Hình học của đa thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN QUANG HUY HÌNH HỌC CỦA ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. Tạ Duy Phượng Hà Nội, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Tạ Duy Phượng, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu trường THCS Phúc Sơn-Chiêm Hóa-Tuyên Quang nơi tôi công tác đã giúp đỡ tôi trong quá trình học và hoàn thành luận văn cao học. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới bố mẹ, đặc biệt là gia đình nhỏ thân yêu, cùng các thành viên trong gia đình, bạn bè đã luôn động viên hỗ trợ, là chỗ dựa tinh thần vững chắc để tôi yên tâm học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 06 năm 2014 Tác giả Nguyễn Quang Huy Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Tạ Duy Phượng, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài Hình học của đa thức được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 06 năm 2014 Tác giả Nguyễn Quang Huy Mục lục Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Định lí Rolle cho đa thức trên trường phức. . . 4 1.1. Định lí Rolle cho đa thức trên trường số thực . . . . 4 1.2. Định lí Gauss-Lucas (Định lí Rolle cho đa thức trên trường số phức) . . . . . . . . . . 6 1.3. Hình học của đa thức. . . . . 11 1.3.1. Tách điểm tới hạn của một đa thức thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2. Xác định vị trí một số điểm tới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Chương 2. Giả thuyết Sendov và giả thuyết Smale . . . . . 20 2.1. Giả thuyết Sendov. . . . . . . . . . 20 2.2. Giả thuyết Smale . . . . . . . 23 2.3. Lớp các đa thức mà cả hai giả thuyết đã được chứng minh 24 2.3.1. Lớp các đa thức bậc thấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.2. Đa thức với tất cả các không điểm là những số thực. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3.3. Đa thức với các hệ số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3.4. Đa thức có các không điểm trên một đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.3.5. Cực trị địa phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.3.6. Các kết quả với kết luận yếu hơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.4. Lớp các đa thức mà một trong hai giả thuyết được chứng minh 58 2.4.1. Đa thức khuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.4.2. Một điều kiện trên bao lồi của các không điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1 2.4.3. Đa thức với các điểm tới hạn thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.4.4. Đa thức có không điểm tại gốc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.5. So sánh hai giả thuyết . . . . . . . . 60 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Là một đề tài nghiên cứu có lịch sử gần hai trăm năm, lí thuyết Giải tích các đa thức trên trường phức luôn được bổ sung thêm nhiều kết quả mới và cơ bản. Một trong những Định lí quan trọng trong lí thuyết giải tích các đa thức là Định lý Gauss-Lucas mở rộng Định lý Rolle trên trường số thực sang trường phức. Định lý Gauss (1836)-Lucas (1874) nói rằng, tất cả các nghiệm của đa thức đạo hàm nằm trong đa giác lồi (bao lồi) chứa tất cả các nghiệm của đa thức. Từ đó, Hình học của đa thức (geometry of polynomials-tên do F. Lucas đặt) nghiên cứu mối quan hệ hình học giữa tập nghiệm của đa thức và tập nghiệm của đạo hàm ra đời và phát triển. Nhiều kết quả mới được tìm ra, nhiều giả thuyết quan trọng được phát biểu. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về mối quan hệ hình học giữa nghiệm của đa thức và nghiệm của đạo hàm nói riêng, lý thuyết giải tích các đa thức trên trường phức nói chung, nhằm bổ sung và nâng cao kiến thức đã học trong chương trình đại học và cao học, đồng thời sử dụng các kiến thức về đa thức trong giảng dạy, tôi chọn đề tài Hình học của đa thức làm luận văn cao học của mình. 1 2 2. Mục đích nghiên cứu Trình bày mối quan hệ hình học giữa nghiệm của đa thức và nghiệm của đạo hàm, phát biểu, trình bày và so sánh các kết quả nghiên cứu Giả thuyết Sendov và Giả thuyết Smale. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lí thuyết giải tích và hình học của đa thức. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu quan hệ hình học giữa nghiệm của đa thức với nghiệm của đạo hàm trên trường phức. Phạm vi nghiên cứu: Các cuốn sách, các bài báo và các tài liệu liên quan đến lí thuyết hình học của đa thức, chủ yếu là cuốn sách [10] và bài báo [14]. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức và công cụ của giải tích, giải tích hàm, giải tích phức, giải tích số, hình học cổ điển và hình học giải tích để tiếp cận và giải quyết vấn đề. Thu thập, nghiên cứu và tổng hợp các tài liệu liên quan, đặc biệt là các bài báo và các sách mới về vấn đề mà luận văn đề cập tới. 3 6. Đóng góp của luận văn Xây dựng luận văn thành một tài liệu tổng quan và tham khảo tốt cho sinh viên và học viên cao học về hình học của đa thức. Chương 1 Định lí Rolle cho đa thức trên trường phức Trong chương này, phần đầu chúng tôi trình bày về Định lí Rolle cho đa thức trên trường số thực, phần tiếp theo chúng tôi trình bày mở rộng của định lí Rolle sang trường số phức. Mục tiếp theo trình bày tính chất hình học của đa thức thông qua việc nghiên cứu mối liên hệ giữa các không điểm và các điểm tới hạn của đa thức. 1.1. Định lí Rolle cho đa thức trên trường số thực Định lí 1.1. (Định lí Rolle (1691)) Giả sử f : R −→ R là một hàm khả vi trên đoạn [a, b] ⊂ R, nhận các giá trị thực và có tính chất f(a) = f(b). Khi ấy tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f  (c) = 0. Cho đa thức P (x) = a 0 x n + + a n . Nếu P (x) = 0 thì ta nói x là nghiệm của đa thức P (x). Nếu P  (x 0 ) = 0, thì ta nói x 0 là điểm tới hạn của P (x). Từ định lí Rolle ta có hệ quả sau. Hệ quả 1.1. Giả sử đa thức P (x) = a 0 x n + a 1 x n−1 + + a n−1 x + a n 4 5 với các hệ số a i , i = 0, 1, . . . , n, a 0 = 0, là các số thực, có tất cả m ≥ 2 nghiệm thực phân biệt x 1 < x 2 < ··· < x m . Khi ấy P  (x) có không ít hơn m − 1 nghiệm thực u 1 < u 2 < ··· < u m−1 sao cho x 1 ≤ u 1 ≤ x 2 ≤ u 2 ≤ x 3 ≤ u 3 ≤ ··· ≤ x m . Nhận xét 1.1. Với hai không điểm liên tiếp x i , x i+1 của đa thức luôn tồn tại một điểm tới hạn ζ i là nghiệm của đạo hàm của đa thức sao cho min{|ζ i − x i |, |x i+1 − ζ i |} ≤ |x i+1 − x i | 2 . Như vậy khoảng cách từ điểm nghiệm của đạo hàm tới hai điểm nghiệm gần nó nhất của đa thức không vượt quá một nửa khoảng cách giữa các điểm ấy. Nhận xét 1.2. Ta thấy rằng, điều kiện m ≥ 2 không được thỏa mãn thì khẳng định của hệ quả không còn đúng. Thật vậy, xét đa thức P(x) = x 3 + 3x + 4, đa thức này chỉ có một nghiệm thực x = −1, tuy nhiên đa thức đạo hàm P  (x) = 3x 2 + 3 không có nghiệm thực nào. Nhận xét 1.3. Ta thấy rằng, có thể xảy ra trường hợp đa thức đạo hàm P  (x) có nhiều hơn một nghiệm trong khoảng hai không điểm của P (x). Chẳng hạn, với đa thức P(x) = (x 2 − 3)(x 2 + x + 1), ta thấy đa thức này chỉ có hai nghiệm thực là x 1,2 = ± √ 3. Đa thức đạo hàm P  (x) = 2x(x 2 + x + 1) + (2x + 1)(x 2 − 3) = (x + 1)(x − 1)(4x + 3) có 3 nghiệm thực x 1 = −1, x 2 = 1, x 3 = − 3 4 đều nằm trong khoảng hai nghiệm (− √ 3, √ 3) của đa thức P (x). [...]... 1.3 của Định lí Gauss-Lucas ta có hệ quả đơn giản sau đây 11 Hệ quả 1.5 Nếu tất cả các nghiệm của đa thức P (z) nằm trong hình ¯ tròn đóng D (0, r) = {z: |z| ≤ r} và z1 là một nghiệm của P (z), thì hình tròn tâm z1 bán kính 2r chứa tất cả các nghiệm của P (z) Thật vậy, vì mọi nghiệm của đa thức và mọi nghiệm của đa thức đạo hàm đều nằm trong đĩa bán kính r Do đó khoảng cách giữa một nghiệm của đa thức. .. cả các nghiệm của đạo hàm không vượt quá đường kính của đường tròn, tức là không vượt quá 2r 1.3 Hình học của đa thức Mục này trình bày các nghiên cứu của Jensen, Walsh, Grace-Heawood và một số giả thuyết về đánh giá số nghiệm của đạo hàm theo số nghiệm của đa thức trong một miền cho trước 1.3.1 Tách điểm tới hạn của một đa thức thực Định nghĩa 1.1 (Đường tròn Jensen) Cho P (z) là đa thức thực và zj... của một đa thức P (z) khi đã biết vị trí của tất cả các nghiệm của P (z) Tuy nhiên, Định lí Rolle còn có tính chất địa phương, chỉ cần biết hai nghiệm của đa thức là biết được một nghiệm của đa thức đạo hàm (nằm giữa chúng) Vì vậy, trong phần này, chúng ta sẽ xét bài toán, xác định vị trí một số điểm tới hạn của P (z) khi đã biết chính xác một số nghiệm của đa thức đó Bài toán Biết hai nghiệm của đa. .. chứng minh 9 Hệ quả 1.2 Đa giác lồi trong mặt phẳng phức chứa tất cả các nghiệm của đa thức P (z) thì cũng chứa tất cả các nghiệm của P (z) Từ đó ta có được hệ quả dưới đây yếu hơn nhưng tiện dùng hơn Hệ quả 1.3 Một đường tròn C chứa tất cả các nghiệm của đa thức P (z), cũng chứa tất cả nghiệm của đa thức P (z) Chứng minh Giả sử K là bao lồi của tất cả các không điểm của đa thức P (z) Khi đó K nằm... nghiệm của đa thức P (z) thì tồn tại một nghiệm ζ của đa thức đạo hàm P (z) nằm trong đĩa đóng tâm z1 , bán kính r, tức là ¯ ζ ∈ D (z1 , r) = {z ∈ C : |z − z1 | ≤ r} Giả thuyết Sendov nói rằng: Giao (miền thấu kính) của hình tròn đóng D(0, r) tâm ở gốc tọa độ và hình tròn đóng D(z1 , r) tâm ở điểm nghiệm z1 của đa thức phải chứa ít nhất một điểm là nghiệm của đạo hàm (z1 ≡ r trong Hình 2.1) 22 Hình. .. |z| ≤ r} bán kính r và z1 là một nghiệm của P (z) thì hình tròn tâm z1 bán kính 2r chứa tất cả các nghiệm của đa thức đạo hàm P (z) Câu hỏi đặt ra là: Đánh giá khoảng cách giữa nghiệm của đa thức với hệ số phức và nghiệm của đa thức đạo hàm? Giả thuyết Sendov dưới đây trả lời một phần câu hỏi này 20 21 Giả thuyết 1 (Giả thuyết Sendov) Giả sử mọi nghiệm của đa thức Pn (z) = a0 z n + a1 z n−1 + · · ·... sau Định lí 1.6 (Định lí về hai đường tròn của Walsh,[10]tr.89) Nếu đa thức P1 (z) bậc n1 có n1 nghiệm nằm trong hình tròn đóng D1 với tâm c1 bán kính r1 và đa thức P2 (z) bậc n2 có n2 nghiệm nằm trong hình tròn đóng D2 với tâm c2 bán kính r2 , thì mọi nghiệm của đa thức đạo hàm của tích P (z) = P1 (z)P2 (z) không nằm trong hình tròn D1 , D2 phải nằm trong hình tròn D3 với tâm c3 bán kính r3 , trong... biến, có thể coi tất cả các nghiệm của đa thức Pn (z) nằm trong hình tròn bán kính r = 1 Khi ấy giả thuyết Sendov có thể phát biểu lại như sau Giả thuyết 2 (Giả thuyết Sendov) Giả sử mọi nghiệm của đa thức Pn (z) = a0 z n + a1 z n−1 + · · · + an nằm trong đĩa đóng D (0, 1) = {z ∈ C : |z| ≤ 1} Khi ấy nếu z1 là một nghiệm của đa thức P (z) thì tồn tại một nghiệm ζ của đa thức đạo hàm P (z) nằm trong đĩa... (Alecxander-Kakeya-Szeg¨,[10]tr.109) Nếu hình tròn |z| ≤ o R chứa hai nghiệm của đa thức P (z) bậc n thì hình tròn đồng tâm π |z| ≤ Rcsc( ) chứa ít nhất một điểm tới hạn của P (z) n Dấu đẳng thức xảy ra với đa thức 18 z n−1 π n iπ P (z) = u + ie n csc du 1 Đa thức này có hai nghiệm z1 = 1 và z2 = −e 2iπ n trên đường tròn đơn vị và đạo hàm π n iπ P (z) = z + ie n csc n−1 của nó có một nghiệm duy nhất iπ z... của đạo hàm đến nghiệm của đa thức được mở rộng như thế nào? Định lí Gauss-Lucas dưới đây về phân bố các nghiệm của đa thức và nghiệm của đạo hàm trên mặt phẳng phức sẽ trả lời câu hỏi trên Đây là cơ sở để nghiên cứu giả thuyết Sendov sau này 1.2 Định lí Gauss-Lucas (Định lí Rolle cho đa thức trên trường số phức) Định lí 1.2 (Gauss, 1836-Lucas, 1874, [10]tr.22) Tất cả các nghiệm của đạo hàm P (z) của . các kiến thức về đa thức trong giảng dạy, tôi chọn đề tài Hình học của đa thức làm luận văn cao học của mình. 1 2 2. Mục đích nghiên cứu Trình bày mối quan hệ hình học giữa nghiệm của đa thức và. của đa thức đạo hàm nằm trong đa giác lồi (bao lồi) chứa tất cả các nghiệm của đa thức. Từ đó, Hình học của đa thức (geometry of polynomials-tên do F. Lucas đặt) nghiên cứu mối quan hệ hình học. quan hệ hình học giữa nghiệm của đa thức với nghiệm của đạo hàm trên trường phức. Phạm vi nghiên cứu: Các cuốn sách, các bài báo và các tài liệu liên quan đến lí thuyết hình học của đa thức, chủ