Luận văn toán học Nghiệm của đa thức

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN VŨ THỊ LUYẾN NGHIỆM CỦA ĐA THỨC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số HÀ NỘI - 2014... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

VŨ THỊ LUYẾN

NGHIỆM CỦA ĐA THỨC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

HÀ NỘI - 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

VŨ THỊ LUYẾN

NGHIỆM CỦA ĐA THỨC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học

TS GVC NGUYỄN THỊ KIỀU NGA

HÀ NỘI - 2014

LỜI CẢM ƠN

Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô – TS Nguyễn Thị Kiều Nga

đã tận tình hướng dẫn để em hoàn thành tốt khóa luận của mình

Đồng thời em cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong Tổ Đại, số các thầy cô trong khoa Toán – Trường Đại hoc sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình dạy dỗ em trong 4 năm học tập tại trường

Trong khuôn khổ cấu trúc của một khóa luận tốt nghiệp, do điều kiện thời gian và là lần đầu nghiên cứu khoa học nên khóa luận vẫn còn nhiều thiếu sót.Em mong sẽ nhận được sự góp ý, chỉ bảo của các thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Vũ Thị Luyến

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả mà em đã nghiên cứu trong quá trình học tập

dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo – TS Nguyễn Thị Kiều Nga

Em xin cam đoan kết quả của đề tài “ Nghiệm của đa thức ” không có

sự trùng lặp, sao chép với kết quả của các đề tài khác

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Vũ Thị Luyến

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

NỘI DUNG 2

Chương 1 Kiến thức và chuẩn bị 2

1.1 Xây dựng vành đa thức một ẩn 2

1.2 Định lí phép chia có dư 4

1.3 Nghiệm của đa thức một ẩn 4

1.3.1 Nghiệm bội 4

1.3.2 Nghiệm của đa thức hệ số nguyên 5

1.3.3 Nghiệm của đa thức hệ số đối xứng 5

1.3.4 Công thức Viète 6

1.4 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn 6

1.5 Đa thức đối xứng 7

Chương 2 Một số bài toán về nghiệm của đa thức 9

2.1 Bài toán chia hết 9

2.1.1 Kiến thức chuẩn bị 9

2.1.2 Các dạng bài toán chia hết 11

2.2 Sự tồn tại nghiệm của đa thức 19

2.2.1 Một số định lí về sự tồn tại nghiệm của đa thức 19

2.2.2 Bài toán về sự tồn tại nghiệm 20

2.3 Ứng dụng của đạo hàm để giải bài toán nghiệm bội 25

2.3.1 Đạo hàm và một số tính chất của đạo hàm 25

2.3.2 Tìm nghiệm bội của đa thức 26

2.4 Một số bài toán khác 30

2.4.1 Chứng minh hệ thức, đẳng thức 30

2.4.2 Nghiệm của đa thức nguyên 36

2.4.3 Nghiệm của đa thức hệ số đối xứng 41

2.4.4 Bài toán về đa thức nhiều biến 44

KẾT LUẬN 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

MỞ ĐẦU

Lý thuyết về đa thức là một trong những lý thuyết quan trọng của toán học Nó có vị trí quan trọng trong Đại số và là công cụ đắc lực trong Giải tích khi nghiên cứu các lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết tối ưu…

Trong chương trình trung học cũng như các cuộc thi học sinh giỏi ở các cấp, từ phổ thông đến đại học, chúng ta thấy xuất hiện khá nhiều các dạng toán về đa thức, đặc biệt là các bài toán về nghiệm của đa thức như chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình, bài toán về nghiệm nguyên, bài toán về mối liên hệ giữa các nghiệm và giải các phương trình đại số…

Qua đó ta thấy lý thuyết về nghiệm của đa thức rất cần được quan tâm nghiên cứu.Tuy nhiên cho đến nay, tài liệu về nghiệm của đa thức còn hạn chế nên việc giải các bài toán về nghiệm của đa thức còn sơ sài

và nhiều thiếu sót

Vì vậy, được sự gợi ý của cô Nguyễn Thị Kiều Nga, em đã chọn

đề tài “Nghiệm của đa thức” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình

Khóa luận chia làm hai chương:

Chương 1: Kiến thức và chuẩn bị

Trình bày cách xây dựng vành đa thức một ẩn, nhiều ẩn, lý thuyết

về các nghiệm của đa thức một ẩn, công thức Viète và đa thức đối xứng

Chương 2: Một số bài toán về nghiệm của đa thức

Trình bày về các bài toán liên quan đến nghiệm của đa thức như bài toán chia hết, bài toán tồn tại nghiệm, ứng dụng đạo hàm để tìm nghiệm bội và nhiều bài toán khác (đa thức nguyên, đa thức đối xứng, đẳng thức)

Do điều kiện thời gian và kiến thức còn hạn chế nên khóa luận vẫn còn nhiều thiếu sót Kính mong các thầy cô giáo và các bạn sinh viên nhận xét, góp ý kiến để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Thật vậy:

- Phép (+) trên Pcó tính chất giao hoán và kết hợp

- Phần tử không của phép cộng là (0,0,…,0,…)

- Phần tử đối của a a0, ,1 ,a n,là  , ,a0  a1 , ,a n 

Vậy P là nhóm cộng giao hoán

- Vì A là vành giao hoán nên i j j i

Do đó, phép nhân trên Pgiao hoán

- Phép nhân trong A có tính chất kết hợp và phân phối đối với phép

cộng nên phép nhân trongPcũng có tính chất kết hợp và phân phối đối với phép cộng vì: Với mọi m0,1, 2,

Các phần tử của A x  kí hiệu là f x( ), g x( ),

0 1 2

n n

ChoA x là vành đa thức, Atrường

Khi đó, với mọi f x g x   , A x , g x( )0 tồn tại duy nhất hai đa thức

a) Định nghĩa: Cho k* Phần tử Ađược gọi là nghiệm bội bậc

k của đa thức f x A x  nếu ( ) (f x  x)kvà f x không chia hết cho

Đặc biệt: k 1 thì  gọi là nghiệm đơn của f x 

Khi đó, nếu phân số tối giản p

q là nghiệm của P x  thì p là ước

của a0, q là ước của a n

b) Định lí 2:

Nếu phân số tối giản p

q là nghiệm của đa thức với hệ số nguyên

P m  pqm Đặc biệt pqlà ước của P 1 và p–q là ước của P 1

1.3.3 Nghiệm của đa thức có hệ số đối xứng

b) Định lí 3: Đa thức P x  là đa thức có hệ số đối xứng bậc n nếu và

chỉ nếu điều kiện sau thỏa mãn: Mọi số  là nghiệm của đa thức

 

P x nếu và chỉ nếu số 1 cũng là nghiệm

c) Định lí 4: Đa thức P x là đa thức có hệ số đối xứng khi và chỉ khi

Công thức trên gọi là công thức Viéte tổng quát

1.4 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn

a) Xây dựng

Giả sử A là vành giao hoán có đơn vị kí hiệu 1

Đặt A1  A x 1 là vành đa thức ẩn x1, lấy hệ tử trên vànhA

Khi đóA1là vành giao hoán có đơn vị 1 thì A2là vành giao hoán có đơn vị 1



 gọi là bậc của đơn thức g

Ta định nghĩa bậc của đa thức f x bất kì viết dưới dạng (1) là

a) Định nghĩa: ChoAlà một vành giao hoán có đơn vị 1

Đa thức f x x 1, 2,,x nA x x 1, 2,,x ngọi là đa thức đối xứng nếu với n là phép thế bậc n

a) Định lí 5: Các đa thức đối xứng cơ bản là độc lập đại số trênA, tức là nếu f(  1, 2, 3)0 với f A x x 1, 2,,x nthì f 0

b) Định lí 6: (Về sự biểu diễn đa thức đối xứng qua các đa thức đối

f x x  x qua các đa thức đối xứng cơ bản

c) Chú ý: Có 2 phương pháp biểu diễn đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng cơ bản là:

Chương 2 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC

2.1 Bài toán chia hết

2.1.1 Kiến thức chuẩn bị

a) Hai đa thức chia hết nhau

a1) Định nghĩa: Cho 2 đa thức P x Q x   , A x  - trường

Ta nói rằng đa thức P x chia hết cho đa thức Q x nếu tồn tại một

đa thức S x A x sao cho P x Q x S x   

Kí hiệu: P x( ) Q x( )

Nếu P x Q x( )  ( ) thì degP x degQ x 

Nếu ( ) ( )P x Q x thì ta nói Q x chia hếtP x (hay ( )Q x là ước của ( )P x )

a2) Tính chất

i, Với mọi P x A x ,  A thì P x P x( ) ( )

ii, Nếu P x Q x( )  ( )và Q x P x( )  ( ) thì ( )P x Q x( ) ( 0,A)iii, Nếu P x Q x( )  ( )và Q x S x( )  ( ) thì P x S x( )  ( )

iv, Nếu ( )P x i Q x( ), i 1,2, ,n và S x S x1( ), 2( ), ,S x n( )là những đa thức bất kì thì P x S x1( ) ( )1 P x S x2( ) ( ) 2  P x S x n( ) ( )n Q x( )

b) Lược đồ Hoocner

Trong trường hợp chia một đa thức P x cho đa thức   Q x tuyến  

tính có dạng x–ta có thể sử dụng lược đồ Hoocner như sau

Định lí 7: Khi chia đa thức   1

i, Với mọi đa thức P x A x thì P x P x  mod  x 

ii, Với hai đa thức P x Q x   , A x ,

Nếu P x Q x  mod x thì Q x P x  mod x 

iii, Với mọi P x Q x R x     , , A x ,nếu P x Q x  mod x 

và Q x R x  mod x thì P x R x  mod x 

iv, ChoP x Q x R x     , , A x .NếuP x Q x  mod x thì

        mod   

P x R x Q x R x  x

vi, Với mọi P x Q x R x     , , A x 

Nếu P x Q x R x  mod x  thì P x R x –Q x  mod x 

vii, Cho các đa thứcP x P x1( ), 2( ), ,P x n( ) và Q x Q x1( ), 2( ), ,Q x n( )

ix, Cho các đa thức P x Q x   , ,F x A x 

Nếu P x Q x  mod x thì F P x   F Q x    mod x 

2.1.2 Một số bài toán chia hết

a) Bài toán chia hết

* Cơ sở lí luận: Để chứng minh 2 đa thức chia hết cho nhau, ta có thể sử

dụng phương pháp quy nạp, đa thức đồng dư, định lí Bozu, lược đồ

Giải

Đặt ( ) (P x  x2) ( )S x R x( )

Trong đó,S x là thương của phép chia P x cho x2

R x là số dư của phép chia P x  cho x2

Đặt tìm S x  và R x  ta sử dụng lược đồ Hoocner

2 3 0 -4 0 3 -2 112

Ta thấy số dư tìm được là R x 0

Vậy đa thức P x  chia hết cho x2

Ví dụ 3: Tìm điều kiện của *

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi giá trị của n và  thỏa mãn điều kiện n1, sin 0 thì đa thức ( ) nsin sin sin( 1)

- Sử dụng phương pháp đồng dư đa thức

- Sử dụng lược đồ Hoocner và định lí Bơzu

- Biểu diễn P x dưới dạng ( )P x A x Q x( ) ( )R x( )

Khi đó P x( ) A x( ) khi và chỉ khi R x( )0

* Ví dụ

Ví dụ 1: Tìm hệ số a b,  sao cho đa thức 4 2

( )

P x  x ax b chia hết cho đa thức 2

Do đó: P x( ) A x( )thì R x( ) 0

 a b  1 0 hay a b  1 (1) + Nếu P x( ) (  x 2) thì :

Số dư cần tìm khi chia P x  cho  2

1

x x x   x ) Vậy [ ( )P x Q x( )] Q x( ) hay P x( ) Q x( )

Ví dụ 4: Hãy tìm những giá trị của số n sao cho đa thức

Đặt n6kl l 0,1,,5thì:

12 2 6 2

P x x  x   x  x  x

+ Với l0có: ( ) 1 1 1 (mod ( ))P x     x 3(mod ( )) x P x( ) ( ) x

+ Với l1có: P x( )  x2 x 1 (mod ( )) 0(mod ( )) x   x P x( ) ( )x

Nếup0 thì từ (2) suy ra n p 0hay n  p (4) 2

1

q

   (vô lí) Vậyp0 do đó nq thay vào (4) ta được n q 1 hoặc n  q 1

Từ (2) ta có : 2

2nm 0 nên n ≥ 0 Suy ra n = q =1 thì m2 = 2

(x  2x1) và 2

(x  2x1)Thử lại :

1

x  x x  x

2.2 Sự tồn tại nghiệm của đa thức

2.2.1 Một số định lí về sự tồn tại nghiệm của đa thức

a) Định lí D’Alembert

Mọi đa thức bậc khác 0 với hệ số phức có ít nhất một nghiệm phức

b) Định lí Rolle

Giả sử hàm số f : a b,  liên tục trên  a b, và có đạo hàm

trong a b, Nếu ( )f a  f b( )thì tồn tại ít nhất một giá trị c a b, sao

cho f c'( )0

c) Định lí Bơzu: ChoP x A x  ,A, A- trường Khi đó:

 là nghiệm của đa thức ( )P x khi và chỉ khi P x( ) (  x)

d) Hệ quả : Với mọi ( )P x A x[ ],degP x  n 1 ta luôn có

với  1, 2, ,n K A là các nghiệm của đa thức P x 

Chứng minh: Quy nạp theo n ta có

a a

+ Giả sử định lí đúng với đa thức bậc – 1n

Ta xét đa thức P x với deg P x n

1

 là nghiệm của đa thức P x  nên P x( )(x1) ( )Q x

 deg Q x n–1 và hệ số cao nhất của Q x trùng với hệ sốn

Theo giả thiết quy nạp ta có:

Ta có điều phải chứng minh

2.2.2 Các bài toán liên quan đến sự tồn tại nghiệm

* Cơ sở lí luận : Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một đa thức ta có

thể sử dụng các tính chất của đa thức, phương pháp phản chứng và các định lí có liên quan như định lí Rolle, định lí D’Alembert, định lí Bơzu

* Các ví dụ

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi giá trị của n, thỏa mãnn1, sin 0 thì đa thức ( )P x x nsinxsinsin(n1)chia hết cho đa thức 2

Q x  x x 

Giải

Đặt x  cos +  isin với    1,1

Khi đó: x1  cos + sini  và x2  cos isin

Theo công thức Moivre ta có:

Theo định lí Bơzu , đa thức 1

Ví dụ 2: Cho đa thức 2 sin

5

25

(3 ) 02

Do đó phương trìnhg x 0có 2 nghiệm trên đoạn 2 ,3 

Vậy phương trình 2 sin

100 x

x  có 2 nghiệm trên đoạn 2 ,3 

Ví dụ 3: Cho đa thức hệ số nguyênP x thỏa mãn P a( )  P b( )  P c( ) 1với a b c, , là các số nguyên đôi một khác nhau

Chứng minh rằng đa thức P x không có nghiệm nguyên

Các số trên thuộc tập hợp 1,1 Theo Nguyên lí Dirichlet, hai trong số

chúng bằng nhau Suy ra a b (trái giả thiết)

Vậy đa thức P x không có nghiệm nguyên

Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyêna, đa thức

Nếu x x1, 2là các số chẵn thì đẳng thức trên không xảy ra

Vậy đa thức P x  không thể có 2 nghiệm nguyên phân biệt

Do đó điều giả sử là sai Vậy đa thức P x  không có nghiệm hữu tỉ

Ví dụ 6: Cho tam thức bậc hai P x  x sao cho phương trìnhP x x không có nghiệm thực Chứng minh phương trình

 

 

P P x x cũng không có nghiệm thực

Giải

Nếu tồn tại 2 số a b,  sao cho P a a và P b b

Hàm số Q x P x x sẽ nhận hai giái trị trái dấu ( ) 0

Bài 2: Cho đa thức P x( ) x3 ax2bx c trong đó a b c, , là các số hữu

tỉ Biết rằng 3 là một nghiệm của đa thức Tìm các nghiệm khác của đa thức (nếu có)

Bài 3: Tồn tại hay không các số thực a b c, , để phương trình sau có 4

2.3 Ứng dụng của đạo hàm để giải bài toán nghiệm bội

2.3.1 Đạo hàm và một số tính chất của đạo hàm

Chú ý: Nếu deg P x n thì deg P x’ n–1

Nếu deg P x nthì deg P n x 0

b) Một số tính chất của đạo hàm:

Cho P x Q x   , A x , là một số bất kì,A Khi đó:

( ( )P x Q x( )) P x( )Q x( )

c) Một số định lí liên quan đến đạo hàm và nghiệm bội

Định lí : ChoP x Q x   , A x  là các đa thức bất kì, k Khi đó:

2.3.2 Tìm nghiệm bội của đa thức

Ví dụ 1: Tìm số nghiệm bội của đa thức P x biết

Vậy 2 là nghiệm bội ba

Ví dụ 2: Tìm số bội của nghiệm của đa thức F x 

Có nghiệm dương bội hai, mà nó bằng tổng của nghịch đảo 2 nghiệm còn lại

Giải

Gọi    1, 2, 3, 4 là 4 nghiệm của đa thứcP x  Giả sử  1, 2 0

Ví dụ 4: Hãy tìm sự phụ thuộc giữa a và b để đa thức 5 3

a



Do m0,a0 nên b0 Khi đó :

2 22

Bài 2: Tìm sự phụ thuộc của các giá trị a b c, , sao cho đa thức

nghiệm bội ba, có 3 nghiệm x x1, 2, x3 phân biệt và tổng nghịch đảo của 2

nghiệm bằng nghiệm còn lại

2.4 Một số bài toán khác

2.4.1 Chứng minh hệ thức, đẳng thức

a) Kiến thức chuẩn bị

a1) Nguyên lí so sánh hệ số đa thức

x x x x x x

a d

* Cơ sở lí luận: Sử dụng các tính chất, định lí về đa thức đối xứng, đồng

nhất đa thức, dùng công thức Viéte và sử dụng nguyên lí so sánh hệ số

Để chứng minh đẳng thức ta chỉ ra P x Q x với mọi x

Ta thấy: degP x 2, degQ x 2

Nếu trong những số 0, ,  b c trùng nhau thì kiểm tra trực tiếp ta

cóP x Q x .Nếu các số 0, ,  b c đôi một khác nhau thì theo

nguyên lí so sánh hệ số đa thức ta có P x Q x với mọi x

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với x  y z xy yzzx0 thì

3 3 3 3 3 3 3 3 3 2

3(x y  y z z x )(x  y z )

Giải Đặt 1   x y z,2  xy yz zx,3 xyz

Dễ thấy  1  2 0 (theo giả thiết)

Ví dụ 4: Hãy tìm giá trị của tham số a sao cho các nghiệm x x x của 1, 2, 3

Suy ra a1 hoặc a 2 (thỏa mãn điều kiện a2)

Vậy các giá trị của a cần tìm là a1 hoặc a 2

Ví dụ 5: Gọi a b, là hai nghiệm của phương trình x2 px 1 0 và ,

c d là 2 nghiệm của phương trình 2

Khai triển vế trái của đẳng thức ta được:

Gọi x x x là 3 nghiệm của đa thức 1, ,2 3 P x 

Theo giả thiết ta có x3  x x1 2

Khi đó theo định lí Viéte ta có