Từ Định lí Gauss-Lucas ở Chương 1 ta thấy rằng: Nếu tất cả các nghiệm của đa thức P(z) nằm trong hình tròn đóng
¯
D(0, r) = {z ∈ C: |z| ≤ r}.
bán kính r và z1 là một nghiệm của P(z) thì hình tròn tâm z1 bán kính
2r chứa tất cả các nghiệm của đa thức đạo hàm P0(z).
Câu hỏi đặt ra là: Đánh giá khoảng cách giữa nghiệm của đa thức với hệ số phức và nghiệm của đa thức đạo hàm?. Giả thuyết Sendov dưới đây trả lời một phần câu hỏi này.
Giả thuyết 1. (Giả thuyết Sendov) Giả sử mọi nghiệm của đa thức
Pn(z) = a0zn+a1zn−1 +· · ·+an
nằm trong đĩa đóng
¯
D(0, r) = {z ∈ C: |z| ≤ r}.
Khi ấy nếu z1 là một nghiệm của đa thức P(z) thì tồn tại một nghiệm ζ
của đa thức đạo hàm P0(z) nằm trong đĩa đóng tâm z1, bán kính r, tức là
ζ ∈ D¯ (z1, r) ={z ∈ C :|z −z1| ≤ r}.
Giả thuyết Sendov nói rằng: Giao (miền thấu kính) của hình tròn đóng D(0, r) tâm ở gốc tọa độ và hình tròn đóng D(z1, r) tâm ở điểm nghiệm z1 của đa thức phải chứa ít nhất một điểm là nghiệm của đạo hàm (z1 ≡ r trong Hình 2.1).
Hình 2.1:
Bằng phép đổi biến, có thể coi tất cả các nghiệm của đa thức Pn(z)
nằm trong hình tròn bán kính r = 1. Khi ấy giả thuyết Sendov có thể phát biểu lại như sau.
Giả thuyết 2. (Giả thuyết Sendov) Giả sử mọi nghiệm của đa thức
Pn(z) = a0zn+a1zn−1 +· · ·+an
nằm trong đĩa đóng D(0,1) = {z ∈ C: |z| ≤ 1}. Khi ấy nếu z1 là một nghiệm của đa thức P(z) thì tồn tại một nghiệm ζ của đa thức đạo hàm
P0(z) nằm trong đĩa đóng tâm z1, bán kính 1, tức là
ζ ∈ D(z1,1) = {z ∈ C:|z −z1| ≤ 1}.
Nhận xét 2.1. Ta thấy rằng, đa thức P(z) = zn−1 có tất cả n nghiệm nằm trên đường tròn đơn vị, và đa thức P0(z) = nzn−1 có duy nhất một nghiệm z = 0 bội n−1, tức là khoảng cách từ một điểm nghiệm bất kì của đa thức đến một điểm nghiệm bất kì của đạo hàm đều bằng 1. Vì
vậy không thể thay bán kính r = 1 bởi số bé hơn.
Chi tiết về lịch sử hình thành và các nghiên cứu đã được trình bày trong [2, 3].