a) Giả thuyết Sendov
Với một đa thức chỉ có các không điểm thực, việc tách các điểm tới hạn có thể được mô tả nhờ định lí Rolle.
Định lí 2.4. ([14]tr.358) Cho P(z) =
n Q ν=1
(z−zν) là một đa thức có bậc
n ≥ 2 với tất cả các không điểm là những số thực được sắp thứ tự như sau
−1 ≤ x1 ≤ · · · ≤xn ≤ 1.
Khi đó, mỗi một trong các đoạn
[x1, x1 + 2
n], [xn− 2
n, xn]
và
chứa một điểm tới hạn của P. Hơn nữa, nếu x1 và xn là các không điểm đơn, thì mỗi một trong các đoạn đó chứa một điểm tới hạn trong phần trong của nó.
Chứng minh. Ta giả sửP có tất cả các không điểm thực trong đoạn đóng
[−1,1], P(1) = 0 và P có ít nhất một không điểm nhỏ hơn 1. Giả sử các nghiệm của P thỏa mãn ζ1 = ζ2 = · · · = ζm−1 < zm ≤ · · · ≤ζn = 1. Khi
min
k {|ζj −wk|} ≤ 1
trong đó wk là các không điểm của đạo hàm P0(z). Bây giờ, nếu ζj là một không điểm nằm trong [ζm,1) khi đó P(z) mỗi bên của ζj đều có một không điểm của P, theo định lí Rolle ta có
min
k {|ζj −wk|} ≤ 1.
Nếu z1 = −1 khi đó
min
k {|ζ1 −wk|} ≤ 1.
Nếu −1< ζ1 thì Q(z) = P(ζ +ζ1+ 1) có nghiệm ζj0 = ζj−(ζ1+ 1) trong đó −1 = ζ10 ≤ · · · ≤ ζn0 hay
min
k {|ζ1 −wk|} = min
k {|ζ10 −wk|} ≤ 1.
Như vậy ta có điều phải chứng minh. b) Giả thuyết Smale
Bây giờ ta quay lại giả thuyết Smale, giả thuyết này vẫn đúng khi tất cả các không điểm của đa thức là thực nhờ định lí dưới đây.
Định lí 2.5. ([14]tr.358) Cho P là một đa thức bậc n sao cho P(0) = 0
và P0(0) 6= 0. Giả sử rằng các không điểm của P tất cả là thực. Khi đó
min i P(ζi) ζiP0(0) : P0(ζi) = 0 ≤ n−1 n .
Chứng minh. Ta biết rằng mọi đa thức đều có thể chuẩn hóa để được
P(0) = 0, P0(0) = n
(n−1). Các giá trị Si không thay đổi khi ta thực
hiện chuẩn hóa. Ta gọi qi,1 ≤ i ≤ n−1, kí hiệu là các điểm bất động khác không của đa thức chuẩn hóa P(0) = 0, P0(0) = n
(n−1), ở đây
các qi có thể rời nhau. Tích của các qi là bằng với tích của ζi và bằng
1/(d−1). Do đó, với bất kì tương ứng 1-1 giữa qi và ζi, với i nào đó,
|qi| ≤ |ζi|. (2.37)
Bây giờ, giả sử trái lại kết luận của định lí là sai, khi đó với mỗi điểm tới hạn ζi ta có
|P(ζi)| > |ζi|.
Điều này kéo theo các điểm bất động của P là thực và các điểm bất động và các điểm tới hạn đan xen nhau dọc theo trục thực. Vì 0 là một điểm bất động của P, ta thấy rằng tích của |qi| lớn hơn thực sự tích của
|ζi|. Điều này mâu thuẫn với (2.37). Định lí được chứng minh.