )
( )
2
2
lim 15 13
lim
2 0,
x x x x x x + + → → + − = − − = − → lim x x x − → − = + −
( )
( )
3
3
lim
lim
3 0,
(100)4
( )2
4 lim x x x − → − = −
−
( ) ( ) ( ) 4
lim
lim
4 0,
x x x x x x − − → → − − = − − = − → lim x x x − → − + = + −
( )
( )
2
2
lim
lim
2 0,
x x x x x x − − → → − − + = − − = − → lim x x x − → − = − −
( )
( )
1
1
lim
lim
1 0,
x x x x x x − − → → − − = − = − → lim x x x + → − = − −
( )
( )
2
2
lim
lim
4 0,
x x x x x x + + → → + − = − − = − → lim x x x + → + = + −
( )
( )
2
2
lim
lim
2 0,
x x x x x x + + → → + + = − = − →
9 Do x→3+ nên x− = −3 x suy
3
3
lim lim
5 15 15
x x x x x x + + → → − = − =
− −
1
lim
5
x→+
=
10
( )3
7 lim x x x − → − − = − +
( ) ( ) ( )
( )
3
3
lim 22
lim
3 0,
x x x x x x − − → − → − − − = − + = + → −
11 Do x→2− nên 2− = −x x suy
( )( )
2
2
2
lim lim
2 2
x x
x x
x x x x
− − → → − − = − + − − 1 lim
2
x→− x
= =
−
12 Do x→1+ nên x− = −1 x suy
( )( )
3
1
1
lim lim
2 2
x x
x x
x x x x x
+ + → → − = − + − − + + 1 lim
2
x→+ x x
=
+ +
13 Do x→1− nên x− = −1 x suy
( )( )
3
1
1
lim lim
2 2
x x
x x
x x x x x
− − → → − − = + − − + + 1 lim
2
x→− x x
− = −
+ +
14 Ta có x2−3x+ =2 (x−1)(x−2), x→2+ nên x2−3x+ 2 0, suy
( )( ) ( )
2
2 2
3 2
lim lim lim 1
2
x x x
x x x x
(101)15 Ta có ( )( )
2
3
9 3
lim lim
3
x x
x x x
x x
→ →
− + −
=
− −
TH1: x3 ta có ( )( ) ( )
2
3 3
9 3 3
lim lim lim
3
x x x
x x x
x x x + + + → → → − + − = = + = − −
TH2: x3 ta có ( )( ) ( )
2
3 3
9 3 3
lim lim lim
3
x x x
x x x
x x x − − − → → → − − + − = = − − = − − − Do 2 3 9 lim lim 3 x x x x x x + − → → − −
− − nên không tồn
2 lim x x x → − − 16 Ta có
( )( ) 4 4 lim lim 20 x x x x x x x x → → − = − − + + − TH1: x4, ta có
( )( )
2
4 4
4 1
lim lim lim
4 5
20
x x x
x x
x x x
x x + + + → → → − = − = = − + + + − TH2: x4, ta có
( )( )
2
4 4
4 1
lim lim lim
4 5
20
x x x
x x
x x x
x x + − − → → → − = − = − =− − + + + − Do 4 lim 20 x x x x + → −
+ − 4
4 lim 20 x x x x − → −
+ − nên không tồn 4
4 lim 20 x x x x → − + − 17 Do x→2− nên x− = −2 x suy
2 lim 1 x x x − → − − − ( )( )
2 1
lim 1 x x x x − → − − + = − − ( )
lim 1
x→ − x− + =
18 Do x→3− nên x− = −2 x suy
3
3 lim
5 11
x x x − → − − − ( )( )
3 11
lim
5 11
x x x x − → − − + = − − ( )
5 11 4
lim 5 x x − → − − + = = −
19 Do x→2− nên x− = −2 x suy
3 2 lim 1 x x x − → − − −
( )( )
3
2
2 1
lim
1
x
x x x
x − → − − + − + = − − ( )
( )
3
2
lim 1
x→− x x
= − − + − + = −
20 Ta có ( )( )
25 5
x − = x− x+ , x→5− nên x2−250, suy
2 25 lim x x x − → − − −
( 2)( )
3
5
25 4
lim
4
x
x x x
x − → − − + − + = − − ( ( ))( ) 3
lim 4 30
x→− x x x
= − + − + − + = −
21
( )2
3 lim x x x + → − = +
− ,
( ) ( ) ( ) 3
lim
lim
3 0,
(102)22 Ta có 2 25 lim x x x x → + −
− − 2( )( )( )
3
25 27 lim
2 25 25
x
x
x x x x
→
+ − =
− + + + + +
( )( )
2 3 3
1
lim
81
1 25 25
x
x x x
→ = = + + + + + 23 2 lim 16 x x x + → + = +
− ,
( )
2 2
2
lim
lim 16
4 16 0,
x x x x x x + + → → + + = − = − → 24 lim x x x x x + → + − ( ) ( ) 0 1
lim lim
1
x x
x x x
x x x + + → → + + = = = − − − 25 2 lim x x x + → − − ( )( ) ( ) 2 2
lim lim 2
2 x x x x x x x + + → → − + = = − + = − 26 lim x x x x x + → + − = ( ) ( ) 0 2
lim lim
1
x x
x x x
x x x + + → → + + = = − − −
27 Ta có
( ) ( )( ) lim 1 x x x x x + → − + +
+ − − ( )1 ( ) ( )1
2
lim lim
1
1 1
x x
x x x
x x x + + → − → − + + + = = = − + + − +
28 Ta có ( )2
6 3
x − x+ = x− = −x , x→3− nên x2−6x+ = −9 x, suy
2 lim x x x x − → − + − ( )( ) 2
3 3
6 1
lim lim lim
9 3
x x x
x x x
x x x x
− − −
→ → →
− + − −
= = = = −
− − + +
29 Do x→1− nên x− 1 0, từ ta có
2 lim x x x x x − → − + − + − ( )( ) ( )( ) 1 lim x x x x x − → − − =
− − − ( )( )
1 lim x x x x x − → − − =
− − − ( )
3 lim x x x x − → − = − − 1 lim x x x x − → − = = − − − lim x x x − → − = −
−
1 lim
1
x→− x
= + − 30 ( ) lim x x x x x + → − + + + ( ) ( )( ) 1 lim x x x x x + → − + + = + ( ) ( ) 1 lim x x x x + → − + + = =
31 ( ) 2
2 lim x x x x + → − − ( ) ( )( ) ( ) 2
lim lim
2 2
x x
x x x
x
x x x
+ +
→ →
−
= − = =
− + +
32 Ta có
( ) ( ) lim 1 x x x x + → − + − ( ) ( )( ) ( )( )
lim 1
1
x
x x x x
x x + → − = + − + − + ( ) ( ) ( ) 1
lim
1 x x x x x x + → − + = − + = −
(103)( ) 2 lim x x x x x + → + − + − ( )( ) ( )( ) lim x x x x x + → + − = − + ( )( ) lim x x x x + → + − = = + 34 ( ) 1 1 lim lim
2 1
x x
x x x x
x x x x
− −
→ →
− −
=
− + − − + −
1 lim 2 x x x − → = = + − 35 lim x x x x + → − ( ) lim x x x x + → − =
=xlim 2→0+ x(1−x)=0
36
( ) ( )
2
2
lim x x x x + → − + − + ( ) ( )( )
( )2 ( )
3
2
lim lim
3
x x
x x x
x x + + → − → − − + − = = = − + +
37 2
2
1
lim
2
x→ − x x
−
− −
( )( )
2 lim 2 x x x x − → + − = − +
1 lim 2 x x x x − → + = = − + −
38 Do x→1− nên x− 1 0, suy (x−1)2 = − = −x 1 x nên ta có
3 lim x x x x x − → − + − + ( )( ) ( )( ) 2 lim x x x x x − → + − = − + ( ) ( )( ) 1 lim x x x x x − → − + =
− +
2 lim x x x − → − + = = − +
Bài Tính giới hạn sau:
1) sin lim x x x
→ ĐS: 2)
tan lim x x x
→ ĐS:
2
3) 2
0 cos lim x x x → −
ĐS:
2 4)
sin sin sin lim
45 x
x x x x
→ ĐS:
1 5)
0
1 cos lim
1 cos x x x → − − 6)
1 cos lim sin x x x x → −
ĐS:
7) ( )
0 sin lim cos x x ax a ax
→ − ĐS:
2
a 8)
1 cos lim cos x ax bx → −
− ĐS:
2
a b
9) 2 ( )
0
1 cos
lim ;
x x a x → − ĐS: 2 a
10) 3
0 sin tan lim x x x x → − ĐS: −
11) 3
0 tan sin lim sin x x x x → − ĐS:1
2 12)
sin sin lim x a x a x a → −
− ĐS: cosa
13) limcos cos x b
x b
x b
→
−
− ĐS:−sinb 14)
1
lim sin x x x → − + ĐS: −
15) ( ) ( )
0
cos cos
lim x
a x a x x
→
+ − −
ĐS: −2sina 16) limtan tan
x c
x c x c
→
−
− ĐS:
1 cos c 17) cos lim sin x x x x → −
ĐS:
2 18)
2 2 sin sin lim x a x a x a → −
− ĐS:
sin 2
a a
19) 2
0 cos cos lim x x x x → − ĐS: 2 − 20) ( ) lim tan x x x →− +
(104)21)
0
1 cos cos cos
lim
1 cos x
x x x
x
→
−
− ĐS:1422)
( ) ( )
2
sin 2sin sin
lim
x
a x a x a
x
→
+ − + +
ĐS:−sin( )
23)
0
sin tan
lim ;( 0)
( )
x
ax bx a b a b x
→
+
+
+ ĐS: 24) 0
cos cos cos lim
x
x x x
x → − ĐS: 33 − 25)
cos cos cos
lim
1 cos x
ax bx cx x
→
−
− ĐS:
2 2
2 b −a −c
26) ( ) ( )
0
sin sin
lim
tan( ) tan( )
x
a x a x a x a x
→
+ − −
+ − − ĐS:
3
cos a 27)
3
2 1
lim sin x x x x → + − +
ĐS: 28)
2
sin sin sin lim
x
x x x
x → − ĐS: 29) cos lim x x x →− +
ĐS: 30)
0 2
sin sin
lim sin x x x x x → − − ĐS: -1 31) 2 cos lim x x x x → + −
ĐS: 32) 3
0
1 tan sin
lim x x x x → + − +
ĐS:
33) 2
0
1 cos cos
lim sin 11 x x x x → −
ĐS: 37
121 34)
3 lim tan( 1) x x x → + − − ĐS:
1 35)
( )2
1 cos lim x x x → +
− ĐS:
1
2 36)
sin( 1) lim x x x x → −
− + ĐS: − 37) 2
1 cos
lim x x x x → + −
ĐS:
2 38)
1 cos cos lim x x x x → − ĐS:3 Lời giải. 1) 0
sin sin
lim lim 5
5 x x x x x x → → = = 2) 0
tan 2 tan 2
lim lim
3 3
x x x x x x → → = = 3) 2 2
0 0
2 sin sin
1 cos 2
lim lim lim
4
2
x x x
x x x x x x → → → − = = =
4) 3
0
sin sin sin sin sin sin
lim lim
45 3
x x
x x x x x x
x x x x
→ → = = 5) 2
0 2
5
2sin sin
1 cos 2 25 2 2 25
lim lim lim
3
1 cos 9
2sin sin
2 2
x x x
x x x
x
x x x
(105)6)
2 2
2
0 0
1 cos sin 4sin cos sin
lim lim lim lim cos
sin sin
x x x x
x x x x x
x
x x x x x x
→ → → →
− = = = =
7)
2
2
0 2
sin sin sin 2
lim lim lim
1 cos 2sin sin
2
x x x
ax
x ax x ax ax
a
ax ax
ax ax a a
→ → →
= = =
−
8)
2
2
2
2
0 2
2sin sin
1 cos 2 2 2
lim lim lim
1 cos
2sin sin
2 2
x x x
ax ax bx
ax a a
bx ax bx
bx b b
→ → →
− = = =
−
9)
2
2
2
0 0
2sin sin
1 cos 2 2
lim lim lim
4
2
x x x
ax ax
ax a a
ax
x x
→ → →
− = = =
10) Ta có 3 (3 )
0
sin cos
sin tan
lim lim
cos
x x
x x
x x
x x x
→ →
− −
=
2
3
0
2sin sin sin
2 sin 1
2
lim lim
cos cos
2
x x
x x
x
x
x
x x x x
→ →
−
= = − = −
11) ( )
( ) ( )
3
0 0
sin cos
tan sin 1
lim lim lim
sin cos sin cos cos cos
x x x
x x
x x
x x x x x x
→ → →
−
− = = =
+
−
12) Ta có
2 cos sin
sin sin 2 2
lim lim
x a x a
x a x a
x a
x a → x a
→
+ −
− =
− −
sin
lim cos cos
2
2 x a
x a x a
a x a
→
−
+
= =
−
13) Ta có
2 sin sin
cos cos 2 2
lim lim
x b x b
x b x b
x b
x b x b
→ →
+ −
−
− =
− −
sin
lim sin sin
2
2 x b
x b x b
b x b
→
−
+
= − − = −
14) Ta có
( )
0
1 1
lim lim
sin sin 2 1 2 1
x x
x x
x x x
→ →
− + − −
=
+ +
1
lim
sin 2
1
x
x x x
→
= − = −
+ +
15) Ta có
0
2 sin sin
cos( ) cos( ) 2 2
lim lim
x x
a x a x a x a x
a x a x
x x
→ →
+ + − + − +
−
+ − − =
0
sin
lim 2sin 2sin
x
x
a a
x
→
= − = −
(106)16) ( )
( ) ( )
sin sin
tan tan 1
lim lim lim
cos cos cos cos cos
x c x c x c
x c x c
x c
x c x c x c x c x c c
→ → →
− −
−
= = =
− − −
17) Ta có ( )( )
2
0
1 cos cos cos
1 cos
lim lim
sin sin
x x
x x x
x
x x x x
→ →
− + +
− =
( )
2
2
0
2sin cos cos sin
1 cos cos
2
lim lim
2
2 sin cos cos
2 2
x x
x x
x x
x x
x x x x
x
→ →
+ + + +
= = =
18) Ta có
( )( )
2 2
1 cos cos
sin sin 2 2
lim lim
x a x a
x a
x a
x a x a x a
→ →
− − −
− =
− − +
( ) ( )
2sin sin
cos cos
lim lim
2( )( ) 2( )( )
x a x a
a x a x
a x
x a x a x a x a
→ →
− + −
−
= =
− + − +
sin( ) sin( ) sin
lim
2
x a
a x a x a
x a a x a
→
+ −
= =
+ −
19) Ta có
( ) ( )
2
0
2sin sin
cos cos 2 2
lim lim
x x
x x
x x
x x
→ →
+ −
− −
=
( )
( )
( )
( )
2
sin sin
2
lim
2 2
2
x
x x
x x
→
+ −
+ − −
= − =
+ −
20) Ta có
( ) ( )( ) ( ) ( )
2
2
2 2
2 2
8
lim lim lim 12
tan tan( 2) tan( 2)
x x x
x x x x
x
x x
x x x
→− →− →−
+ − + +
+
= = − + =
+ + +
21) Ta có
0
1 cos cos cos cos cos (1 cos ) cos cos (1 cos )
lim lim
1 cos cos
x x
x x x x x x x x x
x x
→ →
− = − + − + −
− −
2
0 2 2
3 2sin
2sin 2
lim cos cos cos
2sin 2sin
2
x
x x
x x x
x x
→
= + +
2 2
2
3 sin
sin 2 2 2
lim cos cos cos 14
3
sin sin sin
2 2
x
x x x
x
x x x
x x x
x
→
= + + = + + =
22) Ta có ( ) 2 ( ) 2 ( )
0
sin 2sin( ) sin 2sin cos 2sin
lim lim
x x
a x a x a a x x a x
x x
→ →
+ − + + + − +
(107)( )
2
0
4 sin sin
2 sin( )(cos 1) 2
lim lim
x x
x
a x
a x x
x x
→ →
− +
+ −
= =
( )
2
0
sin
1 2
lim sin sin
4 x
x
a x a
x
→
= − + = −
23) Ta có
0 0
sin tan sin tan
sin tan
lim lim lim
( ) ( )
x x x
ax bx ax bx
ax bx a b
ax bx ax bx ax bx a b
a b x a b x a b a b
→ → →
+
+ +
= = = =
+ + + +
24) Ta có 2 2
0
cos cos cos cos cos cos cos cos
lim lim
x x
x x x x x x x x
x x
→ →
− = − + −
2
2
0
7 sin sin cos sin
2 sin sin cos (1 cos ) 2
lim lim
x x
x
x x x
x x x x
x x
→ →
−
+ −
= =
2
0
7 sin
sin sin 49 2 49 33
lim cos
7
4 2
2 x
x x x
x
x x x
→
= − = − = −
25) Ta có 2 2
0
cos cos cos cos cos cos cos cos
lim lim
x x
ax bx cx ax bx bx bx cx
x x
→ →
− = − + −
( ) ( )
2
0
( ) ( )
2sin sin cos (1 cos ) 2sin sin cos sin
2 2 2
lim lim
x x
b a x b a x
a b x a b x cx
bx cx bx
x x
→ →
− −
+ + − + −
= =
( )
( )
2
2 2 2 2 2
0
( )
sin sin sin
2 2
lim 2 cos
( )
4 2
2 2
x
b a x
a b x cx
b a c b a c b a c
bx
a b x b a x cx
→
+ −
− − − −
= − = − =
+ −
26) Ta có
( ) ( )
( ) ( )
0
sin( ) sin( ) cos sin
lim lim
sin
tan tan
cos cos
x x
a x a x a x
x a x a x
a x a x
→ →
+ − − =
+ − −
+ −
( ) ( )
0
cos cos cos
lim cos
cos x
a a x a x
a x
→
+ −
(108)27) Ta có
3
0
2 1 1 1
lim lim
cos sin
x x
x x x x
x x
→ →
+ − + = + − + − +
( )
2
2 3
0
2
2 1 1 1 1
lim
sin x
x x
x x x
x
→
− +
+ + + + + +
=
( )2
3
0
2
2 1 1 1 1
lim
sin x
x x
x x x
x x
→
−
+ + + + + +
= =
28) Ta có ( )
2
4
0
sin sin 2sin cos
sin sin sin
lim lim
x x
x x x x
x x x
x x
→ →
−
−
=
( )
4
0
3 sin sin sin sin
2 sin sin cos cos 2 2
lim lim
x x
x x
x x
x x x x
x x
→ →
−
= =
0
3
sin sin
3 sin sin 2 2
lim
3
2
2
x
x x x x
x x x x
→
= =
29)
2
sin
cos
lim lim
2
x x
x x
x x
→− →−
+
= =
+ +
30) ( )
0 0
2
sin cos
sin sin sin cos
lim lim lim
cos cos
1 2sin
x x x
x x
x x x x
x x x x x
x
→ → →
−
− = = − = −
−
31) Ta có
2
2
0
1 cos 1 cos
lim lim
x x
x x x x
x x
→ →
+ − + − + −
= 22 2
0
1 1 cos
lim x
x x
x x
→
+ − −
= +
( )
2
2 2
2sin
1 2
lim
1
x
x x
x
x x
→
+ −
= +
+ +
2
2
sin
1 2 1
lim
2
1
2
2
x
x x x
→
= + = + =
+ +
32)
( )
3 3
0
1 tan sin tan sin
lim lim
1 tan sin
x x
x x x x
x x x x
→ →
+ − + = + − −
+ + +
( )
( )
3
sin cos
lim
cos tan sin
x
x x
x x x x
→
− =
+ + + ( )
2
3
2sin sin lim
cos tan sin
x
x x
x x x x
→
=
(109)( )
2
0
sin
2 sin 2
lim
4
cos tan sin
2 x
x x
x x
x x x
→
= =
+ + +
33) 2 2 ( )
0
1 cos cos cos
1 cos cos
lim lim
sin 11 sin 11
x x
x x x
x x
x x
→ →
− + −
−
=
2
2
0
5
2sin cos sin
2
lim
sin 11 sin 11
x
x x
x
x x
→
= +
2
2
0
5
sin sin
25 2 11 49 2 11
lim cos
5
242 sin11 242 sin11
2
x
x x
x x
x
x x x x
→
= +
25 49 37
242 242 121
= + =
34)
( ) ( )( )
1
3
lim lim
tan tan 1 3 2
x x
x x
x x x
→ →
+ − + −
=
− − + + ( )
1 1
lim
tan
3
x
x x x
→
−
= =
− + +
35)
( ) ( )
2
2
2 cos
1 cos 2
lim lim
x x
x x
x x
→ →
+ =
− − ( )
2
2
2sin sin
1
2
lim lim
2
2
x x
x x
x x
→ →
− −
= = − =
−
36) ( ) ( )
( )( ) ( )
2
1 1
sin sin sin 1
lim lim lim
4 3
x x x
x x x
x x x x x x
→ → →
− − −
= = = −
− + − − − −
37)
2
2
0
1 cos 1 cos
lim lim
x x
x x x x
x x
→ →
+ − = + − + −
( )
2 2
2 2
0 2
1 1 cos 1 2sin
lim lim
1
x x
x x x x
x x x x x
→ →
+ − − + −
= + = +
+ +
2
0
1 sin
lim 2
2
1 x
x x x
→
= + = + =
+ +
38) 2 2( )
0
1 cos cos cos
1 cos cos
lim lim
x x
x x x
x x
x x
→ →
− + −
− =
( ) ( )
( )
2
2 2 2
0
2sin
cos cos cos 1 cos 2
1 cos 2
lim lim
1 cos
x x
x
x x x x
x
x x x x x
→ →
− − −
= + = +
+
(110)( )
2 2
0
sin sin
1 2 2 sin
lim lim
2 cos 2 cos 2
x x
x x
x x x
x x
→ →
= = + = + = +
Bài Tính giới hạn sau:
1)
0
cos cos
lim
cos cos
x
x x
x x
→
−
− ĐS:
1
3 2) 6
1 2sin lim
4 cos
x
x x
→
−
− ĐS:
1 3)
2
1 sin cos lim
cos
x
x x
x
→
+ +
ĐS: 24)
0
sin sin lim
sin x
x x
x
→
−
ĐS:
5)
4
2 cos lim
sin x
x x
→
− −
ĐS: 2 6)
3
1 cos
lim sin
x
x x
→
−
ĐS:
7)
3
3
sin cos
lim
sin x
x x
x
→
−
ĐS:
3 −
8)
4
lim tan tan x
x x
→
−
ĐS:
9)
3
cos cos 2 lim
sin
x
x x
x
→
+ +
ĐS:
3 10)
3
tan
lim
2sin
x
x x
→
−
− ĐS:
1 12
−
Lời giải
1)
0 0
sin
cos cos 2sin sin sin
lim lim lim lim
sin
cos cos 2sin sin sin 3
3
x x x x
x
x x x x x x
x
x x x x x
x
→ → → →
− −
= = = =
− −
2) 2 2
6 6
1 2sin 2sin 1
lim lim lim
4 cos 4sin 2sin
x x x
x x
x x x
→ → →
− −
= = =
− − +
3) ( )
2
2 2
1 sin cos 2 cos sin
lim lim lim cos 2sin
cos cos
x x x
x x x x
x x
x x
→ → →
+ + = + = + =
4)
0 0
sin sin 2cos sin
lim lim lim 2cos
sin sin
x x x
x x x x
x
x x
→ → →
−
= = =
5)
4 4
2
2 cos 2 cos cos
2
2 cos
lim lim lim
sin sin sin
4 4
x x x
x x
x
x x x
→ → →
−
−
− = =
− − −
4
4 sin sin
8
lim
2 sin cos
2 8
x
x x
x x
→
− + −
=
− −
2sin
8
lim
cos
2
x
x x
→
+
= =
−
(111)6) ( )
2
2
0 2 3 3 2
1 cos cos
1 cos
lim lim
tan
sin cos cos
x x
x x
x x
x x x
→ →
−
−
=
+ +
( )
2
0 3 3 2
cos
lim
6
1 cos cos cos
x
x
x x x
→
= =
+ + +
7)
( ) sin
3 3 3
2sin 3 sin
2sin
3
sin cos
lim lim lim lim
sin sin 3
sin 3
3
x x x x x
x x x
x x
x x
x x
→ → → − − − →
−
− −
− = = = = −
− + −
−
−
8)
( )2
2
4 4
2 tan tan tan
lim tan tan lim lim
4 tan tan tan
x x x
x x x
x x
x x x
→ → →
− = − = =
− + +
9)
3
3
3
cos cos 2 cos 3cos cos
lim lim
sin 3sin 4sin
x x
x x x x x
x x x
→ →
+ + = − +
−
( )( )
( )( )
3
2 cos cos cos
lim
2sin 2sin sin
x
x x x
x x x
→
− +
=
+ −
( )
3
cos cos cos cos
3 lim
3 x
x x x
→
− +
=
( )
( )
3
sin cos cos
2
2
lim
3
cos 2sin sin
2
x
x
x x
x
x x
→
− + +
= =
+ +
10) ( )
( ) ( )
2
2
2 3
4
tan cos
tan
lim lim
2sin 1 tan . tan tan 1
x x
x x
x
x x x x
→ →
− − =
− − + +
( ) ( )
2
3
4
cos lim
1 tan tan tan
x
x
x x x
→
− =
+ + +
1 12 = −
Bài 10 Tính giới hạn sau:
1)
0
cos
lim sin x
x x
→
−
ĐS: 2)
0
1 sin cos lim
1 sin cos x
x x
x x
→
+ −
− − ĐS: 1− 3)
0
sin lim
1 sin cos x
x
x x
→ − − ĐS: 1− 4)
1 cos lim
sin x
x x
→
−
ĐS:
5)
0
sin sin lim
sin x
x x
x
→
−
ĐS: 6)
0
1
lim
sin tan
x→ x x
−
(112)7) 2
4
2 sin
lim
2 cos
x
x x
→
− − ĐS:
2
−
8)
6
sin lim
1 2sin x
x x
→
−
− ĐS:
2 3
9)
4
sin lim
1 sin
x
x x
→
−
− ĐS: 10)
2
lim cot
sin
x→ x x
−
(113)BÀI HÀM SỐ LIÊN TỤC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Hàm số liên tục điểm
– Giả sử hàm số f x( ) xác định khoảng ( )a b; x0( )a b; Hàm số y= f x( ) gọi liên
tục điểm x0 ( ) ( )
0
lim
x→x f x = f x
– Hàm số không liên tục điểm x0 gọi gián đoạn x0 2 Hàm số liên tục khoảng, đoạn
– Giả sử hàm số f x( ) liên tục khoảng ( )a b; Ta nói hàm số y= f x( ) liên tục khoảng ( )a b; liên tục điểm khoảng
– Hàm số y= f x( ) gọi liên tục đoạn a b; liên tục khoảng ( )a b;
( ) ( ) ( ) ( )
lim , lim
x a x b
f x f a f x f b
+ −
→ = → =
Nhận xét:
– Nếu hai hàm f x( ) g x( ) liên tục điểm x0 hàm số f x( )g x( ), f x g x( ) ( ) ,
( )
c f x (với c số) liên tục điểm x0
– Hàm số đa thức liên tục Hàm số phân thức lượng giác liên tục khoảng xác định chúng
3 Tính chất hàm số liên tục
– Định lý giá trị trung gian: Giả sử hàm số f liên tục đoạn a b; Nếu f a( ) f b( ) với số thực M nằm f a( ) ( ), f b tồn điểm c( )a b; thoả mãn f c( )=M
–Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f liên tục đoạn a b; M số thực nằm f a( ) ( ), f b thì đường thẳng y=M cắt đồ thị hàm số y= f x( ) điểm có hoành độ c( )a b;
– Hệ quả: Nếu hàm số f liên tục đoạn a b; f a( ) ( ).f b 0 tồn điểm
( );
c a b cho f c( )=0 Ta thường vận dụng theo hai hướng sai:
+ Vận dụng chứng minh phương trình có nghiệm: “Nếu hàm số y= f x( ) liên tục đoạn a b;
( ) ( )
f a f b thì phương trình f x( )=0 có nghiệm khoảng ( )a b; ”
+ Vận dụng tương giao đồ thị: “Nếu hàm số y= f x( ) liên tục đoạn a b;
( ) ( )
f a f b thì đồ thị hàm số y= f x( ) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ c( )a b;
(114)B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP
_DẠNG XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Phương pháp giải:
Hàm số liên tục điểm x=x0 ( ) ( )
0
0 xlimx
f x f x
→
= ( ) ( ) ( )
0
0 lim lim
x x x x
f x − f x + f x
→ →
= =
VÍ DỤ
Ví dụ Xét tính liên tục hàm số
2
3
2
( ) 2
4
x x
khi x f x x
x khi x − +
= −
− =
điểm x0 =2
ĐS: Liên tục Lời giải
Ta có f x( )0 = f(2)=4.2 1− =
2
2 2
3 ( 2)( 1)
lim ( ) lim lim
2
x x x
x x x x
f x
x x
→ → →
− + − −
= = =
− −
Suy
2
(2) lim ( )
x
f f x
→
= nên hàm số f x( ) liên tục điểm x0 =2
Ví dụ Xét tính liên tục hàm số
3
1
( )
1
x
khi x x
f x
khi x + −
−
=
=
điểm x0 =1
ĐS: Không liên tục Lời giải
Ta có ( )0 (1) f x = f =
1 1
3 1
lim ( ) lim lim lim
1 ( 1)( 2)
x x x x
x x
f x
x x x x
→ → → →
+ − −
= = = =
− − + + + +
Suy
1
(1) lim ( )
x
f f x
→
nên hàm số f x( ) không liên tục điểm x0 =1 (hay gián đoạn điểmx0 =1 )
Ví dụ Xét tính liên tục hàm số
2
3
( ) 1 2 3
2
x x khi x
f x x
khi x x
− +
= − −
−
tại điểm x0 =2
(115)Lời giải Ta có f x( )0 = f(2)=22−3.2 1+ =
2
2
2 2
lim ( ) lim ( 3)
1 3
lim ( ) lim lim lim
2 (2 )(1 3)
x x
x x x x
f x x x
x x
f x
x x x x
− −
+ + + +
→ →
→ → → →
= − + =
− − − +
= = = =
− − + − + −
Suy
2
(2) lim ( ) lim ( )
x x
f − f x + f x
→ →
= = nên hàm số f x( ) liên tục điểm x0 =2
Ví dụ Xét tính liên tục hàm số
2
9
3
( )
2 12
x
khi x f x x
x khi x
−
= + −
+
điểm x0 =3
ĐS: Không liên tục Lời giải
Ta có f x( )0 = f(3) 18=
3
lim ( ) lim (2 12) 18
x→− f x x→− x
= + =
3 3
9 ( 3)( 3)( 2)
lim ( ) lim lim
3
x x x
x x x x
f x
x x
+ + +
→ → →
− − + + +
= =
− + −
3
lim( 3)( 2) 24
x
x x
+ →
= + + + =
Suy
3
(3) lim ( ) lim ( )
x x
f − f x + f x
→ →
= nên hàm số f x( ) không liên tục điểm x0 =3
Ví dụ Xét tính liên tục hàm số
3 2
1
1
3
( )
4
3 6
1
3 14 11
x x
khi x x
f x khi x
x x x
khi x x x
+ − +
−
= =
− − +
− +
điểm x0 =1
ĐS: Liên tục Lời giải
Ta có ( )0 (1)
4 f x = f =
3 2
2
1 1
3 6 ( 1)(3 6) 3
lim ( ) lim lim lim
3 14 11 ( 1)(3 11) 11
x x x x
x x x x x x x x
f x
x x x x x
− − − −
→ → → →
− − + − − − − −
= = = =
− + − − −
2
1 1
1 ( 1) ( 3)
lim ( ) lim lim lim
1 ( 1)( 3)
x x x x
x x x x x
f x
x x x x x x
+ + + +
→ → → →
+ − + − − + +
= = = =
− − + + + + + +
Suy
1
(1) lim ( ) lim ( )
x x
f − f x + f x
→ →
(116)Ví dụ Xét tính liên tục hàm số
2 cos cos cos
0 ( )
2
x x x
khi x
f x x x
khi x
− −
= +
=
điểm x0 =0 ĐS: Không liên tục Lời giải
Ta có f x( )0 = f(0)=2
4
0 0
2cos cos cos8 cos8 cos cos8
lim ( ) lim lim
x x x
x x x x x x
f x
x x x x
→ → →
− − + − −
= =
+ +
2
4 2 2
0 0
cos 2sin
lim lim lim
( 1)
x x x
x x sinx
x x x x x x
→ → →
− − −
= = = = −
+ + +
Suy
0
(0) lim ( )
x
f f x
→
nên hàm số f x( ) không liên tục điểm x0 =0 (hay gián đoạn
điểm x0 =0 )
Ví dụ Tìm a để hàm số
3
2
2
( )
( )
8
x x x
khi x x x
f x
a x khi x
+ − −
−
=
+ =
liên tục điểm x0 =2
ĐS: a=13 Lời giải
Ta có (2) 1( 2)
8 f = a+
3 2
3
2 2
2 ( 2)( 3) 15
lim ( ) lim lim lim
4 ( 2)( 2) ( 2)
x x x x
x x x x x x x x
f x
x x x x x x x
→ → → →
+ − − − + + + +
= = = =
− − + +
Hàm số liên tục điểm 0
2
1 15
2 (2) lim ( ) (a 2) 13
8
x
x f f x a
→
= = + = =
Ví dụ Tìm m để hàm số
2
2( 4)
2
( )
2 10
x
khi x
f x x x
m m x khi x
−
= + −
+ + −
liên tục điểm x0 =2
ĐS: m=2 Lời giải
Ta có f(2)= m+ + −2 m 20
2
2
2 2
3( 4) 3( 2)( 2)( )
lim lim lim
2
x x x
x x x x x
x x
x x
+ + +
→ → →
− − + + +
= =
+ − + −
2
3( 2)( 2)( ) 3( 2)( )
lim lim 16
( 1)( 2) ( 1)
x x
x x x x x x x
x x x
+ +
→ →
− + + + + + +
= = = −
− + − − +
2
lim lim( 10 ) 20
x x
m m x m m
− −
(117)Hàm số f x( ) liên tục điểm
2
2 lim ( ) lim ( ) (2) 20 16
x x
x + f x − f x f m m
→ →
= = = + + − = −
2
4
2
2
9 14
m m
m m m
m m
m m
+ = − = = =
− + =
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Xét tính liên tục hàm số sau điểm ra:
1
2
3
2
( ) 2
2 2
x
khi x f x x
x khi x
− −
= −
− =
điểm x0 =2 Đs: Liên tục
2
2
2
( ) 3 2
1
x x x
khi x
f x x x
khi x − + −
= − +
=
điểm x0 =2 Đs: Liên tục
3
2
2
3
1
( )
2
x x
khi x
f x x
x x khi x + +
−
= − −
+ = −
điểm x0 = −1 Đs: Liên tục Bài 2. Xét tính liên tục hàm số sau điểm ra:
1
2
3
1
( )
2
x x
khi x
f x x
x khi x
− −
= −
+
điểm x0 =1 Đs: Liên tục
2
2
1
( )
1
1
x x
khi x x x
y f x
x
khi x + −
+ −
= =
+ +
điểm x0 =1 Đs: Không liên tục
3
3
3
4
( )
4 46
x x
khi x f x x
x khi x
− −
= + −
− +
điểm x0 =4 Đs: Liên tục
Bài Tìm giá trị thực tham số m để hàm hàm số sau liên tục điểm ra:
1
3 2
5
1
( ) 1
2 1
x x x
khi x
f x x
m khi x
− + −
= −
+ =
điểm x0 =1 Đs:
1
(118)2 ( )
1
0
5
2
x x
khi x x
f x
x
m khi x
x + − −
=
−
− + =
+
liên tục điểm x0 =0 Đs:
5
m=
3 ( )
3
6
2
2
x
khi x f x x
x m khi x + −
= −
− =
liên tục điểm x0 =2 Đs: 47
12
m=
4 ( )
3
2
12
1
8
x
khi x
f x x
m x mx khi x
− −
= −
+ + =
liên tục điểm x0 =1 Đs: m= −1
Bài Tìm giá trị thực tham số m để hàm hàm số sau liên tục điểm ra:
1
3
8
2
( ) 2 6
10
x
khi x f x x x
mx khi x
−
= − −
+
điểm x0 =2 Đs: 29
7 m= −
2 ( )
2 1
1
2
x
khi x f x x x
x m khi x − −
= + −
+
liên tục điểm x0 =1 Đs:
3 m= −
3 m để ( )
2
2
2
1
2 x x
khi x x
f x
x
m khi x
x
− +
−
=
−
+
+
liên tục điểm x0 =2 Đs: m= −
4 ( )
2
2
3
1
2
1
3
x x x
khi x x x
f x
m x m khi x
− + − +
− +
=
+ −
liên tục điểm x0 =1 Đs: m=1 m=2
5 ( )
2
7
2
3
2
2 x
khi x x
f x
m mx khi x
− − −
− − =
− − −
liên tục điểm x0 = −3 Đs: m=0 m=6
6 ( )
( )
2
3
5 16
1
3 x
khi x x
f x m
x m khi x −
− + =
+ +
liên tục điểm x0 =3 Đs: m= −5 m=1
7 ( )
( )
3
2
2 10
x
khi x
f x x x
m m x x
−
= + −
+ + −
(119)LỜI GIẢI
Bài 1 Xét tính liên tục hàm số
2
3
2
( ) 2
2 2
x
khi x f x x
x khi x
− −
= −
− =
điểm x0 =2 Ta có f x( )0 = f(2)=2
2
2
2 2
3
lim ( ) lim lim lim
2 ( 2)( 3 1) 3 1
x x x x
x x x
f x
x x x x
→ → → →
− − − +
= = = =
− − − + − +
Suy
2
(2) lim ( )
x
f f x
→
= nên hàm số f x( ) liên tục điểm x0 =2
2 Xét tinh liên tục hàm số
2
2
2
( ) 3 2
1
x x x
khi x
f x x x
khi x − + −
= − +
=
điểm x0 =2
Ta có f x( )0 = f(2) 1=
2 2
2
2 2
2 ( 2)( 1)
lim ( ) lim lim lim
3 ( 2)( 1)
x x x x
x x x x x x x x
f x
x x x x x
→ → → →
− + − − − + − − + −
= = = =
− + − − −
Suy
2
(2) lim ( )
x
f f x
→
= nên hàm số f x( )liên tục điểm x0 =2 3.Xét tinh liên tục hàm số
2
2
3
1
( )
2
x x
khi x
f x x
x x khi x
+ + −
= − −
+ = −
điểm x0 = −1 Ta có f x( )0 = f( 1)− = −1
2
1 1
3 ( 1)( 2)
lim ( ) lim lim lim
1 ( 1)
x x x x
x x x x x
f x
x x
→− →− →− →−
+ + + + +
= = = = −
− − − + −
Suy
1
( 1) lim ( )
x
f f x
→−
− = nên hàm số f x( ) liên tục điểm x0 = −1
Bài 1 Xét tính liên tục hàm số
3
3
4
( ) 5 3
4 46
x x
khi x f x x
x khi x
− −
= + −
− +
điểm x0 =4 Ta có f x( )0 = f(4)=30
4
2
4 4
lim ( ) lim ( 46) 30
3 ( 4)( 1)( 3)
lim ( ) lim lim lim ( 1)( 3) 30
4
x x
x x x x
f x x
x x x x x
f x x x
x x
− −
+ + + +
→ →
→ → → →
= − + =
− − − + + +
= = = + + + =
− + −
Suy
4
(4) lim ( ) lim ( )
x x
f − f x + f x
→ →
= = nên hàm số f x( ) liên tục điểm x0 =4
2.Xét tính liên tục hàm số
2
3
1
( )
2
x x
khi x f x x
x khi x
− −
= −
+
(120)Ta có f x( )0 = f(1)=4
1
lim ( ) lim(2 2)
x x
f x x
+ +
→ = → + =
2
1 1
3 ( 1)(3 1)
lim ( ) lim lim lim(3 1)
1
x x x x
x x x x
f x x
x x
− − − −
→ → → →
− − − +
= = = + =
− −
Suy
1
(1) lim ( ) lim ( )
x x
f + f x − f x
→ →
= = nên hàm số f x( ) liên tục điểm x0 =1 3.Xét tính liên tục hàm số
2
2
1
( )
1
1
x x
khi x x x
y f x
x
khi x
+ −
+ − = =
+ +
điểm x0 =1
Ta có ( 0) (1)
3
f x = f = +
1
2
1 1
1 7
lim ( ) lim
3
2 ( 1)( 3)
lim ( ) lim lim lim
2 ( 1)( 2)
x x
x x x x
x f x
x x x x x
f x
x x x x x
− −
+ + + +
→ →
→ → → →
+ + +
= =
+ − − + +
= = = =
+ − − + +
Suy
1
(1) lim ( ) lim ( )
x x
f − f x + f x
→ →
= nên hàm số f x( ) không liên tục điểm x0 =1
4 Xét tính liên tục hàm số
3
3
4
( )
4 46
x x
khi x f x x
x khi x
− −
= + −
− +
điểm x0 =4
Ta có f x( )0 = f(4)=30
4
2
4 4
lim ( ) lim ( 46) 30
3 ( 4)( 1)( 3)
lim ( ) lim lim lim ( 1)( 3) 30
4
x x
x x x x
f x x
x x x x x
f x x x
x x
− −
+ + + +
→ →
→ → → →
= − + =
− − − + + +
= = = + + + =
− + −
Suy
4
(4) lim ( ) lim ( )
x x
f − f x + f x
→ →
= = nên hàm số f x( ) liên tục điểm x0 =4
Bài 1.Tìm m để hàm số
3 2
5
1
( ) 1
2 1
x x x
khi x
f x x
m khi x
− + −
= −
+ =
điểm x0 =1 Ta có f x( )0 = f(1)=2m+1
3 2
2
1 1
5 ( 1) (x 3) ( 1)( 3)
lim ( ) lim lim lim
1 ( 1)(x 1)
x x x x
x x x x x x
f x
x x x
→ → → →
− + − − − − +
= = = =
− − + +
Hàm số f x( ) liên tục điểm 0
1
1
1 lim ( ) (1)
2 x
x f x f m m
→
(121)2 Tìm m để hàm số ( )
1
4
5
2
x x
x x
f x
x
m x
x + − −
=
−
− + =
+
liên tục điểm x0 =0 Ta có: f ( )0 = −5m+2
( ) ( )
0 0
1 2
lim lim lim lim
1
1
x x x x
x x x
f x
x x x x x x
→ → → →
+ − −
= = = =
+ + −
+ + −
Hàm số liên tục điểm x0 =0 ( ) ( )
0
1
lim
5 x→ f x = f − m+ = =m
Vậy
5
m=
3 Tìm m để hàm số ( )
3
6
2
2
x
x f x x
x m x
+ −
= −
− =
liên tục điểm x0 =2 Ta có f ( )2 = −4 m
( )
( ) (( ) ) ( )
3
2
2 2 3 3 3 3
6 2 1
lim lim lim lim
2 2 6 2 6 4 6 2 6 4 12
x x x x
x x
f x
x x x x x x
→ → → →
+ − −
= = = =
− − + + + + + + + +
Hàm số liên tục điểm x0 =2 ( ) ( )
1 47
lim
12 12
x→ f x = f − =m =m
Vậy 47
12 m=
4 Tìm m để ( )
3
2
12
1
8
x
x
f x x
m x mx x
− −
= −
+ + =
liên tục điểm x0 =1 Ta có f ( )1 = m2+ +8 2m
( ) ( )
( ) (( ) )
3
1 1 3 3
12
12
lim lim lim
1 1 12 4 2 12 4 4
x x x
x x
f x
x x x x
→ → →
− − −
= =
− − − + − +
( )2
1 3 3
12
lim
12 12 4
x
x x
→
= =
− + − +
Hàm số liên tục điểm x0 =1 ( ) ( )
lim
(122)( )2
2
1
1
1
1
2
8
3 7
3 m
m m
m m
m m
m m
m
−
= − = −
+ = −
− + + =
=
Vậy m= −1
Bài Tìm m để hàm số
3
8
2
( ) 2 6
10
x
khi x f x x x
mx khi x
−
= − −
+
điểm x0 =2
Ta có f x( )0 = f(2)=2m+10
2
3 2
2
2 2
lim ( ) lim (m 10) 10
8 ( 2)(x 4) 12
lim ( ) lim lim lim
2 ( 2)(2 x 3)
x x
x x x x
f x x m
x x x x x
f x
x x x x
− −
+ + + +
→ →
→ → → →
= + = +
− − + + + +
= = = =
− − − + +
Hàm số f x( ) liên tục điểm
0
2
12 29
2 lim ( ) lim ( ) (2) 10
7
x x
x + f x − f x f m m
→ →
= = = + = = −
2.Tìm m để ( )
2 1
2
x
x f x x x
x m x
− −
= + −
+
liên tục điểm x0 =1 Ta có f ( )1 = +1 m
( ) ( )
( )( )( ) ( )( )
2
1 1
2
2 1
lim lim lim lim
2 1 3 2 1 1 3 2 1 1
x x x x
x x
f x
x x x x x x x
+ + + +
→ → → →
− − −
= = = =
+ − − + − + + − +
( ) ( )
1
lim lim
x x
f x x m m
− −
→ = → + = +
Hàm số liên tục điểm x0 =1
( ) ( ) ( )
1
1
lim lim 1
4
x x
f x f x f m m
+ −
→ = → = + = = −
Vậy
4 m= −
3.Tìm m để ( )
2
2
2
2
x x
x x
f x
x
m x
x
− +
−
=
−
+
+
liên tục điểm x0 =2 Ta có ( )2
4 f = −m
( )
2
1
lim lim
2
x x
x
f x m m
x
+ +
→ →
−
= + = −
+
(123)( ) ( )( ) ( )( )
( )
2
2 2
2
2 2 2
lim lim lim lim
2 2
lim
x x x x
x
x x x x x x
f x
x x x
x
− − − −
−
→ → → →
→
− + − − − − −
= = =
− − −
= − + = −
Hàm số liên tục điểm x0 = −3
( ) ( ) ( )
2
1
lim lim
4
x x
f x f x f m m
+ −
→ = → = − = − = −
Vậy
4 m= −
4 Tìm m để ( )
2
2
3
1
2
1
3
x x x
khi x x x
f x
m x m khi x
− + − +
− +
=
+ −
liên tục điểm x0 =1
Ta có ( )
1
3 f =m + − m
( ) 2
1
1
lim lim 3
3
x x
f x m x m m m
+ +
→ →
= + − = + −
( ) ( )( )
( )
2
2
1 1
1
3
lim lim lim
2 1
x x x
x x
x x x
f x
x x x
− − −
→ → →
− − +
− + − +
= =
− + −
( )( )
( )
2
2
1
1 3 5 4
lim lim
1
x x
x x x
x x
− −
→ →
− − + − +
= =
− −
( )( )
( )( )
( )
2
1
5 1 5
lim lim
3
3
1
x x
x x x
x
x x
− −
→ →
− − + − +
= = = −
+ +
− + +
Hàm số liên tục điểm x0 =1
( ) ( ) ( ) 2
1
1
1
lim lim 3
2
3
x x
m
f x f x f m m m m
m
+ −
→ →
=
= = + − = − − + = =
Vậy m=1 m=2
5 Tìm m để ( )
2
7
2
3
2
2 x
khi x x
f x
m mx khi x − −
− − −
=
− − −
liên tục điểm x0 = −3
Ta có ( )3
2 f − =m + m−
( ) 2
3
3
lim lim
2
x→−− f x x→−− m mx m m
= − − = + −
(124)( ) ( )( )
( )( )
( )
3 3
3 3
7
lim lim lim lim
2
2 7
x x x x
x x x
x f x
x x x x
+ + + +
→− →− →− →−
− + + − − + −
− −
= = = = −
− − + − + − +
Hàm số liên tục điểm x0 = −3
( ) ( ) ( ) 2
3
0
3
lim lim 6
6
2
x x
m
f x f x f m m m m
m
+ −
→− →−
=
= = − + − = − + = = −
Vậy m=0 m= −6
6.Tìm m để ( )
( )
2
3
5 16
1
3 x
khi x x
f x m
x m khi x −
− + =
+ +
liên tục điểm x0=3
Ta có ( )3 (4 )
3 m
f = +m
( ) ( ) ( )
3
lim lim
3
x x
m m
f x x m m
− −
→ = → + + = +
( ) ( ( )( )( ) )
2
2
3 3
3 16
3 16
lim lim lim lim
3 3
5 16
x x x x
x x
x x
f x
x x x
x
+ + + +
→ → → →
− + +
− + +
= = = =
− + +
− +
Hàm số liên tục điểm x0 =3
( ) ( ) ( )
3
lim lim
x x
f x f x f
+ −
→ = → = ( )
2
5
4
5
3
m m
m m m
m =
+ = + − = = −
Vậy m= −5 m=1
7 Tìm m để ( )
( )
3
2
2 10
x
khi x
f x x x
m m x x
−
= + −
+ + −
liên tục điểm x0 =2 Ta có f ( )2 = m+ + −2 m 20
( ) ( )
2
lim lim 10 20
x x
f x m m x m m
− −
→ = → + + − = + + −
( ) ( ) ( )(( )()( ) )
2 2
3 2
3
lim lim lim
2
2
x x x
x x x x
x f x
x x
x x
+ + +
→ → →
− + + +
−
= =
− − +
+ −
( )( )
( )
2
3 2
lim 16
1
x
x x x
x
+ →
+ + +
= = −
− +
Hàm số liên tục điểm x0 =2
( ) ( ) ( ) ( )2
2
4
lim lim 2
2
x x
m
f x f x f m m
m m
− +
→ →
−
= = + = −
(125)2
4
2
9 14
7 m m
m m
m m
m
= =
− + =
=
Vậy m=2
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài Xét tính liên tục hàm số ( )
3
27
3
2
4
3
x
khi x x x
f x
x
khi x
+ −
+ − =
+
= −
điểm x0 = −3 ĐS: K liên tục Bài 2. Xét tính liên tục hàm số ( )
2
2
2
1
5 2
x
khi x
f x x
x khi x
− + −
= − −
− −
điểm x0 = −2 ĐS: Liên tục Bài Xét tính liên tục hàm số ( )
2
9
3
2 12
x
khi x f x x
x khi x
−
= + −
+
điểm x0 =3 ĐS: Khơng liên tục Bài Xét tính liên tục hàm số ( )
2
4
2
7 10
8
2
x
khi x x x
f x
x
hi x
−
− − =
− =
điểm x0 =2 ĐS: Liên tục
Bài 5. Xét tính liên tục hàm số ( )
( )2
5
5
5
2
x khi x
f x x
khi x x
− +
= −
− −
điểm x0 =5 ĐS: Liên tục
Bài Xét tính liên tục hàm số ( )
2
2
12
3
5
3
x x
khi x x
f x x
khi x x
+ −
− =
+
=
−
điểm x0 =3 ĐS: Liên tục
Bài Xét tính liên tục hàm số ( )
4 5
5
2
5 25
x
khi x x
f x
x
khi x + −
−
=
điểm x0 =5 ĐS: Liên tục Bài Xét tính liên tục hàm số ( )
3
1
2
2 1
x x
khi x
f x x x x
x khi x
+ − −
= − + −
− +
điểm x0 =1 ĐS: Liên tục
Bài 9. Xét tính liên tục hàm số ( )
2
2
5
2
2
4
x x khi x x x
f x khi x
x
khi x
− −
− +
=
+ −
− =
(126)Bài 10 Xét tính liên tục hàm số ( )
2
3
1
1
x x
khi x f x x
x x khi x
− +
= + −
− −
điểm x0 =1 ĐS: Liên tục
Bài 11 Tìm m để hàm số ( )
( )
3 2
2
1
1
1
x x
khi x x
f x
m x
khi x x
+ −
−
=
− +
+
liên tục điểm x0 =1 ĐS: m= 2
Bài 12 Tìm m để hàm số ( )
4
6 27
3
3
3
x x
khi x f x x x x
mx khi x
− −
−
= + + +
+ = −
liên tục điểm x0 = −3 ĐS:
10 m=
Bài 13 Tìm m để hàm số ( )
3
27
3
2
8
x
khi x f x x x
mx khi x
−
= − −
+
liên tục điểm x0 =3 ĐS:
37 24 m= −
Bài 14 Tìm m để hàm số ( )
2
2
2
2
x
khi x f x x
x m khi x −
= + −
+ =
liên tục điểm x0 =2 ĐS: m=2 Bài 15 Tìm m để hàm số ( )
( )
2
2 2
25
5
4
5
x
khi x x x
f x
x m khi x
−
− −
=
− +
liên tục điểm x0 =5 ĐS: 15
3
m=
_DẠNG XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TXĐ Phương pháp giải:
Hàm số liên tục điểm x=x0 ( ) ( )
0
0 xlimx
f x f x
→
= ( ) ( ) ( )
0
0 lim lim
x x x x
f x − f x + f x
→ →
= =
VÍ DỤ
Ví dụ Xét tính liên tục hàm số ( )
3
2
1
7
1
x x
khi x x
f x
khi x
+ + −
+ =
= −
trên
ĐS: Liên tục Lời giải
(127)+ Xét x −1 ( )
3
2
1 x x f x
x + + =
+ hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục khoảng
(− −; 1) (− + 1; ) mà xác định + Xét tính liên tục hàm số f x( ) x= −1
Ta có ( ) ( )( )
( )( )
2
3
3 2
1 1
1 2
2 2
lim lim lim lim
1 1
x x x x
x x x
x x x x
f x
x x x x x x
→− →− →− →−
+ − +
+ + − +
= = = =
+ + − + − +
( )
1 f − =
Suy ( ) ( )
1
lim
x→− f x = f − nên hàm số cho liên tục x0 = −1 + Vậy hàm số cho liên tục
Ví dụ Xét tính liên tục hàm số ( )
2
4
1
5
x x
khi x
f x x
x khi x − +
= −
− −
trên
ĐS: Liên tục Lời giải
+ Tập xác định hàm số D=
+ Với x0(1;+ ), ( ) ( )
0
2
0
4
lim lim
1
x x x x
x x
f x f x
x
→ →
− +
= =
− Suy hàm số cho liên tục
khoảng (1;+ )
+ Với x0 −( ;1), ta có ( ) ( ) ( )
0
0
lim lim 5
x→x f x =x→x − −x = − −x = f x . Suy hàm số cho liên tục khoảng (−;1)
+ Xét tính liên tục hàm số x=1
( )1
f = − − =
- ( ) ( )
1
lim lim
x→− f x =x→− − − −x = −
- ( ) ( )( ) ( )
1 1
1
lim lim lim
1
x x x
x x
f x x
x
+ + +
→ → →
− −
= = − = −
−
Suy ( ) ( ) ( )
1
lim lim
x x
f x f x f
− +
→ = → = nên hàm số cho liên tục x=1
(128)Ví dụ Tìm a để hàm số ( )
( )
2
2
6
2
2
2
x x
khi x
x x
f x
x a khi x
+ −
+ − −
=
− +
liên tục ĐS: a= −11
Lời giải Với −x ( ; 2) ta có:
- ( )
2 0
0
6
2
x x f x
x x
+ − =
+ − −
- ( ) ( ) ( )
0
2
0
lim lim 3
x→x f x x→x x a x a
= − + = − +
Suy ( ) ( )
0
0
lim
x→x f x = f x nên hàm số liên tục khoảng (−; 2) Với x (2;+ )ta có
- f x( ) (0 = 2x0−3)2+a
- ( ) ( ) ( )
0
2
0
lim lim 3
x→x f x x→x x a x a
= − + = − +
Suy ( ) ( )
0
lim
x→x f x = f x nên hàm số liên tục khoảng (2;+ ) Lại có:
- f ( )2 = +1 a
- ( )
2
2
6
lim lim 10
2
x x
x x f x
x x
+ +
→ →
+ −
= = −
+ − −
- ( ) ( )2
2
lim lim
x x
f x x a a
− −
→ = → − + = +
Khi hàm số liên tục liên tục x=2
( ) ( ) ( )
2
lim lim 10
x x
f x f x f a
+ −
→ = → = − = +
Suy a= −11 giá trị cần tìm
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài Xét tính liên tục hàm số ( )
3
2
3
19
x x x
khi x
f x x
khi x
+ + +
−
= +
= −
Lời giải
(129)- Xét x −3 ( )
3
2
3 x x x f x
x
+ + + =
+ hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục khoảng
(− −; 3) (− + 3; ) mà xác định - Xét tính liên tục hàm số f x( ) x= −3
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
3
2
3 3
3
2
lim lim lim lim 19
3
x x x x
x x
x x x
f x x
x x
→ − → − → − → −
+ +
+ + +
= = = + =
− +
Suy
( )3 ( ) ( )
lim
x→ − f x = f − nên hàm số cho liên tục x= −3 Vậy hàm số cho liên tục
Bài Xét tính liên tục hàm số ( )
2
5
2
2 16
2
x x
khi x f x x
x khi x − +
= −
−
Lời giải
Tập xác định D=
- Với ( ) ( ) ( )
0
2
0
5
; , lim lim
2 16
x x x x
x x
x f x f x
x
→ →
− +
− = =
−
Suy hàm số cho liên tục khoảng (−; 2)
- Với ( ) ( ) ( ) ( )
0
0 2; , lim lim 2 0
x x x x
x f x x x f x
→ →
+ = − = − =
Suy hàm số cho liên tục khoảng (2;+ ) - Xét tính liên tục hàm số x=2
( )2
f =
( ) ( ( )()(2 ) ) ( )
2 2
2
5
lim lim lim lim
2 16 2 2 24
x x x x
x x
x x x
f x
x x x x x x
− − − −
→ → → →
− −
− + −
= = = = −
− − + + + +
( ) ( )
2
lim lim
x x
f x x
+ +
→ = → − =
Suy hàm số không liên tục x=2 Bài Tìm a để ( )
2 3
2
1
1 x x
khi x f x x x x
a khi x
− − −
= + + +
= −
liên tục
Lời giải Ta có với x1 thif ( )
2
2
1 x x f x
x x x − − =
(130)- ( )
1
f − =a
- ( ) ( )( )
( )( )
2
3 2
1 1
1
2 3
lim lim lim lim
1 1
x x x x
x x
x x x
f x
x x x x x x
→− →− →− →−
+ −
− − −
= = = = −
+ + + + + + +
Khi hàm số liên tục liên tục x= −1
( ) ( )
1
5
lim
2
x→− f x = f − a == −
Suy
2
a= − giá trị cần tìm
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài Xét tính liên tục hàm số ( )
3
1
1
1
1
x
khi x x
f x
x
khi x x
−
−
=
− +
+
liên tục
Bài Tìm m để ( )
2
5
0 1
2
x x khi x f x x
m khi x +
= − −
+
liên tục
Bài Tìm m để ( )
2
1
1
cos
x
khi x f x x x x
m khi x
−
−
= + + +
= −
liên tục
Bài Tìm m để ( )
3
2
1
3
x x
khi x
f x x
m khi x
− + −
= −
− =
liên tục
Bài Tìm m để ( )
2
1
0
2
x
khi x
f x x
x m khi x + −
=
+ +
liên tục
_DẠNG CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM Phương pháp giải:
- Để chứng minh phương trình f x( )=0 có nghiệm D, ta chứng minh hàm số
( )
f x liên tục D có hai số a b, D cho f a( ) ( ).f b 0
- Để chứng minh phương trình f x( )=0 có k nghiệm D, ta chứng minh hàm số f x( ) liên tục D tồn k khoảng rời (a ai; i+1) với i=1; 2; ;k nằm D cho
( ) ( )i i
f a f a+
(131)từng khoảng xác định chúng
Khi hàm số liên tục rồi, lieent ục khoảng (a ai; i+1) mà ta cần tìm VÍ DỤ
Ví dụ Chứng minh phương trình 4x3−8x2+ =1 có nghiệm khoảng (−1; 2) Lời giải
- Đặt ( )
4
f x = x − x + f x( ) hàm đa thức nên liên tục , suy liên tục
−1; 2
- Ta có ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
1 11
1 11 1; :
2
f
f f x f x
f
− = −
− = − − =
=
,
Nghĩa phương trnhf ( )
4
f x = x − x + = có nghiệm khoảng (−1; 2) Ví dụ Chứng minh phương trình
3
x − x+ có ba nghiệm phân biệt Lời giải
Đặt ( )
3
f x =x − x+ f x( ) hàm đa thức nên liên tục , suy hàm số liên tục đoạn −2; ; 0;1 ; 1; 2
- Ta có ( )
( ) ( ) ( )
1
2
0
f
f f f
− = −
− = −
=
phương trình ( )
3
3
f x =x − x+ = có nghiệm thuộc khoảng (−2; 0) (1)
- Ta có ( )
( ) ( ) ( )
0
0 1
1
f
f f f
=
= −
= −
phương trình ( )
3
3
f x =x − x+ = có nghiệm thuộc khoảng ( )0 ;1 (2)
- Ta có ( )
( ) ( ) ( )
1
1
2
f
f f f
= −
= −
=
phương trình ( )
3
3
f x =x − x+ = có nghiệm thuộc khoảng ( )1; (3)
Từ ( ) ( ) ( )1 , , suy phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng (−2; 0),
( )0 ;1 , ( )1; Mà f x( )là đa thức bậc ba nên phương trình f x( )=0 có tối đa ba nghiệm Suy phương trình cho có ba nghiệm phân biệt
Chú ý: Với hỗ trợ chức mode 7trong casio, ta dễ dàng tìm khoảng
(−2; 0), ( )0 ;1 , ( )1; Cơng việc cịn lại trình bày cho ngôn ngữ.
(132)Đặt ( )
1
f x =x + +x , f x( ) hàm đa thức nên liên tục , suy hàm số liên tục đoạn −1; 0
Ta có ( )
( ) ( ) ( )
1
1
0
f
f f f
− = −
− = −
=
phương trình f x( )=0 có nghiệm
thuộc khoảng (−1; 0)
Suy phương trình f x( )=0 có nghiệm âm lớn 1− Ví dụ Chứng minh phương trình
5
x + x − = có hai nghiệm Lời giải
Đặt ( )
5
f x =x + x − , f x( ) hàm đa thức , suy hàm số liên tục đoạn −1; 0
; 0;1
- Ta có ( )
( ) ( ) ( )
1
1
0
f
f f f
− =
− = −
= −
phương trình f x( )=0 có nghiệm
thuộc khoảng (−1; 0) (1) - Tương tự ( )
( ) ( ) ( )
0
1
1
f
f f f
= −
− = −
=
phương trình f x( )=0 có
nghiệm thuộc khoảng ( )0 ;1 (2)
Từ ( )1 ( )2 ta suy phương trình f x( )=0 có hai nghiệm Ví dụ Chứng minh phương trình
4x +2x − − =x có hai nghiệm Lời giải
Đặt ( )
4
f x = x + x − −x , f x( ) hàm đa thức , suy hàm số liên tục đoạn
−1; 0, 0;1
- Ta có ( )
( ) ( ) ( )
1
1 12
0
f
f f f
− =
− = −
= −
phương trình f x( )=0 có nghiệm
thuộc khoảng (−1; 0) (1) - Tương tự ( )
( ) ( ) ( )
0
1
1
f
f f f
= −
− = −
=
phương trình f x( )=0 có
nghiệm thuộc khoảng ( )0 ;1 (2)
Từ ( )1 ( )2 ta suy phương trình f x( )=0 có hai nghiệm Ví dụ Chứng minh phương trình ( 2)
(133)Đặt ( ) ( 2)
1
f x = −m x − x− f x( ) hàm đa thức liên tục f x( ) liên tục đoạn −1; 0
Ta có ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
0
1
1 0 1;0 :
0
f m
f f x f x
f
− = +
− − =
= −
Do phương trình f x( )=0 ln có nghiệm với m (đpcm)
Chú ý: Đối với toán chứa tham số m , ta chọn khoảng (a b; )sao cho vị trí a btriệt tiêu m biểu thức dương âm dựa vào kinh nghiệm người giải toán Một số trường hợp sử dụng dấu tam thức bậc hai để đánh giá, tức
2
0,
0
a ax +bx c+ x
2
0,
0
a ax +bx c+ x
Ví dụ Chứng minh phương trình
2
x +mx − mx− = có nghiệm với m Lời giải
Đặt ( )
2
f x =x +mx − mx− f x( ) hàm đa thức liên tục f x( ) liên tục đoạn 0;
Ta có ( )
( ) ( ) ( )
0
1 15
2 15
f
f f f
= −
− = −
=
phương trình f x( )=0ln có nghiệm với m
Ví dụ Chứng minh phương trình m x( −2)(x− +3) 2m− =5 có nghiệm với m Lời giải
Đặt f x( )=m x( −2)(x−3 2) x−5 f x( ) hàm đa thức liên tục f x( ) liên tục đoạn 2 ;3
Ta có ( )
( ) ( ) ( )
2
2
3
f
f f f
= −
= −
=
phương trình f x( )=0ln có nghiệm với m
Ví dụ Chứng minh phương trình (x−a)(x b− +) (x b− )(x c− +) (x c− )(x−a)=0 có nghiệm với số thực a, b, c
Lời giải
Đặt f x( ) (= x−a)(x b− +) (x b− )(x− +c) (x−c)(x−a) Vì f x( ) hàm đa thức nên liên tục Khơng tính tổng quát, giả sử a b c
(134)- Nếu a b c ( ) ( )( )
( ) ( )( )
0 f a a b a c f b b a b c
= − −
= − −
f a( ) ( ).f b 0 Do phương trình có nghiệm khoảng (a b; )
Suy phương trình có nghiệm (đpcm)
Ví dụ 10 Cho ba số a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a+3b+6c=0 Chứng minh phương trình
2
0
ax +bx+ =c có nghiệm thuộc khoảng ( )0 ;1 Lời giải
Đặt ( )
f x =ax +bx+c f x( ) hàm đa thức nên liên tục - Ta có f ( )0 =c có
( )
2
2 2
2
3 3 3
a b c
c c
f a b c a b c
+ + =
= + + = + + − = −
- Nếu c=0
f =
, suy phương trình có nghiệm ( )
2 0;1
x= - Nếu c0 ta có ( )
2
2
0
3
c f f = −
( )
f x
= có nghiệm 0;2 ( )0;1
3
x= a
Vậy phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( )0 ;1 Ví dụ 11 Cho hàm số ( )
3
f x =x − x − Chứng minh phương trình có nghiệm x0(3; 4) Khơng tính f ( )536 f (1+536), chứng minh
0 36
x +
Lời giải Ta có:
( )
( ) ( ) ( )
3
3 3.3 1
3 15
4 3.4 15
f
f f f
= − − = −
= −
= − − =
Suy phương trình có nghiệm x0(3; 4) Ta có f x( )=x3−3x2− =1 (x−1)3−3(x− −1)
Vì x0 nghiệm phương trình f x( )=0 nên ta có f x( )0 =0
( )3 ( )
0 3
x x
− − − − =
Đặt =x0−1 x0( )3; ( )2;3 Khi đó, ta có
3
3 3
− − = = + = 5
36 36 36
Dấu “=” xảy 3 = = 3 ( )2;3
Do đó, dấu “=” khơng xảy ra, tức ta ln có 5
0
36 x 36 x 36
− +
Suy điều phải chứng minh
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài Chứng minh phương trình ( ) 2
1
(135)Bài Chứng minh phương trình ( )
1−m x +9mx −16x− =m có hai nghiệm phân biệt Bài Chứng minh phương trình (m2− +m 3)x2n−2x− =4 có nghiệm âm với m Bài Chứng minh phương trình ( ) ( )
4m+1 x − m+1 x+ =m có nghiệm với m
Bài Chứng minh phương trình (m3−1)(x2001−1)(x+2)2002+2x+ =3 có nghiệm với m Bài Chứng minh phương trình (m2+1)x3−2m x2 2−4x+m2+ =1 có ba nghiệm phân biệt Bài Chứng minh phương trình ( )( )
1
m x− x − x +x − x+ = có ba nghiệm
Bài Cho thỏa mãn 0 Chứng minh phương trình sau có nghiệm
2 10 2 10 sin sin
sin x x
+ − −
− =
+
Bài Chứng minh a b c
k + +n m = , (k n m 0)
2
kmn phương trình
2
0
ax +bx+ =c có nghiệm thuộc khoảng ( )0 ;1 LỜI GIẢI
Bài Đặt ( ) ( ) 2
1
f x = m + x − m x − x+m + , f x( ) liên tục với x Có:
( ) ( 2 ) ( )3 2 ( )2 ( ) 2 2
3 44 14
f − = m + − − m − − − +m + = − m − ;
( ) ( ) 2 2
0 4.0 1
f = m + − m − +m + =m + ;
( ) ( ) 2
1 1 4.1
f = m + − m − +m + = − ;
( ) ( ) 2 2
2 2 4.2 1
f = m + − m − +m + =m +
Ta thấy f( ) ( )−3 f 0; f ( ) ( )0 f 0; f ( ) ( )1 f 0 nên phương trình
( ) 2
1
m + x − m x − x+m + = có nghiệm khoảng (−3; 0), nghiệm khoảng ( )0 ;1 , nghiệm khoảng ( )1;
Vậy phương trình ( ) 2
1
m + x − m x − x+m + = có nghiệm phân biệt Bài Đặt ( ) ( )
1 16
f x = −m x + mx − x−m, f x( ) liên tục
Trường hợp 1: m=0, ta có phương trình x5−16x=0 có nghiệm x0; 2 Vậy với m=0 phương trình ( )
1−m x +9mx −16x− =m có hai nghiệm phân biệt Trường hợp 2: m0, ta có:
( ) ( )( )5 ( )2 ( )
2 16 67
f − = −m − + m − − − − =m m;
( ) ( )
0 16.0
f = −m + m − − = −m m;
( ) ( )
2 16.2
f = −m + m − − = −m m
(136)Suy phương trình ( )
1−m x +9mx −16x− =m có nghiệm khoảng (−2; 0), nghiệm khoảng (0; 2)
Vậy phương trình ( )
1−m x +9mx −16x− =m có hai nghiệm phân biệt Bài Đặt ( ) ( )
3 n
f x = m − +m x − x− , f x( ) liên tục Xét f ( )− =2 (m2− +m 3)( )−2 2n−2.( )− − =2 (m2− +m 4) n 0 Xét f ( )0 =(m2− +m 0) 2n −2.0 4− = − 4
Ta thấy f ( ) ( )−2 f 0 với m0
Suy phương trình ( )
3 n
m − +m x − x− = có nghiệm khoảng (−2; 0) Vậy phương trình (m2− +m 3)x2n−2x− =4 có nghiệm âm
Bài Trường hợp 1: m=0, ta có phương trình x3− =x ln có nghiệm x=0; x= 1 Trường hợp 2: m0
Đặt ( ) ( ) ( )
4 1
f x = m+ x − m+ x+m, f x( ) liên tục với x Có:
( ) ( )( ) (3 )( )
1 1 1
f − = m+ − − m+ − + = −m m;
( ) ( ) ( )
0 1
f = m+ − m+ + =m m
Ta thấy ( ) ( )
1
f − f = − m nên phương trình ( ) ( )
4m+1 x − m+1 x+ =m có nghiệm khoảng (−1; 0)
Vậy phương trình (4m+1)x3−(m+1)x+ =m có nghiệm với m
Bài Đặt f x( )=(m3−1)(x2001−1)(x+2)2002+2x+3, f x( ) liên tục với x Xét f ( )− =2 (m3−1)( )−2 2001−1( )− +2 22002+2.( )− + = −2
Xét f ( )1 =(m3−1 1)( 2001−1 2)( + )2002+2.1 3+ =5 Ta thấy f ( ) ( )−2 f = −1.5= − 5 với m
Suy phương trình (m3−1)(x2001−1)(x+2)2002+2x+ =3 có nghiệm khoảng
(−2;1)
Vậy phương trình (m3−1)(x2001−1)(x+2)2002+2x+ =3 có nghiệm với m Bài Đặt f x( )=(m2+1)x3−2m x2 2−4x+m2+1, f x( ) liên tục với x
Có:
( ) ( 2 ) ( )3 2 ( )2 ( ) 2 2
3 44 14
f − = m + − − m − − − +m + = − m − ;
( ) ( ) 2 2
0 4.0 1
f = m + − m − +m + =m + ;
( ) ( ) 2
1 1 4.1
f = m + − m − +m + = − ;
( ) ( ) 2 2
2 2 4.2 1
(137)Ta thấy f ( ) ( )−3 f 0, f ( ) ( )0 f 0, f ( ) ( )1 f 0 Suy phương trình
( ) 2
1
m + x − m x − x+m + = có nghiệm khoảng (−3; 0), nghiệm khoảng ( )0 ;1 , nghiệm khoảng ( )1;
Vậy phương trình (m2+1)x3−2m x2 2−4x+m2+ =1 có ba nghiệm phân biệt Bài Đặt ( ) ( )( )
1
f x =m x− x − x +x − x+ , f x( ) liên tục với x Có:
( ) ( ) ( )3 ( ) ( )3 ( )
2 2 2 1
f − =m − − − − − + − − − + = − ;
( ) ( )( )
0 4.0 3.0 1
f =m − − + − + = ;
( ) ( )( )
1 1 4.1 3.1 1
f =m − − + − + = − ;
( ) ( )( )
2 2 4.2 3.2 1
f =m − − + − + =
Ta thấy f ( ) ( )−2 f 0, f ( ) ( )0 f 0, f ( ) ( )1 f 0 nên phương trình
( )( )
1
m x− x − x +x − x+ = có nghiệm khoảng (−2; 0), nghiệm khoảng ( )0 ;1 , nghiệm khoảng ( )1;
Vậy phương trình m x( −1)(x3−4x)+x3−3x+ =1 có ba nghiệm Bài Đặt ( )
2 10 2 10 sin sin
sin
f x x x
+ − −
= − −
+ , hàm số f x( ) liên tục
Ta có lim ( )
x→− f x = + nên tồn m0 cho f m( )0
Mà lim ( )
x→+ f x = − nên tồn M 0 cho f M( )0
Do đó, hàm số f x( ) liên tục m M; f m f M( ) ( ) 0 nên phương trình f x( )=0 có nghiệm
Bài Xét phương trình
0
ax +bx+ =c ( )1
Đặt ( )
f x =ax +bx+c f x( ) liên tục Ta có f ( )0 =c;
2
n n n
f a b c
k k k
= + +
Suy ( )
2 2
2
0 n n a b c n n
f f c c c
k k k n m km km
= + + + − = −
(do
a b c k + +n m = ) Vì
0
c ;
0
n km
2
1 n km
, ( )
2
0 n n
f f c
k km
= −
- Với c=0 phương trình cho trở thành ax2+bx=0 Suy x=0 ax b+ =0 ( )2 + Nếu a=0 từ c= =a điều kiện a b c
(138)+ Nếu a0 b0 (vì b=0, c=0 từ điều kiện a b c
k + +n m= suy a=0), suy phương trình ( )2 có nghiệm x b
a
= − Khi từ điều kiện a b c
k+ +n m= ; k n m
0
c= suy x b n ( )0;1 a k
= − = Do phương trình ( )1 có nghiệm x( )0;1 - Với
2
1 n
km
− = f n n
k k
=
nghiệm thuộc ( )0 ;1
- Với c0 ( )
2
1 n f f n
km k
−
f x( ) có nghiệm thuộc 0; n k
Mà
( )
0;n 0;1
k
(vì
n k
) nên phương trình ( )1 có nghiệm x( )0;1 Vậy phương trình ( )1 ln có nghiệm x( )0;1
C BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài Chứng minh phương trình x4−x3−2x2−15x−25=0 có nghiệm âm nghiệm dương
ĐS: (−1; 0); (3; 4) Bài Chứng minh phương trình x3+4x2− =2 có ba nghiệm khoảng (−4;1)
ĐS: 4;
− −
;
1 1;
2
− −
;
1 ;1
Bài Chứng minh phương trình x5−5x3+4x− =1 có năm nghiệm ĐS: 2;
2
− −
;
3 ;
− −
;
1 1;
2
−
;
1 ;1
(139)BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG IV A BÀI TẬP
Bài (HKII - THPT Lương Văn Can) 1) Tính giới hạn sau
a) 2
2
2
lim
4
x x
x
→
+ −
− b)
2
4
lim
1 x
x x x
→+
+ + − 2) Xét tính liên tục hàm số ( )
2
3
khi
1
2
x x
x
f x x
x x
− −
= −
+
x0 =1 Bài (HKII - THPT Sương Nguyệt Anh)
1) Tính giới hạn sau a)
2
2 10
lim
6 x
x x x x
→−
− −
− + b) ( )
2
lim 3
x→− x+ x − x+
2) Xét tính liên tục hàm số ( )
2
3
khi
2
2
x
x f x x
x x
− −
= −
− =
x0 =2 Bài (HKII – THPT Bùi Thị Xuân)
1 Tính giới hạn sau a)
3
3
6
lim
9
x
x x x x x
→
− + −
+ − ĐS:
2
5 b) ( )
2
lim 3
x→− x + x+ + x+ ĐS:
1
2 Tìm a b, để hàm số ( )
2
2
khi
2
khi
1
2
a b x =
x x
f x x
x
x bx a x +
+ −
=
−
+ +
liên tục x0 =1 ĐS: a= −10,b=19
3 Chứng minh phương trình ( )( ) ( )( )
3 3
m − m+ x − x+ + − x − m = có nghiệm
với m
Bài (HKII – THPT Nguyễn Hữu Huân) Tính giới hạn sau
a) 2
1
1 lim
1
x x x
→
−
− ĐS:
1
4 b)
3 2
3
lim
6 x
x x x x x
→−
+ +
− − ĐS: −
2 Xét tính liên tục hàm số ( )
2
3
khi
1
1
x x
x
f x x
x − +
= −
− =
x0 =1 ĐS: liên tục
(140)a)
3 2
1 lim
2
x
x x x x x
→
− − +
− + ĐS: b)
3
1
lim
2 x
x x
→−
− −
+ ĐS: 2− c)
( )2
4
5 lim
4
x x x
− →
−
− ĐS:− d) ( )
2
lim
x→− x + + +x x ĐS: −
2 Tìm a để hàm số ( )
khi
1
4
5
1 x
x x
f x
x
a x
x
− − =
−
− +
+
liên tục x0 =0 ĐS: a=3 Bài (HKII – THPT Hoàng Hoa Thám)
1 Tính giới hạn sau
2
2
lim
4
x
x x x
x x
→−
+ +
+ − + ĐS: −
2 Tìm a để hàm số ( )
2
2
4
5
1 ax x x
f x x
a x
x
+
= −
− +
+
liên tục x0 =1 ĐS: a= −1
3 Chứng minh phương trình
2 15 25
x −x − x − x− = có nghiệm dương
một nghiệm âm
Bài (HKII – THPT Hàn Thuyên) Tính giới hạn sau
a) 2
3
3 lim
2 15
x
x x x
→
−
+ − ĐS:
1
8 b)
( )
2
3
lim
3
x
x x
x x
→−
+ −
− + ĐS:
2 Tìm m để hàm số ( )
1
khi
7
khi
2 x
x x
f x
x
m x
−
−
=
−
liên tục x0 =1 ĐS:
m=
Bài (HKII – THPT Hùng Vương) Tính giới hạn sau
3 2
4 19 16
lim
5
x
x x x
x x
→
− + −
− + ĐS:
17 Tìm m để hàm số ( )
2
4
khi
2
2
x
x f x x
x m x
−
= + −
−
liên tục x0 =2 ĐS: m=4 Chứng minh phương trình ( ) 2015
4
m − +m x − x+ = có nghiệm âm với
mọi giá trị tham số m Bài (HKII – THPT Hưng Đạo)
1 Tính giới hạn sau a) lim
3 x
x x
→+
−
+ ĐS: −3 b)
3 lim
2 x
x x
+ →
−
(141)c) ( 3)
lim
x→− x− x ĐS: + Tìm m để hàm số ( )
2
3
khi
1
khi
x x
x f x x
m x
+ −
= −
=
liên tục x0 =1 ĐS:
m=
Bài 10 (HKII – THPT Bà Điểm) 1) Tính giới hạn sau
a)
2 2
3
lim
4 x
x x x
→
− +
− ĐS:
4 b) ( )
2
lim
x→+ x + −x x −x ĐS: 1 2) Xét tính liên tục hàm số ( )
( )2
5
5
khi
2
x x
f x x
x x
− +
= −
− −
điểm x0 =5 ĐS: liên tục
3) Tìm m để hàm số ( )
2
5
3
2 x x
x
f x x
mx x
− +
= −
+ =
liên tục điểm x0 =3 Bài 11 (HKII-THPT Bình Tân)
1) Tìm m để hàm số ( )
2
khi
2
x
x x
f x
mx x
+ −
−
=
+
2) Chứng minh phương trình (1−m2)x5−3x− =1 có nghiệm với giá trị tham số m
Bài 12 (HKII-THPT Củ Chi) 1) Tính giới hạn sau
a)
2
3
lim n n
n − +
− ĐS:
− b) ( ) ( )
2 2
1
lim
3
n n n
− +
− ĐS: −9
c) ( )
lim
x→− x− + x − +x ĐS:
5 −
2) Xét tính liên tục hàm số ( )
2
4
7 10
8
x
x x x
f x
x
x
−
− − =
−
=
điểm x0 =2 ĐS: liên tục 3) Chứng minh phương trình 4x4+2x2− − =x có hai nghiệm
Bài 13 (HKII-THPT Đinh Thiện Lý) 1) Tính giới hạn sau
a) lim 4 3
2
n A
n n n + =
+ − + ĐS: 0 b)
3
lim
4
n n
n B= −
+ ĐS: − c)
3 2
2
lim
9 x
x x x C
x
→
− − −
=
− ĐS:
11
3 d) ( )
2
lim
x
D x x x
→+
= + + − ĐS:1
(142)2) Cho hàm số ( )
2
7
2 x
x f x x
ax x
−
= + −
+
a) Khi a=1, xét tính liên tục hàm số x=2 ĐS: Khơng liên tục b) Tìm giá trị a để hàm số liên tục x=2 ĐS:
4 a= − 3) Chứng minh phương trình
3
x − x + x− = có ba nghiệm phân biệt Bài 14 (HKII- THPT Lý Tự Trọng)
1) Tính giới hạn sau a)
5
5 lim
5 x
x x
→
−
− ĐS: 0 b)
2
5 lim
2 x
x x
→−
+ −
+ ĐS: −
2) Tìm a để hàm số ( )
2
4
3
4 x x
x
f x x
ax x
− +
= −
+ =
liên tục điểm x0 =3 ĐS: 12 a= − 3) Chứng minh phương trình 5x5−3x4+4x3− =5 có nghiệm Bài 15 (HKII-THPT Lê Q Đơn)
1) Tìm giá trị a để hàm số ( )
3
2
2 x
x f x x x
a x
+ −
= − +
− +
liên tục x0 =1 ĐS: 27 a= 2) Chứng minh phương trình (m2−3m+3)x3+2x− =3 có nghiệm với m
Bài 16 (HKII – THPT Chuyên Nguyễn Thượng Hiền) 1) Tính giới hạn sau
a) ( 2 )
lim
x→− x + −x x + ĐS:
1
− b) 3
0
tan sin
lim x
x x x
→
−
ĐS:
2) Tìm tham số m để hàm số ( )
2
1
khi
8
7
x
x f x x
m x m m −
= + −
+
liên tục x0 =1 ĐS: m= −1
6
m= −
3) Chứng minh phương trình 14 ( ) 15
3
mx − m + x − = ln có nghiệm với
m
Bài 17 (HKII – THPT An Lạc) Tính giới hạn sau
a)
2 2
4 26
lim
2
x
x x
x x x
→
+ −
− + − ĐS: −84 b) ( )
2
lim
x→− x − +x x− ĐS:
3 −
Tìm m để hàm số ( )
3
2
khi
1
4
x x x
x
f x x
mx x x
− + −
= −
+ + =
(143)Bài 18 (HKII – THPT Nam Kỳ Khỏi Nghĩa) Tính giới hạn sau
a)
3
5
lim
8
x
x x x x x
→
− + +
− − ĐS: b)
2
1
lim
3 x
x x
x
→−
+ − +
− ĐS: 1−
Tìm m để hàm số ( )
3
4
khi
4
1
khi
4 x x
x x x
f x
mx x
− +
− + =
=
liên tục điểm x0 =1ĐS: m=2
Bài 19 (HKII – THPT Nguyễn Chí Thanh) Tính giới hạn sau
a)
3
3
lim
7
x
x x x x x
→−
− − +
− − ĐS: 3
b) lim 2( 4 3)
x→+ x− − x − x− ĐS: 0
Tìm a để hàm số ( )
2
5
khi
6
3
x x
x f x x
ax x
− +
= + −
+
liên tục điểm x0 =3 ĐS: a=1
Bài 20 (HKII – THPT Nguyễn An Ninh) Tính giới hạn sau
a)
3 2
2 12
lim
6 x
x x x x x
→−
+ − −
− − ĐS: −
b) lim 2( 5)
x→− x+ x + +x ĐS:
1 −
Tìm m để hàm số ( )
2
7
khi
3
2
x
x
f x x
x m x
+ −
= −
− =
liên tục điểm x0 =3 ĐS:
8
m=
Bài 21 (HKII – THPT Nguyễn Du) Tính giới hạn sau
a)
2 2
5
lim
3 10
x
x x x x x
→
− +
− + − ĐS: −
b) lim ( )
x→− x x x
+ +
ĐS: −
Tìm m để hàm số ( )
2
2
3
khi
1
khi
2 x
x x
f x
m x x
+ −
−
=
− =
(144)Bài 22 (HKII – THPT Mạc ĐĨnh Chi) Tính giới hạn sau
a) lim 2.3 3.7
3.2
n n
n
− +
+
ĐS: − b)
2
4
lim x
x x x x
→
− + −
+
ĐS:
1 −
c) lim 3( 4)
x→− x+ + x + x+ ĐS:
1
Xét tính liên tục hàm số ( )
4 5
khi
5
khi
25 x
x x
f x
x
x
+ −
−
=
x0 =5 ĐS: liên tục
Bài 23 (HKII – THPT Gia Định) Tính giới hạn sau
a)
4 3
2
lim
4 11
x
x x x x x
→
− + −
− − ĐS:
55 13
b)
3
7 28 12
lim
4
x
x x
x x x
→
+ − −
− + −
ĐS:
17 54
c)
3
12 36
lim
2 12
x
x x
x x
→
+ − +
− ĐS:
3 16
−
d) (3 )
lim 64 4
x→+ x − x − x+ ĐS:
11 12
Xét tính liên tục hàm số ( )
3 2
1
khi
1
khi
4
3 6
khi
3 14 11
x x
x x
f x x
x x x
x x x
+ − +
−
= =
− − +
− +
x0 =1 ĐS: liên tục
Bài 24 (HKII – Nguyễn Hiền) Tính giới hạn sau
a)
4 3
9 82
lim
2 54
x
x x x
→
− +
− ĐS:
80
b) ( )
( )
2
2
lim
2
x
x x
x
→−
+ +
(145) Xét tính liên tục hàm số ( )
3
khi
2
2
x x
x
f x x x x
x x
+ − −
= − + −
− +
điểm x0 =1 ĐS: liên tục
Bài 25 (HKII – THPT Nguyễn Hữu Cảnh) Tính giới hạn sau
a)
2
2
2
lim x
x x x x
→
− +
− − ĐS: −
b) 2
2
6 lim
3
x
x x
x x
→
− −
− + − ĐS: −
Xét tính liên tục hàm số ( )
1
khi
3
khi
4 x
x x
f x x
x + −
−
= −
điểm x0 =3 ĐS: liên tục Bài 26 (HKII – THPT Nguyễn Thái Bình)
Xét tính liên tục hàm số ( )
2
2
12
khi
3
khi
1 x x
x x
f x x
x x
+ −
− =
+
=
−
điểm x=3 ĐS: liên tục Chứng minh phương trình (m2+ +m 3)(x−2)+x2+2x− =4 có nghiệm m
Bài 27 (HKII – THPT Tây Hạnh) Tính giới hạn sau
a)
3 2
5
lim x
x x x x
→
− +
− ĐS: −
b) ( )
lim
x→− x − +x x ĐS:
1 Tìm m để hàm số ( )
( )
3
2
5
m m x
f x x
x
x x
− =
= −
− − −
liên tục x0 =2.ĐS: m=1
2
m= −
Chứng minh phương trình
5x +3x −6x − + =x có hai nghiệm khoảng
(146)a) Ta có
( )( )
2
2
2 1
lim lim
4 2 2 2 16
x x
x
x x x
→ →
+ −
= =
− + + +
b) Ta có
2 2
3
4
4
lim lim
1
1
x x
x
x x x x
x
x x
→+ →+
+ +
+ + = =
− −
2) Ta có:
+) f ( )1 =4
+) ( ) ( )
1
lim lim 2
x x
f x x
+ +
→ = → + =
+) ( ) ( )
2
1 1
3
lim lim lim
1
x x x
x x
f x x
x
− − −
→ → →
− −
= = + =
−
Suy ( ) ( ) ( )
1
lim lim
x x
f x f x f
− +
→ = → = , nên hàm số cho liên tục x0 =1
Bài 1) Tính:
a) ( )( )
( )( )
2
3 2
2 2
2
2 10
lim lim lim
6 2 3 11
x x x
x x
x x x
x x x x x x x
→− →− →−
+ −
− − = = − = −
− + + − + − +
b) ( )
2
2
8
lim 3 lim
3
x x
x x
x x x
x x x
→− →−
+ −
+ − + =
− − +
2
2
2
2
8 lim
2
3
x
x
x x x
x x
→−
+ −
= = −
+ − +
2 Ta có
- f ( )2 =2
- ( )
2
2
2 2
3
lim lim lim
2 3 1
x x x
x x
f x
x x
→ → →
− − +
= = =
− − +
Bài
a ) Ta có ( )( )
( )( )
2
3 2
4 3
1 1
3 3
3
6 2
lim lim lim
9 3 3
x x x
x x x
x x x x x
x x x x x x x x x
→ → →
− − +
− + − − +
= = =
+ − − + + + + + +
b) Ta có ( )
2
3
lim 3 lim
3 1
9
x x
x
x x x
x
x x x
→− →−
− + + + + =
− + + − −
2
3
lim
2
3 1
9
x
x x x
→−
−
= =
− + + − − Ta có f ( )1 = +a b
- ( ) ( )
1
lim lim 3
x x
f x x bx a a b
− −
(147)- ( ) ( )
2
1 1
2
lim lim lim
1
x x x
x x
f x x
x
+ + +
→ → →
+ −
= = + =
−
Hàm số f x( ) liên tục x0 =1
( ) ( ) ( )
1
3 10
lim lim
9 19
x x
a b a
f x f x f
a b b
− +
→ →
+ + = = −
= =
+ = =
3 Ta có hàm số ( ) ( )( ) ( )( )
3 3
f x = m − m+ x − x+ + − x − m liên tục
Mặt khác ( ) ( ) ( )( ) ( )2
1 2 3
f f = − m m− = − m−
- Nếu
2
m= f ( ) ( )1 f =0 nên phương trình có nghiệm x=1;x=2
- Nếu
2
m f ( ) ( )1 f 0 nên phương trình cho có nghiệm thuộc khoảng ( )1;
Vây phương trình (m2−3m+2)(x2−3x+2)+ −(3 2x)(3 2− m)=0 ln có nghiệm với m
Bài a) Ta có
( )( )
2
1
1 1
lim lim
1 1 1
x x
x
x x x
→ →
− = =
− + +
b) Ta có ( )( )
( )( ) ( )
3 2
2 2
1
3 2
lim lim lim
6 3
x x x
x x x x x
x x x
x x x x x
→− →− →−
+ + +
+ + = = = −
− − + − −
2 Ta có
- f ( )1 = −1
- ( ) ( )
2
1 1
3
lim lim lim
1
x x x
x x
f x x
x
→ → →
− +
= = − = −
−
Suy ( ) ( )
1
lim
x→ f x = f nên hàm số cho liên tục x0 =1
Bài a) Ta có ( ) ( )
( ) ( )
2
2
1 1
1
1
lim lim lim
2 1
x x x
x x
x x x
x
x x x
→ → →
− +
− − + = = + =
− + −
b) Ta có ( )
( )( )
( )
3
3
3
2
8
1
lim lim lim
2 2 1 3 1 3
x x x
x x x
x
x x x x
→− →− →−
− + − − +
− − = = = −
+ + − + − +
c) Ta có
( )
( )
( ) ( )
4
2
2
4
2
lim
5
lim lim
4
4
x
x x
x
x x
x
x x
−
− −
→
→ →
− = −
−
− = = −
−
−
(148)d) Ta có ( )
2
1
lim lim
1
x x
x
x x x
x x x
→− →−
+
+ + + =
+ + −
1
1 lim
2
1
x
x x x x
x
→−
+
= = −
− + + −
2) Ta có
- f ( )0 = −a
- ( ) ( )
0 0
1
lim lim lim
1
x x x
x x
x f x
x x
− − −
→ → →
+ −
= = =
− −
- ( )
0
4
lim lim
1
x x
x
f x a a
x
+ +
→ →
−
= − + = −
+
Hàm số f x( ) liên tục x0 =0
( ) ( ) ( )
0
lim lim
x x
f x f x f a a
− +
→ = → = − = =
Bài Ta có
2
2
2
1
2
lim lim
3
1
4
4
x x
x
x x x x
x x
x
x x
→− →−
− + +
+ + = = −
+ − + − + − +
2 Ta có
- f ( )1 =1
- ( ) ( )
1
lim lim 2
x x
f x ax x a
− −
→ = → + = +
- ( ) ( )
1
lim lim cos 1
x x
f x x
+ +
→ = → − =
Hàm số f x( ) liên tục x0 =1
( ) ( ) ( )
lim lim 1
x x
f x f x f a a
− +
→ = → = + = = −
3 Ta có hàm số f x( )=x4−x3−2x2−15x−25 liên tục Mặt khác f ( )0 = − 25
( )
lim 15 25
x→− x − −x x − x− = +
( )
lim 15 25
x→+ x − −x x − x− = +
Vậy phương trình
2 15 25
x −x − x − x− = có nghiệm khoảng
(−; 0) có nghiệm khoảng (0;+) Do phương trình
2 15 25
x −x − x − x− = có nghiệm dương nghiệm âm
Bài 1) a) Ta có
( )( )
2
3 3
3 1
lim lim lim
2 15 5
x x x
x x
x x x x x
→ → →
− = − = =
(149)b) Ta có ( )
2
2
2
1 3
3
3
lim lim lim
1
3
3
x x x
x x
x x x x
x x
x x
x
x x
→− →− →−
+ − − + − −
+ −
= = =
− + − + − +
2) Ta có
- ( )1
2 f = −m
- ( )
( )
1
1
lim lim
14
7
x→ f x x→ x
−
= = −
+
Hàm số f x( ) liên tục x0 =1
( ) ( )
1
1
lim
2 14
x→ f x f m m
−
= − = − =
Bài Ta có ( )( )
( )( )
2
3 2
2
1 16
4 19 16 16 17
lim lim lim
5 5
x x x
x x x
x x x x x
x x x x x
→ →− →−
− − +
− + − = = − + =
− + − − −
2 Ta có
- f ( )2 = −4 m
- ( ) ( )
2
lim lim
x x
f x x m m
− −
→ = → − = −
- ( )
2
2
4
lim lim
2
x x
x f x
x
+ +
→ →
−
= =
+ −
Hàm số f x( ) liên tục x0 =2
( ) ( ) ( )
2
lim lim 4
x x
f x f x f m m
− +
→ = → = − = =
3 Ta có hàm số f x( )=x4−x3−2x2−15x−25 liên tục Mặt khác f ( )0 = 1
( ) 2015
2014 2015
2
lim lim
x→− f x x→−x m m x x x
= − + − + = −
(Vì
2
4
m − + m với
m )
( )
lim 15 25
x→+ x − −x x − x− = +
Vậy phương trình ( ) 2015
4
m − +m x − x+ = có nghiệm khoảng
(−; 0) (nghiệm âm) với giá trị tham số m Bài 1) a Ta có
5 6
lim lim
3
2
x x
x
x x
x
x x
→+ →+
−
−
= = −
+ +
(150)b Ta có
2
3 lim
2 x
x x
+ →
− = − −
( )
( )
2
2
lim
lim
2
x
x x x
x x
+
+ → →
− = −
− =
−
c Ta có lim 3( 3) lim 32
x→− x x x→−x x
− = − = +
2) Ta có: f ( )1 =m
( ) ( ( )()(2 ) )
1 1
1
3 4
lim lim lim lim
1 1
x x x x
x x
x x x
f x
x x x x x x
→ → → →
− +
+ − +
= = = =
− − + + + +
Hàm số f x( ) liên tục x0 =1 ( ) ( )
1
5
lim
3
x→ f x = f =m
Bài 10 1) a Ta có ( )( )
( )( )
2
2 2
2
3 1
lim lim lim
4 2
x x x
x x
x x x
x x x x
→ → →
− −
− + = = − =
− − + +
b Ta có ( 2 )
2
2
lim \ lim lim
1
1
x x x
x x
x x x x
x x x x
x
x x
→+ + − − = →+ + + − = →+ =
+ + −
2) Ta có
( )5
f = , ( ) (( )2 )
5
lim lim 3
x→− f x =x→− x− + =
,
( ) ( )(( ) )
5 5
5
5
lim lim lim
2
2
x x x
x x
x f x
x x
+ + +
→ → →
− − +
−
= = =
−
− −
Suy ( ) ( ) ( )
5
lim lim
x x
f x f x f
− +
→ = → = nên hàm số cho liên tục x0 =5
3) Ta có: f ( )3 =6m+1, ( ) ( )( )
2
3 3
3
5
lim lim lim
3
x x x
x x x x
f x
x x
→ → →
− −
− +
= = =
− −
Hàm số cho liên tục x0 =3 ( ) ( )
3
lim 1
x→ f x = f m+ = =m Bài 11 1) Ta có ( )2
4
f = m+ ; ( )
( )( )
2
2
lim lim
2 2
x x
x f x
x x
+ +
→ →
+ −
= =
− + +
( )
( )( )
2 2
2 1
lim lim lim
4
2
2 2
x x x
x f x
x
x x
+ + +
→ → →
+ −
= = =
+ +
− + +
Hàm số cho liên tục điểm x0 =2 1
4
m+ = =m
2) Đặt ( ) ( 2)
1
f x = −m x − x− Ta có, ( ) ( )
0 1, 1
(151)Suy ra, ( ) ( )
0 1 0,
f f − = −m − m Mặt khác, vì f x( ) hàm số đa thức liên tục nên f x( ) liên tục −1; 0 Do đó, phương trình cho có nghiệm khoảng
(−1; 0)với giá trị m Vậy ta có đpcm
Bài 12 1) Tính giới hạn a)
2 2
2
2
1
3
3 0
lim lim
1
1 2
2
n n n n
n
n − +
− + = = − + = −
− −
−
b) ( ) ( ) ( ) ( )
3
2
3 2
7
7
1
3
1 0 3 1 0
lim lim
2
3
3
n n n n
n
n − +
− + − +
= = = −
− − −
c) ( ) ( ) ( )
2 2
2
3
lim lim
3
x x
x x x
x x x
x x x
→− →−
− − − +
− + − + =
− − − +
2
5
lim
1
3
x
x
x x
x x
→−
− + =
− − − +
2
8
5 lim
2
3 1
1
x
x
x x x
→−
− +
= = −
− + − +
2) Ta có ( )2 16 f = −
( )( ) ( )( )
2
2
2 2
4 10 10
4 16
lim lim lim
7 10
7 10
x x x
x x x x x x
x
x x x
x x
→ → →
− + − + + −
−
= = = −
− + −
− −
Ta thấy ( ) ( )
2
2 lim
x
f f x
→
= Vậy hàm số cho liên tục x0 =2
3) Đặt ( )
4
f x = x + x − −x Ta có, f ( )− =1 4, f ( )0 = −3,f ( )1 =2 Suy ra, f ( ) ( )−1 f = −120, f ( ) ( )0 f = − 6
Vì f x( ) hàm số đa thức liên tục nên f x( ) liên tục đoạn −1; 0 0;1 Do đó, phương trình f x( )=0 có nghiệm khoảng (−1; 0) ( )1; Vậy phương trình cho có hai nghiệm
Bài 13 1) Tính giới hạn a)
3 4
3
3
3
lim lim
2
2
1
n n n
A
n n n
n n n + +
= = =
+ − + + − +
b)
1
3
lim lim
4 3
3
n
n n
n n
n B
−
−
= = = −
+ +
(152)c) ( )( )
( )( )
2
3 2
2
3 3
3
2 11
lim lim lim
9 3 3
x x x
x x x
x x x x x
C
x x x x
→ → →
− + +
− − − + +
= = = =
− − + + .
d) ( )
2
2
2
2
1
4
lim lim lim
4
1
4
4
x x x
x x x x
D x x x
x x x
x x
→+ →+ →+
+ + + −
= + + − = = =
+ + + + + + .
2) ( )
2
7
2 x
x y f x x
ax x
−
= = + −
+
a) Khi a=1, ta ( )
2
7
2 x
x y f x x
x x
−
= = + −
+
Ta thấy f ( )2 =7
( ) ( )
2
lim lim
x x
f x x
− −
→ = → + =
( ) ( )( ) ( )
2 2
2
2
lim lim lim lim
7
7
x x x x
x x x
f x x
x x
+ + + +
→ → → →
− + +
−
= = = − + − = −
+ −
+ −
Vì ( ) ( )
2
lim lim
x x
f x f x
− +
→ → nên hàm số cho không liên tục x=2
b) Ta có ( ) ( )
2
2 lim
x
f − f x a
→
= = +
( )
2
lim
x
f x
+
→ = −
Do hàm số cho liên tục x=2
4 a+ = − = −a
3) Đặt ( )
3
f x =x − x + x− Ta có, f ( )0 = −2, f ( )1 =1,f ( )2 = −8, f ( )3 =13 Suy ra, f ( ) ( )0 f = − 2 0, f ( ) ( )1 f = − 8 0, f ( ) ( )2 f = −1040
Mặt khác, vì f x( ) hàm đa thức liên tục nên f x( ) liên tục đoạn
0;1 , 1; , 2, Do đó, phương trình f x( )=0 có nghiệm khoảng
( ) ( ) ( )0;1 , 1; , 2;3
Vậy phương trình cho có nghiệm Bài 14 1) Tìm giới hạn
a)
5
5 lim
5 x
x x
→
− − =0 b)
( )( )
2
2
2 2
5 2
lim lim lim
2 2 5 3 5 3
x x x
x x x
x x x x
→− →− →−
+ − + − −
= = = −
+ + + + + +
2) Ta có f ( )3 =12a+5
( ) ( )( ) ( )
3 3
3
4
lim lim lim lim
3
x x x x
x x x x
f x x
x x
→ → → →
− −
− +
= = = − + = −
− −
Hàm số cho liên tục điểm x0 =3
7
12
(153)3) Đặt ( )
3
f x =x − x + x − Ta có, f ( )0 = −5, f ( )1 =1 Suy ra, f ( ) ( )0 f = − 5
Mặt khác, vì f x( ) hàm đa thức liên tục nên f x( ) liên tục đoạn 0;1 Do đó, phương trình f x( )=0 có nghiệm khoảng ( )0;1
Vậy phương trình cho có nghiệm khoảng ( )0;1 Vậy ta có dpcm
Bài 15 Ta có
( )1
f = − a+
( ) ( )
1
lim lim 7
x x
f x a a
+ +
→ = → − + = − + ( )
( )( )( ) ( )( )
2
1 1
3 1
lim lim lim lim
2 2 2 1 3 2 2 1 3 2
x x x x
x x
f x
x x x x x x x
− − − −
→ → → →
+ − + −
= − = =
− + − − + + − + +
Hàm số cho liên tục x0 =1 27
4
a a
− + = = Vậy 27
a= giá trị cần tìm Đặt f x( )=(m2−3m+3)x3+2x− =3
Ta có f ( )0 = −3, ( )
2
2
2 24 25
2
f = m − m+ = m− + m
Suy f ( ) ( )0 f 0 m
Mặt khác, f x( ) hàm đa thức liên tục nên f x( ) liên tục đoạn 0; Do phương trình f x( )=0 ln có nghiệm khoảng ( )0; với m Vậy ta có đpcm
Bài 16 Tính giới hạn
a) ( )
2
2
2
1
lim lim
1
x x
x x x
x x x
x x x
→− →−
+ − −
+ − + =
+ + +
2
1 lim
1
1
x
x
x x
x x
→−
− =
+ + +
2
1
1 lim
2
1
1
x
x
x x
→−
−
= = −
− + − +
b) 3 3 ( 3 )
0 0
sin
sin sin 1 cos
tan sin cos
lim lim lim
4 cos
x x x
x
x x x
x x x
x x x x
→ → →
− −
− = =
3
sin sin lim
cos
x
x x
x x
→
=
2
2
sin
1 sin 2
lim
8cos
2 x
x x
x x x
→
= =
(154)( )
1
f =m + m
( ) ( 2 )
1
lim lim 7
x x
f x m x mx m m
− −
→ = → + = +
( ) ( )( ) ( )
1 1
1
1
lim lim lim lim
8
x x x x
x x x
f x x
x x
+ + + +
→ → → →
− + +
−
= = = − + − = −
+ − + −
Do đó, hàm số cho liên tục x0 =1
2
7
6
m
m m m m
m = −
+ = − + + = = −
Vậy m= −1,m= −6 giá trị cần tìm
Đặt ( ) 14 ( ) 15
3
f x =mx − m + x −
Ta có ( ) ( )
2
2
0 5, 2
2
f = − f − = m + + =m m +m+ + m
Suy
( ) ( )1 0
f − f m
Mặt khác, f x( ) hàm số đa thức liên tục nên liên tục đoạn −1; 0 Do phương trình f x( )=0 có nghiệm khoảng (−1; 0)