Các Phân Phối Xác Suất Rời Rạc Hữu Dụng

Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2011-2013 Các phƣơng pháp định lƣợng Bài đọc Khóa học ngắn thống kê kinh doanh – 2nd ed Ch 4: Các phân phối xác suất rời rạc hữu dụng CHƢƠNG CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT RỜI RẠC HỮU DỤNG Về chương này: Trong chƣơng này, giới thiệu số phân phối xác suất rời rạc đƣợc xem nhƣ mơ hình cho đo lƣờng đƣợc thực điều kiện quan sát hay thí nghiệm phát sinh lĩnh vực tiếp thị, kinh tế học hay kinh doanh nói chung Điểm trọng tâm chƣơng ứng dụng phân phối nhƣ mơ hìnhtrong kinh doanh kinh tế học ● William Mendenhall cộng Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Bài đọc Khóa học ngắn thống kê kinh doanh – 2nd ed Ch 4: Các phân phối xác suất rời rạc hữu dụng NGHIÊN CỨU ĐIỂN HÌNH LÁI XE - MỘT QUYỀN LỢI HAY MỘT ĐẶC QUYỀN Tình yêu vĩnh cửu ngƣời Mỹ dành cho xe cộ bén rễ vào toàn đời sống Số ngày hầu nhƣ chẳng bao nhƣ có ngày mà ngƣời Mỹ sở hữu xe không ngồi vào đằng sau tay lái để lái xe làm, dùng chung xe để đƣa rƣớc bọn trẻ đến từ hoạt động hàng ngày, chạy việc vặt, mua sắm, hay đơn giản lái xe u thích Tuy nhiên, theo Frank Newport Leslie McAneny (1993) điều tra 1.003 ngƣời lớn vào tháng Sáu 803 thiếu niên vào tháng Chín năm 1993, ngƣời Mỹ, ngƣời lớn lẫn thiếu niên, cảm thấy lái xe quyền lợi mà đặc quyền Họ tìm thấy 70% số ngƣời lớn đƣợc hỏi ủng hộ kỳ thi mang tính bắt buộc ba năm ngƣời 65 tuổi 56% số thiếu niên đƣợc điều tra ủng hộ cho điều luật tiểu bang mà từ chối cấp lái xe cho dƣới 21 tuổi mà bỏ học trung học Báo cáo hai tác giả khẳng định tỷ lệ phần trăm đƣợc ghi nhận ngƣời lớn khác với tỷ lệ phần trăm thực tế tồn số ngƣời lớn mức khơng lớn điểm phần trăm tỷ lệ phần trăm đƣợc báo cáo cho thiếu niên khác với tỷ lệ phần trăm thực tế toàn số thiếu niên không nhiều điểm phần trăm Bằng cách mà chắn tỷ lệ phần trăm đƣợc báo cáo xác giống nhƣ điều đƣợc khẳng định Khi điều tra đƣợc thực cách sử dụng câu trả lời có khơng, câu hỏi rõ ràng dành cho sinh viên thống kê “Mơ hình thống kê thích hợp tình giống nhƣ này” và, thứ hai, “Bằng cách mà sử dụng mơ hình để đánh giá độ tin cậy kết luận dựa câu trả lời cho câu hỏi có khơng?” Những câu hỏi các câu hỏi khác có liên quan đến kết luận đƣợc đề cập Phần 4.2 4.3 giới thiệu phân phối nhị thức phân phối Poisson Hãy nhớ kết luận đƣợc trung bình độ lệch chuẩn, mà giá trị chúng đƣợc xác định qua việc sử dụng thông tin chọn mẫu Chúng quay trở lại câu hỏi “Mức độ tin cậy cao đến đâu ƣớc tính tỷ lệ phần trăm tài xế mà ủng hộ cho kiểm tra mang tính bắt buộc công dân trƣởng thành?” 4.1 GIỚI THIỆU Trong Chƣơng 3, chúng tơi tìm thấy số hạng ngẫu nhiêu đƣợc xác định qua số hữu hạn hay số vơ hạn có khả đếm đƣợc kiện đơn giản đƣợc gọi biến số ngẫu nhiên rời rạc Những ví dụ biến số ngẫu nhiên rời rạc đầy dẫy kinh doanh kinh tế học, nhƣng có ba phân phối xác suất rời rạc đóng vai trị nhƣ mơ hình cho số lớn ứng dụng Ba phân phối phân phối xác suất nhị thức, Poisson, siêu bội Trong chƣơng này, nghiên cứu phân phối thảo luận tiến triển chúng nhƣ mơ hình hợp lý cho qui trình rời rạc đƣợc quan sát thấy tự nhiên 4.2 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT NHỊ THỨC William Mendenhall cộng Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Bài đọc Khóa học ngắn thống kê kinh doanh – 2nd ed Ch 4: Các phân phối xác suất rời rạc hữu dụng Một biến số ngẫu nhiên rời rạc bản, hữu ích thú vị - biến số ngẫu nhiên nhị thức - đƣợc kết hợp với thí nghiệm tung đồng tiền nhƣ đƣợc mơ tả Ví dụ 3.2 3.12 Để minh họa, xem xét điều tra chọn mẫu đƣợc thực nhằm xác định chấp nhận thị trƣờng sản phẩm Mỗi ngƣời đƣợc vấn tƣơng tự nhƣ việc tung đồng tiền, chấp nhận ngƣời sản phẩm tƣơng tự với việc quan sát mặt ngửa, từ chối ngƣời sản phẩm tƣơng tự nhƣ việc quan sát mặt sấp Sự khác biệt xác suất chấp nhận sản phẩm thƣờng 1/2 Các điều tra tƣơng tự đƣợc thực ngành khoa học xã hội, công nghiệp tiếp thị Nhà nghiên cứu xã hội học quan tâm đến tỷ lệ công dân gốc Tây Ban Nha Bồ Đào Nha có đăng ký bầu cử; nhà sản xuất bo mạch in quan tâm đến số bo mạch có khuyết điểm; nhóm mơi trƣờng quan tâm đến tỷ lệ phần trăm gia đình tham gia tích cực vào việc tái chế lon nhơm Mặc dù có khác biệt số phƣơng diện, thí nghiệm đƣợc mô tả thƣờng thể hiện, mức độ tƣơng tự hợp lý, đặc trƣng thí nghiệm nhị thức ĐỊNH NGHĨA Một thí nghiệm nhị thức thí nghiệm mà có đặc trƣng sau: Thí nghiệm có n lần thử giống Mỗi lần thử tạo hai kết Do khơng có thuật ngữ tốt hơn, gọi kết thành công S kết thất bại F. Xác suất thành công lần thử với p giữ nguyên nhƣ qua lần thử nghiệm Xác suất thất bại với (1-p) = q Các lần thử độc lập với Chúng ta quan tâm đến x, số lần thành công đƣợc quan sát n lần thử VÍ DỤ 4.1 Giả định có khoảng triệu ngƣời lớn khu vực bán hàng mà ngƣời mua tiềm sản phẩm tỷ phần chƣa biết p mua sản phẩm nhƣ đƣợc đƣa chào bán Một mẫu gồm 1.000 ngƣời lớn đƣợc chọn theo cách thức mà ngƣời số triệu ngƣời khu vực bán hàng có hội ngang việc đƣợc chọn lựa Mỗi ngƣời lớn mẫu đƣợc hỏi liệu ông/bà ta mua sản phẩm nhƣ đƣợc đƣa chào bán (Mục đích cuối điều tra ƣớc lƣợng tỷ phần chƣa biết p, toán mà học cách xử lý Chƣơng 7) Liệu có phải thí nghiệm nhị thức? Lời giải Để định liệu có phải thí nghiệm nhị thức hay khơng, phải xem xét liệu việc chọn mẫu có thỏa mãn năm đặc trƣng đƣợc mô tả phần định nghĩa Việc chọn mẫu bao gồm n = 1.000 lần thử giống Một lần thử tƣợng trƣng cho chọn lựa ngƣời lớn từ triệu ngƣời lớn khu vực bán hàng Mỗi lần thử tạo hai kết Một ngƣời khẳng định ông/bà ta mua sản phẩm ông/bà ta không mua Hai kết đƣợc liên tƣởng đến “thành công” hay “thất bại” thí nghiệm nhị thức  Mặc dù ngƣời ta thƣờng gọi hai kết có lần thử “thành cơng” “thất bại”, chúng đƣợc gọi “ngửa” “sấp”, “đỏ” “trắng”, hay cặp từ ngữ khác Do đó, kết đƣợc gọi thành công không thiết đƣợc xem nhƣ thành công nghĩa thông thƣờng từ William Mendenhall cộng Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Bài đọc Khóa học ngắn thống kê kinh doanh – 2nd ed Ch 4: Các phân phối xác suất rời rạc hữu dụng Xác suất thành công với tỷ lệ triệu ngƣời lớn mà mua sản phẩm Ví dụ, 500.000 số triệu ngƣời lớn khu vực mua sản phẩm đó, xác suất mà ngƣời lớn đƣợc chọn mua sản phẩm p = 0,5 Trên thực tế, xác suất giữ nguyên từ lần thử sang lần thử khác, chí ngƣời lớn đƣợc chọn lựa lần thử trƣớc khơng bị thay việc chọn mẫu tiếp diễn Trên thực tế, xác suất thành công lần thử không bị tác động kết lần thử khác (nó gần với p) Chúng ta quan tâm đến số x ngƣời lớn mẫu 1.000 ngƣời mà mua sản phẩm Bởi điều tra thỏa mãn tƣơng đối tốt năm đặc trƣng trên, thực tế điều tra (cũng giống nhƣ nhiều trƣng cầu ý kiến khác) đƣợc xem nhƣ thí nghiệm nhị thức VÍ DỤ 4.2 Một ngƣời mua hàng, ngƣời nhận đƣợc chuyến hàng gởi bao gồm 20 máy tính cá nhân, mong muốn chọn mẫu số máy tính để xem liệu chúng có hoạt động tốt hay khơng trƣớc dỡ hàng Ba máy tính gần đƣợc đem chạy thử, sau đó, đƣợc tun bố mắc lỗi khơng có khiếm khuyết Điều mà ngƣời mua hàng khơng biết là, số 20 máy tính có lỗi Liệu có phải thí nghiệm nhị thức? Lời giải Giống nhƣ Ví dụ 4.1, kiểm tra thủ tục chọn mẫu so với đặc trƣng thí nghiệm nhị thức Thí nghiệm bao gồm n = lần thử giống Mỗi lần thử tƣợng trƣng cho chọn lựa kiểm tra máy tính tổng số 20 máy tính Mỗi lần thử tạo hai kết Hoặc máy tính có lỗi (gọi “thành công”) (một “thất bại”) Giả định máy tính đƣợc chất ngẫu nhiên lên côngtenơ chở hàng, máy tính số 20 máy tính đƣợc đặt gần cửa cơngtenơ Sau xác suất vơ điều kiện việc chọn máy tính có lỗi lần thử 2/20 Điều kiện độc lập lần thử khơng đƣợc thỏa mãn xác suất việc chọn máy tính có lỗi vào lần thử thứ hai thứ ba phụ thuộc vào kết lần thử Ví dụ, lần thử cho kết máy tính có lỗi, sau cịn lại máy tính có lỗi số 19 máy tính cịn lại lơ hàng Vì thế, xác suất có điều kiện thành cơng lần thử 2, biết thành công lần thử 1, 1/19 Kết khác với xác suất vô điều kiện cho thành công lần thử thứ hai (mà 2/20) Nhƣ vậy, lần thử phụ thuộc việc chọn mẫu khơng tƣợng trƣng cho thí nghiệm nhị thức Ví dụ 4.2 minh họa điểm quan trọng Nếu cỡ mẫu n lớn so với qui mơ tổng thể N, xác suất thành cơng p khơng cịn giữ ngun qua lần thử Nhƣ vậy, kết lần thử phụ thuộc nhau, thí nghiệm tạo khơng phải thí nghiệm nhị thức Theo kinh nghiệm thực tế, n/N ≥ 0,05; thí nghiệm tạo nhị thức Phân phối xác suất biến số ngẫu nghiên nhị thức đơn giản (số lƣợng “mặt ngửa” lần tung hai đồng tiền) đƣợc suy từ Ví dụ 3.12 Phân phối xác suất cho thí nghiệm William Mendenhall cộng Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Bài đọc Khóa học ngắn thống kê kinh doanh – 2nd ed Ch 4: Các phân phối xác suất rời rạc hữu dụng nhị thức bao gồm n số lần tung đƣợc suy xác theo cách này, nhƣng việc phức tạp nhiều số n lần thử lớn Chúng ta bỏ qua suy đơn giản trình bày phân phối xác suất nhị thức số trung bình, phƣơng sai độ lệch chuẩn nó, nhƣ đƣợc trình bày mơ tả dƣới Phân phối Xác suất Nhị thức p( x)  Cxn p x q n  x  n! p xqn x x!(n  x)! x, số thành công n lần thử, có giá trị 0, 1, 2, , n; p xác suất thành công lần thử nhất; C xn đƣợc xác định bằng: Cxn  n! x!(n  x)! n! n(n  1)(n  2) (2)(1), 0!≡1 Trung bình: μ = np Phƣơng sai:   npq Độ lệch chuẩn:   npq Ký hiệu giai thừa n đƣợc sử dụng để đại diện cho tích số n(n-1) (n-2) (3)(2)(1) Ví dụ, 5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120 0! đƣợc định nghĩa với Ký hiệu C xn viết tắt cho n!/[x!(n-x)!], biểu thức mà xuất công thức cho phân phối xác suất nhị thức HÌNH 4.1 Các phân phối xác suất nhị thức William Mendenhall cộng Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Bài đọc Khóa học ngắn thống kê kinh doanh – 2nd ed Ch 4: Các phân phối xác suất rời rạc hữu dụng Đồ thị ba phân phối xác suất nhị thức đƣợc trình bày Hình 4.1: đồ thị cho n = 10, p = 0,1; đồ thị thứ hai cho n = 10, p = 0,5 đồ thị thứ ba cho n = 10, p = 0,9 Độ cao đứng cho giá trị x đƣợc tính tốn cách sử dụng cơng thức nhị thức, p(x) đƣợc cho Lƣu ý p = 0,5 phân phối đối xứng; p nhỏ, phân phối bị lệch bên phải; p lớn phân phối bị lệch bên trái VÍ DỤ 4.3 Các nghiên cứu cho thấy năm ngƣời sống hộ di chuyển chỗ vòng năm cho trƣớc Giả định có bốn cƣ dân hộ đƣợc vấn a Xác suất mà xác hai ngƣời chuyển chỗ vòng năm qua bao nhiêu? b Xác suất mà có hai ngƣời chuyển chỗ vòng năm qua bao nhiêu? c Xác suất mà tất bốn ngƣời chuyển chỗ vòng năm qua bao nhiêu? Lời giải a Định nghĩa biến số ngẫu nhiên x số bốn ngƣời sống hộ mà di chuyển chổ vòng năm qua Giả định bốn ngƣời sống hộ đƣợc chọn lựa cách độc lập khơng có liên hệ với nhau, p khơng thay đổi từ ngƣời sang ngƣời khác x biến số ngẫu nhiên nhị thức với n = p = Vì vậy, William Mendenhall cộng Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Bài đọc Khóa học ngắn thống kê kinh doanh – 2nd ed Ch 4: Các phân phối xác suất rời rạc hữu dụng p( x)  C x4 (0,2) x (0,8)  x p(2)  C24 (0,2) (0,8)  4! 4(3)(2)(1) (0,04)(0,64)  (0,04)(0,64) 2!2! 2(1)(2)(1)  0,1536  b P(toi thieu hai )  p(2)  p(3)  p(4)   p(0)  p(1)   C04 (0,2)0 (0,8)  C14 (0,2)(0,8)3   0,4096  0,4096  0,1808 c p(4)  C44 (0,2) (0,8)0  4! (0,2) (1)  0,0016 4!0! VÍ DỤ 4.4 Những lô lớn sản phẩm mắt nhà máy sản xuất đƣợc kiểm tra để tìm lỗi cách sử dụng phương án chọn mẫu Một mẫu ngẫu nhiên gồm n sản phẩm đƣợc chọn lựa từ lô hàng đƣợc kiểm tra, số x sản phẩm sai sót mẫu đƣợc ghi nhận Nếu x nhỏ hay với số chấp nhận a đƣợc xác định trƣớc, lơ hàng đƣợc chấp nhận Nếu x lớn a, lơ hàng bị từ chối Giả định nhà sản xuất sử dụng phƣơng án chọn mẫu với n = 10 a = Nếu lô hàng chứa đựng xác 5% sản phẩm bị lỗi, xác suất lơ hàng đƣợc chấp thuận bao nhiêu? từ chối bao nhiêu? Lời giải Bởi lơ hàng chứa 5% sản phẩm bị lỗi, nên xác suất mà sản phẩm đƣợc rút từ lơ hàng mà bị lỗi p = 0,5 Cho nên xác suất việc quan sát thấy x sản phẩm bị lỗi mẫu gồm n = 10 sản phẩm là: x 10 x p( x)  C10 x (0.05) (0,95) Xác suất việc chấp thuận lô hàng xác suất x nhỏ hay với số đƣợc chấp nhận a = Do đó, P(chap nhan)  p(0)  p(1)  C010 (0,05)0 (0,95)10  C110 (0,05)1 (0,95)9  0,914 P(tu choi)   P(chap nhan)  - 0,914  0,086 Mặc dù tình thực tế khơng biết giá trị xác p, muốn biết xác suất việc chấp thuận lô hàng (các lô hàng mà có p lớn) lơ hàng tốt (các lơ hàng mà có p nhỏ) Ví dụ cho thấy cách thức mà tính tốn xác suất chấp nhận cho giá trị khác p Một đồ thị xác suất cho chấp nhận lô hàng so với tỷ lệ bị lỗi lơ hàng p đƣợc gọi đường cong đặc trưng hoạt động cho phƣơng án chấp thuận lô hàng Đƣờng cong đặc trƣng hoạt động cho phƣơng án chọn mẫu với n = a = đƣợc trình bày Hình 4.2 William Mendenhall cộng Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Bài đọc Khóa học ngắn thống kê kinh doanh – 2nd ed Ch 4: Các phân phối xác suất rời rạc hữu dụng Xác suất chấp nhận lơ hàng HÌNH 4.2 Đường cong đặc trưng hoạt động cho n = a = Lƣu ý việc chọn mẫu chấp nhận ví dụ kết luận mặt thống kê việc hàm ý định liên quan đến tỷ lệ bị lỗi lô hàng p Nếu bạn chấp nhận lơ hàng, bạn kết luận tỷ lệ thực tế bị lỗi lô hàng p tƣơng đối nhỏ, có giá trị chấp nhận đƣợc Nếu bạn từ chối lơ hàng đó, rõ ràng bạn nghĩ p lớn Do vậy, việc chọn mẫu chấp nhận lô hàng qui trình mà hàm ý việc suy kết luận có liên quan đến tỷ lệ bị lỗi lơ hàng Đƣờng cong đặc trƣng hoạt động cho phƣơng án chọn mẫu cung cấp cho ta thƣớc đo mức độ tốt trình suy kết luận Tính tốn xác suất nhị thức nhiệm vụ nặng nhọc n lớn Để đơn giản hóa tính tốn chúng ta, tổng xác suất nhị thức từ x = đến x = a đƣợc trình bày Bảng Phụ lục II n = 2, 3, , 12, 15, 20 25 Để minh họa sử dụng Bảng 1, lãy tìm tổng xác suất nhị thức từ x = đến x = cho n = lần thử p = 0,6 Nghĩa là, mong muốn tìm ra: P( x  3)   p( x)  p(0)  p(1)  p(2)  p(3) x 0 p( x)  Cx5 (0,6) x (0,4)5 x Bởi giá trị bảng cho a P( x  a )   p ( x) x 0 tìm kiếm giá trị bảng hàng tƣơng ứng với a = cột cho p = 0,6 Giá trị bảng, 0,663 đƣợc trình bày Bảng 4.1 nhƣ xuất Bảng 1, Phụ lục II Nhƣ vậy, tổng xác suất nhị thức từ x = đến x = a = (đối với n = 5, p = 0,6) BẢNG 4.1 Phần Bảng 1, Phụ lục II n = a 0,01 0,05 0,10 William Mendenhall cộng 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,663 0,70 0,80 0,9 0,95 0,99 a Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Bài đọc Khóa học ngắn thống kê kinh doanh – 2nd ed Ch 4: Các phân phối xác suất rời rạc hữu dụng Bảng đƣợc sử dụng để tìm xác suất nhị thức riêng lẻ ví dụ, giả định mong muốn tìm p(3) n = p = 0,6 Bởi P (x = 3) = P (x ≤ 3) - P (x ≤ 2), viết lại: x 0 x 0 p(3)   p( x)   p( x)  0,663  0,317  0,346 Giá trị  p( x) x 0  p( x) đƣợc tìm trực tiếp từ Bảng 1, qua việc xem n = với p = 0,6 Nói x 0 chung, xác suất nhị thức riêng lẻ đƣợc tìm cách trừ số liên tiếp bảng cho giá trị cho trƣớc p VÍ DỤ 4.5 Giả định bạn giám đốc nhân công ty bạn mong muốn đánh giá điểm số trắc nghiệm chọn câu trả lời số nhiều lựa chọn để kiểm tra khả ngƣời dự tuyển xin việc Một điểm số zêrô kiểm tra mục tiêu (các câu hỏi địi hỏi nhớ lại tồn tài liệu) ngƣời khơng có khả nhớ lại tài liệu kiểm tra thời điểm kiểm tra đƣợc phát Trái lại, ngƣời với hay khơng có khả nhớ lại kiểm tra ghi điểm số cao kiểm tra chọn câu số nhiều lựa chọn ngƣời náy cần nhận (trái với phải nhớ lại) câu trả lời số câu hỏi đƣợc trả lời cách xác may, ngƣời khơng biết câu trả lời Do vậy, điểm số khơng có kiến thức kiểm tra chọn câu trả lời số nhiều chọn lựa cao zêrô Giả định kiểm tra chọn câu trả lời số nhiều chọn lựa bao gồm 20 câu hỏi, câu có chọn lựa trả lời có Xác suất mà ngƣời khơng có kiến thức tài liệu kiểm tra trả lời xác đƣợc tám câu hỏi trở lên bao nhiêu? Lời giải Giả định ngƣời khơng có kiến thức câu trả lời câu hỏi, xác suất p anh/chị ta trả lời xác câu hỏi p = 0,2 Phân phối xác suất cho x, số lƣợng câu trả lời xác cho kiểm tra gồm 20 câu hỏi, là: p( x)  Cx20 (0,2) x (0,8)20 x Bởi việc tính tốn trực tiếp n = 20 thời gian, thay vào chọn việc sử dụng Bảng 1, với n = 20 p = 0,2 Sau đó: P(x ≥ 8) =1 - P(x ≤ 7) = - 0,968 = 0,032 P(x ≤ 7) đƣợc tìm thấy Bảng cách tra số cho n = 20, p = 0,2 a = VÍ DỤ 4.6 Tham chiếu lại Ví dụ 4.5 Đâu điểm số kỳ vọng cho ngƣời mà khơng có kiến thức tài liệu kiểm tra? Bạn kỳ vọng điểm số khơng có kiến thức nằm giới hạn nào? Lời giải Nhắc lại x số câu trả lời xác kiểm tra gồm 20 câu hỏi, với p = 0,2 Một điểm số kỳ vọng ứng viên khơng có kiến thức là: E (x) = n p = 20 (0,20) = câu trả lời xác Để đánh giá biến thiên điểm số khơng có kiến thức, cần biết σ,   npq  (20)(0,2)(0,8)  1,79 William Mendenhall cộng Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Bài đọc Khóa học ngắn thống kê kinh doanh – 2nd ed Ch 4: Các phân phối xác suất rời rạc hữu dụng Sau đó, từ kiến thức Định lý Tchebysheff˙, kỳ vọng x rơi vào khoảng (μ ± 2σ) với xác suất 0,75, bên khoảng (μ ± 3σ) với xác suất tối thiểu 0,89 Những khoảng là: μ ± 2σ = ± 3,58 hay 0,42 đến 7,58 μ ± 3σ = ± 5,37 hay - 1,37 đến 9,37 Con số so với điểm số zêrô ứng viên khơng có kiến thức làm kiểm tra nhớ lại Bạn sử dụng Minitab hay Excel để tạo xác suất nhị thức riêng lẻ, P(x = K), hay xác suất nhị thức cộng dồn P(x ≤ K) (Chữ K đóng vai trị chữ a Bảng Phụ lục II) Trong Minitab, sử dụng Calc → Probability Distributions → Binomial, chọn “Probability” “Cumulative Probability” Bạn nhập vào giá trị cho K hộp có ghi “Input constant”; bạn đánh vào loạt giá trị x từ đến n vào cột cửa sổ Data, nhập tên cột vào hộp có ghi “Input column” Nhập giá trị cho n p vào hộp phù hợp, bấm OK Trong Excel, sử dụng Insert → Function → Statistical → BINOMDIST, chọn dãy có chứa giá trị x, giá trị cho n p, chọn lựa cho xác suất cộng dồn hay riêng lẻ Để biết giải thích chi tiết hơn, tham khảo phần Sử dụng Excel Phụ lục V Kết Minitab Bảng 4.2 cho thấy xác suất nhị thức cộng dồn lẫn riêng lẻ n = 20 p = 0,2 Lƣu ý rằng, kết Minitab, P(x ≤ 7) = 0,9679 P(x ≥ 8) = - 0,9679 = 0,321 mà, độ xác ba số thập phân, khớp với kết trƣớc cách sử dụng Bảng BẢNG 4.2 Kết Minitab xác suất nhị thức n = 20 p = 0,2 NHỊ THỨC VỚI N = 20 F = 20000 K P (X = K) 0,0115 0,0576 0,1369 0,2054 0,2182 0,1746 0,1091 0,0545 0,0222 0,0074 10 0,0020 11 0,0005 12 0,0001 13 0,0000 NHỊ THỨC VỚI N = 20 F = 20000 K P (X ≤ K) 0,0115 0,0692 0,2061 0,4114 0,6296 0,8042 0,9133 0,9679 0,9900 0,9974 10 0,9994 11 0,9999 12 1,0000 Lƣu ý lựa chọn không liệt kê xác suất cho tất giá trị x = 0, 1, 2, , n xác suất cho tất giá trị x từ 13 đến 20 với zêrơ, làm trịn đến độ xác bốn số thập phân Đối với tất giá trị này, xác suất nhị thức cộng dồn, P(x ≤ K) với 1,0000 Bài tập ˙ Một biểu đồ tần suất p(x) n = 20, p = 0,2 có hình dạng gị Nhƣ thế, kỳ vọng Qui tắcThực chứng vận hành tốt Lý nhƣ đƣợc giải thích Chƣơng William Mendenhall cộng 10 Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Bài đọc Khóa học ngắn thống kê kinh doanh – 2nd ed Ch 4: Các phân phối xác suất rời rạc hữu dụng Giá trị e   đƣợc tìm thấy cách sử dụng hầu hết máy tính bỏ túi Lƣu ý rằng, thực tế x thƣờng nhỏ; mặt lý thuyết lớn vƣợt q tất giới hạn Nhƣ biến số ngẫu nhiên Poisson ví dụ biến số ngẫu nhiên rời rạc mà có số lƣợng giá trị lớn vơ (nhƣng đếm đƣợc) Phân phối Poisson số phân phối rời rạc chỗ     nghĩa là, trung bình với phƣơng sai Phân phối xác suất Poisson đƣợc sử dụng để ƣớc lƣợng xấp xỉ phân phối nhị thức n lớn p nhỏ trung bình nhị thức nhỏ Trong trƣờng hợp này, giá trị 1- p tiến gần đến 1, trung bình nhị thức np xấp xỉ với phƣơng sai nhị thức np (1-p), xác suất Poisson với   np xấp xỉ gần với phân phối nhị thức cho n p biết Chúng ta minh họa hai loại hình ứng dụng ví dụ Những ví dụ khác đƣợc đề xuất qua tập VÍ DỤ 4.7 Những vụ thƣơng tật nghiêm trọng công nhân cơng ty sản xuất thép bình qn 2,7 vụ năm Đã biết điều kiện an toàn nhà máy giữ nguyên năm tới, xác suất mà số vụ thƣơng tật nghiêm trọng nhỏ bao nhiêu? Lời giải Sự kiện mà có hai vụ thƣơng tật nghiêm trọng xảy kiện x = hay Do vậy, P( x  2)  p(0)  p(1) p( x)  (2,0) x e2,7 x! Thay vào phƣơng trình cho p(x) với e2,7  0,067206, có đƣợc (2,7)0 (0,067206) (2,7)1 (0,067206)  0! 1!  (0,067206)  (2,7)90,067206) P( x  2)  p(0)  p(1)   0,249 (Nhắc lại 0!=1) Vì vậy, xác suất có hai vụ thƣơng tật nghiêm trọng công nhân xảy năm tới nhà máy sản xuất thép 0,249 Để cho thuận tiện, cung cấp Bảng Phụ lục II số tổng phần, a  p( x), cho phân phối xác suất Poisson cho giá trị  từ 0,25 đến 5,0 bƣớc x 0 0,25 Bảng đƣợc xây dựng theo cách thức nhƣ bảng số tổng phần phân phối xác suất nhị thức, Bảng Phụ lục II Ví dụ sau minh họa việc sử dụng Bảng biểu diễn việc sử dụng phân phối xác suất Poisson để ƣớc lƣợng xấp xỉ phân phối xác suất nhị thức VÍ DỤ 4.8 Giả sử bạn có thí nghiệm nhị thức với n = 25 p = 0,1 Hãy tìm giá trị xác P( x  3) cách sử dụng bảng số tổng phần cho phân phối xác suất nhị thức, Bảng Phụ lục II Sau tìm số tổng phần tƣơng ứng cách sử dụng ƣớc lƣợng xấp xỉ Poission Bảng Phụ lục II So sánh giá trị xác xấp xỉ cho P( x  3)  Nếu p gần 1, thay đổi định nghĩa thành công thất bại p gần zêrô William Mendenhall cộng 15 Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Lời giải Các phƣơng pháp định lƣợng Bài đọc Khóa học ngắn thống kê kinh doanh – 2nd ed Ch 4: Các phân phối xác suất rời rạc hữu dụng Từ Bảng Phụ lục II, giá trị xác P( x  3) ứng,   np  (25)(0,1)  2,5, đƣợc cho  p( x)  0,764 Số tổng Poisson tƣơng x 0 cho Bảng Phụ lục II, P( x  3)   p( x)  0,758 So sánh giá trị xác xấp xỉ P( x  3) , thấy x 0 giá trị xấp xỉ tốt Nó khác với giá trị xác có 0,006 Minitab Excel cho phép bạn tạo xác suất Poisson riêng lẻ hay cộng dồn Trong Minitab, sử dụng Calc → Probability Distributions → Poisson, cách sử dụng “Probability” “Cumulative Probability”, định giá trị cần thiết cho x Nhập vào giá trị cho  vào hộp có ghi “Mean”, bấm OK Trong Excel, sử dụng Insert → Function → POISSON, cách chọn dãy ô có chứa giá trị x, giá trị cho  , lựa chọn bạn xác suất cộng dồn hay riêng lẻ Để biết giải thích chi tiết hơn, tham khảo Sử dụng Excel Phụ lục V Các xác suất nhị thức cộng dồn cho n = 25 p = 0,1, với phân phối Poisson cộng dồn cho  = 2,5 đƣợc cho Bảng 4.3 Lƣu ý ƣớc lƣợng xấp xỉ Poisson cho xác suất nhị thức thực hồn tồn xác trƣờng hợp BẢNG 4.3 Bảng in từ Minitab xác suất nhị thức Poisson NHỊ THỨC VỚI N = 25 P = 0,100000 K P (X ≤ K) 0,0718 0,2712 0,5371 0,7636 0,9020 0,9666 0,9905 0,9977 0,9995 0,9999 10 1,0000 POISSON VỚI TRUNG BÌNH = 2.500 K P (X ≤ K) 0,0821 0,2873 0,5438 0,7576 0,8912 0,9580 0,9858 0,9958 0,9989 0,9997 10 0,9999 11 1,0000 Bài tập Các Kỹ thuật Cơ 4.24 Giả định x biến số ngẫu nhiên Poisson với   1,2 Hãy tìm kết cho: a p(0) b p(1) c P( x  2) d P( x  1) 4.25 Giả định x biến số ngẫu nhiên Poisson với   Hãy tìm kết cho: a p(0) William Mendenhall cộng 16 Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Bài đọc Khóa học ngắn thống kê kinh doanh – 2nd ed Ch 4: Các phân phối xác suất rời rạc hữu dụng b P( x  1) c P( x  2) 4.26 Sử dụng Bảng Phụ lục II để tìm p(x) cho phân phối xác suất Poisson với   x = 0, 1, 2, 3, 4, Sau vẽ đồ thị p(x) 4.27 Lặp lại dẫn Bài tập 4.26 cho   Lƣu ý cách thức mà phân phối có xu hƣớng trở nên có hình dạng gò nhiều  tăng lên 4.28 Sử dụng Bảng Phụ lục II để tìm kết cho: a P( x  2)   b P( x  1)   x 0 x 0 c P( x  2)   [Gợi ý: p( x)   p( x)   p( x) ] 4.29 Một thí nghiệm nhị thức có n = 20 p = 0,2 a Sử dụng Bảng để tìm giá trị xác p(2) b Sử dụng Bảng để tìm ƣớc lƣợng xấp xỉ Poisson cho p(2) Các Ứng dụng 4.30 Giả định hệ thống tuần tra cảnh sát ngẫu nhiên đƣợc thiết kế nhân viên cảnh sát tuần tra viếng thăm nơi biết theo nhịp x = 0, 1, 2, 3, lần quãng thời gian nửa tiếng hệ thống đƣợc xếp đặt cho viếng thăm nơi trung bình lần quãng thời gian Giả định x sở hữu xấp xỉ phân phối xác suất Poisson Hãy tính xác suất mà nhân viên cảnh sát tuần tra bỏ lỡ nơi biết suốt quãng thời gian nửa tiếng Xác suất mà viếng thăm lần bao nhiêu? hai lần? lần? 4.31 Tại nạn nhà máy công nghiệp cụ thể bình quân 3,5 vụ tuần a Xác suất mà khơng có tai nạn xảy tuần biết bao nhiêu? b Có khả số lƣợng tai nạn tuần vƣợt khơng? Hãy giải thích c Nếu số lƣợng tai nạn tuần cụ thể với 9, liệu bạn cịn tin   3,5 khơng? Hãy giải thích 4.32 Số lƣợng x, tuần, doanh số thiết bị lớn đo chấn động trái đất bán cho công ty thiết bị xây dựng sở hữu phân phối xác suất Poisson với trung bình a Xác suất mà số thiết bị đo chấn động trái đất bán đƣợc tuần với bao nhiêu? hay 1? b Liệu có khả x vƣợt khơng? Giải thích 4.33 Chủ sở hữu văn phòng bất động sản dân cƣ lƣu ý rằng, tính trung bình u cầu tìm hiểu thông tin qua điện thoại đến cách ngẫu nhiên độc lập mức bốn lần ngày làm việc tiếng Bởi chủ sở hữu bất động sản thƣờng với thân chủ mình, bà ta khơng thể trả lời cho số yêu cầu tìm hiểu qua điện thoại văn phịng William Mendenhall cộng 17 Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Bài đọc Khóa học ngắn thống kê kinh doanh – 2nd ed Ch 4: Các phân phối xác suất rời rạc hữu dụng a Xác suất mà khơng có u cầu tìm hiểu thơng tin qua điện thoại đến vắng mặt văn phịng suốt ngày làm việc điển hình tiếng bao nhiêu? b Xác suất mà có u cầu tìm hiểu thơng tin qua điện thoại suốt ngày làm việc điển hình tiếng bao nhiêu? 4.34 Số lƣợng x ngƣời vào đơn vị chăm sóc sức khỏe chuyên sâu bệnh viện cụ thể vào ngày sở hữu phân phối xác suất Poisson với trung bình với ngƣời ngày a Xác suất mà số ngƣời vào đơn vị chăm sóc sức khỏe chuyên sâu vào ngày cụ thể với bao nhiêu? bao nhiêu? b Liệu có khả x vƣợt 10? Giải thích 4.4 CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT RỜI RẠC KHÁC (TÙY CHỌN) Trong Ví dụ 3.1 Bài tập 3.51, thí nghiệm bao gồm việc tung đồng tiền quan sát x, số lần xuất mặt ngửa đồng tiền Đây ví dụ thí nghiệm tổng quát mà biến số ngẫu nhiên nhận giá trị x = 1, 2, , N với xác suất nhƣ biết p( x)  1/ N Phân phối tạo cho x đƣợc gọi phân phối xác suất đồng rời rạc biểu đồ xác suất tạo có chiều cao đồng Một phân phối xác suất rời rạc thứ hai, mà tƣơng tự với phân phối nhị thức, xảy bạn chọn mẫu ngẫu nhiên n khách hàng từ tổng thể có N khách hàng Con số x khách hàng ƣa thích sản phẩm cụ thể sở hữu phân phối xác suất nhị thức cỡ mẫu n tƣơng đối nhỏ so với số N khách hàng tổng thể (xem Ví dụ 4.1) Khi n tƣơng đối lớn so với N (nhƣ Ví dụ 4.2), số x ƣa thích sản phẩm sở hữu phân phối xác suất siêu bội Cơng thức đƣợc trình bày phần sau Phân phối Xác suất Siêu bội Cxr CnNxr p( x)  CnN N = số lƣợng phần tử tổng thể r = số lƣợng phần tử sở hữu số đặc trƣng đặc biệt, ví dụ, số lƣợng ngƣời ƣa thích sản phẩm cụ thể n = số lƣợng phần tƣ mẫu chọn r   N Trung bình:   n  r  N  r  N  n      N  N  N   Phƣơng sai:   n Độ lệch chuẩn:    William Mendenhall cộng 18 Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Bài đọc Khóa học ngắn thống kê kinh doanh – 2nd ed Ch 4: Các phân phối xác suất rời rạc hữu dụng Khi cỡ mẫu n tƣơng đối nhỏ so với cỡ tổng thể N n/N 0,05, xác suất siêu bội đƣợc ƣớc lƣợng xấp xỉ phân phối nhị thức với p = r/N VÍ DỤ 4.9 Một hội thẩm đồn bao gồm 20 ngƣời, số ngƣời Mỹ địa Nếu ngƣời đƣợc chọn ngẫu nhiên từ hội thẩm đoàn này, xác suất mà hai ngƣời ngƣời Mỹ địa bao nhiêu? Lời giải Đối với ví dụ này, N = 20, n = r = (ngƣời Mỹ địa) x = số ngƣời Mỹ địa chọn lựa Sau đó, p( x)  Cxr CnNxr CnN p(2)  C22C320 2 C320 C22  2! 18!  1, C320 2  C118   18 2!0! 1!17! C320  20! (20)(19)(18)   1140 3!17! Xác suất việc có hai ngƣời Mỹ địa mẫu có cỡ mẫu n = p(2)  (1)(18)  0,016 1140 Bài tập Các Kỹ thuật Cơ 4.35 a Tính tốn p(x) , x có phân phối xác suất siêu bội với N =10, n = 2, r = 3, x = 0, 1, b Vẽ đồ thị p(x) 4.36 a Tính tốn p(x) , x có phân phối xác suất siêu bội với N =10, n = 3, r = 3, x = 0, 1, 2, b Vẽ đồ thị p(x) William Mendenhall cộng 19 Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright 4.37 Các phƣơng pháp định lƣợng Bài đọc Khóa học ngắn thống kê kinh doanh – 2nd ed Ch 4: Các phân phối xác suất rời rạc hữu dụng Tìm trung bình độ lệch chuẩn cho biến số ngẫu nhiên x đƣợc mô tả Bài tập 4.36 Xác suất mà x nằm khoảng (  2 ) bao nhiêu? Các Ứng dụng 4.38 Một vấn đề mà giám đốc nhân gặp phải nhƣ giám đốc khác phải đối mặt chọn lựa tốt tập hợp hữu hạn yếu tố đƣợc thể tình sau: Từ nhóm 20 Tiến sĩ kỹ sƣ, 10 ngƣời đƣợc chọn làm việc Xác suất mà 10 ngƣời đƣợc chọn bao gồm kỹ sƣ tốt nhóm 20 ngƣời bao nhiêu? 4.39 Một sản phẩm công nghiệp cụ thể đƣợc chuyên chở giao hàng theo lô 20 sản phẩm Việc kiểm tra để định liệu mẫu hàng có lỗi hay khơng tốn kém; mà nhà sản xuất chọn mẫu sản phẩm sử dụng phƣơng án kiểm tra toàn sản phẩm sản xuất Một phƣơng án chọn mẫu đƣợc thiết kế nhằm giảm thiểu số sản phẩm bị lỗi đƣợc giao cho khách hàng đòi hỏi việc chọn mẫu hàng từ lô hàng từ chối lô hàng có nhiều sản phẩm bị lỗi quan sát thấy đƣợc (Nếu bị từ chối, sản phẩm lơ hàng bị kiểm tra) Nếu lơ hàng có bốn sản phẩm bị lỗi, xác suất mà lơ hàng bị từ chối bao nhiêu? 4.40 Texaco trở thành công ty dầu mỏ lớn gần phải cắt giảm lực lƣợng lao động chấm dứt khai thác số mỏ dầu Mỹ (Craig, 1994) Exxon Mobil gần tuyên bố việc tái cấu trúc tƣơng tự nhằm gia tăng lợi nhuận Giả định ba số mƣời công ty lọc dầu hàng đầu Mỹ thực tế tiến hành việc tái cấu trúc cơng ty Nếu phóng viên tờ USA Today vấn giám đốc điều hành bốn công ty lọc dầu đƣợc chọn lựa ngẫu nhiên, tính tốn xác suất sau a Chọn lựa ta bao gồm tất giám đốc điều hành mà công ty họ đƣợc tái cấu trúc gần b Chọn lựa cô ta bao gồm giám đốc điều hành mà cơng ty họ đƣợc tái cấu trúc gần c Chọn lựa ta bao gồm số giám đốc điều hành mà công ty họ đƣợc tái cấu trúc gần QUAY TRỞ LẠI NGHIÊN CỨU ĐIỂN HÌNH 4.5 TIẾP TỤC VỀ QUYỀN LÁI XE Nhƣ gợi ý nghiên cứu điển hình, ƣớc tính tỷ phần ngƣời Mỹ trƣởng thành mà ƣa thích kiểm tra mang tính bắt buộc ba năm cho tài xế 65 tuổi tùy thuộc vào phân phối xác suất x, số ngƣời điều tra mà ủng hộ kiểm tra mang tính bắt buộc cho cơng dân lớn tuổi Bởi số ngƣời đƣợc liên hệ điều tra cấu thành mẫu ngẫu nhiên từ số lớn dân chúng, thực tế x sở hữu phân phối xác suất nhị thức Giả sử số 70% thật giá trị xác p Khi biết mẫu có qui mơ 1.003, số ngƣời mẫu mà cho thấy họ ủng hộ kiểm tra mang tính bắt buộc tài xế 65 tuổi sở hữu phân phối nhị thức với trung bình độ lệch chuẩn với William Mendenhall cộng 20 Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi ... với xác suất nhƣ biết p( x)  1/ N Phân phối tạo cho x đƣợc gọi phân phối xác suất đồng rời rạc biểu đồ xác suất tạo có chiều cao đồng Một phân phối xác suất rời rạc thứ hai, mà tƣơng tự với phân. .. xúc xích rơi vào giới hạn với xác suất xấp xỉ 0,95 nhƣ số 3,3% thực tế xác? PHÂN PHỐI XÁC SUẤT POISSON Phân phối xác suất Poisson mơ hình tốt cho phân phối tần suất tƣơng đối số lƣợng kiện xảy... nhƣng có ba phân phối xác suất rời rạc đóng vai trị nhƣ mơ hình cho số lớn ứng dụng Ba phân phối phân phối xác suất nhị thức, Poisson, siêu bội Trong chƣơng này, nghiên cứu phân phối thảo luận