Về không gian các bài tập lồi compact trong Rn

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH MAI ANH TUẤN VỀ KHÔNG GIAN CÁC TẬP LỒI COMPACT TRONG ¡ n LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An, 2013 MỤC LỤC Trang LỜI MỞ ĐẦU Bảng ký hiệu Chương KHÔNG GIAN CÁC TẬP LỒI COMPACT TRONG ¡ n 1.1 Khoảng cách điểm tập hợp 1.2 Mêtric Hausdorff 1.3 Tổng Minkowski hai tập hợp tích số với 10 tập hợp 1.4 Tập hợp lồi, tập lồi compact 14 1.5 Phẳng 25 Chương MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI TRÊN KHÔNG GIAN CÁC TẬP LỒI COMPACT TRONG ¡ n 2.1 Phép chiếu mêtric 30 2.2 Phép đẳng cự đồng dạng 33 2.3 Phép đối xứng hóa 37 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 LỜI MỞ ĐẦU “Hình học lồi” hướng quan trọng hình học, nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu Sau kết H.Minkowski (1910) tập lồi hàm lồi thu hút quan tâm nhiều nhà toán học như: C.Caratheodory, W Fench, J.J.Moreau, W.V.Jensen, …… Trên sở tham khảo tài liệu tham khảo có điều kiện nay, tài liệu tham khảo [4], [6], luận văn trình bày số vấn đề không gian tập lồi compact ¡ n , tính chất tập lồi compact ¡ n Các kết có tài liệu tham khảo theo mức độ khác nhau, có nhiều tính chất, định lý, hệ không chứng minh chứng minh sơ lược Nội dung luận văn gồm chương Chương KHÔNG GIAN CÁC TẬP LỒI COMPACT TRONG ¡ n Trong chương trình bày vấn đề cấu trúc không gian tập lồi compact: khoảng cách điểm tập hợp, mêtric Hausdorff, tổng Minkowski hai tập hợp tích số với tập hợp, tập hợp lồi tập lồi compact, phẳng Chương MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI TRÊN KHÔNG GIAN CÁC TẬP LỒI COMPACT TRONG ¡ n Trong chương trình bày số phép biến đổi không gian tập lồi compact: phép chiếu mêtric, phép đẳng cự đồng dạng, phép đối xứng hóa Luận văn hoàn thành phòng Sau đại học Trường Đại học Vinh, hướng dẫn khoa học, tận tình, chu đáo thầy giáo PGS.TS NGƯT Phạm Ngọc Bội Nhân dịp hoàn thành luận văn, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo tổ Hình học Trường Đại học Vinh giảng dạy dẫn tận tình trình học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Toán, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Vinh, Sở giáo dục đào tạo tỉnh An Giang, Phòng giáo dục huyện Chợ Mới tập thể giáo viên Trường THCS Hội An 2, bạn bè gia đình tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn Mặc dù có cố gắng song luận văn tránh khỏi thiếu sót Chúng mong nhận góp ý quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Chúng xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 09 năm 2013 Tác giả BẢNG CÁC KÝ HIỆU diam A: đường kính tập hợp A clA : bao đóng tập hợp A int A: phần tập hợp A convA: bao lồi tập hợp A bdA: biên tập hợp A ∆ ( a, b ) : đoạn thẳng có mút a, b ( A)ε : ε − bao A B ( a, ε ) BX ( a, ε ) : hình cầu đóng tâm a, bán kính ε B n : Hình cầu đơn vị đóng tâm ¡ n Sn-1: mặt cầu đơn vị tâm ¡ n K n : Họ tập hợp khác rỗng, lồi, compact ¡ n K 0n : Họ thể lồi K n C n : Họ tất tập khác rỗng, compact ¡ n pos{x} = {tx | t ≥0} posA= ∪pos{x| x∈ A} E⊥(x): Phẳng ¡ n qua x bù trực giao với phẳng E σE: Phép đối xứng qua siêu phẳng E Vn(A): Thể tích thể lồi A ¡ n affA: tập hợp tất tổ hợp affin điểm thuộc A CHƯƠNG I KHÔNG GIAN CÁC TẬP LỒI COMPACT TRONG ¡ n 1.1 Khoảng cách điểm tập hợp Giả sử ( X , ¤ ) không gian mêtric, tức tập hợp khác rỗng X có mêtric hàm ¤ : X × X → ¡ + thỏa mản điều kiện sau: * ¤ ( x, y ) = x = y ** ¤ ( x, y ) = ¤ ( y, x) *** ¤ ( x, y ) + ¤ ( y , z ) ≥ ¤ ( x , z ) Số ¤ ( x, y ) gọi khoảng cách điểm x y 1.1.1 Định nghĩa Cho tập khác rỗng A X x ∈ X , giả sử ¤ ( x, A) = inf { ¤ ( x, a) | a ∈ A} Số ¤ ( x, A) gọi khoảng cách điểm x tập hợp A 1.1.2 Tính chất Hàm ¤ (., A) : X → ¡ + hàm liên tục Chứng minh Giả sử x = lim xk Bởi bất đẳng thức tam giác mục *** tính chất cận ta có −¤ ( xk , x) + ¤ ( x, A) ≤ ¤ ( xk , A) ≤ ¤ ( xk , x) + ¤ ( x, A) Vậy ¤ ( x, A) = lim ¤ ( xk , A) 1.1.3 Tính chất ¤ ( x, A) = ¤ ( x, clA) Chứng minh Từ A ⊂ clA , mà ¤ ( x, A) ≥ ¤ ( x, clA) Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, cần chứng minh a ∈ clA, ¤ ( x, A) ≤ ¤ ( x, a) (1.1) Nếu a ∈ clA , a = lim ak với dãy (ak ), k ∈ ¥ A Do ¤ ( x, A) ≤ ¤ ( x, ak ) với k Cho k → ∞ , 1.1.2 có (1.1) Từ 1.1.2 1.1.3 ta dễ dàng suy tính chất sau 1.1.4 Tính chất ¤ ( x, A) = ⇔ x ∈ clA 1.1.5 Định nghĩa Cho A ⊂ X ε > , giả sử ( A)ε = { x ∈ X | ¤ ( x, A) ≤ ε } Tập hợp ( A)ε gọi ε − bao A Dễ dàng chứng minh hai tính chất đơn giản sau 1.1.6 Tính chất Cho tập khác δ , ε > 0, A ⊂ B ⇒ ( A)ε ⊂ ( B)ε ( ( A ) δ ) ε ⊂ ( A ) δ +ε rỗng A, B ⊂ X 1.1.7 Tính chất Nếu A compact ( A ) ε = U{ a} ε a∈A 1.1.8 Định nghĩa Tập hợp A ⊂ X gọi bị chặn tập hợp { ¤ ( x, y ) | x, y ∈ A} bị chặn Cận bé gọi đường kính A Ký hiệu diamA 1.2 Mêtric Hausdorff Giả sử C(X) họ gồm tất tập hợp con, đóng, bị chặn, khác rỗng không gian mêtric ( X , ¤ ) , cho A, B ∈ C ( X ) , giả sử ¤ H ( A, B ) = inf { ε > | A ⊂ ( B ) ε , B ⊂ ( A ) ε } (1.2) (tồn cận tập hợp A, B bị chặn ) Chúng ta chứng minh rằng: 1.2.1 Mệnh đề Hàm ¤ H Chứng minh Rõ ràng , ¤ đóng X , 1.1.4 suy : C ( X ) × C ( X ) → R mêtric H ≥ Giả sử A, B ∈ C ( X ) Từ A B I( A) ε >0 ¤ H ε = A,I( B ) ε = B Do ε >0 ( A, B ) = ⇔ ∀ε > 0,( A ⊂ ( B ) ε , B ⊂ ( A) ε ) ⇔ A ⊂ B, B ⊂ A ⇔ A = B Ta chứng minh điều kiện mêtric (xem mục 1.1) thỏa mãn Trước hết, điều kiện * ** thỏa mãn hiển nhiên định nghĩa ¤ H Ta chứng minh ¤ H thỏa mãn *** Giả sử A, B, C ∈ C ( X ) * coi A, B, C đôi khác Giả sử ε = ¤ H ( A, B ) ,δ = ¤ H ( B, C ) Thật dễ thấy tập hợp { ε > | A ⊂ ( B ) ε , B ⊂ ( A ) ε } đóng, từ cận ( A, B ) thuộc B ⊂ ( C ) δ ,C ⊂ ( B) δ ¤ H nó, nghĩa A ⊂ ( B ) ε , B ⊂ ( A ) ε Tương tự 0 Do đó, theo 1.1.6 , A ⊂ ( C ) ε +δ C ⊂ ( A ) ε +δ Vậy ¤ H ( A, C ) ≤ ε + δ = ¤ H ( A, B ) + ¤ H ( B, C ) Mêtric ¤ ( C ( X ) ,¤ ) H H gọi mêtric Hausdorff, giới hạn không gian gọi giới hạn Hausdorff: A = lim H An ⇔ lim ¤ H ( A, An ) = Công thức (1.3) sau thường dùng làm định nghĩa mêtric Hausdorff 1.2.2 Định lý Cho A, B ∈ C ( X ) , ¤ H ( A, B ) = max { sup ¤ ( a, B ) ,sup ¤ ( b, A ) a∈A b∈B } Chứng minh Với hai tập liên thông S1 , S2 ⊂ ¡ (1.3) + với giao khác rỗng inf ( S1 ∩ S2 ) = max { inf S1 ,inf S } Do tính đối xứng A B (1.3), ta cần chứng minh sup ¤ ( a, B ) = inf { ε > | A ⊂ ( B ) ε } a∈A Đặt α = sup ¤ ( a, B ) , β = inf { ε > | A ⊂ ( B ) ε } ¤ ( a, B ) ≤ α với a∈A a∈ A ∃ε ∈ ( 0;α ) , A ⊂ ( B ) ε A ⊂ ( B) α , α ≥ β Giả sử α >β ¤ ( a, B ) ≤ ε < α , trái lại với giá trị α Chứng tỏ không xảy Vậy sup a∈A α > β , nghĩa α=β 10 1.2.3 Định nghĩa Không gian ( X , ¤ tập đóng bị chặn ( X , ¤ ) ) gọi compact hữu hạn tập compact Từ định nghĩa ta suy 1.2.4 Mệnh đề Cho không gian mêtric ( X , ¤ ) , điều kiện sau tương đương với nhau: (i) ( X , ¤ ) compact hữu hạn (ii) Mọi hình cầu đóng ( X , ¤ ) (iii) Mọi dãy bị chặn ( X , ¤ có dãy hội tụ ) compact Một cách rõ ràng không gian compact compact hữu hạn Không gian Rn compact hữu hạn không compact Ví dụ dường cho ta thấy tính đầy đủ kéo theo tính compact hữu hạn Tuy nhiên suy luận sai Ví dụ: Mặt phẳng ¡ : với đường biên mêtric ¤ định nghĩa bởi: :  x − y ,0 ∈ aff ( x, y ) ¤ ( x, y ) =   x + y ,0 ∉ aff ( x, y ) đầy đủ không compact hữu hạn, hình cầu tâm (0,0) không compact Tương tự không gian l nghĩa không gian tất dãy số thực lập thành chuỗi bình phương hội tụ, với mêtric ¤ định nghĩa công thức: ( ( x ) i ∈ N , ( y ) i ∈ ¥ ) =  ∑ ( x − y ) ∞ ¤ i i  i =1 i i 2  ÷  đầy đủ không compact hữu hạn 1.2.5 Bổ đề Nếu không gian ( X , ¤ giảm ( An ) , n ∈ ¥ C(X), ∞ IA n n =1 ) compact hữu hạn cho dãy = lim Η An 33 Giả sử Lk = ak + pos ( xk − ak ) yk ∈ Lk ∩ bdB ( a,α ) cách rõ ràng, ξ A ( yk ) = ak cho k Dãy ( yk ) , k ∈ ¥ có dãy ( yik ) , k ∈ ¥ hội tụ đến điểm y ∈ bdB ( a,α ) Do phép chiếu mêtric liên tục, từ suy ξ A ( y ) = lim ξ A ( yik ) = lim aik = a 2.1.6 Hệ Nếu A tập lồi đóng khác rỗng ¡ n , với a ∈ bdA , tồn siêu phẳng tựa A qua a 2.1.7 Định lý Cho tập đóng khác rỗng A ¡ n , điều kiện sau tương đương với nhau: i) A tập lồi ii) A giao tất nủa không gian giá Chứng minh Phép tất suy (ii) ⇒ (i) rõ ràng ( i ) ⇒ ( ii ) Giả sử ε ( A ) họ tất nửa không gian giá A Rõ ràng, A ⊂ ∩ε ( A ) Giả sử x ∉ A ; theo 2.1.3 siêu phẳng H0 qua điểm a = ξ A ( x ) vuông góc với x – a siêu phẳng giá A Như x không thuộc không gian giá với biên H0, từ x ∉ ∩ε ( A ) 2.1.8 Hệ Cho tập hợp rời A1 , A2 ∈ K n , tồn tập rời đóng nửa không gian E1, E2 cho Ai ⊂ Ei với i = 1, 2.2 Phép đẳng cự phép đồng dạng 2.2.1 Định nghĩa Cho hai không gian mêtric ( X , ¤ ) ( X ,¤ ) ' ' hàm f : X → X ' gọi ánh xạ nhúng đẳng cự nếu: ∀x, y ∈ X , ¤ ' ( f ( x ) , f ( y ) ) = ¤ ( x, y ) (2.3) Ánh xạ nhúng đẳng cự toàn ánh gọi ánh xạ đẳng cự Lớp ánh xạ rộng lớp ánh xạ đẳng cự lớp ánh xạ đồng dạng Toàn ánh f : X → X ' gọi ánh xạ đồng dạng với tỉ số λ > 34 ∀x, y ∈ X , ¤ Hai không gian ( X , ¤ ) ' ( f ( x ) , f ( y ) ) = λ ¤ ( x, y ) ' ' ( X , ¤ ) gọi đẳng cự tồn ánh xạ đẳng cự f : X → X ' 2.2.2 Định lý Mỗi phép nhúng đẳng cự f : ¡ n → ¡ Chứng minh Giả sử X = f ( ¡ n ) Tất nhiên, n phép đẳng cự f : ¡ n → X phép đẳng cự Do ¡ n đầy đủ liên thông nên X tập đóng liên thông ¡ n Rõ ràng X không compact, f phép đồng phôi ¡ n X Với n = Giả sử X ≠ ¡ X nửa đường thẳng đóng với điểm mút a X \ { a} liên thông, ¡ \ f −1 (a ) không liên thông Điều xảy f phép đồng phôi Vậy X = ¡ Bây giả sử n ≥ Từ trường hợp n = 1, nhận thấy ảnh f(L) đường L ⊂ ¡ n đường thẳng Thực giả sử φ : ¡ → L phép đẳng cự ¡ lên L, hàm ψ : ¡ → f ( L ) định nghĩa bởi: ψ ( x ) = f φ ( x ) phép đẳng cự ¡ lên f(L) Với p ∈ X , tập hợp ¡ thẳng qua p: n hợp họ Γ gồm tất đường ¡ n = UΓ ( 2.4 ) −1 −1 −1 n −1 −1 Với L ∈ Γ , f ( X ∩ L ) = f ( X ) ∩ f ( L ) = R ∩ f ( L ) = f ( L ) , suy X ∩ L = L , L ⊂ X Vì ¡ n ⊂ X (2.4) Do X = ¡ n Với hàm f : ¡ n → ¡ n , cảm sinh ánh xạ f * : C n → C n , xác định n * sau: với X ∈ C , f ( X ) = f ( X ) 2.2.3 Định lý Cho f : ¡ n → ¡ đương: n λ > điều kiện sau tương i) f ánh xạ đồng dạng với tỉ số λ không gian ¡ n ii) f* ánh xạ đồng dạng với tỉ số λ không gian Cn (với mêtric Hausdorff) 35 Chứng minh ( i ) ⇒ ( ii ) Giả sử f đồng dạng với tỉ số λ Hiển nhiên, cho x ∈ ¡ n Y ∈ C n , ¤ ( f ( x ) , f ( Y ) ) = λ ¤ ( x,Y ) Do từ Định lý 1.5.2, ¤ H ( f ( A) , f ( B ) ) = max = λ¤ { sup ¤ ( f ( a ) , f ( B ) ) ,sup ¤ ( f ( b ) , f ( A) ) } a∈A H b∈B ( A, B ) −1 Ta phải chứng minh f* toàn ánh Giả sử Y ∈ C n X = f ( Y ) Thì * tất nhiên, f ( X ) = Y X ∈ C n (vì f-1 đồng dạng) ( ii ) ⇒ ( i ) Giả thiết f* đồng dạng với tỉ số λ > ; nghĩa toàn ánh cho A, B ∈ C n , ¤ ( f ( A) , f ( B ) ) = λ¤ ( A, B ) * H * H Do f* đơn ánh Cho A = { a} , B = { b} , f ( a) − f ( b) = ¤ H ( f ( A) , f ( B ) ) = λ¤ ( A, B ) = λ H a −b Ta phải chứng minh f toàn ánh Giả sử y ∈ ¡ n ; { y} = f * ( { x} ) x ∈ ¡ n * f ( { x} ) = { f ( x ) } ; kéo theo y = f(x) Tồn phép nhúng đẳng cự không gian K n vào K n không cảm sinh phép tịnh tiến ¡ n 2.2.4 Ví dụ Giả sử A ∈ K n Ánh xạ X a X + A tương tự phép tịnh tiến ¡ n ; gọi phép tịnh tiến (của K n theo A) Hạn chế ánh xạ K n phép nhúng đẳng cự K n vào K n Thực với δ , X + A ⊂ ( Y + A) + δ B n ⇔ X ⊂ Y + δ B n , Từ ¤ H ( X + A,Y + A ) = ¤ H ( X ,Y ) 36 Tuy nhiên A không tập đơn, phép tịnh tiến A là toàn ánh, phép đẳng cự K n Hơn không cảm sinh phép biến đổi ¡ n , không bảo tồn họ tập gồm điểm 2.2.5 Định lý Cho X họ tập hợp compact khác rỗng ¡ n Nếu F = f * : χ → χ với ánh xạ f : ¡ n → ¡ n F ' : χ → χ ánh xạ bảo tồn tập hợp đơn (tức tập hợp có điểm), bảo tồn quan hệ ' bao hàm, F ( A ) ⊂ F ( A ) với A ∈ χ F ' = F ' Chứng minh Giả sử A ∈ χ Cho x ∈ A tập hợp F ( { x} ) tập đơn; F ' ( { x} ) = { y} với y ∈ F ' ( A ) Khi F ' ( { x} ) ⊂ F ( { x} ) = { f ( x ) } , kéo theo F ' ( { x} ) = { f ( x ) } ' Do giả thiết F ( A ) ⊂ f ( A ) Ta chứng minh f ( A) ⊂ F ' ( A) Giả sử y ∈ f ( A) (2.5) y = f ( x) với x ∈ A, từ ta có F ' ( A ) ⊃ F ' ( { x} ) = { f ( x ) } Điều chứng minh (2.5) 2.3 Phép đối xứng hóa 2.3.1 Một số khái niệm Giả sử H phẳng ¡ n , ký hiệu H⊥(x) phẳng ¡ n , trực giao với H, qua x Khi H siêu phẳng ¡ n H⊥(x) đường thẳng H∩ H⊥(x) tập gồm điểm y, y gọi hình chiếu vuông góc x H, ký hiệu y = πH(x) Gọi x’ điểm mà đoạn thẳng [x, x’] nhận y làm trung điểm Ánh xạ σH: x → x’ gọi phép đối xứng qua H Tập hợp A gọi đối xứng H σH(A) = A 2.3.2 Định nghĩa Một hàm F : K n → K n gọi đối xứng hóa tồn siêu phẳng H cho A ∈ K n tập hợp F(A) đối xứng H: σ H ( F ( A) ) = F ( A) 37 2.3.3 Định nghĩa Giả sử H siêu phẳng ¡ n Cho x ∈ H , giả ⊥ sử Lx = H ( x ) Với A ∈ K n x ∈ π H ( A ) , giả sử ax tâm đối xứng A ∩ Lx Gọi vx = x − ax Ax = A ∩ Lx + vx Ta định nghĩa tập hợp S H ( A ) xác định công thức: S H ( A) = U x∈π H ( A) Ax (2.6) Hàm A a S H ( A ) gọi phép đối xứng hóa Steiner (đối với H) Hình 2.1 mô tả Định nghĩa 2.3.2, trường hợp n =2 (Hình 2.1) Dễ thấy tập Ax đường thẳng tập hợp gồm điểm Tập giá trị hàm SH tập hợp đối xứng qua H Chúng ta chứng minh tính chất tập hợp như: compact, lồi 2.3.4 Mệnh đề S H bảo tồn bao hàm, nghĩa là: A ⊂ B ⇒ SH ( A) ⊂ SH ( B ) 2.3.5 Mệnh đề Điểm cố định SH tập hợp đối xứng H: S H ( A) = A ⇔ σ H ( A) = A 38 Chứng minh Trước hết ta chứng minh mệnh đề: σH(A) = A ⇒ SH(A) = A Để cho gọn ta viết π thay cho πH Nếu H siêu phẳng phép đối xứng A, Ax = A ∩ Lx với x ∈ π ( A ) , từ suy S H ( A) = U x∈π ( A) A ∩ Lx = A ∩ π −1π ( A ) = A, A ⊂ π −1π ( A ) Bây ta chứng minh mệnh đề: SH (A) = A ⇒ σH(A) = A Do S H ( A ) = A , (2.6), U ( A∩ L x∈π ( A ) x + vx ) = U x∈π ( A ) A ∩ Lx Do A ∩ Lx + vx = A ∩ Lx với x ∈ π ( A ) Do vx = 0, nghĩa ax ∈ H với x ∈ π ( A ) Do đó, H siêu phẳng đối xứng A Định nghĩa 2.3.3 kéo theo tính chất: siêu phẳng song song với nhau, ảnh tập hợp cho qua phép đối xứng hóa Steiner tương ứng siêu phẳng ảnh qua tịnh tiến; nội dung mệnh đề sau 2.3.6 Mệnh đề Nếu v ⊥ H H’ = H + v, với A ∈ K n ta có S H ' ( A ) = S H ( A ) + v Cũng từ Định nghĩa 2.3.3, ta suy mối quan hệ ảnh tập A ∈ K n ảnh A + v, v vectơ qua phép đối xứng hóa Steiner, hai trường hợp đặc biệt sau 2.3.7 Mệnh đề i) Nếu v ⊥ H , với A ∈ K n , S H ( A + v ) = S H ( A ) ii) Nếu v || H , với A ∈ K n , S H ( A + v ) = S H ( A ) + v 2.3.8 Định lý n n i) A ∈ K ⇒ S H ( A ) ∈ K n n ii) A ∈ K ⇒ S H ( A ) ∈ K 39 Chứng minh (i) Giả sử A ∈ K n a) Tập hợp A bị chặn, A ⊂ B ( a,α ) a thuộc H α > Như 2.3.4 2.3.5, S H ( A ) ⊂ S H ( B ( a,α ) ) = B ( a,α ) ; SH(A) bị chặn b) Do A đóng ¡ n nên SH(A) đóng Thực vậy, giả sử yi ∈ S H ( A ) với i ∈ N , y = lim yi , xi = π H ( yi ) , x = π H ( y ) , giả sử zi = yi − vxi , với i ∈ ¥ , đặt z = y − vx Rõ ràng zi ∈ A Dễ dàng kiểm tra lim zi = z Vậy z ∈ A A đóng, y ∈ S H ( A ) c) Do A tập lồi nên S H(A) tập lồi Thực vậy, lấy điểm y 1, y2 ∈ S H ( A ) giả sử xi = π H ( yi ) , i = 1, Giả sử ( ) ( ) X = conv A ∩ Lx1 ∪ A ∩ Lx2 , Y = conv Ax1 ∪ Ax2 Các tập hợp X Y hình thang, đáy chúng vuông góc với H Dễ dàng kiểm tra Y = S H ( X ) Từ A tập lồi, kéo theo X ⊂ A Y ⊂ S H ( A ) dựa vào 2.3.4 Do ∆ ( y1 , y2 ) ⊂ S H ( A ) ii) Bởi (i), ta cần chứng minh int A ≠ ∅ ⇒ int S H ( A ) ≠ ∅ Nếu B hình cầu chứa A, 2.3.6 2.3.4, tập hợp S H ( B ) hình cầu chứa S H ( A ) Thể tích bất biến quan trọng phép đối xứng hóa Steiner Ta ký hiệu Vn(A) thể tích thể lồi A R n Khi A đoạn thẳng, V1(A) độ dài A 2.3.9 Định lý Với A ∈ K n , Vn ( S H ( A ) ) = Vn ( A ) Chứng minh Ứng dụng Định lý Fubini, có: Vn ( S H ( A ) ) = ∫ π ( A) V1 ( Ax ) dVn−1 ( x ) = ∫ 40 π ( A) V1 ( A ∩ Lx ) dVn−1 ( x ) =Vn ( A ) Sau tính chất mô tả quan hệ phép đối xứng hóa Steiner phép toán Minkowski 2.3.10 Định lý Nếu ∈ H với λ > , ta có λ S H ( A ) = S H ( λ A ) Chứng minh Từ ∈ H , kéo theo λ H = H λ Lx = Lλ x với x ∈ H Do λ ( Lx ∩ A ) = Lλ x ∩ ( λ A ) , phép vị tự với tỉ số khác song ánh Một phép vị tự biến trung điểm đoạn thẳng thành trung điểm đoạn thẳng ảnh, bảo tồn tính song song; λ Ax = ( λ A ) λ x Sử dụng Định lý Thales ta π H ( λ A ) = λπ H ( A ) ; λ S H ( A) = U x∈π H ( A) λ Ax = U ( λ A) λ x∈π H ( λ A) λx = S H ( λ A) Hình 2.2 mô tả việc chứng minh Định lý 2.3.10 trường hợp n = (Hình 2.2) 2.3.11 Định lý Nếu ∈ H , S H ( A + B ) ⊃ S H ( A) + S H ( B ) Chứng minh Giả sử c ∈ S H ( A ) + S H ( B ) c = a + b a, b a ∈ S H ( A ) , b ∈ S H ( B ) Chúng ta phải chứng minh c ∈ SH ( A + B ) 41 (2.7) ' Chúng ta chiếu vuông góc a, b, c đường L0 = H ⊥ ; giả sử a = π L0 ( a ) , b' = π L0 ( b ) , c ' = π L0 ( c ) Ánh xạ π L0 tuyến tính, nên c ' = a ' + b' Xét vectơ u = a ' − a , v = b' − b , w = c ' − c , giả sử A' = A + u , B ' = B + v Tất nhiên, w = u + v , nên A' + B ' = ( A + B ) + w Trước hết ra: S H ( A' + B ' ) ∩ L0 ⊃ S H ( A' ) ∩ L0 + S H ( B ' ) ∩ L0 (2.8) Lưu ý A' ∩ L0 B ' ∩ L0 đoạn thẳng đường L0; nữa, A' ∩ L0 + B ' ∩ L0 ⊂ ( A' + B ' ) ∩ L0 , L0 không gian tuyến tính Do ( ) V1 ( A' ∩ L0 ) + V1 ( B ' ∩ L0 ) = V1 ( A' ∩ L0 + B ' ∩ L0 ) ≤ V1 ( A' + B ' ) ∩ L0 Vì vậy, từ Định nghĩa 2.3.3, đạt được: ( ) ( ) ( ) V1 S H ( A' ) ∩ L0 + V1 S H ( B ' ) ∩ L0 ≤ V1 S H ( A' + B ' ) ∩ L0 (2.9) Rõ ràng, ba đoạn thẳng nói đến (2.9) chứa L có trung điểm; (2.9) kéo theo (2.8) ' ' Theo 2.3.7(ii), ( S H ( A ) + u ) + ( S H ( B ) + v ) = S H ( A ) + S H ( B ) ' ' S H ( A + B ) + w = S H ( A + B ) , cho nên, (2.8) ta có ( S ( A) + u ) ∩ L + ( S ( B ) + v ) ∩ L H H ⊂ S H ( A + B + w ) ∩ L0 ⊂ S H ( A + B + w ) = S H ( A + B ) + w Do c + w ∈ S H ( A + B ) + w, chứng minh (2.7) Kết sau hệ trực tiếp 2.3.11 2.3.5 2.3.12 Hệ Với ε > A ∈ K n ta có 42 ( S ( A) ) ε ⊂ S ( ( A) ε ) H H Chú ý Hệ 2.3.12 (cũng Định lý 3.2.11) bao hàm thay đẳng thức 2.3.13 Ví dụ Giả sử n = H = { ( x1 , x2 ) | x2 = 0} ; giả sử Cho x = ( 1,0 ) , tập hợp Lx ∩ S H ( ( A ) ε ) đoạn thẳng với độ dài 2ε , Lx ∩ ( S H ( A ) ) ε đoạn thẳng với độ dài 2ε A = ∆ ( ( 0,0 ) , ( 2,2 ) ) ε ≤ Do S H ( ( A ) ε ) ≠ ( S H ( A ) ) ε (Hình 2.3a,b) a) Hình 2.3 2.3.14 Bổ đề Giả sử A ∈ K 0n ,α , β , δ > 0, λ > Nếu α B n ⊂ A ⊂ β B n ,  δ n i) A + δ B ⊂ 1 + ÷A,  α n ii) λ A ⊂ A + ( λ − 1) β B Chứng minh n n n (i) α B ⊂ A ⇒ αδ B ⊂ δ A ⇒ δ B ⊂ (i) δ A Do theo 1.3.6 có α 43 n (ii) A ⊂ β B ⇒ λ A ⊂ A + ( λ − 1) A ⊂ A + ( λ − 1) β B n 2.3.15 Định lý Cho siêu phẳng H Rn, hàm S H | K 0n liên tục Chứng minh Giả sử A, Ak ∈ K 0n cho k ∈ N giả sử A = lim Ak Chúng ta chứng minh S H ( A ) = lim S H ( Ak ) (2.10) Do phép tịnh tiến liên tục với Mêtric Hausdorff, 2.3.6, S H +v ( X ) = S H ( X ) + v với X ∈ K n v ⊥ H , coi 0∈ H Rõ ràng, ∈ int ( A + u ) vectơ đơn vị u Giả sử u = u1 + u2 , u1 || H , u2 ⊥ H Do 2.3.7, S H ( A + u ) = S H ( A + u1 ) = S H ( A ) + u1 Tương tự cho k, S H ( Ak + u ) = S H ( Ak ) + u1; cho ∈ int A Từ A = lim Ak , kéo theo tồn hàm φ : ( 0, ∞ ) → N cho với δ > 0, ∀k > φ ( δ ) , A ⊂ Ak + δ B n Ak ⊂ A + δ B n (2.11) Tập hợp A bị chặn ∈ intA , từ đó, có số α1 , β1 > 0, α1B n ⊂ A ⊂ β1B n (2.12) α α α  Giả sử k1 = φ  ÷,α = , β = + β1 2  2 Do (2.12), α B n ⊂ A ⊂ β B n , (2.13) Từ (2.12) , (2.11) suy với k > k1 , α1B n ⊂ Ak + α1 n B ⊂ A + α1B n ⊂ ( α1 + β1 ) B n ; 44 Do ta có ∀k > k1 ,α B n ⊂ Ak ⊂ β B n  α Bây giả sử ε > k2 = φ  ε  β (2.14)  ÷  Do (2.11), nên  α A ⊂ Ak +  ε  β  n  α B A ⊂ A + k ÷ ε β    n ÷B  Cho k > k2 Do từ (2.13), (2.14) Bổ đề 2.3.14(i), với δ = ε α , β k > max { k1 , k2 } , ta có:  ε A ⊂ 1 +  β   ε A A ⊂ k ÷ k 1 + β    ÷A  Kết hợp 2.3.4(i) 2.3.10, ta thu được:  ε S H ( A) ⊂ 1 +  β   ε ÷S H ( Ak ) S H ( Ak ) ⊂ 1 + β   Cùng với Bổ đề 2.3.14(ii) λ = +  ÷S H ( A)  ε β S H ( A ) ⊂ S H ( Ak ) + ε B n S H ( Ak ) ⊂ S H ( A ) + ε B n với k đủ lớn Do (2.10) chứng minh Ví dụ sau cho thấy Định lý tổng quát hóa Kn, nghĩa hàm S H : K n → K n không liên tục 2.3.16 Ví dụ Ta lấy H = { ( 0, t ) | t ∈ R} ⊂ ¡ Xét dãy đoạn thẳng I k ¡ hội tụ đến đoạn thẳng I:    I k = ∆  ( 0,1) ,  ,0 ÷÷, I = ∆ ( ( 0,1) , ( 0,0 ) )  k   45        Rõ ràng, S H ( I k ) = ∆  ( 0,0 ) ,  ,0 ÷÷, S H ( I ) = ∆   0, − ÷,  0, ÷÷, từ     k    thấy lim S H ( I k ) ≠ S H ( I ) 2.3.17 Định lý Không có phép biến đổi Rn cảm sinh phép đối xứng hóa Steiner S H : K n → K n Chứng minh Theo 2.2.7, để chứng minh Định lý, ta cần tìm hàm F : K n → K n bảo tồn họ tập gồm điểm, bảo tồn bao hàm, thỏa mãn điều kiện sau: ' ∀A ∈ K n , F ' ( A ) ⊂ S H ( A ) ∃A ∈ K n , F ' ( A ) ≠ S H ( A ) Ví dụ đơn giản hàm có tính chất hàm (π H )* KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau: Trình bày số vấn đề lý thuyết tập lồi compact ¡ n 46 Trình bày số vấn đề cấu trúc không gian tập lồi compact ¡ n Trình bày số phép biến đổi không gian tập lồi compact ¡ n Các kết luận văn trình bày rải rác tài liệu tham khảo Tác giả tập hợp vấn đề theo hệ thống phù hợp với chủ đề chọn; chứng minh chi tiết nhiều tính chất, định lý, hệ mà tài liệu tham khảo đưa mà bỏ qua chứng minh, chứng minh vắn tắt nêu dạng tập 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh [1] E M Alfsen (1971), Compact Convex sets and Boundary, Springer – Verlag Berlin – New York [2] G Ewald (1991), Combinatorial convexity and algebraic geometry, Springer [3] P M Gruber (2009), Convex and Discrete Geometry, Springer Berlin [4] M Moszy´nska (2006), Selected Topics in Convex Geometry, Birkhauser-Boston-Basel-Berlin [5] F A Valentine (1964), Convex set, New York, Mc Graw-Hill Book Company, New York San Francisco Toronto London Tiếng Việt [6] Phạm Ngọc Bội (2012), Bài giảng Hình học lồi, giảng Cao học Trường Đại học Vinh [7] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Tôpô đại cương, độ đo tích phân, NXB Giáo dục [8] Đỗ Văn Lưu - Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [...]... lồi là tập lồi nên: convA ⊂ ∩ F0 ( A ) (1.13) Mặt khác với mỗi X ∈ F ( A ) tồn tại tập hợp X 0 ∈ F0 ( A ) chứa trong X Chẳng hạn, X 0 = B ∩ clX , trong đó B là hình cầu chứa A (X 0 compact, từ đó nó là tập con đóng bị chặn của Rn và bởi 1.4.3, 1.4.7 nên nó là tập lồi Do đó convA ⊃ ∩ F0 ( A ) (1.14) 24 Từ (1.13) và (1.14), tập hợp convA là giao của các tập hợp con compact của Rn, từ đó nó là compact. .. Vậy ¤ Η ( tA, tB ) ≤ ε 1.4 Tập hợp lồi, tập lồi compact 1.4.1 Định nghĩa Cho hai điểm x, y, tập hợp các điểm { z = λ x + ( 1 − λ ) y,0 ≤ λ ≤ 1 } được gọi là đoạn thẳng có các mút là x, y, ký hiệu là ∆ ( a, b ) Tập hợp A ⊂ ¡ n được gọi là lồi nếu với mỗi cặp điểm của nó là { a, b} , đoạn thẳng ∆ ( a, b ) là chứa trong A Tập hợp lồi A được gọi là thể lồi nếu nó có điểm trong: intA ≠∅ Sau đây chúng... toàn bộ hệ số trong tổ hợp này là không âm, tổng của i =1 chúng bằng 1, và α m = 0 Như vậy x là một tổ hợp lồi của k – 1 điểm, trái với { } giả định k = min m ∈ N | x ∈ C ( { x1 , , xm } ) , xi ∈ A, i = 1, , m Ta ký hiệu K n là họ gồm tất cả các tập hợp con khác rỗng, lồi, compact n n n của ¡ , K 0 là họ gồm tất cả các thể lồi của K Sau đây là một điều kiện để họ tùy ý các tập lồi, compact có điểm... Hình 1.4 mô tả trường hợp n = 2 n=2 (Hình 1.4) 30 CHƯƠNG II MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI TRÊN KHÔNG GIAN CÁC TẬP LỒI COMPACT TRONG ¡ n 2.1 Phép chiếu mêtric 2.1.1 Định lý Cho mỗi tập hợp con A của ¡ đương: n các điều kiện sau tương i) A là tập lồi đóng khác rỗng trong ¡ n ii) Cho mỗi x ∈ ¡ n ở đó tồn tại điểm gần duy nhất trong A nghĩa là duy nhất a ∈ A với ¤ ( x, a ) = ¤ ( x, A ) Chứng minh ( i ) ⇒ ( ii... điểm trong: intA ≠∅ Sau đây chúng ta chỉ ra rằng phép toán Minkowski bảo tồn tính lồi 1.4.2 Định lý i) Nếu A1 và A2 là tập lồi thì A1 + A2 là tập lồi ii) Nếu A là tập lồi thì bất kỳ t ∈ R , tập hợp tA cũng là tập lồi Chứng minh i) Cho x, y ∈ A1 + A2 Thì x = x1 + x2 , y = y1 + y2 , với xi , yi ∈ Ai , i = 1,2 Từ đó Ai là tập lồi, kéo theo ∆ ( xi , yi ) ⊂ Ai thật vậy ∆ ( x, y ) = { ( 1 − t ) x + ty | t ∈... hạn trong [5]), ta suy ra, họ χ 0 có giao khác rỗng Mặt khác Iχ 0 ⊂ Iχ Vậy Iχ ≠ ∅ 1.4.15 Định nghĩa Cho tập hợp con bất kỳ A của ¡ n , giả sử F ( A ) là họ gồm tất cả các tập hợp lồi chứa A Giao của họ F ( A ) được gọi là bao lồi của A, được kí hiệu là convA 22 convA = ∩ F ( A ) Dễ dàng thấy convA là tập lồi; đó là tập hợp con lồi nhỏ nhất của ¡ A Hình 1.1 mô tả convA, trong đó A là một cung trong. .. bao lồi của tập hợp đóng chưa hẳn là tập đóng 2 2 Ví dụ A = { ( x1 ,0 ) ∈ ¡ | 0 ≤ x1 ≤ 1} ∪ { ( 0, x2 ) ∈ ¡ | x2 ≥ 0} thì convA = { ( x1 , x2 ) ∈ ¡ 2 | 0 ≤ x1 < 1, x2 ≥ 0} ∪ { ( 1,0 ) } , khi đó convA không đóng trong ¡ 2 , mặc dù A là đóng 1.4.21 Định lý A ∈ C n ⇒ convA ∈ C n Chứng minh: Giả sử F(A) là họ tất cả các tập lồi trong ¡ n sử F0 ( A ) = F ( A ) ∩ C n chứa A và giả Do giao của họ các tập lồi. .. rằng trong Mệnh đề 1.4.5 giả thiết tập A lồi không thể bỏ được 1.4.6 Ví dụ Ta ký hiệu Sn-1 là mặt cầu đơn vị tâm 0 trong ¡ n , tức là tập hợp tất cả các điểm trong mà khoảng cách tới 0 bằng 1 Giả sử A = S n−1 thì 0 ∈ A + A , nhưng 0 ∉ 2A , vì 2A là hình cầu với bán kính 2 và tâm 0 Như vậy A + A ⊄ 2 A Chúng ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau 1.4.7 Mệnh đề Bao đóng của bất kỳ tập hợp lồi là tập. .. đóng trong không gian này, từ 1.4.25 chúng ta có kết quả sau 1.4.26 Hệ quả Họ Kn là đóng trên Cn 1.4.27 Định lý Không gian K n là compact hữu hạn Chứng minh Theo Hệ quả 1.4.26 thì họ K n đóng trong C n mà mỗi không gian con đóng của không gian mêtric compact hữu hạn là không gian mêtric compact hữu hạn Vậy ta có điều phải chứng minh 1.4.28 Mệnh đề i) Kn khép kín đối với phép toán Minkowski ii) K 0n... a2 ) là đoạn thẳng với các điểm mút là a1 và a2 Đơn hình ∆ ( a1 , a2 , a3 ) chính là hình tam giác với các đỉnh a1 , a2 , a3 Dễ dàng chứng minh được tính chất sau 1.4.10 Mệnh đề Với mỗi A ≠ ∅ , tập hợp C(A) là lồi Phát biểu sau miêu tả quan hệ giữa tính lồi của tập hợp và tập hợp lồi 1.4.11 Mệnh đề Với mỗi tập hợp con A ≠ ∅ của ¡ tương đương: n các điều kiện sau i) A là tập lồi ii) C(A) = A Chứng ... số với tập hợp, tập hợp lồi tập lồi compact, phẳng Chương MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI TRÊN KHÔNG GIAN CÁC TẬP LỒI COMPACT TRONG ¡ n Trong chương trình bày số phép biến đổi không gian tập lồi compact: ... chương Chương KHÔNG GIAN CÁC TẬP LỒI COMPACT TRONG ¡ n Trong chương trình bày vấn đề cấu trúc không gian tập lồi compact: khoảng cách điểm tập hợp, mêtric Hausdorff, tổng Minkowski hai tập hợp tích... hiệu Chương KHÔNG GIAN CÁC TẬP LỒI COMPACT TRONG ¡ n 1.1 Khoảng cách điểm tập hợp 1.2 Mêtric Hausdorff 1.3 Tổng Minkowski hai tập hợp tích số với 10 tập hợp 1.4 Tập hợp lồi, tập lồi compact 14