Lí do chọn chuyên đề Trong chương trình sách giáo khoa mới Toán 9 – tập 2 THCS , học sinh được làm quen với phương trình bậc hai và các cách giải phương trình bậc hai , đặc biệt là sử d
Trang 1CHUY£N §Ò
"øNG DôNG §ÞNH Lý VI-ÐT VµO GI¶I TO¸N Cã
LI£N QUAN §ÕN PH¦¥NG TR×NH BËC HAI MéT ÈN"
phÇn 1 më ®Çu
1 Lí do chọn chuyên đề
Trong chương trình sách giáo khoa mới Toán 9 – tập 2 THCS , học sinh được làm quen với phương trình bậc hai và các cách giải phương trình bậc hai , đặc biệt là sử dông định lý Vi-ét vào việc giải toán có liên quan đến phương trình bậc hai Đây là nội dung quan trọng của môn đại số 9 Nhưng phân phối chương trình cho phần định lý Viet là rất
ít (1 tiết lý thuyết, 1 tiết bài tập), do đó đại đa số học sinh thường lúng túng khi đứng trước các bài toán có liên quan đến định lý Viét và một số ứng dụng rộng rãi của định lí
đó vào giải các bài toán lên quan đến phương trình bậc hai một ẩn Để giúp các em nắm được một cách có hệ thống và có khả năng giải quyết được các bài tập về phần này một cách thành thạo, nhằm phát huy khả năng suy luận, óc phán đoán, tính linh hoạt của học sinh trong dịp ôn thi học kỳ II và thi vào lớp 10 PTTH một cách có hiệu quả nên chúng tôi thực hiện chuyên đề này
2.Cấu trúc chuyên đề gồm: 4 phần
- Phần1: Lý thuyết liên quan đến chuyên đề
- Phần 2: Một số bài tập vận dụng
- Phần 3: Bài học kinh nghiệm
- Phần 4: Bài tập thu hoạch
phÇn 2 néi dung
A/Lý thuyết:
I/ Nội dung kiến thức có trong chương trình môn toán ở trường THCS liên quan đến
chuyªn đề :
1 - Điều kiện về nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn ax 2 + bx + c = 0 (*)
∆ =b2 − 4ac
a) Nếu ∆ < 0 thì (*) vô nghiệm
b) Nếu ∆ = 0 thì (*) có nghiệm kép:
a
b x x
2 2 1
−
=
=
c) Nếu ∆ > 0 thì (*) có 2 nghiệm phân biệt
a
b x
2 1
∆ +
−
a
b x
2 2
∆
−
−
=
2 - Nội dung của đinh lí Vi-ét và ứng dụng của nó
- Hệ thức Vi-ét :
Trang 2Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠0 )có 2 nghiệm x1 , x2 thì hai nghiệm đó có: + Tổng S = 1 2
b
x x
a
+ = −
+ Tích P = x1.x2 = c
a
- Áp dụng : Tính nhẩm nghiệm
* Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một
nghiệm là : x1 = 1 còn nghiệm kia là : x2 = c
a
* Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một
nghiệm là : x1 = -1 còn nghiệm kia là : x2 = c
a
−
II/ Các dạng toán thường gặp trong việc áp dụng định lý Vi-et
1 - Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai trong các trường hợp:
a + b + c = 0 ; a – b + c = 0
2 - Tính tổng và tích các nghiệm
3 - Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
4 - Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của nó
5 - Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai
6 - Xác định tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
7 - Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1,x2 của phương trình bậc hai
8 - Tìm hệ thức giữa các nghiệm x1,x2 của phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số
B/ Bài tập:
Bµi to¸n1 Ứng dụng định lí vi-ét vào việc nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
Phương pháp giải
* Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là : x1 = 1 còn nghiệm kia là : x2 = c
a
Trang 3* Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có
một nghiệm là : x1 = -1 còn nghiệm kia là : x2 = c
a
−
Một số ví dụ
VD1: Giải phương trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất
a, 2x2 + 3x + 1= 0 b, -5x2 + 3x + 2 = 0 c, 2004x2 + 2005x + 1 = 0
d, 7x2 - 3x - 4 = 0 e, 3x2 + 9x + 6 = 0
Hướng dẫn
a, Pt 2x2 + 3x + 1= 0 có ( a - b + c = 2 - 3 + 1 = 0)
=> Phương trình (1) có nghiệm x1 = -1 ; x2 =
2
1
−
b, Pt -5x2 + 3x + 2 = 0 có a + b + c = (- 5) + 3 + 2 = 0
⇒ PT có 2 nghiệm x1 = 1 và x2 = - 52
c, Pt 2004x2 + 2005x + 1 = 0 có a – b + c = 2004 – 2005 + 1 = 0
⇒ PT có 2 nghiệm x1 = -1 và x2 = - 20041
d, Pt 7x2 - 3x - 4 = 0 có 7+(-3)+(-4) = 0 nên pt có nghiệm x1= 1 ; x2= 4
7
−
e, Pt 3x2 + 9x + 6 = 0 có 3 – 9 + 6 = 0 nên pt có nghiệm x1= - 1 ; x2= - 2
Bµi to¸n 2 Tính tổng và tích các nghiệm
Phương pháp giải
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠0 )
- Tính ∆và chứng tỏ ∆ ≥0 để phương trình có nghiệm
- Áp dụng hệ thức Vi-ét tính :
+ Tổng S = 1 2
b
x x
a
+ = −
+ Tích P = x1.x2 = c
a
Một số ví dụ
VD1: Không giải phương trình , hãy tính tổng và tích các nghiệm số của các
phương trình sau ( Nếu có ):
Trang 4a) 4x2 +2x -5 = 0 b) 5x2 + x + 2 = 0 c) x2 -14x +33 = 0
d) 3x2 +5x +61 = 0 e) 16x2 -13x -48 = 0 g) x2 -x 3 -2- 6 = 0
Hướng dẫn
a) 4x2 +2x -5 = 0 Vì a,c trái dấu nên pt có nghiệm ⇒ x1 + x2 = 1
2
− ; x1 x2 = 5
4
− b) 5x2 + x + 2 = 0 ∆ = 1 – 4.5.2 = - 39 < 0 => PT vô nghiệm, nên không tính được tổng và tích hai nghiệm
c) x2 -14x +33 = 0 ∆’ = (-7)2 – 1.33 = 16 > 0 Nên PT có 2 nghiệm phân biệt
=> x1 + x2 = 14 ; x1 x2 = 33
d) 3x2 +5x +61 = 0 ∆ = 25 – 4.3.61 = - 707 < 0 => PT vô nghiệm, nên không tính được tổng và tích hai nghiệm
e) 16x2 -13x -48 = 0 Vì a,c trái dấu nên pt có nghiệm ⇒ x1 + x2 =−1613; x1 x2= -3
g) x2 -x 3 -2- 6= 0 Vì a,c trái dấu nên pt có nghiệm ⇒ x1 + x2 = 3; x1.x2=-2- 6
Bµi to¸n 3 Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng:
Ph ương pháp giải
Dựa vào định lý đảo của định lý Viet:
Nếu 2 số u và v có
=
= +
P v u
S v u
thì u và v là nghiệm của phương trình:
Như vậy việc tìm 2 số quy về việc giải 1 phương trình (Tìm nghiệm của phương
trình đó ⇒ 2 số cần tìm).
Chú ý: Nếu S2 - 4P ≥ 0 thì tồn tại 2 số
Nếu S - 4P < 0 không tồn tại 2 số
Một số ví dụ 3.1) Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) u + v = 42 ; u.v = 441 b) u + v = - 42 ; u.v = - 400
c) u + v = 11 ; u.v = 28 d) u - v = 5 ; u.v = 66
e) u2 + v2 = 25 ; u.v = 12
Hướng dẫn a) u + v = 42 ; u.v = 441
u và v là nghiệm của PT x2 - 42x + 441 = 0
Trang 5∆’ = 212 – 441 = 441 – 441 = 0 ⇒ PT có nghiệm kép x1 = x2 = 21 ⇒ u = v = 21
b) u + v = - 42 ; u.v = - 400
u và v là nghiệm của PT x2 + 42x – 400 = 0
∆’ = 212 + 400 = 841 ⇒ ∆ / = 29
PT có hai nghiệm phân biệt
x1 = 8; x2= -50 ⇒ u = 8 ; v = -50 hoặc u = -50; v = 8
c) u + v = 11 ; u.v = 28
u và v là nghiệm của PT x2 - 11x + 28 = 0
Giải pt ta được u =7; v =4 hoặc u = 4 ; v = 7
d) u - v = 5 ; u.v = 66
Đặt V = -v ta có u + V = 5 ; u.V = -66
u và v là nghiệm của PT x2 - 5x - 66 = 0
Giải pt ta được u = - 6 ; V =11 hoặc u = 11 ; V= - 6
Vậy các cặp (u,v) cần tìm là :(-6;-11) ; ( 11;6)
e) u2 + v2 = 25 ; u.v = 12
Ta có (u+v)2 = u2 + v2+2uv = 25 + 24 = 49 => u +v = ±7
TH1: u + v = 7 ; u.v = 12
u và v là nghiệm của PT x2 - 7x + 12 = 0
Giải pt ta được u =3; v =4 hoặc u = 4 ; v = 3
TH2: u + v = -7 ; u.v = 12
u và v là nghiệm của PT x2 + 7x + 12 = 0
Giải pt ta được u =-3; v =-4 hoặc u = -4 ; v = -3
Vậy các cặp (u,v) cần tìm là :(3;4) ; ( 4;3) ; (-3;-4) ; ( -4;-3)
3.2) Tìm 2 cạnh 1 hình chữ nhật có chu vi là 6a; Diện tích là 2a 2
* Gọi 2 cạnh hình chữ nhật là u và v (u > 0; v > 0)
Ta có:
=
=
+
2
a 2 uv
a 6 v 2 u 2
⇔
=
= +
2
a 2 vu
a 3 v u
Do (3a)2 - 4 2a2 = a2 > 0 nên u, v là nghiệm của phương trình bậc 2
t2 - 3at + 2a2 = 0 giải được t1 = a ; t2 = 2a Vậy độ dài 2 cạnh hình chữ nhật là a và 2a
Trang 63.3) Tìm phương trình bậc 2 nhận x1; x2 là nghiệm và
=
= +
6 x x
13 x
x
2 1
2 2
2 1
(*)
Biến đổi hệ (*) ta có:
=
=
− +
6 x x
13 x x 2 ) x x (
2 1
2 1
2 2 1
⇔
=
−
= +
= +
6 x x
5 x
x
5 x x
2 1
2 1
2 1
⇔
=
−
= +
=
= +
6 x
x
5 x
x
6 x
x
5 x
x
2 1
2 1
2 1
2 1
1 x
x 5 x 1 x
x 5
+
− +
+
−
(Đ/K: x ≠ -1)
+
−
=
1 x
x 5 x
1
x x
x
−
+
+ ÷
=> u + v = 5 và uv = 6 ta quy về tìm u, v sao cho:
=
= +
6 v u
5 v u
Do 25 – 4.6 > 0 Nên u, v là nghiệm phương trình t2 - 5t + 6 = 0 " t1 = 3; t2 = 2
Từ đó có:
=
=
2 v
3 u
1
1
hoặc
=
=
3 v
2 u
2
2
−
≠
= +
−
= +
−
1 x
0 2 x 3 x
0 3 x 2 x
2
2
giải được x1 = 1; x2 = 2 (TM)
Bµi to¸n 4 Lập phương trình bậc 2 khi biết hai nghiệm của nó :
Phương pháp giải
Ta thiết lập 1 phương trình bậc 2 nhận các số x1; x2 là các nghiệm dựa trên cơ sở (Định lý Viet)
Nếu x1 + x2 = S ; x1.x2 =p thì x1, x2 là nghiệm của phương trình
x2 - Sx + P = 0 (S2 - 4P ≥ 0)
Một số ví dụ
Ví dụ 1: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là cặp số 7 và 3
Hướng dẫn
Ta có tổng S = 7+3 =10 và tích P = 7.3 = 21
⇒ x1 , x2 là nghiệm phương trình: x2 - 5x + 6 = 0
⇒ x1 , x2 là nghiệm phương trình: x2 + 5x + 6 = 0
Trang 7Vậy 7 và 3 là hai nghiệm của pt : x2 - 10x + 21 = 0
Ví dụ 2: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là cặp số 1 + 2 và 1 − 2
Hướng dẫn
Ta có tổng S =1 + 2+1 − 2=2 và tích P =(1 + 2).(1 − 2) = -1
Vậy 1 + 2 và 1 − 2 là hai nghiệm của pt : x2 - 2x -1 = 0
Ví dụ 3 : Cho x1 =
2
1
2 =
3 1
1 +
Lập phương trình bậc hai có nghiệm là: x1; x2
Hướng dẫn
Ta có: x1 =
2
1
3 + ; x
2 =
3 1
1
1 3 3
−
1
Nên x1.x2 =
2
1
3 +
3 1
1 + = 2
1
; x1 + x2 =
2
1
3 + +
3 1
1 + = 3
Vậy phương trình bậc hai có 2 nghiệm: x1; x2 là : x2 - 3x +
2
1
= 0 Hay 2x2 - 2 3x + 1 = 0
Ví dụ 4 : Gọi α, β là các nghiệm của phương trình: 3x2 + 7x + 4 = 0 không giải phương trình hãy thành lập phương trình bậc 2 với hệ số bằng số mà các nghiệm của nó
là:
1
β
α
− và α 1
β
− .
Hướng dẫn
Với α ≠ 1 và β≠ 1
Ta có:
2 2
2
αβ α β
21
6 1 ) ( 1
+ +
−
=
−
αβ α
β β
α
Vậy
1 β
α
− và α 1
β
6 X 21
23
X 2 − + =
Hay phương trình: 21X2 - 23X + 6 = 0
* Chú ý: Có thể giải bài toán trên bằng cách lập phương trình tích rồi đưa về
phương trình bậc 2 cần tìm
0 1 α
β X 1 β
α
−
−
−
−
Trang 8Ví dụ 5: Cho a là số thực sao cho a + 1 ≠ 0 Lập phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x1;
x2 thoả mãn các hệ thức:
4x1x2 + 4 = 5 (x1+ x2) (1) (x1 - 1) (x2 - 1) =
1 a
1
Hướng dẫn
Để lập được 1 phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x1 ; x2 ta phải tìm được
x1 + x2 và x1.x2 theo a
Ta có: (2) ⇔ x1.x2 - (x1 + x2) + 1 =
1 a
1
+
⇔ x1.x2 - (x1 + x2) =
1 a
a
+
Từ (3) và (4) ⇒
+
−
=
+
= +
1 a
a 4 x x
1 a
4 x
x
2 1
2 1
⇒ x1, x2 là nghiệm của phương trình:
0 1 a
a 4 x 1
a
4
+
− +
+
Ví dụ 6: Viết phương trình bậc 2 có nghiệm x1; x2 thoả mãn:
1 2 1 2
) 1 (
Hướng dẫn
Ta cần tìm được x1 + x2 và x1 x2 theo k
Đặt x1 + x2 = S ; x1.x2 = P, ta có:
+
=
−
=
−
1 k S 2 P
2 S 3 P
2
⇔
+
−
=
−
=
1 k 3 P
k 2 S
Phương trình cần tìm là x2 + 2kx - 3k + 1 = 0 (ĐK: S2 - 4P ≥ 0 ⇔ k2 + 4k - 1 ≥ 0)
Chú ý : Qua các ví dụ trên ta đã vận dụng định lý Viet đảo để lập 1 phương trình
bậc 2 biết 2 nghiệm cho trước hoặc hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm Song cần chú ý điều kiện S2 - 4P ≥ 0
Bµi to¸n 5 Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai
Trang 9Phương pháp giải
Dùng định lý Viet ta có thể xét dấu các nghiệm phương trình
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) dựa trên kết quả:
a
c
p = < ⇔ phương trình có 2 nghiệm trái dấu x1 < 0 < x2
- Nếu
>
≥
0 p
0 Δ
⇔ phương trình có 2 nghiệm cùng dấu
- Nếu
0 0 0
p s
∆ >
>
>
⇔ phương trình có 2 nghiệm dương 0 < x1≤ x2
- Nếu
Δ 0 0 0
p s
>
>
<
⇔ phương trình có 2 nghiệm âm: x1≤ x2 < 0
Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho phương trình: mx2 - 2(3 - m)x + m - 4 = 0 (1)
Xác định m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu
Hướng dẫn
Với m ≠ 0 khi đó để (1) có hai nghiệm trái dấu thì m 4
m
− < 0 hay o < m < 4
Ví dụ 2 : Cho phương trình: 2x2 - 2(m - 1)x + m2 - 4m + 3 = 0 (1)
a, Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
b, Xác định dấu của các nghiệm x1, x2 (x1 ≤ x2) với các giá trị tìm được của m
Hướng dẫn
a, Vì (1) là phương trình bậc 2 ẩn x tham số m có nghiệm số
⇔∆’ ≥ 0 ⇔ (m - 1)2 - 2 (m2 - 4m + 3) ≥ 0 ⇔ - m2 + 6m - 5 ≥ 0
⇔ m2 - 6m + 5 ≤ 0 ⇔ (m - 1) (m - 5) ≤ 0 ⇔ 1 ≤ m ≤ 5
b, Theo hệ thức Viet có: P = x1x2 =
2
3 m 4
m2 − + S = x
1 + x2 = m - 1
- Xét dấu của P = x1.x2
Ta có: m2 - 4m + 3 = 0 ⇔ m = 1 hoặc m = 3
Nếu m = 1 thì p = 0 và s = 0 ⇒ x1 = x2 = 0
Trang 10Nếu m = 3 thỡ p = 0 ; s > 0 ⇒ 0 = x1 < x2
Nếu 3 < m ≤ 5 thỡ p > 0 ; s > 0 ⇒ 0 < x1 < x2
Nếu 1 < m < 3 thỡ p < 0 , s > 0 ⇒ x1 < 0 < x2
Vớ dụ 3 : Cho phương trỡnh bậc hai: x2-2(m-1)x+2m-3=0 (1)
a, Chứng minh rằng phương trỡnh (1) cú nghiệm với mọi giỏ trị của m
b, Phương trỡnh (1) cú hai nghiệm trỏi dấu
Hướng dẫn
a, Ta cú pt x2 - 2(m-1)x + 2m - 3=0
Cú: ∆’ = [−(m− 1) ]2 − ( 2m− 3 )= m2-2m+1-2m+ 3 = m2-4m+4 = (m-2)2 ≥ 0 với mọi m
Phương trỡnh (1) luụn luụn cú nghiệm với mọi giỏ trị của m
b, Phương trỡnh (1) cú hai nghiệm trỏi dấu khi và chỉ khi a.c < 0
<=> 2m-3 < 0 <=> m <
2
3
Vậy với m <
2
3
thỡ phương trỡnh (1) cú hai nghiệm trỏi dấu
Vớ dụ 4 : Cho phơng trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= 0 (*)
Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm âm
Hướng dẫn
Để phơng trình có hai nghiệm âm thì:
<
+
= +
>
− +
=
≥
− +
− +
=
∆
0 1 2
0 6
0 6 4
1 2
2 1
2 2
1
2 2
m x
x
m m x
x
m m m
2 1
0 ) 3 )(
2 (
0 25
−
<
⇔
−
<
>
+
−
>
=
∆
m
m
Bài toán 6 Xỏc định tham số để phương trỡnh bậc hai cú nghiệm thỏa món điều kiện cho trước
Phương phỏp giải :
Cú thể thực hiện qua cỏc bước sau
* Bước 1: Tỡm điều kiện của tham số để phương trỡnh đó cho cú nghiệm x1, x2
* Bước 2: ỏp dụng hệ thức Viet, ta cú:
=
= +
) m ( 2 1
) m ( 2 1
g x x
f x
x
(*)
* Bước 3: Kết hợp (*) với điều kiện (Hệ thức cho trước) suy ra phương trỡnh cú ẩn
là tham số từ đú tỡm được tham số và kết luận
Trang 11(Chỳ ý cần đối chiếu tham số cần tỡm được với điều kiện để phương trỡnh đầu cú nghiệm số).
Một số vớ dụ
Vớ dụ 1 Cho phơng trình : x2 -2(m - 1)x + m2 - 3 = 0 (1) ; m là tham số
Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm
kia
Hướng dẫn
Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi ∆’ ≥ 0
⇔ (m - 1)2 -m2 -3 ≥ 0 ⇔ 4 - 2m ≥ 0⇔ m ≤ 2
Với m ≤ 2 thì (1) có 2 nghiệm
Gọi một nghiệm của (1) là a thì nghiệm kia là 3a Theo Viet ,ta có:
a a m
a a m
1 2
m− ⇒3( 1
2
m− )2 = m2 – 3
⇔ m2 + 6m – 15 = 0 ⇔ m = –3±2 6 ( thõa mãn điều kiện)
Vớ dụ 2 Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0
Không giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2
thỏa mãn: 3x1 - 4x2 = 11
Hướng dẫn
Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 thì ∆ > 0<=> (2m - 1)2 - 4 2 (m - 1) > 0
Mặt khác, theo định lý Viét và giả thiết ta có:
⇔
=
−
−
=
−
−
= +
11 4x 3x
2
1 m x x
2
1 2m x
x
2 1
2 1
2 1
2
−
1
13- 4m x
7 7m 7 x
26 -8m 13- 4m 7m 7
7 26 -8m
8m -26
7 7m 4 7
4m -13
Đối chiếu điều kiện (1) và (2) ta có: Với m = - 2 hoặc m = 4,125 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa món 3x1 - 4x2 = 11
Vớ dụ 3 Xác định các giá trị của tham số m để phơng trình
x2-(m+5)x-m+6 =0
Có 2 nghiệm x1 và x2 thoã mãn một trong 2 điều kiện sau:
a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị
b) 2x1+3x2=13
Hướng dẫn