Về không gian các bài tập lồi compact trong Rn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH MAI ANH TUẤN VỀ KHÔNG GIAN CÁC TẬP LỒI COMPACT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An, 2013... MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI TRÊN KHÔNG GIAN CÁC TẬP LỒI COM

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

MAI ANH TUẤN

VỀ KHÔNG GIAN CÁC TẬP LỒI COMPACT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An, 2013

Chương 2 MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI TRÊN KHÔNG

GIAN CÁC TẬP LỒI COMPACT TRONG ¡ n

1 “Hình học lồi” là một hướng quan trọng trong hình học, được nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu Sau các kết quả đầu tiên của H.Minkowski (1910) về tập lồi và hàm lồi thì đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học như: C.Caratheodory, W Fench, J.J.Moreau, W.V.Jensen, ……

2 Trên cơ sở tham khảo các tài liệu tham khảo có thể có được trong điều kiện hiện nay, trong đó tài liệu tham khảo chính là [4], [6], luận văn trình bày một số vấn đề về không gian các tập lồi compact trong ¡ , các tính chất n

cơ bản của tập lồi compact trong ¡ Các kết quả này đã có trong tài liệu n

tham khảo theo các mức độ khác nhau, trong đó có nhiều tính chất, định lý, hệ quả không được chứng minh hoặc chỉ được chứng minh sơ lược

3 Nội dung luận văn gồm 2 chương

Chương 1 KHÔNG GIAN CÁC TẬP LỒI COMPACT TRONG ¡ n

Trong chương này chúng tôi trình bày các vấn đề về cấu trúc của không gian các tập lồi compact: khoảng cách giữa điểm và tập hợp, mêtric Hausdorff, tổng Minkowski của hai tập hợp và tích một số với tập hợp, tập hợp lồi và tập lồi compact, phẳng

Chương 2 MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI TRÊN KHÔNG GIAN CÁC TẬP LỒI COMPACT TRONG ¡ Trong chương này chúng tôi trình bày n

một số phép biến đổi trong không gian các tập lồi compact: phép chiếu mêtric, phép đẳng cự và đồng dạng, phép đối xứng hóa

Luận văn được hoàn thành tại phòng Sau đại học Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn khoa học, tận tình, chu đáo của thầy giáo PGS.TS NGƯT Phạm Ngọc Bội Nhân dịp hoàn thành luận văn, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy giáo trong tổ Hình học Trường Đại học Vinh đã giảng dạy và chỉ dẫn tận tình trong quá trình học tập và nghiên cứu Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Toán, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Vinh, Sở giáo dục và đào tạo tỉnh An Giang, Phòng giáo dục huyện Chợ Mới và tập thể giáo viên Trường THCS Hội An 2, các bạn bè

và gia đình đã tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này

5Mặc dù đã có cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!

Vinh, tháng 09 năm 2013

Tác giả

BẢNG CÁC KÝ HIỆU

diam A: đường kính của tập hợp A

clA : bao đóng của tập hợp A.

int A: phần trong của tập hợp A

convA: bao lồi của tập hợp A.

bdA: biêncủa tập hợp A

B : Hình cầu đơn vị đóng tâm 0 trong ¡ n

Sn-1: mặt cầu đơn vị tâm 0 trong ¡ n

posA= ∪pos{x| x∈ A}

E⊥(x): Phẳng của ¡ đi qua x và bù trực giao với phẳng E.n

σE: Phép đối xứng qua siêu phẳng E

Vn(A): Thể tích của thể lồi A trong ¡ n

affA: tập hợp tất cả các tổ hợp affin của các điểm thuộc A.

CHƯƠNG I KHÔNG GIAN CÁC TẬP LỒI COMPACT TRONG ¡ n

1.1 Khoảng cách giữa điểm và tập hợp

Giả sử ( , )X ¤ là không gian mêtric, tức là tập hợp khác rỗng X trên đó có

một mêtric là hàm : X X¤ × →¡ thỏa mản các điều kiện sau:+

* ( , ) 0¤ x y = nếu và chỉ nếu x= y.

** ( , )¤ x y =¤( , )y x

*** ¤ ( , )x y +¤( , )y z ≥¤ ( , )x z .

Số ¤ ( , )x y được gọi là khoảng cách giữa điểm x và y

1.1.1 Định nghĩa Cho tập con khác rỗng A của X và x X∈ , giả sử

Chứng minh Từ A⊂clA , do đó mà ( , )¤ x A ≥¤( ,x clA)

Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, chúng ta cần chứng minh

, ( , ) ( , )

Nếu a clA∈ , khi đó a= lima k với mỗi dãy ( ),a k k ∈¥ trong A.

Do đó ( , )¤ x A ≤¤( , )x a k với bất kỳ k Cho k→ ∞, bởi 1.1.2 chúng ta có được (1.1)

Từ 1.1.2 và 1.1.3 ta dễ dàng suy ra được tính chất sau

1.1.4 Tính chất ¤ ( , ) 0x A = ⇔ ∈x clA

1.1.5 Định nghĩa Cho A⊂ X và ε > 0, giả sử

( )A ε = ∈x X | ( , )¤ x A ≤ε Tập hợp ( )A ε gọi là ε −bao của A.

Dễ dàng chứng minh được hai tính chất đơn giản sau

9Thật dễ thấy là tập hợp {ε >0 | A⊂( )B ε,B⊂( )A ε} là đóng, từ đó cận dưới ¤ H( A B, ) thuộc nó, nghĩa là A⊂( )B ε0,B⊂( )A ε0 Tương tự

inf S ∩S =max inf ,infS S

Do tính đối xứng của A và B trong (1.3), ta chỉ cần chứng minh

1.2.3 Định nghĩa Không gian ( X ¤ được gọi là compact hữu hạn nếu , )

mọi tập con đóng bị chặn của ( X ¤ là tập compact., )

Từ định nghĩa trên ta suy ra

1.2.4 Mệnh đề Cho không gian mêtric ( X ¤ , các điều kiện sau tương , )

đương với nhau:

(i) ( X ¤ compact hữu hạn., )

(ii) Mọi hình cầu đóng trong ( X ¤ compact., )

(iii) Mọi dãy bị chặn trong ( X ¤ đều có dãy con hội tụ., )

Một cách rõ ràng mọi không gian compact là compact hữu hạn Không gian Rn là compact hữu hạn nhưng không compact Ví dụ này dường như cho

ta thấy tính đầy đủ kéo theo tính compact hữu hạn Tuy nhiên suy luận này là sai Ví dụ: Mặt phẳng ¡ với đường biên mêtric 2 ¤ được định nghĩa bởi::

là đầy đủ nhưng không compact hữu hạn

1.2.5 Bổ đề Nếu không gian ( X ¤ là compact hữu hạn thì cho mọi dãy , )

Chứng minh: Giả sử

1

n n

=

=I Theo tính compact hữu hạn của (X ¤, ) ,

theo Định lý Cantor, tập A≠ ∅ Từ A⊂ A n với mọi n, hơn nữa

=

⊂I = từ đó suy ra

0 0

X =X ∩ = ∅A trái với (1.5) Suy ra điều phải chứng minh

1.2.6 Định lý Nếu ( X ¤ compact hữu hạn thì , ) (C X( ),¤ H) đầy đủ Chứng minh Giả sử ( )C n ,n∈¥ là dãy Cauchy trong (C X( ),¤H) thì:

=

Tập A đóng và bị chặn, do đó nó là compact, vì m ( X ¤ là compact hữu , )

hạn Rõ ràng A m+1⊂ A m với mọi m∈¥ Do đó theo Bổ đề 1.2.5, A=limH A m

kết hợp với (1.7) suy ra tồn tại n sao cho 1 n i ( ) , 1

1.2.7 Hệ quả Không gian C là đầy đủ n

1.2.8 Định lý Không gian C là compact hữu hạn n

Chứng minh Sử dụng Định lý Blaschke (xem [7]), thì mỗi dãy bị chặn

trong C đều có dãy con hội tụ Theo Mệnh đề 1.2.4 ta có điều cần chứng n

minh

1.3 Tổng Minkowski của hai tập hợp và tích một số với tập hợp

Từ đây về sau, khi X là không gian ¡ , chúng ta xét tích vô hướng như n

y = y y y ∈¡ ; tích vô hướng của x và

y ký hiệu là x yo , được định nghĩa bởi:

1

n

i i i

x∈¡ , ký hiệu là x , được xác định bởi x ={x xo }12

Góc giữa 2 vectơ x, y khác 0 được định nghĩa là số t: 0 t≤ ≤π sao cho cost x y

13i) Với A, B ⊂¡ , n A B+ ={a b a A b B+ | ∈ , ∈ }

Tập A+B được gọi là tổng Minkowski của Avà B

ii) Với A⊂¡ và t n ∈¡ , tA={ta a A| ∈ }

Tập hợp tA được gọi là tích của A với t.

Dễ dàng chứng minh được hai tính chất đơn giản sau

1.3.2 Tính chất

i) Tập: { }0 (gồm chỉ vectơ 0) là phần tử trung hòa của phép cộng

Minkowski.

ii) Phép cộng có tính chất kết hợp và giao hoán.

iii) Phép nhân với một số phân phối phép cộng.

1.3.3 Tính chất Phép nhân với một số với tập hợp và phép cộng

Minkowski hai tập hợp bảo tồn tính quan hệ bao hàm:

1.3.4 Tính chất Phép toán Minkowski bảo tồn tính compact, nghĩa là

nếu A, B compact và t là một số thì A+B và tA compact.

Chứng minh Giả sử A và B compact Xét dãy {zn}, n = 1,2, tùy ý trong A+B, ta chứng minh {zn}có dãy con hội tụ về điểm của A+B Do zn ∈A+B nên zn = xn+ yn, với xn ∈A, yn ∈B Do A compact nên {xn} có dãy con {xni} hội tụ về x ∈A Tương tự như vậy {yn} có dãy con {yni} hội tụ về y∈B Đặt

zni = xni + yni thì {zni} là dãy con của {zn} Dễ thấy {zni} hội tụ về x+y∈A+B

do đó có điều phải chứng minh

Với t là số đã cho, chứng minh tA compact hoàn toàn tương tự

Ký hiệu C là họ các tập con khác rỗng, compact của n ¡ Do Tính chất n

1.3.4 nên phép cộng là hàm: C n×C n →C n và phép nhân với một số đã cho là hàm: C n →C n

Ký hiệu hình cầu đóng tâm a và bán kínhε là B a( ),ε hoặc B a X ( ),ε :

t A ε =t A+εB = +tA t Bε = tA ε

1.3.7 Định lý

i) Phép toán Minkowski liên tục trên C n×C n

ii) Phép nhân với số không âm liên tục trên C n

Chứng minh

i) Như ta biết, hội tụ trong tích Descartes tương đương hội tụ theo từng

tọa độ, nó không phụ thuộc vào sự lựa chọn mêtric trong tích Descartes Vì thế để chứng minh mệnh đề, ta chỉ cần chứng minh rằng

1.4 Tập hợp lồi, tập lồi compact

1.4.1 Định nghĩa Cho hai điểm x, y, tập hợp các điểm {

Tập hợp lồi A được gọi là thể lồi nếu nó có điểm trong: intA ≠∅

Sau đây chúng ta chỉ ra rằng phép toán Minkowski bảo tồn tính lồi

1.4.2 Định lý

i) Nếu A 1 và A 2 là tập lồi thì A 1 + A 2 là tập lồi.

ii) Nếu A là tập lồi thì bất kỳ t R∈ , tập hợp tA cũng là tập lồi.

Chứng minh

i) Cho x y A, ∈ +1 A2.Thì x x= +1 x y y2, = +1 y2, với ,x y i i∈A i i, =1,2 Từ

đó Ai là tập lồi, kéo theo ∆( x y i, i) ⊂ A i thật vậy

ii) Chứng minh hoàn toàn tương tự.

Sau đây chúng ta đưa ra một vài ví dụ đơn giản về tập lồi

1.4.3 Ví dụ

a) Mọi đoạn thẳng cũng như bất kỳ không gian con affin của k chiều

{0, , }

k∈ n là tập lồi

b) Mỗi hình cầu là tập lồi Theo Tính chất 1.4.2 ta chỉ cần chỉ ra B là n

tập lồi Giả sử ,a b B∈ n nghĩa là a ≤1, b ≤1 Thì

1.4.6 Ví dụ Ta ký hiệu S n-1 là mặt cầu đơn vị tâm 0 trong ¡ , tức là tập n

hợp tất cả các điểm trong mà khoảng cách tới 0 bằng 1 Giả sử A S= n−1 thì

0 A A∈ + , nhưng 0 2A∉ , vì 2A là hình cầu với bán kính 2 và tâm 0 Như vậy

2

A A+ ⊄ A

Chúng ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau

1.4.7 Mệnh đề Bao đóng của bất kỳ tập hợp lồi là tập hợp lồi.

1.4.8 Mệnh đề Cho mỗi tập con đóng X của R n các điều kiện sau tương đương:

Chứng minh Phép kéo theo ( ) ( )i ⇒ ii là rõ ràng

( ) ( )ii ⇒ i : Giả sử a, b ∈X Từ (ii) suy ra tập hợp X I∆( )a b, là trù mật trong ∆( )a b, , suy ra ∆( )a b, ⊂clX =X

Mệnh đề đã được chứng minh đầy đủ

được gọi là tổ hợp lồi của điểm a1, ,a với bộ hệ số k t1, t k

ii) Giả sử t1, ,t thỏa mãn k

1

1

k i i

=

=∑ được gọi là tổ hợp

affin của các điểm a1, ,a với bộ hệ số k t1, ,t k

Cho bất kỳ A⊂¡ , ta sử dụng các ký hiệu sau:n

iii) Hệ điểm {a1, ,a được gọi là độc lập affin nếu không có điểm nào k}

trong chúng là tổ hợp affin của các điểm còn lại

Dễ dàng chứng minh được rằng sự độc lập affin của hệ điểm không phụ thuộc vào thứ tự của chúng

iv) Nếu {a1, ,a độc lập affin, thì tập hợp k} C a( { 1, ,a k} ) được gọi là

đơn hình, và các điểm a1, ,a là các đỉnh của nó Đơn hình A với các đỉnh k

1, , k

a a sẻ được ký hiệu là ∆(a1, ,a k)

Đơn hình ∆(a a1, 2) là đoạn thẳng với các điểm mút là a1 và a2 Đơn hình

(a a a1, ,2 3)

∆ chính là hình tam giác với các đỉnh a a a1, , 2 3

Dễ dàng chứng minh được tính chất sau

1.4.10 Mệnh đề Với mỗi A≠ ∅, tập hợp C(A) là lồi.

Phát biểu sau miêu tả quan hệ giữa tính lồi của tập hợp và tập hợp lồi

1.4.11 Mệnh đề Với mỗi tập hợp con A≠ ∅ của ¡ các điều kiện sau n

tương đương:

i) A là tập lồi.

ii) C(A) = A.

Chứng minh Phép kéo theo (ii)⇒(i) suy ra trực tiếp từ 1.4.10

( ) ( )i ⇒ ii : Chúng ta lưu ý là với mỗi tập hợp A,

( )

Giả thiết cho rằng A là tập lồi, ta sẽ chứng minh rằng bất kỳ k∈¥,

Với k = 1 mệnh đề (1.12) đúng hiển nhiên.

Giả sử k ≥2 Giả thiết rằng (1.12) là đúng với k-1; giả sử

k

t t

t

=

− , i=1, ,k −1 Rõ ràng

1 ' 1

1

k

i i

a) C A B( + ) ⊂C A( ) +C B( ) : Giả sử x C A B∈ ( + ) Do đó x là tổ hợp lồi của các điểm trong A+B, nghĩa là tồn tại bộ số

Tất nhiên chúng ta có thể cho rằng k l= Giả sử

1

k

i i i

=

=∑ , thì

1.4.13 Định lý Giả sử A⊂¡ Với mỗi n. x C A∈ ( ) tồn tại tập hợp con độc lập affin {a1, ,a k} ⊂ A sao cho x∈∆(a1, ,a k)

Chứng minh Giả sử k =min{m∈¥ |x C x∈ ( { 1, ,x m} ),x i∈A i, =1, ,m}.Tồn tại a1, ,a k ∈A sao cho x C a∈ ( { 1, ,a k} ), và tồn tại t1, ,t k∈[ ]0,1 sao

=

=∑

Giả sử tập hợp {a1, ,a là phụ thuộc affin nghĩa là một trong những k}

điểm của nó là tổ hợp affin của các điểm khác Khi đó tồn tại

=∑ toàn bộ hệ số trong tổ hợp này là không âm, tổng của chúng bằng 1, và α =m 0 Như vậy x là một tổ hợp lồi của k – 1 điểm, trái với giả định k =min{m N x C x∈ | ∈ ( { 1, ,x m} ),x i∈A i, =1, ,m}

Ta ký hiệu K là họ gồm tất cả các tập hợp con khác rỗng, lồi, compact n

1.4.14 Định lý Cho χ ⊂ K Nếu với mỗi hệ n A1, ,A n+1∈χ tập hợp

có giao khác rỗng Với mỗi hệ A1, ,A k∈χ, ta có

0

χ ⊂ χ

I I Vậy Iχ ≠ ∅

1.4.15 Định nghĩa Cho tập hợp con bất kỳ A của ¡ , giả sử n F A là họ ( )

gồm tất cả các tập hợp lồi chứa A Giao của họ F A được gọi là bao lồi của ( )

A, được kí hiệu là convA.

( ).

convA= ∩F A

Dễ dàng thấy convA là tập lồi; đó là tập hợp con lồi nhỏ nhất của ¡ chứa n

A Hình 1.1 mô tả convA, trong đó A là một cung trong ¡ 2

1.4.17 Định lý Với mỗi A≠ ∅, convA C A= ( )

Chứng minh Bởi (1.11), A là tập hợp con của C(A) Theo 1.4.10, tập hợp

C(A) là tập lồi, nó kéo theo convA C A⊂ ( )

Phép toán C là tăng theo quan hệ bao hàm, từ đó C A( ) ⊂C convA( ) Do

đó bằng phép tất suy ( ) ( )i ⇒ ii trong 1.4.11, C A( ) ⊂convA, vì convA là lồi.

Từ 1.4.17 chúng ta mô tả đặc điểm sau đây của tập hợp lồi

1.4.18 Hệ quả Tập hợp A của ¡ là lồi khi và chỉ khi n

A = convA.

Phát biểu sau là hệ quả trực tiếp của 1.4.12 được kết hợp với 1.4.17

1.4.19 Hệ quả Với mỗi , A B⊂¡ n,

Từ (1.13) và (1.14), tập hợp convA là giao của các tập hợp con compact

của Rn, từ đó nó là compact

Theo Định lý 1.4.21, hàm conv được coi là hàm của C vào chính nó, hay n

là như hàm từ C vào n K Định lý sau nói rằng conv là ánh xạ từ n C lên n K n

1.4.22 Định lý Hàm conv C: n →K n là song ánh.

Như ta đã biết, một ánh xạ f giữa hai không gian mêtric (X,d), (Y,d’)

được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số k: 0 < k <1 sao cho với mọi cặp x, y

A ⊂ A δ ⇒convA ⊂ convA δ

do đó vế trái của (1.16) chứa vế bên phải Suy ra bao hàm (1.16)

Chúng ta có được hệ quả trực tiếp của 1.4.23 như sau

1.4.24 Hệ quả Hàm conv C: n →K n là liên tục.

Như ta đã biết, một ánh xạ f từ không gian mêtric (X,d) lên tập hợp con Z

của X được gọi là co rút X trên Z nếu:

- f là ánh xạ liên tục từ X lên Z

- Hạn chế của ánh xạ f trên Z là ánh xạ đồng nhất

Theo 1.4.18 và 1.4.24, ta có thể phát biểu các kết quả trên dưới dạng sau:

1.4.25 Hệ quả Hàm conv là co rút của C n trên K n

Vì một co rút của không gian bất kỳ đóng trong không gian này, từ 1.4.25 chúng ta có kết quả sau

1.4.26 Hệ quả Họ K n là đóng trên C n

1.4.27 Định lý Không gian K là compact hữu hạn n

Chứng minh Theo Hệ quả 1.4.26 thì họ K đóng trong n C mà mỗi không n

gian con đóng của không gian mêtric compact hữu hạn là không gian mêtric compact hữu hạn Vậy ta có điều phải chứng minh

1.4.28 Mệnh đề

i) K n khép kín đối với phép toán Minkowski.

ii) K khép kín đối với phép cộng Minkowski; hơn thế, nếu 0n

Phẳng của ¡ là tập hợp có dạng A = x+L, trong đó L là một không gian n

vectơ con của ¡ (xem [2], [6]) Số chiều của L được lấy làm số chiều của A n

Siêu phẳng trong ¡ là phẳng có số chiều là n-1 Hai phẳng A= x+L, B = n

y+K (x và y thuộc ¡ , L và K là các không gian vectơ con của n ¡ ) được gọi n

là bù trực giao (bù vuông góc) nếu L và K bù trực giao với nhau.

Nếu E là nữa không gian đóng trong ¡ và n H = bdE thì cho bất kỳ vectơ

0

v≠ trực giao với H , khi đó hoặc H v+ ⊂intE hoặc (H v+ ∩ = ∅) E

Trong trường hợp thứ hai v được gọi là vectơ pháp tuyến ngoài của E.

1.5.1 Định nghĩa Giả sử A là tập con đóng khác rỗng của ¡ Nửa n không gian đóng E được gọi là nửa không gian tựa của A nếu: A⊂E và

A bdE∩ ≠ ∅ Khi đó siêu phẳng H = bdE được gọi là siêu phẳng tựa của A,

tập hợp A H∩ được gọi là tập hợp tựa của A, mỗi điểm của tập hợp này được gọi là điểm tựa của A và vectơ pháp tuyến ngoài v của nữa không gian

E được gọi là vectơ pháp tuyến ngoài của H.

1.5.2 Định lý Cho mỗi A C∈ n và mỗi v≠0, tồn tại là siêu phẳng tựa duy nhất của A với vectơ pháp tuyến ngoài v.

Chứng minh Giả sử H là họ các siêu phẳng trực giao với v và L là một

đường thẳng có vectơ chỉ phương là v Ta xây dựng ánh xạ :π∧ H→L như sau: với mỗi H∈ H, ảnh của H là x ∈L được xác định như sau x=H∩L Ánh

xạ π∧ cảm sinh ra phép chiếu trực giao πL: ¡ n → L Với mỗi x∈ ¡ , n πL(x) =

π∧ (H), trong đó H là siêu phẳng đi qua x, và thuộc H Dễ thấy πL lá ánh xạ liên tục Do A compact và khác rỗng cho nênπL( )A compact, khác rỗng Giả

sử a∈πL( )A và t0 =sup{t∈¡ |a t v+ ∈ πL( )A } thì rõ ràng π∧−1(a t v+ 0 ) là siêu phẳng tựa duy nhất của A với vectơ pháp tuyến ngoài v

Theo Định lý 1.5.2 chúng ta có thể dùng ký hiệu lần lượt là H A v và ( , ) ( , )

E A v cho siêu phẳng tựa và nửa không gian tựa của tập hợp compact A với

vectơ pháp tuyến ngoài v, và ký hiệu A v cho tập hợp tựa ( ) A H A v∩ ( , ) Hình 1.2 mô tả các tập nói trên với n = 2