Sai lầm khi giải các bài toán tam thức bậc hai

Sai lầm khi giải các bài toán tam thức bậc hai hi giải toán tam thức bậc hai, các sai lầm xuất hiện do không chú ý đến giả thiết của các định lí mà đã vội vàng áp dụng hoặc lạm dụng suy [r]

Sai lầm giải các bài toán tam thức bậc hai hi giải toán tam thức bậc hai, các sai lầm xuất không chú ý đến giả thiết các định lí mà đã vội vàng áp dụng lạm dụng suy diễn mệnh đề không đúng xét thiếu các trường hợp cần biện luận Thí dụ 1: Tìm m để biểu thức sau có nghĩa với x: (m  1) x  2(m  1) x  3m  ? Biểu thức có nghĩa với x và a  m   f ( x)  ( m  1) x  2( m  1) x  3m   x  '    x  (m  1)  3(m  1)(m  1)   m  1  m  1    m   m  2( m  1)( m  2)     m  2  Ta có kết m  ! Nhớ f ( x)  ax  bx  c  x K  a  b   c   Lời giải xét thiếu trường hợp a   a   '    Lời giải đúng là: Biểu thức có nghĩa với x  f ( x)  x - Trường hợp 1: m   m  1 a  b      2(m  1)   m  , không có m thoả mãn  c   3m   m    a  - Trường hợp 2:  '  m 1   Tóm lại kết là m  x  2mx  3m  Thí dụ 2: Tìm m cho:  x  R (*) x  mx  ? (*)  x  2mx  3m   x  mx  x  R 2  x  mx  3m  x  R     m  12m   12  m  ! Sai lầm là nhân hai vế với x  mx  chưa biết dấu biểu thức này Lời giải đúng là: Vế trái tồn x  R  x  mx   0x  R  x  mx   vô nghiệm     m2  16   4  m  Khi đó x  mx   0x  R nên:  4  x   4  m   4  m  (*)        x  2mx  3m   x  mx  2x  R  x  mx  3m  0x  R  4  m   4  m     4  m   12  m   m  12m  Lop10.com x  y  m Thí dụ 3: Biết (x;y) là nghiệm hệ:  2  x  y  m  Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức F  xy  6( x  y ) ? Ta có x  y  m    x  y   xy   m2   m  xy   m   xy  m  Do đó F  m   6m  (m  3)2  12 Vậy F  12  m  Không có maxF vì F là hàm bậc hai với hệ số bậc hai dương ! Lời giải không đặt điều kiện để tồn x và y Do đó đã xét F với m  R Lời giải đúng là: x  y  m x  y  m Ta có   2  x  y  m   xy  m  Theo định lí Viét đảo thì x, y là các nghiệm phương trình t  mt  m2   (*) Ta thấy x, y tồn và (*) có nghiệm  1   3m  12  0  2  m  Khi đó F  m  3m  với m   2;  Lập bảng biến thiên F với m   2;  : m -2 13 F -11 Từ đó ta có: F  11 max F  13   m=2 m  2 Thí dụ 4: Tìm m cho phương trình: x  (2m  1) x  m  có nghiệm thoả mãn x  Cách 1: Phương trình có nghiệm    Khi đó phương trình có nghiệm ? S x1  x2  Do đó phương trình có nghiệm thoả mãn x   (2m  1)2  4m  m 4 m         2m    , không có m thoả mãn bài toán 5 3  m  m    Cách 2: Xét trường hợp:  m     , không có m thoả mãn T.H này - Trường hợp 1:  x1  x2   S    m   - Trường hợp 2: 3   m    m  6m    af (3)     x1   x2       m  3 S  2m   3 3   m    5  Tóm lại m   ;3   2  ! Lop10.com Cách tỏ người giải chưa hiểu cụm từ "chỉ có nghiệm" nên đã "phiên dịch" đoạn theo yêu cầu, thành khác với nghĩa bài toán Nhớ cho: phương trình có nghiệm x > không có nghĩa là phương trình không có nghiệm ! Cách là lời giải người hiểu đúng bài toán cố gắng làm gọn trường hợp x1 < 3< x2 và = x1< x2 thành trường hợp x1   x2 Tiếc viết điều kiện "tương đương" với yêu cầu này lại không đúng Như bỏ sót trường x  S hợp x1    x2 Chính vì mà với m = phương trình trở thành x  x     thoả x  mãn bài toán, m = không có kết luận cách giải thứ Lời giải đúng là: Xét trường hợp:  m     , không có m thoả mãn T.H này - Trường hợp 1:  x1  x2   S    m   m    m  6m    f (3)     - Trường hợp 2:  x1  x2     2m    m  3 S 3 3   m    2 - Trường hợp 3: x1   x2  af (3)   m  6m      m    Tóm lại: m   3;3    - Trường hợp 3: x1   x2  af (3)   m  6m      m    Tóm lại: m   3;3    Thí dụ 5: Tìm m cho phương trình mx  2(m  1) x  m   không có nghiệm ngoài (-1; 1) ? Phương trình không có nghiệm ngoài (-1; 1) 1  x1  x2   m  1    (m  1)  m(m  1)  m     m(4m  3)   af (1)   m     af (1)    m     1  m   4   m   1  S   1  m     m 1  m   1  m   ! Có thể thấy với m = thì phương trình trở thành 2 x    x    1;1 nên m = thoả mãn Ngoài lời giải còn thiếu trường hợp phương trình vô nghiệm Như để có lời giải đúng phải bổ sung thêm trường hợp a = (thử trực tiếp) và trường hợp a   '  x  Đáp số đúng là m   m  ' x NKL-THPT Bản Ngà Lop10.com