Đề tài Một số sai lầm thường gặp khi giải các bài toán "tam thức bậc hai"

Vì vậy, bản thân tôi, do thời gian lẫn kinh nghiệm giảng dạy có hạn nên chắc không tránh khỏi nhiều thiếu sót, rất mong được sự góp ý, xây dựng của quý thầy giáo, cô giáo, cùng các bạn đ[r]

SAÙNG KIEÁN KINH NGHIEÄM o0o MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN THPT BC Lệ Thủy Giáo viên: Tổ TOÁN Buøi Coâng Luaân Lệ Thủy, tháng năm 2010 Lop10.com Sáng kiến kinh nghiệm A – ĐẶT VẤN ĐỀ Một mục tiêu nhà trường là đào tạo và xây dựng hệ học sinh trở thành người phát triển toàn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế Muốn giải thành công nhiệm vụ quan trọng này, trước hết chúng ta phải tạo tiền đề vững lâu bền phương pháp học tập học sinh phương pháp giảng dạy giáo viên các môn nói chung và môn toán nói riêng Toán học là môn khoa học tự nhiên quan trọng Trong quá trình học tập học sinh trường phổ thông, nó đòi hỏi tư tích cực học sinh Để giúp các em học tập môn toán có kết tốt, có nhiều tài liệu sách báo đề cập tới Giáo viên không nắm kiến thức, mà điều cần thiết là phải biết vận dụng các phương pháp giảng dạy cách linh hoạt, truyền thụ kiến thức cho học sinh dễ hiểu Chương trình toán rộng, các em lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với Do học, các em không nắm lý thuyết bản, mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu mình, từ đó biết vận dụng để giải loại toán Qua cách giải các bài toán rút phương pháp chung để giải dạng bài, trên sở đó tìm các lời giải khác hay hơn, ngắn gọn Tuy thực tế số ít giáo viên chúng ta chú trọng việc truyền thụ kiến thức đầy đủ theo bước, chưa chú ý nhiều đến tính chủ động sáng tạo học sinh Thông qua quá trình giảng dạy môn toán lớp 10, đồng thời qua quá trình kiểm tra đánh giá tiếp thu học sinh và vận dụng kiến thức để giải các bài toán tam thức bậc hai Tôi nhận thấy học sinh vận dụng các kiến thức toán học phần giải các bài toán tam thức bậc hai còn nhiều hạn chế và thiếu sót Đặc biệt là các em lúng túng vận dụng các kiến thức đã học vào bài toán cụ thể Đây là phần kiến thức khó các em học sinh lớp 10, lẽ từ trước đến các em quen giải dạng toán tính giá trị biểu thức giải phương trình cho sẵn Mặt khác khả tư các em còn Trang Lop10.com Sáng kiến kinh nghiệm hạn chế, các em gặp khó khăn việc phân tích đề toán, suy luận để tìm lời giải chính xác và đầy đủ Đối với việc giải các bài toán tam thức bậc hai, các em học nên chưa quen với dạng toán này Xuất phát từ thực tế đó nên kết học tập các em chưa cao Nhiều em nắm lý thuyết chắn áp dụng giải không Do việc hướng dẫn giúp các em có kỹ để giải các bài toán tam thức bậc hai, ngoài việc nắm lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng linh hoạt vào bài toán cụ thể, từ đó phát triển khả tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh học nhằm nâng cao chất lượng học tập Do đó, phạm vi nghiên cứu Bản thân tôi mong rằng: có sáng tạo quý thầy giáo, cô giáo thì đề tài có thể giúp học sinh lớp 10 phát triển tư duy, có thể làm dùng đề tài để dạy tự chọn môn toán 10, chủ đề bám sát Cũng từ thực tế giảng dạy, tôi luôn suy nghĩ bước để hoàn thiện phương pháp giảng dạy mình Mặt khác, theo suy nghĩ riêng tôi, người cần tập trung suy nghĩ thấu đáo vấn đề và nhiều người góp lại chắn hiệu giáo dục qua năm nâng lên rõ rệt Từ suy nghĩ đó tôi định thực đề tài này Bản thân tôi dù đã cố gắng mình nghiên cứu bổ sung nội dung để đề tài đáp ứng chương trình đổi sách giáo khoa lớp 10 và chương trình tự chọn lớp 10, nhiên không tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô giáo để đề tài ngày càng hoàn thiện B – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I – Kiến thức lý thuyết Định nghĩa tam thức bậc hai Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức có dạng f ( x ) = ax + bx + c , đó a, b, c là số cho trước, a ≠ Định lý dấu tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f ( x ) = ax + bx + c (a ≠ 0) , ∆ = b2 − 4ac Nếu ∆ < thì f ( x ) cùng dấu với hệ số a với x thuộc R Nếu ∆ = thì f ( x ) cùng dấu với hệ số a với x ≠ − Trang Lop10.com b 2a Sáng kiến kinh nghiệm Nếu ∆ > thì f ( x ) có nghiệm x1 và x2 (x1 < x2) Khi đó, f ( x ) trái dấu với hệ số a với x nằm khoảng (x1 ; x2) và f ( x ) cùng dấu với hệ số a với x nằm ngoài đoạn [x1 ; x2] II – Các sai lầm thường gặp giải các bài toán "tam thức bậc hai" Khi giải các bài toán tam thức bậc hai, các sai lầm xuất chủ yếu là không chú ý đến giả thiết định lí mà đã vội vàng áp dụng lạm dụng suy diễn mệnh đề không đúng xét thiếu các trường hợp cần biện luận Bài toán 1: Tìm m để biểu thức sau có nghĩa với x: (m + 1) x − 2(m − 1) x + 3m − ? Biểu thức có nghĩa với x và khi: f ( x ) = (m + 1) x − 2(m − 1) x + 3m − ≥ ∀x a > m + > ⇔ ' ⇔ (m − 1) − 3(m − 1)(m + 1) ≤ ∆ x ≤ m > −1 m > −1  ⇔ ⇔ m ≥ ⇔ m ≥ 2(m − 1)(m + 2) ≥   m ≤ −2  Ta có kết m ≥ ! Nhớ f ( x ) = ax + bx + c ∀x  a = b =  c ≥  ⇔ Lời giải xét thiếu trường hợp a =  a >   ∆ ' ≤ Lời giải đúng là: Biểu thức có nghĩa với x ⇔ f ( x) ≥ ∀x m + =  m = −1 a = b =   ⇔ −2(m − 1) = ⇔ m = , không có m thoả mãn - Trường hợp 1:  c ≥   3m − ≥ m ≥ a > - Trường hợp 2:  ' ∆ ≤ Tóm lại kết là m ≥ ⇔ m ≥1 Trang Lop10.com Sáng kiến kinh nghiệm Bài toán 2: Tìm m cho: x − mx + 3m + ≤ ∀x ∈ R (*) x − mx + (*) ⇔ x − 2mx + 3m + ≤ x − mx + ? ⇔ x + mx − 3m ≥ ! ∀x ∈ R ∀x ∈ R ⇔ ∆ ≤ ⇔ m + 12m ≤ ⇔ −12 ≤ m ≤ Sai lầm là nhân hai vế với x − mx + chưa biết dấu biểu thức này Lời giải đúng là: Vế trái tồn ∀x ∈ R ⇔ x − mx + ≠ ∀x ∈ R ⇔ x − mx + = vô nghiệm ⇔ ∆ < ⇔ m − 16 < ⇔ −4 < m < Khi đó x − mx + > ∀x ∈ R nên:  −4 < m < −4 < m < ⇔ ⇔  2  x − mx + 3m + ≤ x − mx + ∀x ∈ R  x + mx − 3m ≥ ∀x ∈ R (*) −4 < m <  −4 < m <  −4 < m < ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −4 < m ≤ ∆ ≤ −12 ≤ m ≤ m + 12 m ≤ Tóm lại kết là −4 < m ≤ x + y = m Bài toán 3: Biết (x;y) là nghiệm hệ:  2  x + y = −m + Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức F = xy − 6( x + y ) ? Ta có x + y = −m2 + ⇔ ( x + y ) − xy = −m2 + ⇔ m − xy = − m + ⇔ xy = m − Do đó F = m2 − − 6m = (m − 3) − 12 Vậy F = −12 ⇔ m = Không có maxF vì F là hàm bậc hai với hệ số bậc hai dương ! Lời giải không đặt điều kiện để tồn x và y Do đó đã xét F với m∈ R Lời giải đúng là: x + y = m x + y = m ⇔  x + y = −m +  xy = m − Ta có  2 Theo định lí Viét đảo thì x, y là các nghiệm phương trình t − mt + m − = (*) Ta thấy x, y tồn và (*) có nghiệm Trang Lop10.com Sáng kiến kinh nghiệm ⇔ ∆1 ≥ ⇔ −3m + 12 ≥ 0± ⇔ −2 ≤ m ≤ Khi đó F = m − 6m − với m ∈ [ −2; 2] Lập bảng biến thiên F với m ∈ [ −2; 2] : m -2 13 F -11 Từ đó ta có: F = −11 ⇔ m=2 max F = 13 ⇔ m = −2 Bài toán 4: Tìm m cho phương trình: x − (2m + 1) x + m2 = có nghiệm thoả mãn x > ? Cách 1: Phương trình có nghiệm ⇔ ∆ = Khi đó phương trình có S nghiệm x1 = x2 = Do đó phương trình có nghiệm thoả mãn x >  (2m + 1)2 − 4m = m=−  4m + =     ⇔  2m + ⇔ ⇔ , không có m thoả mãn bài toán >3  m > m >   Cách 2: Xét trường hợp:  m=− ∆ =    - Trường hợp 1: < x1 = x2 ⇔  S ⇔ , không có m thoả mãn T.H này >  m >  - Trường hợp 2: 3 − ≤ m ≤ +  m − 6m + ≤ af (3) ≤    ⇔ ⇔ ⇔ < m ≤ 3+ x1 ≤ < x2 ⇔   2m +  S >3 3 <  m >  2  5  Tóm lại m ∈  ;3 +  2  Trang Lop10.com Sáng kiến kinh nghiệm ! Cách tỏ người giải chưa hiểu cụm từ "chỉ có nghiệm" nên đã "phiên dịch" đoạn theo yêu cầu, thành khác với nghĩa bài toán Nhớ cho: phương trình có nghiệm x > không có nghĩa là phương trình không có nghiệm ! Cách là lời giải người hiểu đúng bài toán cố gắng làm gọn trường hợp x1 < 3< x2 và = x1< x2 thành trường hợp x1 ≤ < x2 Tiếc viết điều kiện "tương đương" với yêu cầu này lại không đúng Như bỏ sót trường hợp x1 < S < < x2 Chính vì mà với m = phương trình trở thành x = thoả mãn bài toán, m = không có kết luận x2 − 5x + = ⇔  x = cách giải thứ Lời giải đúng là: Xét trường hợp:  m=− ∆ =    ⇔ , không có m thoả mãn T.H này - Trường hợp 1: < x1 = x2 ⇔  S >  m >  - Trường hợp 2: m = ± m − 6m + =  f (3) =    = x1 < x2 ⇔  ⇔ ⇔ ⇔ m = 3+  2m +  S < > m >      - Trường hợp 3: x1 < < x2 ⇔ af (3) < ⇔ m2 − 6m + < ⇔ − < m < + ( Tóm lại: m ∈ − 3;3 +  Bài toán 5: Tìm m cho phương trình mx − 2(m + 1) x + m + = không có nghiệm ngoài (-1; 1) ? Phương trình không có nghiệm ngoài (-1; 1) −1 < x1 ≤ x2 < m ≥ −1  ∆ ≥ (m + 1) − m(m + 1) ≥ m >    m(4m + 3) > af (−1) > 3   m < − ⇔ af (1) > ⇔ −m > ⇔  ⇔ −1 ≤ m < − 4   m < m + S  −1 < < −1 <  <1   m +1 m   −1 < m <  ' x Trang Lop10.com Sáng kiến kinh nghiệm ! Có thể thấy với m = thì phương trình trở thành: −2 x + = ⇔ x = ∈ ( −1;1) nên m = thoả mãn Ngoài lời giải còn thiếu trường hợp phương trình vô nghiệm Như để có lời giải đúng phải bổ sung thêm trường hợp a = (thử trực tiếp) a ≠ và trường hợp  ' ∆ x < Đáp số đúng là m < − m = C – KẾT LUẬN Trên đây là số bài toán nhỏ thường gặp chương trình đại số lớp 10 và số lỗi mà học sinh hay mắc phải Tôi tin kinh nghiệm tôi là kinh nghiệm nhỏ bé vô vàn kinh nghiệm đúc kết qua sách vở, quý thầy giáo, cô giáo trước và các bạn đồng nghiệp Vì vậy, thân tôi, thời gian lẫn kinh nghiệm giảng dạy có hạn nên không tránh khỏi nhiều thiếu sót, mong góp ý, xây dựng quý thầy giáo, cô giáo, cùng các bạn đồng nghiệp, nhằm giúp tôi bước hoàn thiện phương pháp giảng dạy mình Tôi xin chân thành cảm ơn Lệ Thủy, tháng năm 2010 Người trình bày Bùi Công Luân Trang Lop10.com