Chứng minh. Theo Hệ quả 1.4.26 thì họ Kn đóng trong Cn mà mỗi không gian con đóng của không gian mêtric compact hữu hạn là không gian mêtric compact hữu hạn. Vậy ta có điều phải chứng minh.
1.4.28. Mệnh đề
i) Kn khép kín đối với phép toán Minkowski.
ii) K khép kín đối với phép cộng Minkowski; hơn thế, nếu 0n
1 0n, 2 n
A ∈K A ∈K , thì A1+ ∈A2 K0n.
iii) Phép nhân số bất kỳ khác 0 bảo tồn K0n.
Chứng minh:
i) Bởi 1.3.7 phép toán Minkowski bảo toàn tính compact, và bởi 1.4.2 tính lồi được bảo toàn.
ii) Giả sử A1∈K A0n, 2∈Kn. Bởi (i) ta chỉ cần chỉ ra ( 1 2)
int A +A ≠ ∅ (1.17)
Từ intA1 ≠ ∅, kéo theo int( A1+ ≠ ∅x) với mọi x (vì phép tịnh tiến là phép đồng phôi). Điều này cùng với đẳng thức A1+A2 = ∪{ A1+x x A| ∈ 2} cho ta (1.17).
iii) Cũng do (i) và tính bất biến tôpô của phần trong qua phép vị tự (vì phép vị tự là phép đồng phôi).
Như vậy hệ quả trực tiếp của 1.4.5 và 1.4.28 (ii),(iii) là:
1.4.29. Mệnh đề. ( ) 0
n n
A K∈ ⇒ A ε ∈K .
Phẳng của ¡ n là tập hợp có dạng A = x+L, trong đó L là một không gian vectơ con của ¡ n (xem [2], [6]). Số chiều của L được lấy làm số chiều của A. Siêu phẳng trong ¡ n là phẳng có số chiều là n-1. Hai phẳng A= x+L, B = y+K (x và y thuộc ¡ n, L và K là các không gian vectơ con của ¡ n) được gọi
là bù trực giao (bù vuông góc) nếu L và K bù trực giao với nhau.
Nếu E là nữa không gian đóng trong ¡ n và H = bdE thì cho bất kỳ vectơ 0
v≠ trực giao với H, khi đó hoặc H v+ ⊂intE hoặc (H v+ ∩ = ∅) E . Trong trường hợp thứ hai v được gọi là vectơ pháp tuyến ngoài của E.
1.5.1. Định nghĩa. Giả sử A là tập con đóng khác rỗng của ¡ n. Nửa không gian đóng E được gọi là nửa không gian tựa của A nếu: A⊂E và