hệ thức Vi ét

CHUYÊN Đề "ứNG DụNG ĐịNH Lý VI-éT VàO GIảI TOáN Có LIÊN QUAN ĐếN PHƯƠNG TRìNH BậC HAI MộT ẩN" Lớ chn chuyờn phần mở đầu Trong chng trỡnh sỏch giỏo khoa mi Toỏn THCS , hc sinh c lm quen vi phng trỡnh bc hai v cỏc cỏch gii phng trỡnh bc hai , c bit l s dụng nh lý Vi-ột vo vic gii toỏn cú liờn quan n phng trỡnh bc hai õy l ni dung quan trng ca mụn i s Nhng phõn phi chng trỡnh cho phn nh lý Viet l rt ớt (1 tit lý thuyt, tit bi tp), ú i a s hc sinh thng lỳng tỳng ng trc cỏc bi toỏn cú liờn quan n nh lý Viột v mt s ng dng rng rói ca nh lớ ú vo gii cỏc bi toỏn lờn quan n phng trỡnh bc hai mt n giỳp cỏc em nm c mt cỏch cú h thng v cú kh nng gii quyt c cỏc bi v phn ny mt cỏch thnh tho, nhm phỏt huy kh nng suy lun, úc phỏn oỏn, tớnh linh hot ca hc sinh dp ụn thi hc k II v thi vo lp 10 PTTH mt cỏch cú hiu qu nờn chỳng tụi thc hin chuyờn ny 2.Cu trỳc chuyờn gm: phn - Phn1: Lý thuyt liờn quan n chuyờn - Phn 2: Mt s bi dng - Phn 3: Bi hc kinh nghim - Phn 4: Bi thu hoch A/Lý thuyt: phần nội dung I/ Ni dung kin thc cú chng trỡnh mụn toỏn trng THCS liờn quan n chuyên : - iu kin v nghim ca phng trỡnh bc hai mt n ax2 + bx + c = (*) = b 4ac a) Nu < thỡ (*) vụ nghim b) Nu = thỡ (*) cú nghim kộp: x1 = x = b 2a b+ b c) Nu > thỡ (*) cú nghim phõn bit x1 = ; x2 = 2a - Ni dung ca inh lớ Vi-ột v ng dng ca nú - H thc Vi-ột : 2a Nu phng trỡnh ax2 + bx + c = ( a )cú nghim x1 , x2 thỡ hai nghim ú cú: + Tng S = x1 + x2 = + Tớch P = x1.x2 = b a c a - p dng : Tớnh nhm nghim * Nu phng trỡnh ax2 + bx + c = (a 0) cú a + b + c = thỡ phng trỡnh cú mt nghim l : x1 = cũn nghim l : x2 = c a * Nu phng trỡnh ax2 + bx + c = (a 0) cú a - b + c = thỡ phng trỡnh cú mt nghim l : x1 = -1 cũn nghim l : x2 = c a II/ Cỏc dng toỏn thng gp vic ỏp dng nh lý Vi-et - Nhm nghim ca phng trỡnh bc hai cỏc trng hp: a+b+c=0;ab+c=0 - Tớnh tng v tớch cỏc nghim - Tỡm hai s bit tng v tớch ca chỳng - Lp phng trỡnh bc hai bit hai nghim ca nú - Du nghim s ca phng trỡnh bc hai - Xỏc nh tham s phng trỡnh bc hai cú nghim tha iu kin cho trc - Biu thc i xng gia cỏc nghim x1,x2 ca phng trỡnh bc hai - Tỡm h thc gia cỏc nghim x1,x2 ca phng trỡnh bc hai khụng ph thuc tham s B/ Bi tp: Bài toán1 ng dng nh lớ vi-ột vo vic nhm nghim ca phng trỡnh bc hai Phng phỏp gii * Nu phng trỡnh ax2 + bx + c = (a 0) cú a + b + c = thỡ phng trỡnh cú mt nghim l : x1 = cũn nghim l : x2 = c a * Nu phng trỡnh ax2 + bx + c = (a 0) cú a - b + c = thỡ phng trỡnh cú mt nghim l : x1 = -1 cũn nghim l : x2 = c a Mt s vớ d VD1: Gii phng trỡnh sau bng cỏch nhm nhanh nht a, 2x2 + 3x + 1= b, -5x2 + 3x + = d, 7x2 - 3x - = e, 3x2 + 9x + = c, 2004x2 + 2005x + = Hng dn a, Pt 2x2 + 3x + 1= cú ( a - b + c = - + = 0) => Phng trỡnh (1) cú nghim x1 = -1 ; x2 = b, Pt -5x2 + 3x + = cú a + b + c = (- 5) + + = PT cú nghim x1 = v x2 = - c, Pt 2004x2 + 2005x + = cú a b + c = 2004 2005 + = PT cú nghim x1 = -1 v x2 = - 2004 d, Pt 7x2 - 3x - = cú 7+(-3)+(-4) = nờn pt cú nghim x1 = ; x = e, Pt 3x2 + 9x + = cú + = nờn pt cú nghim x1 = - ; x = - Bài toán Tớnh tng v tớch cỏc nghim Phng phỏp gii Cho phng trỡnh ax2 + bx + c = ( a ) - Tớnh v chng t phng trỡnh cú nghim - p dng h thc Vi-ột tớnh : + Tng S = x1 + x2 = + Tớch P = x1.x2 = b a c a Mt s vớ d VD1: Khụng gii phng trỡnh , hóy tớnh tng v tớch cỏc nghim s ca cỏc phng trỡnh sau ( Nu cú ): a) 4x2 +2x -5 = b) 5x2 + x + = c) x2 -14x +33 = d) 3x2 +5x +61 = e) 16x2 -13x -48 = g) x2 -x -2- = Hng dn a) 4x2 +2x -5 = Vỡ a,c trỏi du nờn pt cú nghim x1 + x2 = ; x1 x2 = = 4.5.2 = - 39 < => PT vụ nghim, nờn khụng tớnh c b) 5x2 + x + = tng v tớch hai nghim c) x2 -14x +33 = = (-7)2 1.33 = 16 > Nờn PT cú nghim phõn bit => x1 + x2 = 14 ; d) 3x2 +5x +61 = x1 x2 = 33 = 25 4.3.61 = - 707 < => PT vụ nghim, nờn khụng tớnh c tng v tớch hai nghim e) 16x2 -13x -48 = Vỡ a,c trỏi du nờn pt cú nghim x1 + x2 = 13 ; x1 x2= -3 16 g) x2 -x -2- = Vỡ a,c trỏi du nờn pt cú nghim x1 + x2 = ; x1.x2=-2- Bài toán Tỡm s bit tng v tớch ca chỳng: Phng phỏp gii Da vo nh lý o ca nh lý Viet: u + v = S thỡ u v v l nghim ca phng trỡnh: u.v = P Nu s u v v cú t2 - St + P = (1) Nh vy vic tỡm s quy v vic gii phng trỡnh (Tỡm nghim ca phng trỡnh ú s cn tỡm) Chỳ ý: Nu S2 - 4P thỡ tn ti s Nu S - 4P < khụng tn ti s Mt s vớ d 3.1) Tỡm hai s u v v mi trng hp sau: a) u + v = 42 ; u.v = 441 b) u + v = - 42 ; u.v = - 400 c) u + v = 11 ; u.v = 28 d) u - v = ; u.v = 66 e) u2 + v2 = 25 ; u.v = 12 Hng dn a) u + v = 42 ; u.v = 441 u v v l nghim ca PT x2 - 42x + 441 = = 212 441 = 441 441 = PT cú nghim kộp x1 = x2 = 21 u = v = 21 b) u + v = - 42 ; u.v = - 400 u v v l nghim ca PT x2 + 42x 400 = = 212 + 400 = 841 / = 29 PT cú hai nghim phõn bit x1 = 8; x2= -50 u = ; v = -50 hoc u = -50; v = c) u + v = 11 ; u.v = 28 u v v l nghim ca PT x2 - 11x + 28 = Gii pt ta c u =7; v =4 hoc u = ; v = d) u - v = ; u.v = 66 t V = -v ta cú u + V = ; u.V = -66 u v v l nghim ca PT x2 - 5x - 66 = Gii pt ta c u = - ; V =11 hoc u = 11 ; V= - Vy cỏc cp (u,v) cn tỡm l :(-6;-11) ; ( 11;6) e) u2 + v2 = 25 ; u.v = 12 Ta cú (u+v)2 = u2 + v2+2uv = 25 + 24 = 49 => u +v = TH1: u + v = ; u.v = 12 u v v l nghim ca PT x2 - 7x + 12 = Gii pt ta c u =3; v =4 hoc u = ; v = TH2: u + v = -7 ; u.v = 12 u v v l nghim ca PT x2 + 7x + 12 = Gii pt ta c u =-3; v =-4 hoc u = -4 ; v = -3 Vy cỏc cp (u,v) cn tỡm l :(3;4) ; ( 4;3) ; (-3;-4) ; ( -4;-3) 3.2) Tỡm cnh hỡnh ch nht cú chu vi l 6a; Din tớch l 2a2 * Gi cnh hỡnh ch nht l u v v (u > 0; v > 0) Ta cú: 2u + v = 6a uv = 2a u + v = 3a vu = 2a Do (3a)2 - 2a2 = a2 > nờn u, v l nghim ca phng trỡnh bc t2 - 3at + 2a2 = gii c t1 = a ; t2 = 2a Vy di cnh hỡnh ch nht l a v 2a x 12 + x 22 = 13 3.3) Tỡm phng trỡnh bc nhn x1 ; x2 l nghim v x x = (*) x + x = (x + x ) 2x x = 13 Bin i h (*) ta cú: x + x = x x = x x = x + x = x1 , x2 l nghim phng trỡnh: x2 - 5x + = x x = x + x = x1 , x2 l nghim phng trỡnh: x + 5x + = x x = 5x x . x + =6 3.4) Gii phng trỡnh: x x +1 x +1 5x ;v= x +1 t: u = x x x+ ữ x +1 (/K: x -1) (/K: x -1) u + v = u v = => u + v = v uv = ta quy v tỡm u, v cho: Do 25 4.6 > Nờn u, v l nghim phng trỡnh t2 - 5t + = " t1 = 3; t2 = u = u = T ú cú: hoc v = v = x x + = Phng trỡnh ó cho x 3x + = gii c x1 = 1; x2 = (TM) x Bài toán Lp phng trỡnh bc bit hai nghim ca nú : Phng phỏp gii Ta thit lp phng trỡnh bc nhn cỏc s x1; x2 l cỏc nghim da trờn c s (nh lý Viet) Nu x1 + x2 = S ; x1.x2 =p thỡ x1, x2 l nghim ca phng trỡnh x2 - Sx + P = (S2 - 4P 0) Mt s vớ d Vớ d 1: Lp phng trỡnh bc hai cú cỏc nghim l cp s v Hng dn Ta cú tng S = 7+3 =10 v tớch P = 7.3 = 21 Vy v l hai nghim ca pt : x2 - 10x + 21 = Vớ d 2: Lp phng trỡnh bc hai cú cỏc nghim l cp s + v Hng dn Ta cú tng S = + +1 =2 v tớch P =(1 + ).( ) = -1 Vy + v l hai nghim ca pt : x2 - 2x -1 = +1 Vớ d : Cho x1 = ; x2 = 1+ Lp phng trỡnh bc hai cú nghim l: x1; x2 Hng dn Ta cú: x1 = Nờn x1.x2 = +1 ; x2 = 1+ 1 +1 = ; 1+ 3 = (1 + )(1 ) x1 + x = = +1 + = 1+ Vy phng trỡnh bc hai cú nghim: x1; x2 l : x2 - x + 3 =0 Hay 2x2 - x + = Vớ d : Gi , l cỏc nghim ca phng trỡnh: 3x2 + 7x + = khụng gii phng trỡnh hóy thnh lp phng trỡnh bc vi h s bng s m cỏc nghim ca nú l: v Hng dn Vi v + ( + ) ( + ) 23 + = = Ta cú: = ( 1)( 1) ( + ) + 21 = = ( + ) + 21 Vy 23 v l nghim ca phng trỡnh X X + = 21 21 Hay phng trỡnh: 21X2 - 23X + = * Chỳ ý: Cú th gii bi toỏn trờn bng cỏch lp phng trỡnh tớch ri a v phng trỡnh bc cn tỡm X X =0 Vớ d 5: Cho a l s thc cho a + Lp phng trỡnh bc cú nghim x1; x2 tho cỏc h thc: 4x1x2 + = (x1+ x2) (x1 - 1) (x2 - 1) = (1) a +1 (2) Hng dn lp c phng trỡnh bc cú nghim x1 ; x2 ta phi tỡm c x1 + x2 v x1.x2 theo a Ta cú: (2) x1.x2 - (x1 + x2) + = a a +1 (3) 4x1x2 - (x1 + x2) = - (4) x1.x2 - (x1 + x2) = (1) a +1 x + x = a +1 T (3) v (4) x x = a a + x1, x2 l nghim ca phng trỡnh: 4a x2 = hay (a + 1)x2 - 4x + - a = x + a + a + Vớ d 6: Vit phng trỡnh bc cú nghim x1; x2 tho món: x1 x2 3( x1 + x2 ) = ( x1 2)( x2 2) = k + (1) (2 ) Hng dn Ta cn tỡm c x1 + x2 v x1 x2 theo k t x1 + x2 = S ; x1.x2 = P, ta cú: P 3S = S = k P 2S = k + P = 3k + Phng trỡnh cn tỡm l x2 + 2kx - 3k + = (K: S2 - 4P k2 + 4k - 0) Chỳ ý : Qua cỏc vớ d trờn ta ó dng nh lý Viet o lp phng trỡnh bc bit nghim cho trc hoc h thc liờn h gia nghim Song cn chỳ ý iu kin S2 - 4P Bài toán Du nghim s ca phng trỡnh bc hai Phng phỏp gii Dựng nh lý Viet ta cú th xột du cỏc nghim phng trỡnh ax2 + bx + c = (a 0) da trờn kt qu: - Nu p = c < phng trỡnh cú nghim trỏi du x1 < < x2 a - Nu phng trỡnh cú nghim cựng du p > > - Nu p > phng trỡnh cú nghim dng < x1 x2 s > > - Nu p > phng trỡnh cú nghim õm: x1 x2 < s < Mt s vớ d Vớ d 1: Cho phng trỡnh: mx2 - 2(3 - m)x + m - = (1) Xỏc nh m phng trỡnh cú nghim trỏi du Hng dn Vi m ú (1) cú hai nghim trỏi du thỡ m4 < hay o < m < m Vớ d : Cho phng trỡnh: 2x2 - 2(m - 1)x + m2 - 4m + = (1) a, Tỡm m phng trỡnh (1) cú nghim b, Xỏc nh du ca cỏc nghim x1, x2 (x1 x2) vi cỏc giỏ tr tỡm c ca m Hng dn a, Vỡ (1) l phng trỡnh bc n x tham s m cú nghim s (m - 1)2 - (m2 - 4m + 3) - m2 + 6m - m2 - 6m + (m - 1) (m - 5) m m 4m + b, Theo h thc Viet cú: P = x1x2 = - Xột du ca P = x1.x2 Ta cú: m2 - 4m + = m = hoc m = m x1x2 + 0 + Nu m = thỡ p = v s = x1 = x2 = S = x + x2 = m - Nu m = thỡ p = ; s > = x1 < x2 Nu < m thỡ p > ; s > < x1 < x2 Nu < m < thỡ p < , s > x1 < < x2 Vớ d : Cho phng trỡnh bc hai: x2-2(m-1)x+2m-3=0 (1) a, Chng minh rng phng trỡnh (1) cú nghim vi mi giỏ tr ca m b, Phng trỡnh (1) cú hai nghim trỏi du Hng dn a, Ta cú pt x2 - 2(m-1)x + 2m - 3=0 Cú: = [ ( m 1) ] (2m 3) = m2-2m+1-2m+ = m2-4m+4 = (m-2)2 vi mi m Phng trỡnh (1) luụn luụn cú nghim vi mi giỏ tr ca m b, Phng trỡnh (1) cú hai nghim trỏi du v ch a.c < 2m-3 < Vy vi m < m< thỡ phng trỡnh (1) cú hai nghim trỏi du Vớ d : Cho phơng trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= (*) Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm âm Hng dn Để phơng trình có hai nghiệm âm thì: ( ) = ( 2m + 1) m + m x1 x = m + m > x + x = 2m + < = 25 > (m 2)(m + 3) > m < m < Bài toán Xỏc nh tham s phng trỡnh bc hai cú nghim tha iu kin cho trc Phng phỏp gii : Cú th thc hin qua cỏc bc sau * Bc 1: Tỡm iu kin ca tham s phng trỡnh ó cho cú nghim x1, x2 x + x = f( m ) * Bc 2: ỏp dng h thc Viet, ta cú: x x = g ( m ) (*) * Bc 3: Kt hp (*) vi iu kin (H thc cho trc) suy phng trỡnh cú n l tham s t ú tỡm c tham s v kt lun (Chỳ ý cn i chiu tham s cn tỡm c vi iu kin phng trỡnh u cú nghim s) Mt s vớ d Vớ d Cho phơng trình : x2 -2(m - 1)x + m2 - = (1) ; m tham số Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm cho nghiệm ba lần nghiệm Hng dn Phơng trình (1) có nghiệm (m - 1)2 -m2 -3 - 2m m Với m (1) có nghiệm Gọi nghiệm (1) a nghiệm 3a Theo Viet ,ta có: a + 3a = 2m m m a= 3( ) = m2 a a = m 2 m2 + 6m 15 = m = ( thõa mãn điều kiện) Vớ d Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - = Không giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: 3x1 - 4x2 = 11 Hng dn Để phơng trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 > 0 (2m - 1)2 - (m - 1) > Từ suy m 1,5 (1) Mặt khác, theo định lý Viét giả thiết ta có: 2m x1 + x = m x x = 3x 4x = 11 Giải phơng trình 13- 4m x1 = 7m x2 = 26 -8m 7m 13- 4m 26 -8m = 11 13 - 4m 7m = 11 ta đợc m = - m = 4,125 26 - 8m (2) Đối chiếu điều kiện (1) (2) ta có: Với m = - m = 4,125 phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt tha 3x1 - 4x2 = 11 Vớ d Xác định giá trị tham số m để phơng trình x2-(m+5)x-m+6 =0 Có nghiệm x1 x2 thoã mãn điều kiện sau: a) Nghiệm lớn nghiệm đơn vị b) 2x1+3x2=13 Hng dn a) Ta có = (m + 5) 4( m + 6) = m + 10m + 25 + 4m 24 = m + 14m + Để PT có hai nghiệm phân biệt cho m = 11 m + = Giả sử x2>x1 ta có HPT x x1 = x1 + x = m + x x = m +6 GiảI HPT ta đợc m = m = -14 TMĐK 2x1 + 3x = 13 b) Theo giả thiết ta có x1 + x = m + x x = m + GiảI HPT ta đợc m =0 m =1 thỏa mãn ĐK Vớ d Cho phng trỡnh bc hai n x, tham s m : x2 2(m + 1)x + m2 1= Tớnh giỏ tr ca m, bit rng phng trỡnh cú hai nghim x1, x2 tha iu kin : x1 + x2 + x1.x2 = Hng dn Ta cú a = , b = -(m+1) ; c = m2 = b2 a.c = (m+1)2 ( m2 1) = m2 + 2m + m2 + = 2m + pt cú hai nghim x1 , x2 thỡ 2m + m -1 Theo h thc Vi ột ta cú : x1 + x2 = 2m + x1 x2 = m Theo bi ta cú: x1 + x2 + x1.x2 = 2m + + m2 = m2 + 2m = 0. m(m + ) = m = ( nhn) ; m = -2 ( loi) Vy m = Vớ d Cho phng trỡnh x2 2mx = (m l tham s) Gi x1, x2 l hai nghim ca phng trỡnh trờn Tỡm m x12 + x 22 x1x = Hng dn Ta cú: ' = m2 + > vi mi m nờn phng trỡnh trờn luụn cú hai nghim phõn bit Khi ú ta cú S = x1 + x = 2m v P = x1x2 = Do ú x12 + x22 x1x = S2 3P = (2m)2 + = m2 = m = Vy m tho yờu cu bi toỏn m = Vớ d Cho phơng trình x2+2x+m+1=0 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1-x2=8 (3) Hng dn Xét phơng trình x2+2x+m+1=0 Phơng trình có nghiệm =(2)2-4(m+1)=-4m m (*) Vậy phơng trình có hai nghiệm x1, x2 + Theo hệ thức Vi-ét ta có : x1 + x2 = (1) (2) x1.x2 = m + Theo đề ta có: x1-x2 = (3) Từ (1) (3) ta có hệ phơng trình: x1 x2 = (3) x1 + x2 = (1) x1 = 3; x2 = Thay x1, x2 vào (2) ta có: 3g(5) = m + m = 16 m=-16 (thoả mãn *) Vậy m=-16 giá tri cần tìm Bài toán7 Biu thc i xng gia cỏc nghim x1,x2 ca phng trỡnh bc hai Phng phỏp gii Biu thc gia x1, x2 gi l i xng vi nu ta thay x1 bi x2 v x2 bi x1 thỡ biu thc khụng i Ta cú th biu th c cỏc biu thc i xng gia cỏc nghim x1, x2 theo S v P Vớ d: x 12 + x 22 = ( x + x ) 2x x = S P x13 + x 32 = ( x1 + x ) 3x1x ( x1 + x ) = S 3SP ( x14 + x 24 = x12 + x 22 ) x12 x 22 = (S P ) P x + x2 1 S + = = ; x1 x P x1x 1 x12 + x 22 S 2P + = = x12 x 22 x12 x 22 P2 T h thc Vi-ột tớnh S v P ri thay vo biu thc i xng ri tớnh Mt s vớ d Vớ d Cho phng trỡnh x2 + 5x + = Gi x1, x2 l cỏc nghim Hóy tớnh giỏ tr cỏc biu thc: x 12 + x 22 ; x13 + x 32 ; x14 + x 24 ; x12 x 32 + x13 x 22 ; x x Hng dn gii Trc ht kim tra phng trỡnh ó cho nghim hay khụng = 25 - = 17 > Phng trỡnh cú nghim x1 x2 Suy ra: x 12 + x 22 = S P = 21 x 13 + x 32 = S(S 3P ) = 95 x 14 + x 24 = (S P ) P = 441 = 433 x 12 x 32 + x 13 x 22 = x 12 x 22 ( x + x ) = P S = 20 x1 x = ( x1 x ) = ( x + x ) 4x x = S P = 17 Vớ d Cho phng trỡnh x2 - ax + a - = cú nghim l x1 v x2 Khụng gii phng trỡnh, hóy tớnh giỏ tr ca biu thc: M = 3x 12 + 3x 22 x 12 x + x x 22 Hng dn gii Trc ht kim tra xem phng trỡnh ó cho cú nghim khụng ? Ta cú: = a2 - (a - 1) = (a - 2)2 Nờn phng trỡnh ó cho cú nghim l: x1 v x2 ỏp dng h thc Viet ta cú: x1 + x2 = a ; x1.x2 = a - 3(x + x ) 6x x 3a 6(a 1) 3a 6a + M= = = (a 0; a 1) a(a 10 x1 x (x1 + x ) a2 a Vớ d Cho phng trỡnh x2 2x = cú hai nghim l x1 v x2 x2 x1 Tớnh giỏ tr ca biu thc S = x + x Hng dn gii Tớnh c x1 + x2 = v x1.x2 = Bin i: x12 + x 22 ( x1 + x ) x1 x S= = = x1 x x1 x Vớ d Cho phơng trình x + 3x + m = (1) Với giá trị m phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt ? Khi gọi x1 x2 hai nghiệm phơng trình Tìm giá trị m để x12 + x22 = 31 Hng dn gii ể PT có hai nghiệm phân biệt = 4m > m < Khi ta có x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=31 ỏp dụng hệ thức vi ét ta đợc (-3)2-2m=31 2m = 22 m = 11 thỏa mãn đièu kiện m m2-2m+1-m+2 > m2-3m+3 > 3 (m ) + >0 với m Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với m + Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 2m x1.x2 = m (1) (2) Từ (1) (2) x1 +x2-2x1x2 = 2m-2-2m+4 = x1 +x2-2x1x2 = Vậy hệ thức cần tìm là: x1 +x2-2x1x2=2 Vớ d Cho phơng trình x2-2mx+m2- 4=0 Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m Hng dn gii Xét phơng trình x2-2mx+m2- = Phơng trình có nghiệm =m2-m2+4 > 4>0 với m Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với m + Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 2m x1.x2 = m (1) (2) Từ (1) (2) (x1 +x2)2 - 4x1x2=4m2 - 4m2+16=16 (x1 +x2)2 - 4x1x2=16 Vậy hệ thức cần tìm là: (x1 +x2)2 - 4x1x2=16 C/ Mt s bi dng: Cho phng trỡnh: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = (m l tham s) a) Xỏc nh m cỏc nghim x1; x2 ca phng trỡnh tho x1 + 4x2 = b) Tỡm mt h thc gia x1; x2 m khụng ph thuc vo m Cho phng trỡnh x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = (1) Tỡm giỏ tr ca tham s m phng trỡnh cú (1) cú nghim x1 = 2x2 Cho phng trỡnh mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = a) Tỡm m phng trỡnh cú nghim b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim trỏi du c) Xỏc nh m cỏc nghim x1; x2 ca phng trỡnh tho món: x1 + 4x2 = d) Tỡm mt h thc gia x1, x2 m khụng ph thuc vo m Không giải phơng trình tính tổng tích hai nghiệm x1 , x2 phơng trình bậc hai có a, x2-5x-6=0 b, x2-5x+3=0 c, 3x2-4x+3=0 d, 2x2- 7x+3=0 Cho phơng trình x2- 10x+15 = không giải phơng trình Hãy tính giá trị biểu thức sau( Với x1, x2 hai nghiệm phơng trình x1[...]... x1 +x2+2x1x2=-3 Vậy hệ thức cần tìm là: x1 +x2+2x1x2=-3 Vớ d 2 Cho phơng trình x2-2(m-1)x+m-2=0 Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m Hng dn gii Xét phơng trình x2-2(m-1)x+m-2 = 0 Phơng trình có 2 nghiệm = (m-1)2-(m-2) > 0 m2-2m+1-m+2 > 0 m2-3m+3 > 0 3 3 (m ) 2 + >0 với mọi m 2 4 Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m + Theo hệ thức Vi- ét ta có: x1 + x2 =... +x2-2x1x2 = 2m-2-2m+4 = 2 x1 +x2-2x1x2 = 2 Vậy hệ thức cần tìm là: x1 +x2-2x1x2=2 Vớ d 3 Cho phơng trình x2-2mx+m2- 4=0 Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m Hng dn gii Xét phơng trình x2-2mx+m2- 4 = 0 Phơng trình có 2 nghiệm =m2-m2+4 > 0 4>0 với mọi m Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m + Theo hệ thức Vi- ét ta có: x1 + x2 = 2m x1.x2 = m 2 4 (1) (2) Từ... dng h thc Viet ta c (*) - Kh m t h (*) ta c h thc cn tỡm (S dng phộp th hoc cng) Mt s vớ d Vớ d 1 Cho phơng trình x2+(2m+1)x+m-1=0 Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m Hng dn gii Xét phơng trình x2+(2m+1)x+m-1=0 Phơng trình có 2 nghiệm =(2m+1)2-4(m-1) 0 4m2+4m+1-4m+4 0 4m2+5 0 với mọi m Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m + Theo hệ thức Vi- ét ta có:... x2+2x+m+1=0 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1-x2=8 (3) Hng dn Xét phơng trình x2+2x+m+1=0 Phơng trình có 2 nghiệm =(2)2-4(m+1)=-4m 0 m 0 (*) Vậy phơng trình có hai nghiệm x1, x2 + Theo hệ thức Vi- ét ta có : x1 + x2 = 2 (1) (2) x1.x2 = m + 1 Theo đề bài ta có: x1-x2 = 8 (3) Từ (1) và (3) ta có hệ phơng trình: x1 x2 = 8 (3) x1 + x2 = 2 (1) x1 = 3; x2 = 5 Thay x1, x2 vào (2)... đó gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm giá trị của m để x12 + x22 = 31 Hng dn gii ể PT có hai nghiệm phân biệt thì = 9 4m > 0 m < 9 4 Khi đó ta có x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=31 ỏp dụng hệ thức vi ét ta đợc (-3)2-2m=31 2m = 22 m = 11 thỏa mãn đièu kiện m 0 (2m - 1)2 - 4 2 (m - 1) > 0 Từ đó suy ra m 1,5 (1) Mặt khác, theo định lý Vi t và giả thiết ta có: 2m 1 x1 + x 2 = 2 m 1 x 1 x 2 = 2 3x 1 4x 2 = 11 Giải phơng trình 3 13- 4m x1 = 7 7m 7 x2 = 26 -8m 7m 7 13- 4m 3 7 4 26 -8m = 11 13 - 4m 7m 7 4 = 11 ta đợc... Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m + Theo hệ thức Vi- ét ta có: x1 + x2 = 2m x1.x2 = m 2 4 (1) (2) Từ (1) và (2) (x1 +x2)2 - 4x1x2=4m2 - 4m2+16=16 (x1 +x2)2 - 4x1x2=16 Vậy hệ thức cần tìm là: (x1 +x2)2 - 4x1x2=16 C/ Mt s bi tp vn dng: 1 Cho phng trỡnh: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m l tham s) a) Xỏc nh m cỏc nghim x1; x2 ca phng trỡnh tho món x1 + 4x2 = 3 b) Tỡm mt h... 7x+3=0 5 Cho phơng trình x2- 10x+15 = 0 không giải phơng trình Hãy tính giá trị của các biểu thức sau( Với x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình x1 ... Theo hệ thức Vi- ét ta có: x1 + x2 = 2m x1.x2 = m (1) (2) Từ (1) (2) x1 +x2-2x1x2 = 2m-2-2m+4 = x1 +x2-2x1x2 = Vậy hệ thức cần tìm là: x1 +x2-2x1x2=2 Vớ d Cho phơng trình x2-2mx+m2- 4=0 Tìm hệ. .. nghiệm phân biệt x1, x2 với m + Theo hệ thức Vi- ét ta có: x1 + x2 = 2m (1) x1.x2 = m (2) Từ (1) (2) x1 +x2+2x1x2=-2m-1+2(m-1) x1 +x2+2x1x2=-3 Vậy hệ thức cần tìm là: x1 +x2+2x1x2=-3 Vớ d... thoả mãn: x1-x2=8 (3) Hng dn Xét phơng trình x2+2x+m+1=0 Phơng trình có nghiệm =(2)2-4(m+1)=-4m m (*) Vậy phơng trình có hai nghiệm x1, x2 + Theo hệ thức Vi- ét ta có : x1 + x2 = (1) (2) x1.x2