SKKN Khắc phục sai lầm khi giải các bài toán tích phân cho học sinh

Trong chương trình toán học lớp 12 và cụ thể là các đề thi Đại học – Cao đẳng và Trung học chuyên nghiệp bài toán tích phân là một trong những bài toán khó mà học sinh của chúng ta hay m

Trang 1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

"KHẮC PHỤC SAI LẦM KHI GIẢI

CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN CHO HỌC SINH"

Trang 2

PHẦN I: MỞ ĐẦU

I ĐẶT VẤN ĐỀ.

Trong chương trình toán học lớp 12 và cụ thể là các đề thi Đại học – Cao đẳng và Trung học chuyên nghiệp bài toán tích phân là một trong những bài toán khó mà học sinh của chúng ta hay mắc phải sai lầm, vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của Định nghĩa, các tính chất, các phương pháp tính tích phân Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách máy móc: Tìm nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm

số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? Phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến

số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? Vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm dẫn đến lời giải sai

Trong quá trình giảng dạy và trao đổi với các đồng nghiệp khác trong tổ chuyên môn khi dạy phần kiến thức này, tôi nhận thấy rất nhiều các học sinh ở những lớp khác nhau nhưng mắc những sai lầm giống nhau khi giải các bài toán đó thậm chí có cả học sinh khá, giỏi

Những lỗi đơn giản mà học sinh vẫn thường mắc phải như :

- Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức;

- Đổi biến số nhưng không đổi cận;

- Khi đổi biến không tính vi phân;

- Giải sai hoặc tính toán nhầm do kỹ năng tính toán chưa thuần thục:

Những lỗi khó phát hiện mà học sinh thường mắc phải như :

Trang 3

- Hàm số không liên tục trên vẫn sử dụng được công thức Newtơn- Leibnitz.

- Đổi biến số t = u(x) nhưng u(x) không phải là một hàm số liên tục và đạo hàm liên tục trên [a; b]

- Sử dụng công thức và khái niệm không có trong sách giáo khoa hiện thời

- Chọn cách đổi biến số nhưng gặp khó khăn khi đổi cận (không tìm được giá trị chính xác)…

Với mong muốn giúp các em học sinh hiểu được những những kiến thức căn bản, khắc phục được những sai lầm khi giải toán từ đó tự mình làm được những bài tập cơ bản, tiến tới giải quyết được những bài toán nâng cao và thấy yêu thích môn Toán hơn, trên cơ sở tiếp thu một số kết quả của đồng nghiệp đi trước và trong thực tế của quá trình giảng dạy, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu cho mình là:

“ KHẮC PHỤC SAI LẦM KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN CHO HỌC SINH ”

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Đề tài này được nghiên cứu nhằm mục đích cải tiến nội dung và phương pháp giảng dạy các tiết học lí thuyết và bài tập tự chọn về Nguyên hàm và tích phân, từ đó:

- Hình thành cho học sinh kiến thức căn bản về Nguyên hàm và tích phân.

- Giúp học sinh nhận thấy những sai lầm thường mắc phải khi giải các bài toán và cách khắc phục

- Giúp cho học sinh có khả năng tư duy nhất quán nhưng linh hoạt và sáng tạo Giúp các

em đạt kết quả cao hơn trong học tập môn Toán từ đó mà thấy say mê môn Toán hơn Đồng thời rèn luyện những đức tính tốt cho học sinh trong học tập và nghiên cứu

Trang 4

- Tích lũy kinh nghiệm giảng dạy cho giáo viên, tạo cảm hứng cho giáo viên sáng tạo hơn nữa trong giảng dạy, thêm yêu ngành yêu nghề

III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Lựa chọn các ví dụ ,các bài tập cụ thể về tích phân và chỉ ra những sai lầm của học sinh khi vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để

từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán

- Kiến thức căn bản về Nguyên hàm và tích phân; các dạng bài tập cơ

bản về Nguyên hàm và tích phân;

- Chỉ ra một số sai lầm của học sinh trong quá trình giải các bài toán tính

Tích phân và biện pháp khắc phục bằng một số ví dụ đơn giản;

- Mở rộng thêm một số bài toán cho học sinh khá, giỏi

- Đưa ra được đường lối tư duy chung để giải quyết một bài toán tính

Tích phân bất kì

- Đưa ra được hệ thống các bài tập áp dụng và củng cố

- Đánh giá được kết quả của việc áp dụng SKKN vào giảng dạy

PHẦN II: NỘI DUNG

I CƠ SỞ KHOA HỌC.

Dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của con người đi từ: “ cái sai đến cái gần đúng rồi mới đến khái niệm đúng”, các nguyên tắc dạy học và đặc điểm quá trình nhận thức của học sinh

Trang 5

G.Polya đã viết "Con người phải biết học từ những sai lầm và những thiếu sót của mình" Thông qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận ra nó, kịp thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học, đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự và bồi dưỡng thêm về mặt tư duy cho bản thân mỗi người

Những kiến thức căn bản về nguyên hàm và tích phân là kiến thức hoàn toàn mới

mẻ đối với học sinh nhưng sự hình thành ít nhiều liên quan đến kiến thức về đạo hàm, các

em có thể dựa vào các công thức đạo hàm để hình thành công thức nguyên hàm, tuy vậy

đa phần các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này Các kiến thức căn bản về biến đổi đại số, học sinh cũng đã được học từ bậc THCS những em có lực học trung bình, yếu kém đều bị mất gốc phần kiến thức này do đó dù các em có nắm được kiến thức căn bản của nguyên hàm tích phân thì cũng sẽ bế tắc khi thực hiện lời giải Còn với đa phần các

em có học lực khá, giỏi tâm lí chung khi gặp một bài toán là nóng vội lao vào tìm phương pháp giải, tìm ra phương pháp rồi thì vội vàng trình bày lời giải, tìm ra đáp số, thấy kết quả gọn, đẹp là yên tâm, chắc mẩm đã đúng mà quên mất các thao tác quen thuộc: phân tích đề, kiểm tra các điều kiện, kiểm tra các phép tính…Vì vậy những sai sót xảy ra là điều tất yếu Kinh nghiệm cũng cho thấy việc phát hiện ra lỗi sai của người khác thì dễ còn việc phát hiện ra lỗi sai của chính mình là rất khó Trong quá trình dạy về phần kiến thức này, tôi cho các em chủ động tự làm theo lối tư duy logic của riêng mình, để các em theo dõi nhận xét lời giải của nhau từ đó phát hiện những lỗi sai và từ đó phân tích để các

em hiểu được bản chất của vấn đề khắc phục sai sót và tổng kết thành kinh nghiệm Tuy nhiên, nếu cứ lúc nào cũng chỉ ra những sai lầm của học sinh dễ khiến các em thấy nhàm chán, mất đi hứng thú học tập Vì vậy, tôi vận dụng nó linh hoạt trong các tiết dạy và có những gợi ý cần thiết hỗ trợ cho các em tìm kiếm lời giải

Trang 6

Một khó khăn nữa mà tôi cũng gặp trong quá trình giảng dạy trên đó là việc dạy học phân hóa theo từng đối tượng học sinh Những lớp tôi nhận nhiệm vụ giảng dạy, học sinh khá, giỏi là đa số, còn lại là một bộ phận học sinh trung bình, yếu, kém nên các giáo

án, các ví dụ và bài tập của tôi cũng phải phân hướng vào hai loại đối tượng học sinh, trước tiên là ưu tiên các em diện trung bình và yếu, kém sau đó nâng cao lên những bài toán mở rộng với tính chất hướng dẫn, giới thiệu

II NỘI DUNG CỤ THỂ.

1-Sai lầm do nhớ nhầm công thức nguyên hàm:

Ví dụ 1 : Tính tích phân : I =

4

0

4

x dx



Cách giải sai của học sinh

I =

4

0

4

x dx

 =

4

0

x d x

4

0

1

Cách giải đúng

I =

4

0

4

x dx

 =

2 0

(x 4) (d x 4)

4 3 2 0

2

4 3 0

2

5

1

(3x 5) dx 

I =

2

5

1

(3x 5)dx

2 6 1

1

(1 2 )

Trang 7

I =

2

5

1

(3x 5)dx

2

5 1

1

3 x d x =

2 6 1

1

(1 2 )

* Nguyên nhân sai lầm :

- Sự hình thành nguyên hàm ít nhiều liên quan đến kiến thức về đạo hàm, các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này

- Học sinh vận dụng sai công thức nguyên hàm hàm hợp, đã dùng

n 1

n x

n 1





(với n ≠ –1) thay vì

n 1

(n 1)a





* Cách khắc phục:

- Yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản Giúp các em tạo thói quen kiểm tra công thức: Lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm

số đã cho?

- Yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản và nguyên hàm hàm hợp tương ứng, tự lập ra bảng nguyên hàm của hàm hợp ứng với u = ax+b Giúp các

em khắc sâu thói quen kiểm tra công thức: lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho?

Bài tập vân dụng: Tính các tích phân sau:

Trang 8

A x 4dx

2

1

3 B= (2x 1) dx

0

2

dx

C= ,

2 (2x 1)

1

dx

D=

2x 1

e

0









2 Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân:

Ví dụ 1 : Tính tích phân : : I = 

2

) 1

(x dx

I = 

 

2

) 1

(x

dx

= 

 



2

) 1 (

x

x d

=

-1

1



x

2



=

-3

1

1 =

-3 4

Hàm số y = ( 1)2

1



x không xác định tại x = -1 2;2 suy ra hàm số không liên tục trên

 2;2 do đó tích phân trên không tồn tại

Ví dụ 2 :Tính tích phân: I =  



0 1 sinx dx

4 dx

E =

1 3x 1

/12

6 /6

x 3 3















Trang 9

Đặt t = tg 2x thì dx = 1 2

2

t

dt

 ;1sin1 x = 2

2

) 1 (

1

t



 1dxsinx=

 )2 1 (

2

t

dt

= 2 t(  1 ) 2 d(t+1) =

1

2



t + c

 I =  



0 1 sinx

dx

2





x tg



0 = 1

2







tg - tg021

do tg2 không xác định nên tích phân trên không tồn tại

I= 



0 1 sinx

dx































































4 2 cos

4 2

2 cos 1

x tg x

x d x

dx

4







 



Hàm số y = ( 1 ) 2

1



x không xác định tại x= -1 2 ; 2 suy ra hàm số không liên tục trên

 2 ; 2 nên không sử dụng được công thức Newtơn – leibnitz như cách giải trên

Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số liên tục và

có đạo hàm liên tục trên a; b

Yêu cầu các em học thuộc định nghĩa tích phân Giúp các em tạo thói quen: Khi tính

dx

x

f

b

a

)

(

 cần chú ý xem hàm số y=f(x) có liên tục trên a; b không? Nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại

Trang 10

Bài tập vận dụng: Tính các tích phân sau

A=



5

0

4

)

4

(x

dx

B= x x 2dx

1 3

2

2 1 )





x



2

0 cos4

1



D= dx

x

x e

x x









1

2

3

3 Sai lầm do nhớ nhầm tính chất tích phân:

1 x

0





I =

1

x

0



1 xdx 0

 .

1 x

0



 =

2

x

e

=1( 1 1) 1

e



Đặt: u x x du dxx



Ta có: I

1 1

0 0

1

e



Trang 11

- Học sinh tự “sáng tạo” ra qui tắc nguyên hàm của một tích, nên đã dùng

b u(x).v(x).dx a



=

b

u(x)dx

0

b v(x)dx a



thay vì dùng công thức tích phân từng phần: ( ) '( ) ( ) ( ) | '( ) ( )

b a

u x v x dx u x v x  u x v x dx

.* Cách khắc phục:

- Yêu cầu các em học thuộc các tính chất của nguyên

hàm và tích phân Giúp các em tổng quát hóa các dạng toán sử dụng

phương pháp tích phân từng phần:

1

x 1

A x.2 dx ,

0

B= x ln(x 2)dx ,

1

2

C= x log xdx2

1











4 Sai lầm khi đổi biến số:

cos x

D (x e )sin xdx , 0

/2 2

E = (x x) cos xdx , 0

x

F = sin x.e dx 0











Trang 12

1 2

2 0

1 x dx

Đặt x= sint suy ra dx=costdt

Đặt x = sint suy ra dx=costdt

1











6

0

.

t

dt







Ví dụ 2 : Tính tích phân :

1

5

dx I

x





Đặt t = 2x + 1

Trang 13

1 3

x t



 



5 1

3 20

1

dt t I

t



Đặt t= 2x+1 suy ra dt= 2dx



 



1

1 1

dt t

I

t



- Khi thực hiện đổi biến số học sinh đã quên không đổi cận

- Khi thực hiện đổi biến số học sinh đã quên không tính vi phân dt

* Cách khắc phục: yêu cầu các em học thuộc các bước thực hiện phương pháp đổi biến

số Giúp các em tạo thói quen kiểm tra lại bài làm, kiểm tra kết quả bằng phép tính gần đúng trên máy tính bỏ túi

Trang 14

dx 2

2

1 x

dx 5

x ln x

1

x









4 Sai lầm vì dùng công thức không có trong sách giáo khoa

Ví dụ 1 : Tính tích phân :

0 2 1

1

x 2x 2





0

2

1

0

2

1

0 1

1

x 2x 2

1

dx (x 1) 1

arctan(x 1) arctan 0 arctan( 1)

4









2

1

dx dt (1 tan t)dt cos t

Trang 15

Đổi cận: x 0 t 4;





  





   



1



- Học sinh đã sử dụng công thức SGK hiện hành không có: 1 2dx arctan x c



( thường có trong các sách tham khảo)

- Giúp các em nhớ công thức và cách chứng minh một số công thức nguyên hàm mở rộng Yêu cầu các em lưu ý khi gặp tích phân dạng này thì không được áp dụng thẳng mà phải chứng minh trước rồi mới sử dụng Ví dụ: khi gặp tích phân dạng

b

2 2 a

1





 , thì ta

tính tích phân bằng cách đặt x = ctant (hoặc x = c.cott) Chú ý công thức

A= 01 2

dx

4 x 

 B= 2 2



C=



12 2

dx

x 2 D=02 2 x dx  2

E=  



02 2 1 dx

x 2 F=  



01 2 1 dx 4x 5

Trang 16

5 Sai lầm do hiểu sai bản chất công thức:

* Ví dụ 1 : Tính tích phân :

2 x 0

I   xe dx

Đặt u xx u ' 1x



 

2 2

0 0 2

0 2

I xe e dx

2e e 2e e 1

e 1

  

    

 



Đặt u x x du dxx



 

2 2

0 0 2

0 2

I xe e dx

2e e 2e e 1

e 1

  

    

 



* Nguyên nhân sai lầm : Học sinh hiểu sai bản chất công thức lấy tích phân từng phần

nên đã viết u xx u' 1x

v' e v e



thay vì u x x du dxx

dv e dx v e



Trang 17

* Cách khắc phục: Giải thích cho học sinh hiểu cặn kẽ vai trò và ý nghĩa của từng công

thức, từng kí hiệu

1

0

1 2sin

1 sin 2

x dx x







 2  

2

0

x

3 





2

1 1 x 1dx

x

4  

e

dx x

x x

1

ln ln 3 1

5  

3

2

2 )

ln(x x dx 6

/ 2 0

sin 2 sin

1 3cos

x x

dx x







III HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

1.Kết quả từ thực tiễn:

Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những dạng tích phân như

đã nêu.Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích một bài toán tích phân từ hàm số dưới dấu tích phân,cận của tích phân để lựa chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở giáo viên đưa ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong quá trình suy luận,trong các bước tính tích phân này rồi từ đó hướng các em đi đến lời giải đúng

Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài tập tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 và một số bài trong các đề thi tuyển sinh vào đại học,cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các năm trước thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trình bày lời giải và đã giải được một lượng lớn bài tập đó

2.Kết quả thực nghiệm:

Trang 18

Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2012-2013

Bài kiểm tra trên hai đối tượng lớp 12C1(34 học sinh) áp dụng sáng kiến và 12C5(42 học sinh) không áp dụng sáng kiến như sau:

Xế

p loại

Đối tượng

Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng thú đặc biệt là khi giải bài toán tích phân các em tính tích phân rất thận trọng và hiểu bản chất của vấn đề chứ không tính rập khuôn một cách máy móc như trước, đó là việc thể hiện việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh

PHẦN III:KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ

I KẾT LUẬN:

Nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân có ý nghĩa rất lớn trong quá trình dạy học vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ giúp học sinh nhìn thấy được những điểm yếu và những hiểu biết chưa thật thấu đáo của mình về vấn đề này từ đó phát huy ở học sinh tư duy độc lập, năng lực suy nghĩ tích cực chủ động củng cố trau rồi thêm

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	337 KB