Ta tổng hợp các kết quả về hai giả thuyết Sendov và Smale qua các định lí sau.
Định lí 2.18. Cho P(z) =
n Q ν=1
(z−zν) là một đa thức có tất cả các không điểm của nó trong một đĩa đơn vị đóng. Giả sử 2≤ n≤ 8. Khi đó, mỗi đĩa trong các đĩa mở D(z1,1), . . . ,D(zn,1) chứa một điểm tới hạn của
P trừ khi P(z) = zn−c với |c| = 1. Định lí 2.19. Cho P(z) = n Q ν=1 (z−zν) là một đa thức có tất cả các không điểm của nó trong một đĩa đơn vị đóng. Giả sử 2 ≤ n ≤ 5. Khi đó, với mỗi ν ∈ {1, . . . , n}, đĩa mở D(zν/2,1− |zν|/2) chứa một điểm tới hạn của P trừ khi tất cả các điểm tới hạn nằm trên biên của nó.
Với giả thuyết Smale, ta phải xét một đa thức P sao cho P(0) = 0 và
P0(0) 6= 0 và phải chứng tỏ rằng một trong các thương
P(ζ)
ζP0(0) (P
0(ζ) 6= 0) (2.40) nằm trong một đĩa có bán kính (n− 1)/n và tâm tại gốc. Với n = 2,
chỉ có một thương trong (2.40) và thương đó có giá trị là 1
2. Do đó, giả
thuyết đúng với n= 2.
Trong thực tế, ta đã chứng minh được rằng một trong các thương trong (2.40) được chứa trong một đĩa bán kính 1
2 − 1
n tâm tại
1 2.
Định lí 2.20. Cho P là một đa thức có bậc n≤ 4 sao cho P(0) = 0 và
P0(0) 6= 0. Khi đó min P(ζ) ζP0(0) − 1 2 : P0(ζ) = 0 ≤ 1 2 − 1 n. (2.41)
Nếu một đa thức không có không điểm đơn thì kết luận của giả thuyết Sendov là tầm thường, trong khi đó các giả thiết của giả thuyết Smale
không được kiểm tra. Do đó, ta xét một đa thức bất kì P(z) =an n Y ν=1 (z −zν)
có bậc n có zj như là một không điểm đơn. Khi đó
Q(z) := P(z +zj) (2.42) là một đa thức mà nó thỏa mãn các giả thiết của giả thuyết Smale. Ngược lại bằng (2.42), mọi đa thức Q thỏa mãn các giả thiết của giả thuyết Smale có thể liên kết với một đa thức P mà nó có zj như một không điểm đơn. Hiển nhiên, các điểm tới hạn của Q đạt được từ những điểm tới hạn của P trừ đi zj. Do đó, theo giả thuyết Smale với đa thức
Q, tồn tại một điểm tới hạn ζ của P sao cho
Q(ζ −zj) (ζ −zj)Q0(0) ≤K.
Trong các số hạng của các không điểm của P, ta có sự tương đương
Q ν=1 ν6=j|ζ −zν| Q ν=1 ν6=j |zj −zν| ≤ K và vì vậy Y ν=1 ν6=j |ζ −zν| 1/(n−1) ≤ K1/(n−1) ≤ Y ν=1 ν6=j |zj −zν| 1/(n−1) . (2.43)
Với K < 1. điều này nghĩa là, với mỗi không điểm đơn zj của P, tồn tại một điểm tới hạn ζ của P sao cho, theo nghĩa hình học, nó gần với các không điểm còn lại hơn zj.
Xét một không điểm đơn zj của P. Khi đó, trong giả thuyết Sendov, ta quan tâm tới một điểm tới hạn ζ mà có khoảng cách cực tiểu với zj.
Tuy nhiên, mục đích của ta là chỉ ra
|ζ −zj| ≤ max
1≤ν≤n|ζν|.
Mặt khác, trong giả thuyết Smale, ta quan tâm tới một điểm tới hạn ζ
mà nó có khoảng cách cực tiểu trung bình tới các không điểm khác hơn tới zj. Thực tế, mục đích ta phải làm là kiểm tra (2.43) với K = n−1
Kết luận
Luận văn đã trình bày các vấn đề sau đây:
Trong luận văn này, chủ yếu dựa trên cuốn sách [10] và bài báo [14] kết hợp với một số tài liệu khác, tôi trình bày lí thuyết giải tích của đa thức, trọng tâm là hình học của đa thức và hai giả thuyết Sendov và Smale.
Tài liệu tham khảo
[1] Phan Thị Duyên, Định lí Rolle trên trường phức (Luận văn Cao học), Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, 2013.
[2] Nguyễn Thị Lương, Về Giả thuyết Sendov (Luận văn Cao học), Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, 2012.
[3] Nguyễn Thị Lương, Tạ Duy Phượng, Giới thiệu về Giả thuyết Sendov, Kỷ yếu Hội thảo Các chuyên đề Toán Bồi dưỡng giáo viên Trung học Phổ thông Chuyên 2012, Hạ Long, 06-07/10/2012, 97- 116.
[4] Nguyễn Hồng Nhung, Về Giả thuyết Smale (Luận văn Cao học), Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, 2013.
[5] D. A. Brannan, On a Conjecture of Ilieff, Proceedings of the Cam- bridge Philosophical Society 64, 1968, 83-85.
[6] J. E. Brown, On the Sendov Conjecture for Sixth Degree Polynomi- als, Proc. Amer. Math. Soc, 113,1991, 939–946.
[7] J. E. Brown and Xiang Proof of the Sendov Conjecture for polyno- mials of degree at most eight, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 232,1999, 272-292.
[8] G. L. Cohen and G. H. Smith, A Proof of Ilieff’s Conjecture for Polynomials with Four Zeros, Elemente der Mathematik, 43,1988, 18-21.
[9] A. Meir and A. Sharma, On Ilyeff’s Conjecture, Pacific T. Math, 31,1969, 459-467.
[10] Morris Marden, Geometry of Polynomials, in Mathematical Surveys and Monographs, No. 3, Published by the American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1966.
[11] D. Phelps and R. S. Rodriguuez, Some Properties of Extremal Poly- nomials for Ilieff Conjecture, K¨odai Mathematical Seminar Reports, 24,1972, 172-175.
[12] Robert Gardner, The Ilieff-Sendov Conjecture, September 5, 2013, http://www.google.com.vn/url.
[13] Z. Rubinstein, On a problem of Ilyeff, Pacific J. Math, 26,1968, 159-161.
[14] G. Schmeisser, The Conjecture of Sendov and Smale, in “Approxi- mation Theory: A volume dedicated to Blagovest Sendov” (B. Bo- janov, Ed.), DARBA, Sofia, 2002, 353–369 (Marin Drinov Ed.), Aca- demic Publishing House, 2004.
[15] Bl. Kh. Sendov, Geometry of Polynomials and Numerical Analysis, in Numerical Methods and Applications, Dinov et al. (Eds.), Lec-
ture Note in Computer Science, Vol. 2542, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2003, 61–69.
[16] S. Smale, The Fundamental Theorem of Algebra and Complexity Theory, Bull. Amer. Math. Soc. 4, 1981, 1–36.
[17] Smale, S., Mathematical Problems for the Next Century, In Mathe- matics: frontiers and perspectives, eds. Arnold, V., Atiyah, M., Lax, P. and Mazur, B., Providence, R.I, American Mathematical Society, 2000, 271–294.
[18] D. Tischler, Critical Points and Values of Complex Polynomials, Journal of Complexity, 5,1989, 438-456.