Đang tải... (xem toàn văn)
...MÔN TOÁN - HỆ CAO ĐẲNG NĂM HỌC 2008-2009 -ĐỀ SỐ ĐÁP ÁN Câu ( − 3i ) ĐIỂM 1,5 điểm 9 π π = cos(- ) + isin(-... + 3z = 10 ÷ Ta có ma trận hệ số: A = −1 10 ÷ ⇒ det(A) = −1 2 ÷ 10 A1 = −1 10 ÷ ÷⇒ det (A1 ) = −1 3 ÷ 10 A = 10 ÷ ÷ ⇒ det(A ) = −1 2 3 ÷ 3 A = −1 ÷ ÷... = 3 14 ÷ Ta có ma trận hệ số: A = −8 ÷ ⇒ det(A) = 4 ÷ 6 A1 = 5 3 A = 4 14 −8 ÷ ÷ ⇒ det (A1 ) = −2 0÷ 14 −8 ÷ ÷ ⇒ det(A ) = −2 0÷ 1,5 điểm 3 6 A = 5 ÷
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN ( Câu 1: Tính 1− 3i ) ĐỀ THI MÔN TOÁN CAO CẤP 1-HỆ CAO ĐẲNG Thời gian làm bài: 90 phút Số báo danh: ĐỀ SỐ 1 9 x + 2 y + az = 3 Câu 2: Cho hệ phương trình tuyến tính 3x − y − az = 2 2 x + y + 3z = 3 a = 10 a) Giải hệ trên khi . b) Xác định a để hệ có vô số nghiệm. Câu 3: Trong không gian P2 các đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2. Cho ánh xạ f : P2 → P2 xác định bởi: f (a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ) = a 1 + (−4a 0 + 4a 1 ) x + (−2a 0 + a 1 + 2a 2 ) x 2 a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính. b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B = {1; x; x 2 } của P2 . c) Tìm trị riêng và vectơ riêng tương ứng của f. 3 x +1 Câu 4: Tính giới hạn lim x → −1 x2 + 3 − 2 sin 2 x , x≠0 Câu 5: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = x , tại điểm x 0 = 0 . 0 , x = 0 Thông qua bộ môn TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN ( Câu 1: Tính − 1+ 3i ) ĐỀ THI MÔN TOÁN CAO CẤP 1-HỆ CAO ĐẲNG Thời gian làm bài: 90 phút ĐỀ SỐ 2 Số báo danh: 9 3x + 3y + (a + 3)z = 6 Câu 2: Cho hệ phương trình tuyến tính 5x + (−a + 3)z = 5 4 x + y = 5 a) Giải hệ trên khi a = 11 . b) Xác định a để hệ có vô số nghiệm. Câu 3: Trong không gian P2 các đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2. Cho ánh xạ f : P2 → P2 xác định bởi: f (a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ) = (a 0 − 3a 1 + 3a 2 ) + (−2a 0 − 6a 1 + 13a 2 ) x + (−a 0 − 4a 1 + 8a 2 ) x 2 a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính. b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B = {1; x; x 2 } của P2 . c) Tìm trị riêng và vectơ riêng tương ứng của f. 3 x +1 − 1− x Câu 4: Tính giới hạn lim x →0 x (e x − 1) 2 , x≠0 Câu 5: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = x , tại điểm x 0 = 0 . 0 , x = 0 Thông qua bộ môn ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM MÔN TOÁN 1 - HỆ CAO ĐẲNG NĂM HỌC 2008-2009 ---------------------------ĐỀ SỐ 1 ĐÁP ÁN Câu 1 ( 1 − 3i ) ĐIỂM 1,5 điểm 9 9 π π = 2 cos(- ) + isin(- ) ÷ 3 3 = 29 [ cos (-3π) + isin(-3π) ] = −29 Câu 2 a) Khi a = 10, ta có hệ: 2 ,5 điểm x + 2y + 10z = 3 3x − y − 10z = 2 2x + y + 3z = 3 1 2 10 ÷ Ta có ma trận hệ số: A = 3 −1 10 ÷ ⇒ det(A) = −1 2 1 3 ÷ 3 2 10 A1 = 2 −1 10 ÷ ÷⇒ det(A1 ) = −1 3 1 3 ÷ 1 3 10 A 2 = 3 2 10 ÷ ÷ ⇒ det(A 2 ) = −1 2 3 3 ÷ 1 2 3 A 3 = 3 −1 2 ÷ ÷ ⇒ det(A 3 ) = 0 2 1 3÷ Vậy nghiệm của hệ là: (1,1,0) b) Để hệ có vô số nghiệm thì 1 2 a 21 Det(A) = 0 ⇔ 3 −1 −a = 0 ⇔ a = 2 2 1 3 Với a = 21/2 ta có hệ tương đương với 2x + 4y + 21z = 6 ⇒ ⇒ hệ có vô số nghiệm y + 6z = 1 KL: a = 21/2 Câu 3 a) CM: i) f(p+q) = f(p) +f(q), ∀p,q ∈ P2 ii) f(kp) = k.f(p), ∀p ∈ P2 , ∀k ∈ R b) Ta có 1,5 điểm 1 điểm 3,5 điểm 1điểm 1điểm f (1) = −4x −2x 2 f (x) = 1 +4x + x 2 f (x 2 ) = 2x 2 Từ đó suy ra ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với cơ sở B = {1; x ; x2 } là: 0 1 0 A = −4 4 0 ÷ ÷ −2 1 2 ÷ 3 c) Phương trình đặc trưng: A − λI = 0 ⇔ −(λ − 2) = 0 ⇔ λ = 2 (bội 3) Véc tơ riêng tương ứng (x1, x2, x3) thoả mãn hệ: −2x1 + x 2 = 0 −4x1 +2x 2 = 0 −2x +x2 = 0 1 ⇒ x1, x 3 tuỳ ý và x2 = 2x1 ⇒ x = (x1 , 2x1 , x 3 ) = x1 (1, 2,0) + x 3 (0,0,1) Câu 4 1 3 3 x +1 x 2 = 1/ 3 = −2 / 3 lim lim x →−1 = x →−1 x −1/ 2 x2 + 3 − 2 2 x +3 Câu 5 f (x) − f (0) sin 2 x ' = lim 2 = 1 Ta có y (0) = lim x →0 x →0 x −0 x ĐỀ SỐ 2 1,5 điểm 1,5 điểm 1 điểm ĐÁP ÁN Câu 1 ( 1 − 3i ) ĐIỂM 1,5 điểm 9 9 2π 2π = 2 cos( ) + isin( ) ÷ 3 3 = 29 [ cos (6π) + isin(6π) ] = 29 Câu 2 2 ,5 điểm c) Khi a = 11, ta có hệ: 3x + 3y + 14Z = 6 5x − 8z = 5 4x + y = 5 3 3 14 ÷ Ta có ma trận hệ số: A = 5 0 −8 ÷ ⇒ det(A) = 1 4 1 0 ÷ 6 A1 = 5 5 3 A 2 = 5 4 3 14 0 −8 ÷ ÷ ⇒ det(A1 ) = −2 1 0÷ 3 14 0 −8 ÷ ÷ ⇒ det(A 2 ) = −2 1 0÷ 1,5 điểm 3 3 6 A 3 = 5 0 5 ÷ ÷ ⇒ det(A 3 ) = 0 4 1 5÷ Vậy nghiệm của hệ là: (2,2,0) d) Để hệ có vô số nghiệm thì 3 3 a +3 21 Det(A) = 0 ⇔ 5 0 −a + 3 = 0 ⇔ a = 1 điểm 2 4 1 0 Với a = 21/2 dễ kiểm tra được hệ có vô số nghiệm KL: a = 21/2 Câu 3 3,5 điểm c) CM: i) f(p+q) = f(p) +f(q), ∀p,q ∈ P2 1điểm ii) f(kp) = k.f(p), ∀p ∈ P2 , ∀k ∈ R d) Ta có f (1) = 1 −2x − x 2 f (x) = −3 −6x −4x 2 f (x 2 ) = 3 +13x +8x 2 1điểm Từ đó suy ra ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với cơ sở B = {1; x ; x2 } là: 1 −3 3 A = −2 −6 13 ÷ ÷ −1 −4 8 ÷ 3 c) Phương trình đặc trưng: A − λI = 0 ⇔ (1 − λ) = 0 ⇔ λ = 1 (bội 3) Véc tơ riêng tương ứng (x1, x2, x3) thoả mãn hệ: −3x 2 +3x 3 = 0 −2x1 −7x 2 +13x 3 = 0 −x 1 −4x 2 +7x 3 = 0 ⇒ x 3 tuỳ ý và x2 = x3, x1= 3x3 ⇒ x = (3x 3 , x 3 , x 3 ) = x 3 (3,1,1) Câu 4 3 x +1 − 1− x 1 1 5 lim = lim + ÷= 2 x →o x →o 3 ÷ 6 x 2 1 − x 3 (x + 1) Câu 5 e x − 1) Ta có y ' (0) = lim f (x) − f (0) = lim ( =1 x →0 x →0 x −0 x2 2 1,5 điểm 1,5 điểm 1 điểm