Bài giảng các phân phối xác suất thường gặp

Bài Các phân phối xác suất thường gặp Phân phối siêu bội  Xét tập có N phần tử có M phần tử có tính chất A Từ tập lấy n phần tử Gọi X số phần tử có tính chất A X có phân phối siêu bội  Kí hiệu: X~H(N,M,n) Phân phối siêu bội  Định nghĩa: phân phối siêu bội phân phối biến ngẫu nhiên rời rạc X={0,1,2,3…n} với xác suất tương ứng là: CMk C Nn−−kM pk = P ( X = k ) = C Nn  Ví dụ 1: Trong cửa hàng bán 100 bóng đèn có bóng hỏng Một người mua ngẫu nhiên bóng Gọi X số bóng hỏng người mua phải Lập bảng phân phối xác suất X? Phân phối siêu bội  Ta có: X~H(100,5,3) P ( X = 0) = P ( X = 2) =  C50C95 C 100 C52C95 C 100 = 0, 856 = 0, 006 P ( X = 1) = C51C952 P ( X = 3) = C53C950 C 100 C 100 Bảng ppxs: X P 0,856 0,138 0,006 0,000 = 0,138 = 0, 000 Phân phối siêu bội  Các số đặc trưng: X~H(N,M,n) E ( X ) =np;  Với p = M ; N q = 1− p N −n VarX = npq N −1 Phân phối siêu bội    Ví dụ 2: Một rổ mận có 20 trái có trái bị hư Lấy ngẫu nhiên trái Gọi X số trái bị hư Lập bảng phân phối xác suất tính EX, VarX cách? Giải: Ta có: X~H(20,6,4) P ( X = 0) = C60C144 P ( X = 2) = C62C142 P ( X = 3) = C64C140 C 20 C C 20 20 = 0, 2066 = 0, 2817 = 0, 0031 P ( X = 1) = P ( X = 3) = C61C143 C 20 C63C14 C 20 = 0, 4508 = 0, 0578 Phân phối siêu bội  Bảng phân phối xác suất: X P 0,2066 0,4508 0,2817 0,0578 0,0031  Tính VarX  Cách 1: dùng công thức: VarX = npq N −n 14 20 − = = 0, 7074 N −1 20 20 20 − Cách 2: tính trực tiếp: E ( X ) = 1.0, 4508 + 2.0, 2817 + 3.0, 0578 + 4.0, 0031 = 1, ( ) E X = 12.0, 4508 + 22.0, 2817 + 32.0, 0578 + 42.0, 0031 = 2,1474 ( ) V arX = E X −  E ( X )  = 2,1474 − ( 1, ) = 0, 7074 2 Phân phối nhị thức  Dãy phép thử Bernoulli dãy n phép thử thỏa điều kiện    Các phép thử dãy độc lập Trong phép thử ta quan tâm đến biến cố A, tức có biến cố xuất phép thử Xác suất xuất biến cố A phép thử dãy số P ( A) = p ( ) P A = 1− p = q Phân phối nhị thức  Công thức Bernoulli Cho dãy n phép thử Bernoulli Xác suất có k lần xuất biến cố A là: pk = P ( X = k ) = C p q k n CM: xem giáo trình k n− k Phân phối nhị thức Vd1: Một bà mẹ sinh với xác suất sinh trai 0,51 Gọi X số trai lần sinh Lập bảng phân phối xác suất tính kì vọng X?  Vd2: Một máy sản xuất sản phẩm với xác suất phế phẩm 1%  a) Cho máy sản xuất 10 sản phẩm, tính xác suất có phế phẩm? b) Máy phải sản xuất sản phẩm để xác suất có phế phẩm nhỏ 7%? Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Chú ý:  Công thức (b) xấp xỉ tốt   np≥5 nq ≥5  npq ≥20   n>5 p 1− p − < 0, 1− p p n Khi sử dụng công thức (b) để giảm sai số ta thường hiệu chỉnh: P ( k1 ≤ X ≤ k2 )   k2 − np − 0,5   k1 − np − 0,5  =φ −φ  ÷ ÷  ÷  ÷ npq npq     ( b) Khi dùng công thức (b) phải đưa khoảng Xấp xỉ pp nhị thức phân phối chuẩn  a) b) Ví dụ Trong bầu cử thành phố, biết 40% người dân ủng hộ ứng cử viên A Chọn ngẫu nhiên 200 người, hỏi xác suất Gặp từ 76 đến 80 người ủng hộ ứng cử viên A bao nhiêu? Có nhiều 99 người ủng hộ ứng cử viên A bao nhiêu? Xấp xỉ pp nhị thức phân phối chuẩn Gọi X số người ủng hộ ứng viên A 200 người Ta có: X~B(200; 0,4) Do n lớn p gần 0,5 nên ta xấp xỉ: X~N(200.0,4; 200.0,4.0,6) hay X~N(80; 48) Do đó:  80 − 80   76 − 80  P(76 ≤ X ≤ 80) = φ  ÷− φ  ÷ 48 48     = φ (0) − φ ( − 0.58) = − ( −0,2190 ) = 0,2190  200 − 80   100 − 80  P(X > 99) = P ( 100 ≤ X ≤ 200 ) = φ  − φ ÷  ÷ 48 48     = φ (17,32) − φ (2,89)=0,5 − 0,4981 = 0,0019 Xấp xỉ pp Poisson pp chuẩn  Định lí: Nếu X~P(λ) thì: X −λ λ  → N ( 0,1) Trong thực hành λ>20: X~P(λ) ta xem X≈N(0,1) Phân phối Khi bình phương  Giả sử Xi (i=1,…,n) biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc N(0,1) biến ngẫu nhiên Z xác định sau i Z =∑X gọi có phân phối Khi bình phương với n bậc tự  Kí hiệu: Z ~χ2(n) Phân phối Khi bình phương  Nhận xét: Hàm mật độ xác suất Z có dạng:  −1 x −  x e  n  n f ( x) =  22 Γ  ÷   2 0  n  Trong đó: Γ ( x ) = +∞ x > x ≤ x −1 − t t ∫ e dt hàm Gamma Phân phối Khi bình phương  Nếu Z~χ2(n) E( Z) = n ;  Đồ thị: Var ( Z ) = 2n Phân phối Student  Cho X~N(0;1) Y ~χ2(n) biến ngẫu nhiên Z xác định bởi: Z= X n Y Được gọi có phân phối Student (phân phối T) với n bậc tự  Kí hiệu: Z ~T(n)  Phân phối Student  Hàm mật độ biến ngẫu nhiên có phân phối Student với n bậc tự có dạng:  n +1  −( n +1) Γ ÷  x2  2  1+ f ( x) =  , −∞ < x < +∞  ÷ n   n nπ Γ  ÷ 2  Trong đó: Γ ( x ) = +∞ x −1 − t t ∫ e dt hàm Gamma Phân phối Student Đồ thị hàm mật độ phân phối Student sau: Phân phối Student  Nếu Z~T(n) E( Z) =   ; n Var ( Z ) = n−2 Đồ thị hàm mật độ đối xứng qua trục tung Khi số bậc tự tăng lên phân phối Student hội tụ nhanh phân phối chuẩn N(0,1) Do n đủ lớn (n≥30) ta dùng phân bố chuẩn tắc thay cho phân bố Student Tuy nhiên n nhỏ (n≤30) việc thay có sai số lớn Phân phối Student Phân phối t (20 bậc tự do) phân phối chuẩn tắc Phân phối t (10 bậc tự do) z, t Phân phối Fisher-Snedecor  Nếu X ~χ2(n1) Y ~χ2(n2) biến ngẫu nhiên Z xác định n2 X Z = n1Y gọi có phân phối Fisher-Snedecor ( phân phối F) với n1 n2 bậc tự Kí hiệu: Z ~F(n1, n2)  Phân phối Fisher-Snedecor  Nhận xét: Nếu Z~F(n1,n2) hàm mật độ biến ngẫu nhiên Z có dạng: 0  n1 −  f ( x) =  x n1 + n2 C  ( n2 + n1 x ) n  Trong n  n1 + n2  21 22 Γ ÷n1 n2  C=  n  n  Γ  ÷Γ  ÷ 2  2 ,x ≤ ,x > Phân phối Fisher-Snedecor  Các tham số đặc trưng biến Z~F(n1,n2) n2 E( Z) = n2 − Var ( Z ) = , vôùi n2 > 2n22 ( n1 + n2 − ) n12 ( n2 − ) (n − 4) , vôiù n2 > [...]... 3 2 1 Phân phối nhị thức  Định nghĩa: Phân phối nhị thức là phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc X={0,1,2,3…,n} có xác suất tương ứng là: pk = P ( X = k ) = Cnk p k q n−k ;  Kí hiệu: X~B(n,p) ( k = 0,1) Phân phối nhị thức Chú ý: khi n=1 ta gọi phân phối B(1,p) là phân phối khơng-một Kí hiệu A(p)  Các số đặc trưng:  E ( X ) = np VarX = npq np − q ≤ mod X ≤ np + p  CM: xem giáo trình Phân phối. .. giải Phân phối chuẩn  Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong R gọi là có phân phối chuẩn với tham số µ và σ2 nếu hàm mật độ xác suất như sau: 1 f ( x) = e σ 2π 2 x−µ ) ( − 2σ 2 Với: EX = µ và VarX = σ2  Ký hiệu: X ~ N(µ, σ2) , −∞ < x < +∞ Phân phối chuẩn X~N(μ;σ2) f(x) Dạng như một cái chng  Có tính đối xứng  Trung bình = Trung vị = Mode  Vị trí của phân phối được xác định bởi kỳ vọng, µ  Độ phân. .. vọng, µ  Độ phân tán được xác định bởi độ lệch tiêu chuẩn, σ µ-σ μ µ+σ  Xác định từ - ∞ to + ∞ Điểm uốn µ- σ và µ+ σ Trung bình = Trung vị = Mode  x Phân phối chuẩn X~N(μ;σ) Bằng việc thay đổi các tham số μ và σ, ta nhận được nhiều dạng phân phối chuẩn khác nhau Phân phối chuẩn tắc X~N(0;1) f(x) -1 0 1 x  Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân bố chuẩn tắc nếu nó có phân phối chuẩn với μ=0 và σ2=1... φ ( a ) −a 0 a Xác suất bnn X~N(0;1) P ( a < X < b) = = φ ( b) − φ ( a) a b Xác suất bnn X~N(0;1) P ( X > a ) = 1 − F ( a ) = 0,5 − φ ( a ) a P ( X < b ) = F ( b ) = 0,5 + φ ( b ) b Phân phối chuẩn tắc Ta chứng minh được rằng:  Nếu X ~ N(µ, σ2) thì biến ngẫu nhiên sau:  X −µ Z= σ có phân phối chuẩn tắc N(0;1)  Do đó, giá trị của mọi bnn có phân phối chuẩn có thể dò trong bảng phân phối chuẩn tắc... phân phối chuẩn với μ=0 và σ2=1  Kí hiệu: X ~ N(0, 1) Phân phối chuẩn tắc X~N(0;1)  Hàm mật độ 1 f ( x) = e 2π  x2 − 2 = ϕ ( x) : hàm mật độ Gauss Hàm phân phối 1 F ( x ) = P (Z < x) = 2π x ∫e t2 − 2 −∞ gọi là hàm phân phối Gauss dt Phân phối chuẩn tắc X~N(0;1)  Tích phân Laplace 1 φ ( x) = P(0 ≤ X ≤ x) = 2π x ∫e t2 − 2 dt 0 φ ( b) φ ( a) a b Phân phối chuẩn tắc X~N(0;1)  Tính chất: i) ϕ ( x ) = ϕ... gọi có phân phối Poisson  Kí hiệu: X~P(λ) với λ=c(t2-t1)>0  c: cường độ xuất hiện A Phân phối Poisson  Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị từ 0, 1, 2, … gọi là có phân phối Poisson với tham số λ nếu: −λ e λ pk = P ( X = k ) = k!  Các số đặc trưng: EX = VarX = λ λ − 1 ≤ ModX ≤ λ k Phân phối Poisson Ví dụ 1: Trong một nhà máy dệt, biết số ống sợi bị đứt trong 1 giờ có phân phối Poisson... từ lơ hàng, mỗi lần 4 sản phẩm Tính xác suất để trong 3 lần có đúng 1 lần chọn có nhiều nhất 3 phế phẩm Phân phối Poisson  Bài tốn dẫn đến phân phối Poisson: Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A tại những thời điểm ngẫu nhiên trong khoảng thời gian (t1;t2) thỏa các điều kiện sau:   Số lần xuất hiện biến cố A trong khoảng thời gian (t1;t2) khơng ảnh hưởng đến xác suất xuất hiện A trong khoảng thời... trong một giờ Ta có: X~P(0,5) Xác suất để trong 1 giờ bất kì có đúng một tàu vào cảng là:  P ( A) 0, 5 ) ( = 1! 1 e −0,5 = 1 2 e Gọi Y là số giờ có đúng 1 tàu vào cảng trong 3 giờ Ta có:  1  Y ~ B  3; ÷  2 e Phân phối Poisson  Vậy xác suất để 2 trong 3 giờ có đúng một tàu vào cảng là: 2  1  P ( C ) = P ( Y = 2) = C  ÷ 2 3 2 3  1  1 − ÷ ≈ 0,1742  2 e Phân phối Poisson Ví dụ 3: Một trạm... trung bình nhận được 300 cuộc gọi trong một giờ a) Tính xác suất để trạm nhận được đúng 2 cuộc gọi trong vòng 1 phút b) Tính xác suất để trạm nhận được đúng 3 cuộc gọi trong vòng 5 phút c) Tính xác suất để 2 trong 3 phút liên tiếp, mỗi phút trạm nhận được nhiều nhất 1 cuộc gọi Giải: a) Gọi X là số cuộc gọi nhận được trong một phút Ta có: X~P(5) Phân phối Poisson Gọi A là bc có đúng 2 cuộc gọi trong một... phẩm sản xuất ra Theo đề bài ta có: Y~B(n;0,01) Gọi A là biến cố có ít nhất một phế phẩm trong n sản phẩm Phân phối nhị thức P ( A ) = P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0 ) = 1 − ( 0, 99 ) n P ( A ) < 0, 07 ⇔ 1 − ( 0, 99 ) < 0, 07 ⇔ ( 0, 99 ) > 0, 93 n ⇔ n < log00,,93 = 7, 22 99 n Phân phối nhị thức  Vd3: Cho bnn X có hàm mật độ: 4 x 3 ; x ∈ ( 0,1) f ( x) =  0 ; x ∉ ( 0,1) Tính xác suất để trong 3 phép thử ... với xác suất sinh trai 0,51 Gọi X số trai lần sinh Lập bảng phân phối xác suất tính kì vọng X?  Vd2: Một máy sản xuất sản phẩm với xác suất phế phẩm 1%  a) Cho máy sản xuất 10 sản phẩm, tính xác. .. 0,1) Phân phối nhị thức Chú ý: n=1 ta gọi phân phối B(1,p) phân phối khơng-một Kí hiệu A(p)  Các số đặc trưng:  E ( X ) = np VarX = npq np − q ≤ mod X ≤ np + p  CM: xem giáo trình Phân phối. .. x Phân phối chuẩn X~N(μ;σ) Bằng việc thay đổi tham số μ σ, ta nhận nhiều dạng phân phối chuẩn khác Phân phối chuẩn tắc X~N(0;1) f(x) -1 x  Biến ngẫu nhiên X gọi có phân bố chuẩn tắc có phân phối