Đang tải... (xem toàn văn)
Trong một nhà máy dệt, biết số ống sợi bị đứt trong 1 giờ có phân phối Poisson với trung bình là 4. Có nhiều hơn 1 ống sợi bị đứt..[r]
(1)Bài 3
(2)Phân phối nhị thức
Phép thử Bernoulli
Xét thí nghiệm có khả xảy ra: “thành công” “thất bại”
Thành công với xác suất p Thất bại với xác suất 1-p
(3)Phân phối nhị thức
Phép thử Bernoulli – ví dụ
Tung đồng xu: hình / số
Mua vé số: trúng / không trúng
(4)Phân phối nhị thức
Phân phối nhị thức
Thực phép thử Bernoulli B(1,p) n lần độc lập
Đặt
X = “Số lần thành công n lần thí nghiệm” X = 0, 1, 2, …, n
X có phân phối nhị thức với tham số p
(5)Phân phối nhị thức
Công thức
Xét X ~ B(n,p)
( ) (1
0,1, ,
)
k k n k
n
P X k C p p
k n
(6)Phân phối nhị thức
Ví dụ
Cho X ~ B(5,0.1) Tính P(X=1)
k n k
1
4
P(X 1) P (1 P)
5! (0.1) (1 0.1) 1!(5 1)!
(5)(0.1)(0.9) 32805
k n
C
(7)Phân phối nhị thức
Mean n = P = 0.1
0 .2 .4 .6
0 1 2 3 4 5
x P(x)
n = P = 0.5
.2 .4 .6
x P(x)
0
Hình dạng phân phối nhị thức phụ thuộc
vào p n
n = P = 0.1
(8)Phân phối nhị thức
Nếu X ~ B(n,p):
EX np
1) Trung bình
2) Phương sai độ lệch tiêu chuẩn
2 npq
npq
- n: số lần thực thí nghiệm
(9)Phân phối nhị thức
n = P = 0.1
n = P = 0.5
Mean
0 .2 .4 .6
0 1 2 3 4 5
(10)Phân phối Poisson
Số biến cố xảy khoảng
thời gian cho trước
Số biến cố trung bình đơn
vị .
Ví dụ
(11)Phân phối Poisson
Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị từ 0, 1, 2,
… gọi có phân phối Poisson với tham số
k = 0, 1, 2, …
( )
!
k e
P X k
k
(12)Phân phối Poisson
Trung bình
Phương sai độ lệch tiêu chuẩn
E(X)
μ λ
λ ]
σ2 E[( X )2
λ
(13)Phân phối Poisson
Ví dụ
Trong nhà máy dệt, biết số ống sợi bị đứt có phân phối Poisson với trung bình Tính xác suất có
a Đúng ống sợi bị đứt
(14)Bảng tra phân phối Poisson
X
0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90
0 2 0.9048 0.0905 0.0045 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.8187 0.1637 0.0164 0.0011 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.7408 0.2222 0.0333 0.0033 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.6703 0.2681 0.0536 0.0072 0.0007 0.0001 0.0000 0.0000 0.6065 0.3033 0.0758 0.0126 0.0016 0.0002 0.0000 0.0000 0.5488 0.3293 0.0988 0.0198 0.0030 0.0004 0.0000 0.0000 0.4966 0.3476 0.1217 0.0284 0.0050 0.0007 0.0001 0.0000 0.4493 0.3595 0.1438 0.0383 0.0077 0.0012 0.0002 0.0000 0.4066 0.3659 0.1647 0.0494 0.0111 0.0020 0.0003 0.0000
Ví dụ: Tìm P(X = 2) = 50
( )
0.50
e (0.50)
2 e k 0758
P X
(15)Phân phối xác suất Poisson
X
=
0.50
0
0.6065 0.3033 0.0758 0.0126 0.0016 0.0002 0.0000
0.0000 P(X = 2) = 0758
(16)Phân phối Poisson
Hình dạng phân phối Poisson phụ
thuộc vào tham số :
(17)Định lý Poisson
Cho X ~ B(n,p)
Dùng phân phối Poisson để xấp xỉ phân
phối nhị thức n >> p
lim ! k k k n k
n n
p np
e C p q
(18)Mơ hình Poisson Mơ hình Poisson :
+ Xét n phép thử Bernoulli
+ Trong xác suất thành công p. + Các phép thử độc lập với
(Kết phép thử không ảnh hưởng đến kết phép thử kia)
+ X – số lần xuất thành công n phép thử
+ Trong n lớn ( n 100) p nhỏ (p 0,01 np 20)
(19)Mơ hình Poisson
Ví dụ
(20)Phân phối đều
Tất khả xảy biến ngẫu
nhiên có phân phối có xác suất
X có phân phối khoảng [a,b], ký hiệu X ~
U([a,b])
xmin xmax x
f(x)
(21)Phân phối đều
Hàm mật độ xác suất phân phối đoạn
[a,b]
1 neáu a x b b a
nơi khác
f(x) =
với
f(x) = giá trị hàm mật độ điểm x a = giá trị nhỏ x
(22)Phân phối đều
Kỳ vọng
Phương sai
a b
EX
2 (b-a)2
12
VarX
(23)Phân phối đều
Ví dụ: Phân phối khoảng ≤ x ≤
2
.25
f(x) = = 25 for ≤ x ≤ 66 - 21
x
f(x) 4
2
a b
EX
2 6 22 16
1.333 12 12 12
b a
(24)Phân phối mũ
Biến ngẫu nhiên T (t>0) gọi có phân phối mũ có hàm mật
độ xác suất
Với
số biến cố xảy trung bình đơn vị thời gian t số đơn vị thời gian biến cố
e = 2.71828
Ký hiệu: T ~ exp(), T khoảng thời gian lần xảy
λ λ t
f(t) e với t 0
(25)Phân phối mũ
Hàm phân phối xác suất
Kỳ vọng phương sai
λt
F(t) e với t>0
1
ET
VarT 12
(26)Phân phối mũ
Ví dụ: Số khác hàng đến quầy dịch vụ với tỷ lệ 15 người Hỏi xác suất thời gian khách hàng liên tiếp đến quầy dịch vụ phút bao
nhiêu
Trung bình có 15 khách hàng đến giờ,
= 15
3 phút = 0.05 giờ
T: thời gian khách hàng liên tiếp đến quầy. P(T < 05) = – e- t = – e-(15)(.05) = 0.5276
(27)Phân phối mũ
Ví dụ:
(28)Phân phối chuẩn
Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị R gọi
có phân phối chuẩn với tham số 2
hàm mật độ xác suất
Với: EX = VarX = 2
Ký hiệu: X ~ N(, 2)
2 , 1 ( ) 2 x x
f x e
(29)Phân phối chuẩn
Dạng chng Có tính đối xứng
Trung bình = Trung vị = Mode
Vị trí phân phối xác định
kỳ vọng,
Độ phân tán xác định độ
lệch tiêu chuẩn, σ
Xác định từ + to
Trung bình = Trung vị = Mode x f(x)
μ
(30)Phân phối chuẩn
(31)Phân phối chuẩn
x f(x)
μ σ
Thay đổi μ dịch chuyển phân phối qua trái phải
(32)Hàm phân phối phân phối chuẩn
Xét biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với trung
bình μ phương sai σ2 , X~N(μ, σ2), hàm phân
phối X
) x P(X
)
F(x0 0
x
0 x
) x P(X 0
(33)Xác suất phân phối chuẩn
x
Xác suất X (a,b) đo diện tích giới
hạn đường cong chuẩn
F(a) F(b)
b) X
(34)Xác suất phân phối chuẩn
b
μ
a
b
μ
a
F(a) F(b)
b) X
P(a
a) P(X
F(a)
b) P(X
(35)Phân phối chuẩn hóa
Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(, 2) Chuẩn hóa X
bằng cách đặt
Khi EZ = 0 VarZ = 1 Ta nói Z có phân phối
chuẩn hóa Ký hiệu
1) N(0 ~
Z ,
σ μ X
Z
f(Z)
(36)Phân phối chuẩn hóa
Nếu X có phân phối chuẩn với trung bình 100 and
độ lệch tiêu chuẩn 50, giá trị Z ứng với X = 200
200 100
2.0 50
X
Z
(37)Phân phối chuẩn hóa
Hàm mật độ
Hàm phân phối
2
2
1 ( )
2 ( ) : haøm Gauss
z
z
f z e
0
0 ) ( )
1 ( ) (
2
haøm Laplace
z t
F z P Z z e dt z
(38)Tính xác suất
a b x
(39)Tính xác suất
f(X)
X μ
0.5 0.5
1.0 )
X
P(
(40)Tra bảng chuẩn hóa N(0,1)
Để tìm xác xuất P(X<x0); chuẩn hóa đưa
X Z: tìm xác suất cách tra bảng chuẩn hóa N(0,1)
Z
( )
(41)Tra bảng chuẩn hóa N(0,1)
(42)Tra bảng chuẩn hóa N(0,1)
Ví dụ:
P(Z < 2.00) =
(2.00) = 9772 0 2.00 Z
.9772
Do tính đối xứng
(-z) = - (z)
Ví dụ:
P(Z < -2.00) = (-2.00)= – (2.00) = - 0.9772
= 0.0228
Z
0 2.00
.9772
.0228
(43)Ví dụ
Giả sử X có phân phối chuẩn với trung
bình 8.0 độ lệch tiêu chuẩn 5.0 Tìm P(X < 8.6)
(44)Ví dụ
Z 0.12
0
X 8.6
8
μ = σ = 10
μ = 0 σ = 1
8.6 8.0
0.12 5.0
X
Z
(45)Ví dụ
Z z (z)
.10 5398 11 5438 12 5478 13 5517
(0.12) = 0.5478 Tra bảng chuẩn hóa
0.00
= P(Z < 0.12)
(46)Ví dụ
Giả sử X có phân phối chuẩn với trung
bình 8.0 độ lệch tiêu chuẩn 5.0
Tìm P(X > 8.6)
(47)Ví dụ
Tìm P(X > 8.6)…
Z 0
Z
0.5478
0
1.000 1.0 - 0.5478 = 0.4522
P(X > 8.6) = P(Z > 0.12) = 1.0 - P(Z ≤ 0.12)
(48)Quy tắc k -
x
x
– – 33 – – 11 + 1+ 1 + 3+ 3
68.26%
68.26%
95.44%
95.44%
99.72%
(49)Xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối chuẩn
Cho X ~ B(n,p) Khi n lớn p không
quá gần
Tính P(X < c)?
Tính P(a < X < b)?
(50)Xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối chuẩn
Đặt
= EX = np
2 = VarX = np(1-p)
Tạo biến ngẫu nhiên Z có phân phối
chuẩn hóa từ phân phối nhị thức
(1 )
X EX X np
Z
VarX np p
(51)Xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối chuẩn
( ) X np c np c np c np
P X c P P Z
npq npq npq npq
a np b np
P a X b P Z
npq npq
b np a np
(52)Xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối chuẩn
Ví dụ
(53)Ví dụ
E(X) = µ = nP = 200(0.40) = 80
Var(X) = σ2 = nP(1 – P) = 200(0.40)(1 – 0.40) = 48
76 80 80 80
P(76 X 80) P Z
200(0.4)(1 0.4) 200(0.4)(1 0.4) P( 0.58 Z 0)
(0) ( 0.58)
0.5000 0.2810 0.2190