CHƯƠNG II MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI TRÊN KHÔNG GIAN CÁC TẬP LỒI COMPACT TRONG ¡n
2.2.Phép đẳng cự và phép đồng dạng
2.2.1. Định nghĩa. Cho hai không gian mêtric ( X,¤ ) và ( X',¤ ') hàm ' '
:
f X → X được gọi là ánh xạ nhúng đẳng cự nếu: ( ) ( ) ( ) ( ) ' , , , , . x y X f x f y x y ∀ ∈ ¤ =¤ (2.3)
Ánh xạ nhúng đẳng cự là toàn ánh được gọi là ánh xạ đẳng cự.
Lớp ánh xạ rộng hơn lớp ánh xạ đẳng cự là lớp ánh xạ đồng dạng. Toàn ánh f X: →X' được gọi là ánh xạ đồng dạng với tỉ số λ >0 nếu
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ' , , , , . x y X f x f y λ x y ∀ ∈ ¤ = ¤
Hai không gian ( X,¤ ) và ( X',¤ ') được gọi là đẳng cự nếu tồn tại ánh xạ đẳng cự f X: → X'.
2.2.2. Định lý. Mỗi phép nhúng đẳng cự f :¡ n →¡ n là phép đẳng cự. Chứng minh. Giả sử X = f ( )¡ n . Tất nhiên, :f ¡ n → X là một phép đẳng cự. Do ¡ n đầy đủ và liên thông nên X là tập con đóng liên thông của
n
¡ . Rõ ràng X không compact, vì f là một phép đồng phôi của ¡ n trên X. Với n = 1. Giả sử X ≠¡ thì X là nửa đường thẳng đóng với điểm mút là a.
{ }
\
X a liên thông, trong khi đó 1
\ f− ( )a
¡ không liên thông. Điều đó không thể xảy ra được vì f là 1 phép đồng phôi. Vậy X =¡ .
Bây giờ giả sử n≥2. Từ trường hợp n = 1, chúng ta nhận thấy rằng ảnh
f(L) của bất kỳ đường L⊂¡ n cũng là một đường thẳng. Thực vậy giả sử
: L
φ ¡ → là phép đẳng cự của ¡ lên L, thì hàm ψ :¡ → f L( ) định nghĩa bởi: ψ ( )x = fφ( )x là phép đẳng cự của ¡ lên f(L).
Với bất kỳ p X∈ , tập hợp ¡ n là hợp của họ Γ gồm tất cả các đường thẳng đi qua p:
n = Γ
¡ U ( 2.4 )
Với mỗi L∈Γ, f−1( X ∩L) = f−1( )X ∩ f−1( )L =Rn∩ f−1( )L = f −1( )L , suy ra X ∩ =L L, do đó L⊂ X . Vì vậy ¡ n ⊂ X bởi (2.4). Do đó X = ¡ n.
Với mỗi hàm :f ¡ n →¡ n, cảm sinh ra ánh xạ f*:Cn →Cn, xác định như sau: với mỗi X C f∈ n, *( )X = f X( ).
2.2.3. Định lý. Cho mỗi f :¡ n →¡ n và λ >0 các điều kiện sau tương đương:
i) f là ánh xạ đồng dạng với tỉ số λ của không gian ¡ n.
ii) f* là ánh xạ đồng dạng với tỉ số λ của không gian Cn (với mêtric Hausdorff).
Chứng minh. ( ) ( )i ⇒ ii
Giả sử f là đồng dạng với tỉ số λ. Hiển nhiên, cho mọi x∈¡ n và Y C∈ n, ( ) ( )
( f x f Y, ) =λ (x Y, ).
¤ ¤ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Do đó từ Định lý 1.5.2,
( ) ( )
( , ) max sup{ ( ( ) ( ), ),sup ( ( ) ( ), )}