Tập đại số trong không gian chiều thấp và Iđêan của chúng

MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG I TÔPÔ ZARISKI Phần Tập Đại Số 1.1 Khái niệm tập đại số 1.2 Một số tính chất tập đại số 1.3 Tôpô Zariski .9 Phần Iđêan 10 CHƯƠNG II IĐÊAN VÀ TẬP ĐẠI SỐ ZARISKI 2.1 Ánh xạ Zariski .12 2.2 Tính chất Iđêan tập đại số .14 2.3 Iđêan 18 2.4 Iđêan nguyên tố 20 2.5 Mối quan hệ Iđêan nguyên tố tập đại số bất khả quy 21 CHƯƠNG III TẬP ĐẠI SỐ TRONG R1, R2, R3 VÀ IĐÊAN CỦA CHÚNG 3.1 Tập đại số R1 iđêan chúng 23 3.2 Tập đại số R2 iđêan chúng 24 3.3 Tập đại số R3 iđêan chúng 26 KẾT LUẬN 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 LỜI MỞ ĐẦU Hình học đại số môn toán học dùng công cụ đại số để nghiên cứu hình học Để làm điều người ta thường dùng phương trình đa thức để mô tả hình hình học quy vấn đề hình học việc nghiên cứu tập nghiệm hệ phương trình đa thức Mỗi tập nghiệm gọi tập đại số Hình học đại số ngành học quan trọng toán học đại, có mối liên hệ chặt chẽ với ngành hình học khác : Hình học afin, hình học Ơclit, hình học xạ ảnh với nghành toán học khác giải tích, tôpô Công cụ hình học đại số đại số giao hoán nên đòi hỏi người học phải nắm vững không kiến thức hình học mà kiến thức đại số giao hoán Iđêan khái niệm quan trọng Đại số có nhiều tính chất quan trọng Hình học đại số Với mong muốn tìm hiểu sâu hình học đại số thông qua việc nhìn nhận, phân tích số yếu tố R1, R2, R3 Iđêan chúng, tác giả chọn đề tài : ‘‘Tập đại số không gian chiều thấp Iđêan chúng’’ Luận văn chia làm chương : Chương : Tôpô Zariski Trong chương tác giả trình bày số kiến thức tập đại số, idean, tôpô Zariski Chương : Iđêan tập đại số Zariski Trong chương tác giả trình bày số tính chất iđêan thể tập Zariski,trình bày chứng minh số bổ đề định lý biểu iđêan tập đại số Chương : Tập đại số R1, R2 ,R3 iđêan chúng Trong chương tác giả mô tả tập đại số R1 ,R2 ,R3 cố gắng tính toán iđêan chúng.Ngoài ra,tác giả cố gắn Hình học đại số với toán phổ thông cách hình toán phổ thông tập đại số Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS-TS Nguyễn Huỳnh Phán, người hướng dẫn khoa học cho tác giả trình làm đề tài Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán - Trường đại học Vinh, nơi tác giả học tập nhiệt tình đóng góp ý kiến quý báu Bên cạnh tác giả xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè, đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn Xin chân thành cảm ơn ! Vinh, tháng 09 năm 2013 Tác giả Chương I - TÔPÔ ZARISKI Trong chương này, trình bày kiến thức hình học đại số : Tập đại số, iđêan, tôpô Zariski Nhiều tính chất chứng minh chi tiết mà tài liệu tham khảo chứng minh sơ lược không chứng minh Phần - TẬP ĐẠI SỐ 1.1.Khái niệm tập đại số 1.1.1 Định nghĩa Cho A vành giao hoán có đơn vị Vành đa thức n biến x , x , , xn A tập A[X] : = A[ x1, x2 , , xn ] Mỗi phần tử f A[X] gọi đa thức, có dạng f = r1,r 2, ,r x r1x r xnrn  n r1r2 rnd với d số tự nhiên r1,r2 , ,rn  A gọi hệ tử Khi A trường ta gọi chúng hệ số Các biểu thức x1r1 x2r2 xnrn gọi đơn thức Bậc đơn thức x1r1 x2r2 xnrn tổng số mũ r1 + r2 +… + rn Bậc f  bậc lớn đơn thức f ký hiệu degf Nếu f = 0, ta quy định degf =  Nếu  f  A, ta nói degf = Khi degf = 1, ta nói f đa thức bậc nhất, có dạng f = a x  a x   an xn  an1 , 11 2 phải có hệ số gắn biến khác không 1.1.2 Định nghĩa tập đại số Cho K trường, tập V  Kn gọi tập đại số nghiệm họ đa thức n biến K X  Ta ký hiệu tập nghiệm đa thức f Z(f) Thế Z  f   a  K n f  a   0 Ví dụ (về tập đại số): Tập rỗng  tập đại số phương trình f = với f  K mà f  vô nghiệm Tập điểm a = (a1, a2,…., an) tập đại số nghiệm hệ n phương trình tuyến tính  x - a = i i  i = 1, 2, , n Các m – phẳng không gian afin Kn tập đại số nghiệm đa thức bậc có phương trình dạng a11x1+a12x2+ +a1nxn+b1=0  a x +a x + +a x +b =0 p1 p2 pn n p Trong n-m  p n ma trận hệ số có hạng n-m Kn tập đại số nghiệm phương trình = Chú ý Khái niệm “Tập đại số” không phụ thuộc việc chọn tọa độ, nghĩa V nghiệm hệ đa thức f(x1, x2,…., xn ) S, với tọa độ  x = ci0 + ci1 y1 + ci y2 + .+ cin yn (y1, y2,…., yn ), ta có  i  i = 1, 2, , n điểm V với tọa độ nghiệm hệ phương trình f(c10 + c11y1+….+ c1nyn,… , cn0 + cn1y1+….+ cnnyn) = 0, f  S K n , f = Như ta có: Nếu deg f = Z(f)     , f  Nếu deg f > Z(f) gọi siêu mặt Nói riêng, deg f = (nghĩa f đa thức bậc nhất) Z(f) siêu phẳng Cho S tập K[X] Ký hiệu Z(S) tập nghiệm tất đa thức S (thường gọi vắn tắt tập nghiệm S), nghĩa Z(S) tập đại số Ta có Z(S) =  Z( f ) f S Chú ý: Tương ứng S  Z(S) cho ánh xạ từ họ tất tập vành đa thức K[X] đến họ tất tập không gian afin Kn Ví dụ 1) Nếu f đa thức biến, tập đại số Z(f) : tập rỗng ; tập hữu hạn toàn K  a, a ; a  K Nó parabol Thật vậy, đặt V: =  a, a  ; a  K  Ta có V  Z(f) 2) f = x2 – y, Z(f) = 2 Ngược lại, giả sử ( a1 , a2 )  Z(f) Nếu a1 = a2 = nên ( a1 , a2 ) = (0, 02)  V Khi a1  0, ta có  a12 a2  a2      : a  a1  a a1  a1    a2 a22  a2    a2  a  a   a  : a  1  Do ta có ( a1 , a2 )  V Từ suy Z(f)  V Vậy ta có V = Z(f) 3) f = x3 – y2 Z(f) =  a , a ; a  K Thật vậy,đặt  V :=  a , a  ; a  K  Chứng minh tương tự trên, ta có V  Z(f) Ngược lại, giả sử ( a1 , a2 )  Z(f) Nếu a1 = a2 = nên ( a1 , a2 ) = (02, 03)  V Khi a1  0, ta có  a13 a22  a2   a1      : a a1 a1  a1     a23 a23  a2   a2  a  a   a  : a  1  Do ta có ( a1 , a2 )  V Từ suy Z(f)  V Vậy ta có V = Z(f) 1.2.Một số tính chất tập đại số 1.2.1 Mệnh đề (về số tính chất đơn giản ánh xạ Z) 1) Nếu S1  S2 Z(S1)  Z(S2) ; 2) Z(0) = Kn; 3) Z(c) =  với  c K; 4) Z(S1)  Z(S2) = Z(S) với S = { fg; f  S1 g  S2 }; 5)  Z(Si) = Z(  Si) Chứng minh 1) Giả sử S1  S2 Khi với a Z(S1), tức a nghiệm S1 Do S1  S2 nên a nghiệm S2 Do a  Z(S2).Vậy Z(S1)  Z(S2) Theo định nghĩa, hiển nhiên ta có 2) 3) 4) Ta có S = { fg; f  S1 g  S2 } nên nghiệm S1 S2 nghiệm S nên Z(S1)  Z(S2)  Z(S) Ta chứng minh Z(S1)  Z(S2)  Z(S) Thật vậy, giả sử a  Z(S), tức a nghiệm S Nếu a không nghiệm S1 tồn f  S1 cho f(a)  Khi g  S2 ta có g(a) = nên a  Z(S2), nghĩa Z(S1)  Z(S2)  Z(S) 5) Cho Si họ tập K[X] Thế a nghiệm tập Si a nghiệm tập  Si Từ ta có điều phải chứng minh 1.2.2 Bổ đề Nếu A miền nguyên deg fg = deg f + deg g Chứng minh Mọi đơn thức fg tích đơn thức f đơn thức g Nếu umax , vmax đơn thức có bậc lớn f g tương ứng với hệ tử khác không c, d, đơn thức có bậc lớn fg tích umax vmax với hệ tử cd Do A miền nguyên nên cd  Do deg fg = deg (umax vmax) = deg umax + deg vmax = deg f + deg g 1.2.3 Bổ đề Nếu A miền nguyền vành đa thức A[X] miền nguyên phần tử khả nghịch A[X] phần tử khả nghịch A Chứng minh Nếu f, g đa thức khác A[X], deg f, deg g  0, nên deg fg  fg  Vậy A[X] miền nguyên Tiếp theo, f g = deg fg = deg f + deg g = 0, f g phần tử khác A Vậy f g phần tử khả nghịch A Cho f đa thức hệ số trường K Coi Kn không gian afin n- chiều Điểm a = ( a , a , , an )  Kn gọi nghiệm f r1,r 2, ,rn a1r1a2r2 anrn =  r1r2 rnd f (a ) = Chú ý rằng, đa thức f xác định ánh xạ f : Kn  K; a  f( a ), gọi ánh xạ đa thức 1.2.4 Bổ đề Nếu trường K vô hạn f(a) = với a  K n  f  Chứng minh Nếu n = 1, đa thức biến khác có hữu hạn nghiệm nên kết hiển nhiên Khi n > 1, giả sử ngược lại, f  Giả thiết f chứa biến xn Viết f dạng f = f0 + xnf1 + xn2f2 + … + xnmfm với f0 , f1 , f2 , … , fm đa thức n – biến đầu fm  Dùng quy nạp, ta giả thiết tồn b = (b1, b2,…., bn-1)  Kn - cho fm (b1, b2,….,bn-1)  Khi f (b, xn) = f0 (b) + xnf1 (b) + xn2 f2 (b) …+ xnm fm(b) Đây đa thức khác không bậc m biến xn, nên có hữu hạn nghiệm Điều mâu thuẫn với giả thiết f(a) = với a  Kn Hệ Nếu trường K vô hạn f (a) = g(a) với a = (a1, a2,., an)  Kn f = g Chứng minh Đặt h = f – g, áp dụng Bổ đề trên, ta nhận kết Chú ý Nếu K trường hữu hạn tính chất không Ví dụ Nếu K = { a1, a2,…., as} f (x) = (x - a1) (x - a2)… (x - as) f triệt tiêu K f  Từ trở đi, ta giả thiết trường K vô hạn 1.2.5.Hệ Họ tất tập đại số Kn lập thành tôpô, gọi tôpô Zariski Mỗi phần tử tôpô (tức tập Z(S)) gọi tập đóng Zariski Chứng minh Ký hiệu Z(Kn) họ tất tập đại số Z(S) Kn Thế họ chứa rỗng, chứa Kn đóng kín với hợp hữu hạn, giao tùy ý nên lập thành tôpô Kn Chú ý Mỗi tập mở tôpô Zariski tập dạng D(S) = Kn \ Z(S) = Kn \  Z( f ) = f S  K n  \ Z(f) f S Ký hiệu D(f) = Kn \ Z(f), họ tất tập mở dạng D(f) lập thành sở tôpô Zariski Kn 1.3 Tôpô Zariski 1.3.1.Định nghĩa Họ TZ = {U | U = Kn \V, V tập đại số} lập thành tôpô không gian afin Kn gọi tôpô Zariski 1.3.2 Mệnh đề.(về số tính chất đơn giản tôpô Zariski) 1) TZ tô pô 2) Các tập mở dạng D(f) = Kn \ Z(f) gọi tập mở Zariski chúng lập thành sở cho tô pô Zariski Thật vậy, tập mở U Kn phần bù tập đại số Z(S) Do Z(S) =  Z(f) nên fS U = Kn \  Z(f) =  (Kn \ Z(f)), suy U = fS fS  D(f) (đpcm) fS 3) Khi K = R, C (trường số thực, trường số phức), tập đại số R n , C n với tôpô thông thường R n , C n tập đóng Z(S) =  f-1(0) fS f-1 ánh xạ ngược ánh xạ đa thức f (liên tục) {0} tập đóng K 4) Hai tập mở (với tôpô Zariski Kn) không rỗng Kn giao nhau; Thật vậy, Với f, g  ta có Z(f)  Z(g) = Z(fg)  Kn Do D(f)  D(g) = (Kn \ Z(f))  (Kn \ Z(g)) = Kn \ (Z(f)  Z(g))   5) Mọi tập mở Zariski không rỗng tập trù mật (đối với tôpô Zariski); 6) Không gian afin Kn với tôpô Zariski không gian Hausdorff Kết luận 5) 6) suy từ 4) Z(S) tập mở khác rỗng tập mở khác rỗng khác giao với nó, lân cận điểm Kn giao khác rỗng với Z(S), nghĩa Z(S) tập trù mật Kn 1.3.3 Mệnh đề Cho S  K[X] T  K[Y] Coi S  T  K[X, Y] Ta có Z(S)  Z(T) = Z(S  T) Chứng minh Ta thấy (a, b)  Kn  Km nghiệm S  T a nghiệm S b nghiệm T nên Z(S)  Z(T) = Z(S  T) Phần IĐÊAN Từ trở đi, ta giả thiết vành giao hoán có đơn vị 2.1 Định nghĩa Tập I vành A gọi iđêan A I   I thỏa mãn điều kiện: i) f+g  I,  f,g  I ii) h.f  I ,  h  A ,  f  I Ví dụ : I = (x) iđêan 2.2 Định nghĩa Cho tập S , S  A Xét (S) : = {g1f1+g2f2+ +grfr /r  N,fi  S,gi  A} (S) iđêan bé chứa S , gọi iđêan sinh tập S 2.3 Định nghĩa Cho V  Kn , ký hiệu Iv : = {f  K[X] / f  V } Ta thấy Iv iđêan K[X], gọi iđêan tập V 2.4 Định nghĩa Bao đóng V không gian tôpô X tập đóng bé chứa V, kí hiệu V 2.4.1.Mệnh đề:Cho V tập tùy ý Kn Khi đó: i) V  Z ( I ) V ii) I V I V Chứng minh i) Để chứng minh V  Z ( IV ) ta chứng minh V  Z ( I ) V  Z ( I ) : V V +) Chứng minh V  Z ( I ) : V Ta có V  Z ( I )  V  Z ( I )  Z ( I ) V V V +) Chứng minh V  Z ( I ) : V 10 1) I + J = x, y I = {xf + y2g | f, g  K[x, y], J = {yh | h  K[x, y]} nên I + J = {xf + y2g + yh | f, g, h  K[x, y]} = {xf + ey | f, e  K[x, y]} 2) IJ = xy, y3 IJ = {(xf + y2g)yh | f, g, h  K[x, y]} = {xyu + y3v | u, v  K[x, y]} = 3)I  J = xy, y3 xy , y Chứng minh Giả sử S tập đa thức K[X] I  S iđêan sinh S Ta chứng minh Z(S) = Z(I), nghĩa tập đại số tập S tập đại số iđêan I Thật vậy: Ta có: S  I nên Z(S)  Z(I) (1) Ta chứng minh Z(S)  Z(I): Lấy phần tử a  Z(S) f(a) = 0, f  S Suy g(a) = với g  I g  h f  h f   hn f n ; hi  K [ X ], fi  S , i  1, 2, , n fi(a) = với i = 1, 2, , n 11 2 Do a  S(I) (2) Vậy từ (1) (2) suy Z(S) = Z(I) (đpcm) 2.2.5 Bổ đề Cho I J hai iđêan tùy ý K[X] Khi đó: 1/ Z(I)  S(J) = Z(I  J) = Z(IJ); 2/ Z(I)  Z(J) = Z(I + J) Chứng minh 1) Đặt S = {fg| f  I, g  J} Ta có S  IJ  I  J  I, J  Z(S)  Z(IJ)  Z(I  J)  Z(I), Z(J)  Z(S)  Z(IJ)  Z(I  J)  Z(I)  Z(J) Mặt khác Z(S) = Z(I)  Z(J) Vậy Z(I)  S(J) = Z(I  J) = Z(IJ) 2) Do I, J  I + J nên Z(I), Z(J)  Z(I + J) Suy Z(I)  Z(J)  Z(I + J) Mà Z(I)  Z(J) = Z(I  J), I  J  I  J  Z(I + J) = Z(I  J) Vậy Z(I + J) = Z(I)  Z(J) 15 2.2.6 Định lí Cho V tập Kn Khi tập IV : {f  K[X] | f(a) = với a  V} iđêan K[X] iđêan lớn có tập nghiệm chứa V; IV gọi iđêan tập điểm V K[X]; V  Z(IV) Khi V = {a} ta viết IV = Ia Chứng minh Để chứng minh IV iđêan ta kiểm tra hai điều kiện sau: i) Với f, g  IV f + g  IV: Thật vậy: Do f, g  IV nên f( a ) = g( a ) = với v a  V, suy (f + g)( a ) = f( a ) + g( a ) = với  a  V Do f + g  IV (đpcm) ii) Với f  IV h  K[X] fh  IV: Vì f  IV nên f( a ) = với  a  V Do (fh)( a ) = f( a )h( a ) = với  a  V Vậy fh  IV Kết luận: IV iđêan K[X] Như vậy, cách xác định tập Z(S) tập IV cảm sinh hai ánh xạ Z I cho sơ đồ sau  K [ X ] Z     I    Kn ; Z : S  Z(S) I : V  IV ; P(X) ký hiệu họ tất tập X Về sau ta thấy, thu hẹp tập đó, Z I song ánh ngược 2.2.7 Ví dụ 1) I = K[X]; 2) I Kn = {0}; 3) Ia = (x1 – a1, x2 – a2,… , xn – an) với a = ( a1, a2, … , an ); 4) Nếu V  K2 tập vô hạn điểm parabol y = x2 IV = (x2 – y) ; 5) Nếu V d- phẳng Kn mà ta giả sử tập hợp có dạng V = {( x1, x2,…., xd , 0, …0)  Kn } IV = (xd+1, xd+2,…., xn) Chứng minh 16 1) Vì tập rỗng thuộc tập nghiệm đa thức; 2) Vì có phương trình = có tập nghiệm Kn 3) Để cho tiện, ta giả sử điểm a gốc tọa độ, a = (0, 0, …., 0) Mọi đa thức f  K[X] viết dạng f = h1x1 + h2x2 +……+ hnxn + b với b  K Nhưng f(0, 0,…,0) = b = 0, tức f có dạng f = h1x1 + h2x2 +……+ hnxn, nghĩa f  (x1, x2 ,…., xn ) Vậy I0 = (x1, x2 ,…., xn ) 4) Ta cần chứng minh IV  (x2 – y) Coi đa thức f  K[x, y] đa thức ẩn y với hệ số K[x] Tương tự thuật toán Euclide ta viết f = h(x2 – y) + g với g  K[x] Do V  Z(x2 – y) = { (a, a2) ; a  K } nên với f  IV f(a, a2) = g(a) = với a thuộc tập vô hạn K nên g đa thức 0, nên f = h(x2 – y), nghĩa f  (x2 – y) 5)Ta viết đa thức K[X] dạng f = hd+1xd+1 + hd+2xd+2 +……+ hnxn + g g  K[x1, x2 ,…., xd] Thế f  IV f(a1, a2 ,…., ad, 0, 0,….,0) = g(a1, a2 ,…., ad) = với a1, a2 ,…., ad  K Điều có nghĩa g = 0, nên f = hd+1xd+1 + hd+2xd+2 +……+ hnxn  (xd+1, xd+2 ,… , xn).(đpcm) Cho I iđêan vành A Ký hiệu   I : = f  A ; f r  I, r  * 2.3 Iđêan 17 2.3.1 Định nghĩa Cho I iđêan, I iđêan I  Nếu I = I I gọi iđêan Chứng minh Lấy f, g  I , nghĩa fr , gs  I = I I Khi r s  r  s  r s i i g  f i 1  i  r s =   f  g Trong cặp số tự nhiên (r + s – i, i) , i = 1, …, r + s có thành phần đầu lớn r, thành phần sau lớn s, fr + s –i gi thuộc I nên (f + g) r+ s thuộc I, nghĩa f + g  I Tiếp theo, với f  A (fh)r = fr hr  I, nghĩa fh  I Cuối ta thấy fg  I 2.3.2.Ví dụ Giải sử I, J iđêan K[X] Khi đó: IJ  I  J  I  J Chứng minh Ta có: IJ  I  J  IJ  IJ (1) I  J  I, I  J  J  IJ  I , IJ  J  IJ  I  J (2) Từ (1) (2) suy IJ  IJ  I  J Ta cần chứng minh IJ  IJ  I  J, cách lấy phần tử tuỳ ý f  I  J  f  I , f  J Khi tồn m, n  * cho fm  I, fn  J Do fmn  IJ, nên f  IJ Suy IJ  I  J Vậy IJ = IJ = I  J 2.3.3 Bổ đề Cho V  Kn, IV iđêan Chứng minh Ta cần chứng minh IV = IV Thật vậy: Ta có IV  IV , ta chứng minh IV  IV Lấy phần tử kỳ f  IV fm  IV với m > Suy ra: fm( a ) = với a  V, m >  f( a ) = với  a  V  f  IV  IV  IV Vậy IV iđêan (đpcm) 2.3.4 Mệnh đề Cho V, W không gian Kn Khi đó: 18 1) Nếu V  W IV  IW; 2) IV  IW = IVW; 3) IV + IW  IVW Chứng minh 1) IW  IV: Lấy phần tử f  IW f(a) = với  a  W  f( a ) = với  a  V V  W  f  IV  IW  IV (đpcm) 2) Để chứng minh IV  IW = IVW ta chứng minh IV  IW  IVW IV  IW  IVW +) IV  IW  IVW Lấy tùy ý f  IV  IW suy fIV f(a)=0,aV   fIW f(b)=0,bIW  f(c) = 0, c  V  W  f  IVW Vậy IV  IW  IVW +) IV  IW  IVW: Ta có: V  V  W W  V  W Do IV  IVW IW  IVW Vậy IV  IW  IVW 3) Chứng minh: IV + IW  IVW Lấy phần tử f  IV + IW f = g + h với g  IV, h  IW  g( a ) = 0, a  V h(b) = 0, b  W  g(c) = h(c) = với c  V  W  f(c) = g(c) + h(c) = với c  V  W  f  IVW Vậy IV + IW  IVW (đpcm) Chú ý tập hợp phần tử lũy linh A Do đó, iđêan A phần tử lũy linh Những vành gọi vành rút gọn Ví dụ, miền nguyên vành rút gọn 2.4 Iđêan nguyên tố 19 2.4.1 Định nghĩa Định nghĩa tập đại số bất khả quy: Tập đại số V  n gọi tập đại số bất khả qui không phân tích thành hợp hai tập đại số nhỏ thực V  V , với V , V tập đại số Nghĩa V  V1  V2   V  V2   Ví dụ: Tập V  a  n , a  a1 , a2, , an , V tập nghiệm của họ n đa thức f1  x1  a1 , f2  x2  a2 , , f n  xn  an Nên V tập đống đại số Hơn nữa, V tập bất khả qui có tập rỗng tập đại số nhỏ Định nghĩa Iđêan nguyên tố : Cho I Iđêan thực vành A I gọi Iđêan nguyên tố có tích f g  I suy f  I g  I 2.4.2.Tính chất Iđêan nguyên tố Mọi Iđêan nguyên tố Iđêan Thật vậy, ta cần chứng minh I  I Nhưng điều hiển nhiên I nguyên tố Dưới ta có tiêu chuẩn để Iđêan nguyên tố 2.4.3 Bổ đề Iđêan I  A Iđêan nguyên tố I không giao Iđêan lớn thực Chứng minh Giả sử I nguyên tố I = J1  J2 J1J2  I Do J1 J2 chứa phần tử không thuộc I, J1  I J2  I Đảo lại, I không nguyên tố, tồn f, g  I mà fg  I Đặt J1 =  I , f  J2 = I, g , rõ ràng I  J1  J2 Lấy h J1  J2 tồ m cho hm(I, f)  (I, g) Từ suy : h2m (I, f)(I, g) = I2 + (f)I + (g) I + (fg)  I h  I Vì I = J1  J2 với j1 J2 thực chứa I Định nghĩa Iđêan thực I A gọi Iđêan cực đại I không bị chứa Iđêan thực khác A 2.4.4 Ví dụ 1) I cực đại (I, f) = A với f  I; 2) Ia = (x1 – a1, x2 – a2,…., xn – an) Iđêan cực đại K[X] 20 Thật vậy, giả sử = (0, 0, …, 0) Khi I a = (x1, x2,…., xn) Với đa thức f  K[X] ta viết f = h1x1 + h2x2 +……+ hnxn + c Nếu f  I c  K số khác không Vì c  (Ia, f) (Ia, f) = K[X] 2.4.5 Nhận xét 1) Nếu I  A I  A I  I nên I iđêan cực đại thi I = I, nghĩa iđêan cực đại iđêan Mặt khác, iđêan cực đại có một iđêan lớn vành A nên giao iđêan lớn Vậy iđêan cực đại phải iđêan nguyên tố 2) Nếu I1  I2  …  Ij  …… dãy tăng iđêan thực hợp I j j iđêan thực Vì vậy, áp dụng Bổ đề Zorn ta nhận được: Mọi iđêan thực nằm iđêan cực đại Do iđêan cực đại nằm iđêan nguyên tố 2.5 Mối quan hệ Iđêan nguyên tố tập đại số bất khả quy Trong mục trình bày chứng minh số bổ đề định lí biểu Iđêan nguyên tố tập đại số bất khả quy 2.5.1 Định lý Tập đại số V bất khả quy IV iđêan nguyên tố Chứng minh Nếu V bất khả quy mà IV không nguyên tố IV = I1  I2 với I1 I2 iđêan thực lớn I Khi V = Z(IV) = Z(I1  I2) = Z(I1)  Z(I2) Vì  Z(I ) V=  , suy  Z(I )  I = I V 1 I = I V  , mâu thuẩn Đảo lại, giả sử V không bất khả quy V = V1  V2 với V1 , V2 tập đại số thực bé V Khi đó, ta có IV1 IV2 iđêan thực lớn IV nên tồn f  IV1 \ IV g IV2 \ IV Khi fg IV1  IV2 = IV nên IV iđêan nguyên tố 2.5.2 Ví dụ 1) I a iđêan cực đại nguyên tố, nên tập điểm a bất khả quy; 2) Kn bất khả quy I K = iđêan nguyên tố n 2.5.3 Mệnh đề Cho f đa thức bất khả quy K[X] Nếu IZ(f) = (f) Z(f) tập bất khả quy 21 Chứng minh Vì f bất khả quy nên (f) iđêan nguyên tố Do Z(IZ(f)) = Z((f)) tập bất khả quy Ví dụ Các đa thức x2 – y x3 – y2 bất khả quy K[x, y] Mặt khác I Z(x -y) = (x - y) I Z(x -y2 ) = (x - y ) nên đường cong (tập đại số) x2 – y = x3 – y2 = bất khả quy 2.5.4 Mệnh đề Cho K trường đóng đại số, I iđêan K[X] Khi đó: a) I = I(V) với V  K n I iđêan b) I = I(V) với (V  K n ) bất khả quy I iđêan nguyên tố Chứng minh a) Điều kiện cần: Giả sử I = I(V) với V  K n  I iđêan Điều kiện đủ: Giả sử I iiđêan Khi I  I  I ( Z ( I )) Hay I = I(V) với V = Z(I) b) Điều kiện cần: Giả sử I = I(V) với (V  K n ) bất khả qui  I iđêan nguyên tố Điều kiện đủ: Giả sử I iđêan nguyên tố Khi I iđêan  I  I  I ( Z ( I )) hay I = I(V) với V = Z(I)  V bất khả qui CHƯƠNG 3-TẬP ĐẠI SỐ TRONG R1, R2, R3 VÀ IĐÊAN CỦA CHÚNG 22 Trong chương mô tả tập đại số R1, R2, R3 cố gắng tính toán iđêan chúng Ngoài ra, cố gắn Hình học đại số với toán phổ thông cách hình toán phổ thông tập đại số 3.1.Tập đại số R1 iđêan chúng Định lý 1:Mọi tập đại số R1 có dạng sau: 1) Tập rỗng  2) Toàn R, 3) Tập hữu hạn Chứng minh: Giả sử A tập nghiệm họ S đa thức biến Khi S gồm đa thức khác không, rõ ràng A tập rỗng Còn S gồm đa thức A = R Và S gồm số đa thức đa thức biến có hữu hạn nghiệm nên tập A luôn tập hữu hạn Mặt khác: 1) Tập rỗng tập đại số phương trình f = với f R1 mà f  vô nghiệm 2) R tập đại số nghiệm phương trình = 3) Giả sử V ={ a1 , a2 , , am } tập hữu hạn V nghiệm đa thức f  x    x1  a1  x2  a2   xm  am  => V tập đại số Vậy tập đại số R1 tập hữu hạn Định lý 2:Nếu V tập đại số R1 iđêan IV dạng sau: Nếu V =  I = R1, Nếu V = R1 I R = {0}, Nếu V = { a } Ia = {f R[x]/ f( a ) = 0} = (x- a )R[x] (là iđêan sinh đa thức x- a ) Nếu V ={ a1 , a2 , , am } IV =  x1  a1  x2  a2   xm  am  R[x] (là iđêan sinh đa thức  x1  a1  x2  a2   xm  am  ) Chứng minh:IV ={f R[x]/ f(v) = 0, v } ={f R[x]/  x1  a1  x2  a2   xm  am  g( x ),g R[x]} =  x1  a1  x2  a2   xm  am  R[x] 3.2.Tập đại số R2 iđêan chúng 23 Định lý: Ánh xạ afin f: R2  R2  a11a12   x1  b1  x  f(x) = Ax + B =    x   b  a a  21 22      ánh xạ đồng phôi tôpô Zariski  a11a12  Ở A =   ma trận vuông cấp không suy biến B = a a  21 22  b1  b   2 ma trận cột Chứng minh: +) f đơn ánh Thật với X = (x1,x2)  Y = (y1,y2) (x1  y1,x2  y2) => f(x)  f(y) Giả sử f(x) = f(y)  AX + B = AY + B  A(X-Y) =  X=Y (Trái với giả thiết) => f đơn ánh +) f toàn ánh Lấy Y(y1,y2)  R2 , tồn X(x1,x2) : X = A-1Y – A-1B  R2 (A  => A-1  0) Khi Y = AX + B => f toàn ánh => f song ánh +) Vì f song ánh, ta có f-1: R2  R2 X  Y = A-1X – A-1B Ta nhận thấy f f-1 liên tục tôpô Zariski Thật vậy, M = Z(S) tập đại số gồm tất nghiệm đa thức hai ẩn gi (x1, x2) S Thế x  a y  a y với tọa độ (y1, y2) ta có:  11 12  x2  a21 y1  a22 y2 Cho nên M lại nghiệm của đa thức hệ tọa độ g i (a11 y1  a12 y2 , a21 y1  a22 y2 );g i  S Khi ngược ảnh f-1(M) tập A tập đại số R2 Tương tự vậy, N tập đại số R2 f(N) tập đại số R2 24 Do f f-1 ánh xạ có tính chất : Ngược ảnh tập đại số Zariski tập đại số Zariski nên liên tục R2 với tôpô Zariski Chú ý: Về sau nêu số ví dụ ánh xạ liên tục R1, R2 với tôpô thông thường (tôpô tự nhiên), không liên tục với tôpô Zariski 3.2.1.Đường thẳng Định lý 1:Mọi đường thẳng d có phương trình a x + by + c = với a , b, c  R a + b2 ≠ đẳng cấu tôpô Zariski với trục Ox:y = Chứng minh: Ta biết có phép biến đổi afin f: R2  R2 x ' x    A     B    y '  y  x, y    x ', y ' ;   x '  a11 x  a12 y  b1   y '  a21 x  a22 y  b2  a11a12  với det    biến đường thẳng d thành trục Ox  a21a22  Theo Định lý trên, phép biến đổi afin đẳng cấu tôpô Zariski, nên d đồng phôi Zariski với trục Ox Định lý 2: Iđêan đường thẳng d R2 đẳng cấu với iđêan sinh y x I d  (y) = yR[x,y]  xR[x, y] Chứng minh: Cho d đường thẳng R2 Theo Định lý trên, d đồng phôi tôpô Zariski với trục Ox đồng phôi Zariski với trục Oy, ba iđêan sau đẳng cấu (trong vành đa thức hai ẩn R[x, y]) Id  IOx  IOy Trục Ox có phương trình y = Nên đa thức hai ẩn f(x, y) triệt tiêu Ox f(x, y) có dạng f(x, y) = y h(x, y) với h(x, y) đa thức hai biến R[x, y] Cho nên IOx = yR[x,y] Tương tự, ta có IOy = xR[x,y] 3.2.2.Parabol Định lý : Mọi Parabol (P) có dạng y2 = a x2 + bx + c với a  đẳng cấu với tôpô Zariski với parabol y2 = x 25 Chứng minh: Ta biết rằng, có phép biến đổi afin biến parabol (P) thành parabol y = x2 Do hai parabol đồng phôi tôpô Zariski với Hệ quả: Iđêan parabol R2 đẳng cấu (trong vành đa thức hai ẩn R[x, y]) với iđêan (x2 – y) R[x, y] sinh bở đa thức x2 – y Chứng minh: Vì parabol (P) đẳng cấu tôpô Zariski với parabol H có phương trình y = x2 Cho nên ta có hai iđêan sau đẳng cấu vành đa thức hai ẩn R[x, y] I(P)  IH Mặt khác IH = (x2 – y) R[x, y], nên ta có điều phải chứng minh 3.2.3 Đường tròn Elip Mệnh đề: Đường tròn (O) Elip (E) đồng phôi tôpô Zariski đồng phôi với đường tròn đơn vị x2 + y2 = Chứng minh: Vì (O), (E) đường tròn đơn vị tương đương afin, nên chúng đồng phôi tôpô Zariski với 3.3.Tập đại số R3 iđêan chúng 3.3.1.Mệnh đề: Ánh xạ afin f: R3  R3  a11a12 a13   x1  b1  x  f(x) = Ax + B =  a21a22 a23   x2   b2   a31a32 a33   x3  b3  ánh xạ đồng phôi tôpô Zariski  a11a12 a13  Ở A =  a21a22 a23  ma trận vuông cấp không suy biến B =  a31a32 a33  b1  b   2 b3  ma trận cột Chứng minh: +) f đơn ánh Thật với X = (x1,x2,x3)  Y = (y1,y2,y3) (x1  y1,x2  y2,x3  y3) => f(x)  f(y) Giả sử f(x) = f(y)  AX + B = AY + B  A(X-Y) =  X=Y (Trái với giả thiết) => f đơn ánh 26 +) f toàn ánh Lấy Y(y1,y2,y3)  R3 , tồn X(x1,x2,x3) : X = A-1Y – A-1B  R3 (A  => A-1  0) Khi Y = AX + B => f toàn ánh => f song ánh +) Vì f song ánh, ta có f-1: R3  R3 X  Y = A-1X – A-1B Ta nhận thấy f f-1 liên tục tôpô Zariski Thật vậy, M = Z(S) tập đại số gồm tất nghiệm đa thức ba ẩn gi (x1, x2,x3) S Thế  x1  a11 y1  a12 y2  a13 y3  với tọa độ (y1, y2,y3) ta có:  x2  a21 y1  a22 y2  a23 y3 x  a y  a y  a y  31 32 33 Cho nên M lại nghiệm của đa thức hệ tọa độ g i (a11 y1  a12 y2  a13 y3 , a21 y1  a22 y2  a23 y3 , a31 y1  a32 y2  a33 y3 );g i  S Khi ngược ảnh f-1(M) tập A tập đại số R3 Tương tự vậy, N tập đại số R3 f(N) tập đại số R3 Do f f-1 ánh xạ có tính chất : Ngược ảnh tập đại số Zariski tập đại số Zariski nên liên tục R3 với tôpô Zariski 2 3.3.2.Mệnh đề :Mặt cầu có dạng  x  a    y  b    z  c   R Elipxôit có dạng x  y  z  đồng phôi tôpô Zariski với mặt cầu đơn vị Chứng minh: Vì Mặt cầu, Elipxôit mặt cầu đơn vị tương đương afin, nên chúng đồng phôi tôpô Zariski với 27 KẾT LUẬN Những kết chủ yếu mà luận văn đạt là: 1.Trình bày lại theo hệ thống để phục vụ cho luận văn Đại số giao hoán Trình bày xếp theo hệ thống kèm với chứng minh chi tiết khái niệm tập đại số, tôpô Zariski, iđêan tập đại số tính chất chúng Các chứng minh cụ thể hóa mà tài liệu tham khảo nêu vắn tắt không chứng minh Mô tả số tập đại số R1, R2, R3 iđêan chúng Nhiều kết chưa đề cập tài liệu tham khảo nên hầu hết chứng minh tự tiến hành 4.Hướng phát triển: Tiếp tục nghiên cứu hình học đại số hình học khác, chẳng hạn Hình học Ơclit, Hình học afin 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Văn Như Cương (2006), Hình học xạ ảnh, NXB Đại Học Sư Phạm Hà Nội [2] Ngô Thúc Lanh (1982), Đại Số, NXB Giáo Dục Hà Nội [3] Nguyễn Huỳnh Phán (2012), Bài giảng - Nhập môn hình học đại số, Viện Nghiên Cứu Và Phát Triển Công Nghệ Mới [4] Hoàng Xuân Sính (2000), Đại Số Đại Cương, NXB Giáo Dục Hà Nội [5] Sách giáo khoa phổ thông: Đại số hình học 10; Đại số giải tích 11, hình học 11; Giải tích 12, hình học 12 NXB giáo dục năm 2008 TIẾNG ANH [6] I.R.Shafarevich(1994), Basic in Algebraric Geometry, Springer [7] Robin Hartshorne (1987), Algebraric Geometry,springer [8] EDWIN H.SPANIER (1966), ALGEBRAIC TOPOLOGY, Mc GRAW-HILL BOOK COMPANY TIẾNG PHÁP [9] Bertrand HAUCHECORNE – Daniel SURATTEAU (1996), Des Mathhématiciens de A Z, Ellipses Paris 29 [...]... CHƯƠNG 3-TẬP ĐẠI SỐ TRONG R1, R2, R3 VÀ IĐÊAN CỦA CHÚNG 22 Trong chương này chúng tôi sẽ mô tả các tập đại số trong R1, R2, R3 và cố gắng tính toán các iđêan của chúng Ngoài ra, chúng tôi sẽ cố gắn Hình học đại số với toán phổ thông bằng cách chỉ ra những hình trong toán phổ thông là tập đại số 3.1 .Tập đại số trong R1 và iđêan của chúng Định lý 1:Mọi tập đại số trong R1 có một trong 3 dạng sau: 1) Tập rỗng... = Z(IV) Chứng minh Do V là tập đại số nên V  V Theo mệnh đề 2.4.1 thì V  Z ( I ) V Từ đó suy ra V = Z(IV) (đpcm) 11 CHƯƠNG II - IĐÊAN VÀ TẬP ĐẠI SỐ ZARISKI Trong chương trình bày một số tính chất của iđêan thể hiện trong tập đại số Zariski, trình bày và chứng minh một số bổ đề và định lý về sự biểu hiện của iđêan trong tập đại số Đây là một trong những nội dung chính của luận văn 2.1.Ánh xạ Zariski... dãy tăng các iđêan thực sự thì hợp I j j cũng là một iđêan thực sự Vì vậy, áp dụng Bổ đề Zorn ta nhận được: Mọi iđêan thực sự đều nằm trong một iđêan cực đại Do đó mọi iđêan cực đại đều nằm trong một iđêan nguyên tố 2.5 Mối quan hệ giữa Iđêan nguyên tố và tập đại số bất khả quy Trong mục này trình bày và chứng minh một số bổ đề và định lí về sự biểu hiện của Iđêan nguyên tố trong tập đại số bất khả... trong A không có phần tử lũy linh Những vành như vậy gọi là vành rút gọn Ví dụ, mọi miền nguyên là vành rút gọn 2.4 Iđêan nguyên tố 19 2.4.1 Định nghĩa Định nghĩa tập đại số bất khả quy: Tập đại số V  n gọi là tập đại số bất khả qui nếu nó không phân tích được thành hợp của hai tập đại số nhỏ hơn thực sự V  V 1 , với V , V là các tập đại số Nghĩa là nếu V  V1  V2   1 2 V  V2   Ví dụ: Tập V... Khi đó ngược ảnh f-1(M) của tập A cũng là một tập đại số trong R3 Tương tự như vậy, nếu N là một tập đại số trong R3 thì f(N) cũng sẽ là một tập đại số trong R3 Do f và f-1 là những ánh xạ có tính chất : Ngược ảnh của tập đại số Zariski là tập đại số Zariski nên nó liên tục trên R3 với tôpô Zariski 2 2 2 3.3.2.Mệnh đề :Mặt cầu có dạng  x  a    y  b    z  c   R 2 và Elipxôit có dạng x 2... nghiệm của đa thức trong S  T  a là nghiệm của đa thức trong S và b là nghiệm của đa thức trong T ) hiển nhiên ) theo định nghĩa 13 2.1.2 Cho một ví dụ về ánh xạ Zariski Lấy n = 1, K = R và xét Z : P(R[x])  R đặt mỗi họ các đa thức 1 ẩn với tập nghiệm của chúng Tập này luôn là một tập hữu hạn trong R Thế thì Z là một ánh xạ Zariski 2.2.Tính chất của iđêan trong tập đại số Trong phần này, chúng. .. phép toán về iđêan và các tính chất của tập đại số liên quan đến chúng 2.2.1 Mệnh đề Cho I, J là các iđêan trong vành V, ta có: 1) I  J : {a  b | a  I , b  J } là iđêan nhỏ nhất chứa I và J; 2) I  J : {f  I và f  J} là một iđêan; 3) Tập IJ : = { h1f1 + h2f2 +……+ hrfr ; h1, h2,…,hr  I và f1 , f2 ,…., fr  J } là iđêan và được gọi là iđêan của tích IxJ; 4) IJ  I  J và nói chung hai iđêan này... khái niệm về tập đại số, tôpô Zariski, iđêan của các tập đại số và các tính chất của chúng Các chứng minh này chúng tôi đã cụ thể hóa mà trong các tài liệu tham khảo nêu vắn tắt hoặc không chứng minh 3 Mô tả được một số tập đại số trong R1, R2, R3 và các iđêan của chúng Nhiều kết quả ở đây chưa được đề cập trong các tài liệu tham khảo nên hầu hết các chứng minh là do chúng tôi tự tiến hành 4.Hướng phát... trình f = 0 với f R1 mà f  0 là vô nghiệm 2) R là tập đại số vì nó là nghiệm của phương trình 0 = 0 3) Giả sử V ={ a1 , a2 , , am } là tập hữu hạn thì V là nghiệm của đa thức f  x    x1  a1  x2  a2   xm  am  => V là tập đại số Vậy mọi tập đại số trong R1 là tập hữu hạn Định lý 2:Nếu V là tập đại số trong R1 thì iđêan IV của nó là một trong các dạng sau: Nếu V =  thì I = R1, Nếu V =... V là tập nghiệm của của họ n đa thức f1  x1  a1 , f2  x2  a2 , , f n  xn  an Nên V là tập đống đại số Hơn nữa, V là tập bất khả qui do nó chỉ có tập rỗng là tập đại số nhỏ hơn Định nghĩa Iđêan nguyên tố : Cho I là một Iđêan thực sự của vành A I được gọi là Iđêan nguyên tố nếu có tích f g  I thì suy ra được f  I hoặc g  I 2.4.2.Tính chất của Iđêan nguyên tố Mọi Iđêan nguyên tố đều là Iđêan ... Zariski,trình bày chứng minh số bổ đề định lý biểu iđêan tập đại số Chương : Tập đại số R1, R2 ,R3 iđêan chúng Trong chương tác giả mô tả tập đại số R1 ,R2 ,R3 cố gắng tính toán iđêan chúng. Ngoài ra,tác... bất khả qui CHƯƠNG 3-TẬP ĐẠI SỐ TRONG R1, R2, R3 VÀ IĐÊAN CỦA CHÚNG 22 Trong chương mô tả tập đại số R1, R2, R3 cố gắng tính toán iđêan chúng Ngoài ra, cố gắn Hình học đại số với toán phổ thông...  S Khi ngược ảnh f-1(M) tập A tập đại số R2 Tương tự vậy, N tập đại số R2 f(N) tập đại số R2 24 Do f f-1 ánh xạ có tính chất : Ngược ảnh tập đại số Zariski tập đại số Zariski nên liên tục R2