Tiểu luận tốt nghiệp về nghiệm của đa thức

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TP.HỒ CHÍ MINHKHOA SƯ PHẠM LUẬN VĂN TỐT NGHIỆPĐề tài:NGHIỆM CỦA ĐA THỨCGiáo viên hướng dẫn:Th.S Nguyễn Hoàng XinhSinh viên thực tập:Phạm Nguyễn VũMã số SV: DC1301K067Lớp: Sư phạm Toán họcTp.Hồ Chí Minh, 052015MỤC LỤCMỤC LỤC2CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU31.1 Đặt vấn đề nghiên cứu.31.1.1 Sự cần thiết nghiên cứu.31.1.2 Căn cứ khoa học và thực tiễn.41.2 Mục tiêu nghiên cứu.41.2.1 Mục tiêu chung.41.1.2 Mục tiêu cụ thể.51.3 Các giả thuyết cần kiểm định và câu hỏi nghiên cứu.51.3.1 Các giả thuyết cần kiểm định.51.3.2 Câu hỏi nghiên cứu.51.4 Phạm vi nghiên cứu.51.4.1 Không gian (địa bàn nghiên cứu)51.4.2 Thời gian51.5 Lược khảo tài liệu liên quan đến đề tài nghiên cứu.6CHƯƠNG 2: NHẬP MÔN KIẾN THỨC CƠ BẢN7VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC72.1) Ví dụ mở đầu.72.2) Nghiệm của đa thức, định lý Bezout.72.3) Nghiệm bội.82.4) Khai triển của một đa thức theo các nghiệm.92.5) Định lý Viète.92.6) Các ví dụ.92.7) Bài tập vận dụng.19CHƯƠNG 3: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ ỨNG DỤNG30NGHIỆM CỦA ĐA THỨC303.1) Định lí EISENSTEIN về tiêu chuẩn bất khả quy nghiệm của đa thức.303.1.1) Kiến thức cơ bản.303.1.2) Ví dụ mẫu.313.1.3) Bài tập vận dụng.333.2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đa thức 2 biến bậc 2.373.2.1) Kiến thức căn bản.373.2.2) Ví dụ mẫu.403.2.3) Bài tập vận dụng.413.3) Ứng dụng của nghiệm của đa thức vào việc giải phương trình.433.4) Các bài toán khác.473.4.1) Đa thức với hệ số nguyên.473.4.2) Công thức nội suy Lagrange về nghiệm của đa thức.473.5) Ứng dụng của công thức nội suy Langrange về nghiệm của đa thức.503.5.1) Kiến thức căn bản.503.5.2) Bài tập ví dụ mẫu.50TÀI LIỆU THAM KHẢO52KẾT LUẬN53CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU1.1 Đặt vấn đề nghiên cứu. 1.1.1 Sự cần thiết nghiên cứu.Toán học ra đời gắn liền với con người và lịch sử phát triển của xã hội, nó có một ý nghĩa lý luận và thực tiễn vô cùng to lớn và quan trọng. Trong thời đại hiện nay, công nghiệp hóa, hiện đại hóa nhất thiết phải đặt trên nền tảng dân trí ngày càng được nâng cao.Trong giai đoạn hiện nay, theo quan điểm giáo dục mới của Đảng và nhà nước, giáo dục đào tạo nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài trên mọi lĩnh vực khoa học. Sự phát triển của khoa học tự nhiên lại được đặt trên nền tảng của khoa học Toán học. Vậy dạy Toán ở phổ thông ngoài việc cung cấp tri thức cho con người, đặc biệt phải chú ý dạy cho con người biết phương pháp phân tích, nghiên cứu, tìm tòi đào sâu khai phá, phát triển bài toán để tổng quát hóa, khái quát hóa kiến thức và nâng cao tư duy về giải toán.Chương trình Toán cấp THCS và cấp THPT, kiến thức cơ bản của bộ môn Toán là các khái niệm, các định nghĩa, các định lý, các hệ quả, các tiên đề, các công thức, các quy tắc về phép tính vv... Đó là một yêu cầu, nội dung Toán học mà học sinh cần phải nằm được và hầu như là các em, đa số đã đạt được yêu cầu đó.Song một yêu cầu cần đạt và vô cùng quan trọng nữa về môn Toán đối với người học là “Kỹ năng giải bài tập Toán”. Đây là một nội dung khó. Để đạt được điều này thì người thầy phải thật sự đầu tư, tìm tòi nội dung, phương pháp giảng dạy để giúp học sinh có được năng lực tư duy sáng tạo từ đó có được kỹ năng giải Toán.Trong chương trình toán cấp THCS và THPT có nhiều kiến thức, kỹ năng ở từng khối. Các bài toán đại số có liên quan đến chứa dấu giá trị tuyệt đối là những bài toán khó đối với học sinh, ở những bài toán này học sinh thường rất dễ nhầm trong quá trình bỏ dấu giá trị tuyệt đối khi giải. Đặc biệt là những bất phương trình, phương trình có từ hai dấu giá trị tuyệt đối trở lên, những bài toán giải và biện luận phương trìnhm bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, khi làm những bài tập dạng này phần lớn các học sinh rất lúng túng không có phương pháp giải. Chính vì vậy tôi thấy sự cần thiết nghiên cứu đề tài “Nghiệm của đa thức” để tìm ra những phương pháp giải đặc trưng nhằm đạt được yêu cầu giúp học sinh có được “Kỹ năng giải bài tập Toán”1.1.2 Căn cứ khoa học và thực tiễn.Chúng ta đã biết rằng hiện nay kiểu dạy học “đọc chép” tức là thầy đọc trò chép vào vở, truyền thụ kiến thức theo kiểu “bình thông nhau”. Dạy nhồi nhét, học thụ động là kiểu dạy học cổ điển không còn chấp nhận được. Đặc biệt là đối với môn Toán, dạy như vậy thì học trò học đến đâu quên đến đó, làm bài tập nào thì biết bài tập đó, giải hết bài này đến bài khác, tốn rất nhiều thời gian và công sức mà không đọng lại trong đầu học sinh điều gì đáng kể. Ngay cả những học sinh khá giỏi cũng vậy, mới chỉ đầu tư vào giải hết các bài toán khó này đến bài toán khó khác mà vẫn chưa phát huy được tính tư duy sáng tạo, chưa có một phương pháp làm bài. Trong khi đó, từ một đơn vị kiến thức cơ bản nào đó của toán học lại có một hệ thống bài tập rất đa dạng và phong phú, mỗi bài một kiểu, một dạng mà lời giải thì không theo một khuôn mẫu nào cả. Do vậy mà học sinh rất lúng túng khi đứng trước một đề toán. Từ đó mà chất lượng môn Toán vẫn thấp chưa đáp ứng được mong mỏi của chúng ta.Vậy thì để nâng cao chất lượng học tập bộ môn Toán của học sinh, hơn ai hết người thầy đóng vai trò quan trọng, phải thực sự đổi mới phương pháp giảng dạy, phải tích cực hóa hoạt động của học sinh nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, tính độc lập sáng tạo, qua đó nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết các vấn đề một cách nhanh chóng. Từ đó mà học sinh vừa lĩnh hội được đầy đủ những yêu cầu của chương trình hiện hành, vừa thực hiện được nâng cao trí tuê, rèn luyện được tư duy lô gíc và khả năng sáng tạo toán học.Để làm được điều đó, trong khi giảng dạy bộ môn Toán, người thầy cần phải cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản cần thiết, những kỹ năng, kĩ xảo, một hệ thống làm bài, xem đó là những công cụ để giải quyết các bài tập, phương châm là “Giải 1 bài toán bằng 10 phương pháp chứ không phải 10 bái toán bằng 1 phương pháp”.1.2 Mục tiêu nghiên cứu. 1.2.1 Mục tiêu chung. Nâng cao chất lượng giáo dục, đáp ứng nhu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy hiện nay.Phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo, năng lực tự học của học sinh, tạo điều kiện cho các em hứng thú học tập bộ môn. 1.1.2 Mục tiêu cụ thể.Rèn luyện cho học sinh những kỹ năng thực hành giải toán về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.Các kỹ năng, kiến thức cơ sở về quy tắc tính toán, giá trị tuyệt đối của một biểu thức và giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối.Nêu cao được một số kinh nghiệm của bản thân về: “Nghiệm của đa thức”Ngoài ra còn rèn cho học sinh những đức tính cẩn thận, sáng tạo, chủ động trong giải toán.1.3 Các giả thuyết cần kiểm định và câu hỏi nghiên cứu. 1.3.1 Các giả thuyết cần kiểm định.Giả thiếtH01: Nhu cầu thiết yếu của đề tài đối với học sinh là như nhau.H02: Mức độ ảnh hưởng đến nhu cầu tại các trường học của các học sinh cũng là như nhau. 1.3.2 Câu hỏi nghiên cứu.1.Tình hình thực tiễn về đề tài này đã phổ biến trong chương trình giáo dục cấp THCS và THPT chưa?2.Những điểm mạnh điểm yếu trong phương pháp này?3.Phải biết truyền đạt nội dung của đề tài này đến học sinh như thế nào? Có phù hợp với tất cả các đối tượng học sinh?4.Suốt quá trình giảng phải cho học sinh động não suy nghĩ tại sao, làm thế nào? Tại sao nghĩ thế?1.4 Phạm vi nghiên cứu. 1.4.1 Không gian (địa bàn nghiên cứu)Đề tài được nghiên cứu tại Đại học Quốc Gia Tp.HCMPhạm vi thu thập số liệu: Trong Đại học Quốc Gia Tp.HCM 1.4.2 Thời gian Được thực hiện vào thánh 0520151.5 Lược khảo tài liệu liên quan đến đề tài nghiên cứu.Trong quá trình thực hiện đề tài, tác giả đã tham khảo một số bài nghiên cứu và chuyên đề liên quan đến nội dung thực hiện cụ thể như sau:1 Chuyên đề bồi dưỡng HSG – Phan Huy Khải.2 Nâng cao và phát triển toán 7 – Vũ Hữu Bình.3 Giúp em học giỏi Toán 7 – Nguyễn Đức Tấn.4 Toán cơ bản và nâng cao – Nguyễn Đức Tấn, Nguyễn Đức Hòa, Phan Hoàng Ngân, Nguyễn Hoàng Vũ, Đỗ Quang Thanh và Nguyễn Anh Hoàng.5 Phương trình hàm đa thức – Trần Nam Dũng.6 Tủ sách THTT – Các bài toán thi Olympic Toán THPT Việt Nam (1990 – 20016) .7 Đề kiểm tra định kỳ Toán 7 – Nguyễn Văn Chi.8 Kiểm tra đánh giá thường xuyên và định kỳ – Nhà xuất bản Giáo Dục.CHƯƠNG 2: NHẬP MÔN KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨCNghiệm của đa thức đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất của đa thức. Nhiều tính chất của đa thức được thể hiện qua nghiệm của chúng. Ngược lại, việc nghiên cứu tính chất các nghiệm của đa thức cũng cũng là một trong các vấn đề trung tâm của đại số.2.1) Ví dụ mở đầu.Xét xem số là hữu tỷ hay vô tỷ.Ta có thể giải bài toán này bằng cách chứng minh lần lượt các mệnh đề sau:1) Nếu a vô tỷ thì vô tỷ2) Nếu a vô tỷ thì vô tỷ3) vô tỷNhưng ta cũng có thể có một cách tiếp cận khác như sau:1) Tìm đa thức với hệ số nguyên nhận  làm nghiệm2) Chứng minh rằng đa thức này không có nghiệm hữu tỷViệc tìm đa thức với hệ số nguyên nhận  làm nghiệm được tiến hành như sau Vấn đề còn lại là chứng minh () không có nghiệm hữu tỷ. Việc này sẽ được thực hiện ở cuối bài.2.2) Nghiệm của đa thức, định lý Bezout.Định nghĩa. Số thực a (trong một số trường hợp, ta xét cả các số phức) được gọi là nghiệm của đa thức P(x) = anxn + an1xn1 + …+ a1x + a0 nếu P(a) = 0, tức là anan + an1an1 + …+ a1a + a0 = 0.Ta có định lý đơn giản nhưng rất có nhiều ứng dụng sau đây về nghiệm của đa thức:Định lý 1. a là nghiệm của đa thức P(x) khi và chỉ khi P(x) chia hết cho x – a.Định lý này là hệ quả của định lý sau:Định lý 2. Số dư trong phép chia đa thức P(x) cho x – a là P(a).Cả định lý 1 và định lý 2 đều được gọi là định lý Bezout. Để chứng minh định lý 2, ta chỉ cần chứng minh P(x) – P(a) chia hết cho x – a. Nhưng điều này là hiển nhiên vìP(x) – P(a) = an(xnan) + an1(xn1an1) + … + a1(xa) và xk – ak = (xa)(xk1 + xk2a + …+ ak1)Từ định lý 1, ta có thể có một định nghĩa khác cho nghiệm của đa thức như sau: a là nghiệm của đa thức P(x) nếu P(x) = (xa)Q(x) với Q(x) là một đa thức nào đó. Với định nghĩa này, ta có thể phát triển thành định nghĩa về nghiệm bội.Định nghĩa:a được gọi là nghiệm bội r của đa thức P(x) nếu P(x) = (xa)rQ(x) với Q(a)  0.2.3) Nghiệm bội.1.Một đa thức bậc lớn hơn 0 trên Px được gọi là bất khả qui trên Px, nếu nó không thể viết được dưới dạng tích của 2 đa thức bậc r 0 và bé hơn n , của PxMỗi đa thức bậc m > 0 của Px đều có thể phân tích được thành tích của những đa thức bất khả qui trên P x và sự phân tích đó là duy nhất , nếu không kể đến thứ tự các nhân tử và không kể đến các nhân tử bậc 0Trên x , chỉ có các nhị thức bậc nhất là đa thức bất khả qui .Trên x, chỉ có các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai không có nghiệm thực là các đa thức bất khả qui .2.a Giả sử f(x) x và a .Ta nói f(x) nhận làm nghiệm nếu f( ) = 0, khi đó f(x) chia hết cho xa hay nhận xa làm một nhân tử . b Giả sử f(x) x và a và k x, k . Ta nói là nghiệm bội của đa thức f(x) nếu tồn tại g(x) x, g( ) 0 sao cho với .( tức là f(x) chia hết cho nhưng không chia hết cho )Nếu k=1 thì ta nói là nghiệm đơn.Nếu k≥2 thì ta nói là nghiệm bội.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TP.HỒ CHÍ MINH

KHOA SƯ PHẠM

- -LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

NGHIỆM CỦA ĐA THỨC

Giáo viên hướng dẫn:

Th.S Nguyễn Hoàng Xinh

Sinh viên thực tập:

Phạm Nguyễn Vũ

Mã số SV: DC1301K067 Lớp: Sư phạm Toán học

Tp.Hồ Chí Minh, 05/2015

MỤC LỤC

MỤC LỤC 2

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU 3

1.1 Đặt vấn đề nghiên cứu 3

1.1.1 Sự cần thiết nghiên cứu 3

1.1.2 Căn cứ khoa học và thực tiễn 4

1.2 Mục tiêu nghiên cứu 5

1.2.1 Mục tiêu chung 5

1.1.2 Mục tiêu cụ thể 5

1.3 Các giả thuyết cần kiểm định và câu hỏi nghiên cứu 5

1.3.1 Các giả thuyết cần kiểm định 5

1.3.2 Câu hỏi nghiên cứu 5

1.4 Phạm vi nghiên cứu 6

1.4.1 Không gian (địa bàn nghiên cứu) 6

1.4.2 Thời gian 6

1.5 Lược khảo tài liệu liên quan đến đề tài nghiên cứu 6

CHƯƠNG 2: NHẬP MÔN KIẾN THỨC CƠ BẢN 7

VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC 7

2.1) Ví dụ mở đầu 7

2.2) Nghiệm của đa thức, định lý Bezout 8

2.3) Nghiệm bội 8

2.4) Khai triển của một đa thức theo các nghiệm 9

2.5) Định lý Viète 9

2.6) Các ví dụ 10

2.7) Bài tập vận dụng 20

CHƯƠNG 3: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ ỨNG DỤNG 31

NGHIỆM CỦA ĐA THỨC 31

3.1) Định lí EISENSTEIN về tiêu chuẩn bất khả quy nghiệm của đa thức 31

3.1.1) Kiến thức cơ bản 31

3.1.2) Ví dụ mẫu 32

3.1.3) Bài tập vận dụng 35

3.2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đa thức 2 biến bậc 2 38

3.2.1) Kiến thức căn bản 38

3.2.2) Ví dụ mẫu 42

3.2.3) Bài tập vận dụng 42

3.3) Ứng dụng của nghiệm của đa thức vào việc giải phương trình 45

3.4) Các bài toán khác 49

3.4.1) Đa thức với hệ số nguyên 49

3.4.2) Công thức nội suy Lagrange về nghiệm của đa thức 50

3.5) Ứng dụng của công thức nội suy Langrange về nghiệm của đa thức 52

3.5.1) Kiến thức căn bản 52

3.5.2) Bài tập ví dụ mẫu 52

TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 KẾT LUẬN 55

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU

1.1 Đặt vấn đề nghiên cứu.

1.1.1 Sự cần thiết nghiên cứu.

Toán học ra đời gắn liền với con người và lịch sử phát triển của xã hội, nó có một ý nghĩa lý luận và thực tiễn vô cùng to lớn và quan trọng Trong thời đại hiện nay, công nghiệp hóa, hiện đại hóa nhất thiết phải đặt trên nền tảng dân trí ngày càng được nâng cao

Trong giai đoạn hiện nay, theo quan điểm giáo dục mới của Đảng và nhà nước, giáo dục đào tạo nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài trên mọi lĩnh vực khoa học Sự phát triển của khoa học tự nhiên lại được đặt trên nền tảng của khoa học Toán học Vậy dạy Toán ở phổ thông ngoài việc cung cấp tri thức cho con người, đặc biệt phải chú ý dạy cho con người biết phương pháp phân tích, nghiên cứu, tìm tòi đào sâu khai phá, phát triển bài toán để tổng quát hóa, khái quát hóa kiến thức và nâng cao tư duy về giải toán

Chương trình Toán cấp THCS và cấp THPT, kiến thức cơ bản của bộ môn Toán là các khái niệm, các định nghĩa, các định lý, các hệ quả, các tiên đề, các công thức, các quy tắc về phép tính vv Đó là một yêu cầu, nội dung Toán học mà học sinh cần phải nằm được và hầu như là các em, đa số đã đạt được yêu cầu đó

Song một yêu cầu cần đạt và vô cùng quan trọng nữa về môn Toán đối với người học là “Kỹ năng giải bài tập Toán” Đây là một nội dung khó Để đạt được điều này thì người thầy phải thật sự đầu tư, tìm tòi nội dung, phương pháp giảng dạy

để giúp học sinh có được năng lực tư duy sáng tạo từ đó có được kỹ năng giải Toán

Trong chương trình toán cấp THCS và THPT có nhiều kiến thức, kỹ năng ở từng khối Các bài toán đại số có liên quan đến chứa dấu giá trị tuyệt đối là những bài toán khó đối với học sinh, ở những bài toán này học sinh thường rất dễ nhầm trong quá trình bỏ dấu giá trị tuyệt đối khi giải Đặc biệt là những bất phương trình, phương trình có từ hai dấu giá trị tuyệt đối trở lên, những bài toán giải và biện luận phương trìnhm bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, khi làm những bài tập

dạng này phần lớn các học sinh rất lúng túng không có phương pháp giải Chính vì

vậy tôi thấy sự cần thiết nghiên cứu đề tài “Nghiệm của đa thức” để tìm ra những

phương pháp giải đặc trưng nhằm đạt được yêu cầu giúp học sinh có được “Kỹ năng giải bài tập Toán”

1.1.2 Căn cứ khoa học và thực tiễn.

Chúng ta đã biết rằng hiện nay kiểu dạy học “đọc chép” tức là thầy đọc trò chép vào vở, truyền thụ kiến thức theo kiểu “bình thông nhau” Dạy nhồi nhét, học thụ động là kiểu dạy học cổ điển không còn chấp nhận được Đặc biệt là đối với mônToán, dạy như vậy thì học trò học đến đâu quên đến đó, làm bài tập nào thì biết bài tập đó, giải hết bài này đến bài khác, tốn rất nhiều thời gian và công sức mà không đọng lại trong đầu học sinh điều gì đáng kể Ngay cả những học sinh khá giỏi cũng vậy, mới chỉ đầu tư vào giải hết các bài toán khó này đến bài toán khó khác mà vẫn chưa phát huy được tính tư duy sáng tạo, chưa có một phương pháp làm bài Trong khi đó, từ một đơn vị kiến thức cơ bản nào đó của toán học lại có một hệ thống bài tập rất đa dạng và phong phú, mỗi bài một kiểu, một dạng mà lời giải thì không theo một khuôn mẫu nào cả Do vậy mà học sinh rất lúng túng khi đứng trước một đề toán Từ đó mà chất lượng môn Toán vẫn thấp chưa đáp ứng được mong mỏi của chúng ta

Vậy thì để nâng cao chất lượng học tập bộ môn Toán của học sinh, hơn ai hết người thầy đóng vai trò quan trọng, phải thực sự đổi mới phương pháp giảng dạy, phải tích cực hóa hoạt động của học sinh nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, tính độc lập sáng tạo, qua đó nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết các vấn

đề một cách nhanh chóng Từ đó mà học sinh vừa lĩnh hội được đầy đủ những yêu cầu của chương trình hiện hành, vừa thực hiện được nâng cao trí tuê, rèn luyện được

tư duy lô gíc và khả năng sáng tạo toán học

Để làm được điều đó, trong khi giảng dạy bộ môn Toán, người thầy cần phải cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản cần thiết, những kỹ năng, kĩ xảo, một

hệ thống làm bài, xem đó là những công cụ để giải quyết các bài tập, phương châm là

“Giải 1 bài toán bằng 10 phương pháp chứ không phải 10 bái toán bằng 1 phương pháp”.

1.2 Mục tiêu nghiên cứu.

Nêu cao được một số kinh nghiệm của bản thân về: “Nghiệm của đa thức”

Ngoài ra còn rèn cho học sinh những đức tính cẩn thận, sáng tạo, chủ động trong giải toán

1.3 Các giả thuyết cần kiểm định và câu hỏi nghiên cứu.

1.3.1 Các giả thuyết cần kiểm định.

Giả thiết

H01: Nhu cầu thiết yếu của đề tài đối với học sinh là như nhau

H02: Mức độ ảnh hưởng đến nhu cầu tại các trường học của các học sinh cũng là như nhau

1.3.2 Câu hỏi nghiên cứu.

1 Tình hình thực tiễn về đề tài này đã phổ biến trong chương trình giáo dục cấp

THCS và THPT chưa?

2 Những điểm mạnh điểm yếu trong phương pháp này?

3 Phải biết truyền đạt nội dung của đề tài này đến học sinh như thế nào? Có phù

hợp với tất cả các đối tượng học sinh?

4 Suốt quá trình giảng phải cho học sinh động não suy nghĩ tại sao, làm thế nào?

Tại sao nghĩ thế?

1.4 Phạm vi nghiên cứu.

1.4.1 Không gian (địa bàn nghiên cứu)

Đề tài được nghiên cứu tại Đại học Quốc Gia Tp.HCM

Phạm vi thu thập số liệu: Trong Đại học Quốc Gia Tp.HCM

1.4.2 Thời gian

Được thực hiện vào thánh 05/2015

1.5 Lược khảo tài liệu liên quan đến đề tài nghiên cứu.

Trong quá trình thực hiện đề tài, tác giả đã tham khảo một số bài nghiên cứu và chuyên đề liên quan đến nội dung thực hiện cụ thể như sau:

[1] Chuyên đề bồi dưỡng HSG – Phan Huy Khải.

[2] Nâng cao và phát triển toán 7 – Vũ Hữu Bình.

[3] Giúp em học giỏi Toán 7 – Nguyễn Đức Tấn.

[4] Toán cơ bản và nâng cao – Nguyễn Đức Tấn, Nguyễn Đức Hòa, Phan Hoàng

Ngân, Nguyễn Hoàng Vũ, Đỗ Quang Thanh và Nguyễn Anh Hoàng.

[5] Phương trình hàm đa thức – Trần Nam Dũng.

[6] Tủ sách THTT – Các bài toán thi Olympic Toán THPT Việt Nam (1990 – 20016) [7] Đề kiểm tra định kỳ Toán 7 – Nguyễn Văn Chi.

[8] Kiểm tra đánh giá thường xuyên và định kỳ – Nhà xuất bản Giáo Dục.

CHƯƠNG 2: NHẬP MÔN KIẾN THỨC CƠ BẢN

VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC

Nghiệm của đa thức đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất của đa thức Nhiều tính chất của đa thức được thể hiện qua nghiệm của chúng Ngược lại, việc nghiên cứu tính chất các nghiệm của đa thức cũng cũng là một trong các vấn đề trung tâm của đại số

2.1) Ví dụ mở đầu.

Xét xem số α =3 3+ 3+ 3 là hữu tỷ hay vô tỷ

Ta có thể giải bài toán này bằng cách chứng minh lần lượt các mệnh đề sau:

1) Nếu a vô tỷ thì a vô tỷ

2) Nếu a vô tỷ thì 3 a vô tỷ

3) 3 vô tỷ

Nhưng ta cũng có thể có một cách tiếp cận khác như sau:

1) Tìm đa thức với hệ số nguyên nhận α làm nghiệm

2) Chứng minh rằng đa thức này không có nghiệm hữu tỷ

Việc tìm đa thức với hệ số nguyên nhận α làm nghiệm được tiến hành như sau

(*)

03372

4812

3)3)3((

33)3(3333

33

3 6

9 12

2 2 3 2

3 3

3

=+

−+

=

−

⇒++

=

⇒+

+

=

x x

αα

αα

αα

Vấn đề còn lại là chứng minh (*) không có nghiệm hữu tỷ Việc này sẽ được thực hiện ở cuối bài

2.2) Nghiệm của đa thức, định lý Bezout.

Định nghĩa Số thực a (trong một số trường hợp, ta xét cả các số phức) được gọi là

nghiệm của đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 nếu P(a) = 0, tức là

anan + an-1an-1 + …+ a1a + a0 = 0

Ta có định lý đơn giản nhưng rất có nhiều ứng dụng sau đây về nghiệm của đa thức:

Định lý 1 a là nghiệm của đa thức P(x) khi và chỉ khi P(x) chia hết cho x – a.

Định lý này là hệ quả của định lý sau:

Định lý 2 Số dư trong phép chia đa thức P(x) cho x – a là P(a).

Cả định lý 1 và định lý 2 đều được gọi là định lý Bezout Để chứng minh định lý 2, ta chỉcần chứng minh P(x) – P(a) chia hết cho x – a Nhưng điều này là hiển nhiên vì

P(x) – P(a) = an(xn-an) + an-1(xn-1-an-1) + … + a1(x-a) và

xk – ak = (x-a)(xk-1 + xk-2a + …+ ak-1)

Từ định lý 1, ta có thể có một định nghĩa khác cho nghiệm của đa thức như sau: a lànghiệm của đa thức P(x) nếu P(x) = (x-a)Q(x) với Q(x) là một đa thức nào đó Với địnhnghĩa này, ta có thể phát triển thành định nghĩa về nghiệm bội

tử và không kể đến các nhân tử bậc 0

Trên £[x] , chỉ có các nhị thức bậc nhất là đa thức bất khả qui

Trên ¡ [x], chỉ có các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai không có nghiệm thực

là các đa thức bất khả qui

2 a/ Giả sử f(x) ∈ ¡ [x] và a ∈ ¡ Ta nói f(x) nhận α làm nghiệm nếu f(α) = 0, khi đó

f(x) chia hết cho x-a hay nhận x-a làm một nhân tử

b/ Giả sử f(x) ∈ ¡ [x] và a ∈ ¡ và k ∈¥ [x], k≥ 1 Ta nói α là nghiệm bội của đa thức

f(x) nếu tồn tại g(x) ∈ ¡ [x], g(α ) ≠ 0 sao cho (x−α) ( )k g x với ∀ ∈x ¡ ( tức là f(x) chia hết cho (x−α)k nhưng không chia hết cho (x−α)k+ 1)

Nếu k=1 thì ta nói α là nghiệm đơn.

Nếu k≥2 thì ta nói α là nghiệm bội.

2.4) Khai triển của một đa thức theo các nghiệm.

Giả sử f ∈ ¡ [ ]x và các số phân biệt α α1, 2, ,α ∈m ¡ là các nghiệm của đa thức f với các bội tương ứng là k k1, , ,2 k m khi đó tồn tại g∈ℝ[x] sao cho:

Nên :p≠ 0 do đó p = q.Thay vào (4) thì được b = q = 1 hoặc b = q= -1.Mặt khác , từ (2) suy

2b a= ≥0, ê n n b≥0.Từ đây ta có b = q = 1 và a2= 2,hay a= ± 2,suy ra p= m 2

Thử lại, ta thấy rằng x4+1 Mx2± 2x+1,bởi vì :

Do đó B – A chia hết cho A, và do đó B chia hết cho A

Từ đẳng thức trên ta nhân được:

0 =x + 2x ax − = 4 2x − 2a Nghĩa là x3=a hoặc là a2=2-a

Giải phương trình trên ta nhận được : a=1 hoặc a=-2

Ví dụ 5: Tam thức bậc hai P(x) với những hệ số thực sao cho phương trình P(x) = x không có

nghiệm thực.Chứng minh rằng : phương trình P(P(x)) = x cũng không có nghiệm thực

Giải

Nếu tồn tại hai số a và b so cho P(a)<a và P(b)>b, hàm liên tục Q(x)=P(x)-x sẽ nhận hai giá trị trái dấu Q(a)<0 và Q(b)<0, suy ra P(x)=x với x nào đó, điều này trái với điều kiện đã cho Như vậy chỉ còn hoặc là P(x)>x với mọi x hoặc là P(x)<x với mọi x

Nhưng khi đó hoặc là P(P(x))>P(x)>x với mọi x hoac95 là P(P(x))<P(x),x với mọi x, đó là điều phải chứng minh

P(x) có nghiệm hữu tỉ thì mọi nghiệm của P(x) có dạng r

s , trong đó r là ước của a0, còn s là ước của an và (r,s)=1

Từ định lý trên ta có được hệ quả sau: đa thức ( ) 1

P x = a x a x + − − + … + a x a + , trong đó ainguyên, ∀i=0,1,…,n-1 Khi đó, nếu P(x) có nghiệm hữu tỉ thì mọi nghiệm hữu tỉ của P(x) đều

là số nguyên và là một trong các ước số ( âm, dương) của hệ số a0.

nghiệm nguyên lần lượt là x1,x2,x3

1 Chứng minh rằng: x1,x2,x3 là các nghiệm nguyên duy nhất của các phương trình trên

2 Chứng minh rằng: phương trình P(x)=5 không có hơn 1 nghiệm nguyên

2

Giả sử phương trình P(x) =5 có 1 nghiệm nguyên x5

Trong (1) cho x=x5 suy ra 5=P(x5)=(x5-x2)q(x5)+2 hay (x5-x2)q(x5)=3 ⇒x5-x2 chỉ có thể lấy các giá trị ±1 hay ±3

2 Giả sử n≥3, chứng minh (1) chỉ có nghiệm đơn lớn hơn

3 Gọi z1,z2,…,zn là các nghiệm phức của (1), với n≥3 Chứng minh rằng:

= +

Suy ra f(x) có 2 nghiệm đơn phân biệt

Nếu n lẻ thì ϕ'(x) có nghiệm bội chẵn x=0 và 1 nghiệm đơn 2

1

n x n

= +

Suy ra f(x) có 2 nghiệm đơn phân biệt

2.Dựa vào bảng biến thiên trên, ta thấy f(x) luôn có đúng 1 nghiệm > 1 (1) Với n ≥3, ta có:

Mâu thuẫn với điều phải chứng minh.

P x = x + x − x − x+ =

Giải

Nếu số hữu tỉ a=u/v là nghiệm của phương trình đã cho, thì theo định lý ở trên những số u và

v có khả năng sau đây u=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 và v=±1, ±2, ±3, ±6 Để có thể áp dụng định

lý 4.2 ta sẽ tính tất cả các khả năng của u+v và u-v cho mọi khả năng của hai số u và v kết quả xem trong bảng sau:

-13-412-1/21/3-2/3

¼-3/4

04-313-14151

-22-511-3-2-5-3-7

2-36-123/2-1/34/3-1/41/6

3-27-1152737

1-45-131-41-5-5

Ta tính được P(1)=4 và P(-1)=18, ta thấy ngay rằng những số hữu tỉ thỏa mãn các định lý trênlà:2;-3;1/2;-1/3 ( bằng cách tìm trong bảng những P(-1) chia hết cho u+v và P(1) chia hết cho u-v) Như vậy nếu phương trình đã cho có nghiệm hữu tỉ, thì chúng sẽ nằm trong 2;-3;1/2;-1/3 Số nào sẽ thực sự lòa nghiệm của đa thức đã cho, bằng cách áp dụng P(x)=0 khi và chỉ khi P(x) chia hết cho x-a, nghĩa là áp dụng sơ đồ Horner Ta có:

Suy ra -3 là nghiệm của phương trình đã cho và

P x = +(x 3)(6x + −x 10x+ = +4) (x 3) ( )Q x

Bây giờ, ta kiểm tra những số nào trong các số -3;1/2/-1/3 là nghiệm ( phải kiểm tra lại -3 vì trừ khi phương trình đã cho có nghiệm bội) từ những số này suy ra ngay -3 không phải là nghiệm của Q(x), vì 4 không chia hết cho 3 Còn lại hai số sau ta lại sử dụng sơ đồ Horner

Suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm hữu tỉ, đó là x1= -3 và x2=1/2

minh rằng : số nghiệm nguyên của đa thức Q(x) nhỏ hơn 1996

Giả sử x1,x2,…,xk là các nghiệm nguyên của P(x)=3 ( x1<x2<…<xk) và y1,y2, ,yl là các

nghiệm nguyên của P(x)=-3 (y1<y2<…<yl) Rõ ràng xi khác yj,∀i,j

Vì deg ( ) 1991P x = ⇒ ≤k 1991;l≤ 1991 mặt khác , k+1 chính là số nghiệm của đa thức Q(x) nên

theo giả thuyết phản chứng thì k l+ ≥1996.Từ đó ta có k≥ 5,l≥ 5ta suy ra tồn tại

( ) ( )i0 i0 i0 i0

P y −P x My −x

Như vậy : 6 ⋮y i0 – x i0 ,suy ra | yi0 – xi0 |≤6 (2)

Từ (1) và (2) suy ra mâu thuẫn Vậy giả thiết phản chứng là sai , tức là đa thức Q(x) =

2( ) 9

P x − không thể có quá 1995 nghiệm nguyên (đpcm)

Nhận xét

Ta có thể chứng minh (1) như sau :

Vì k ≥5,l≥5 và x i ≠ y i, ,∀i j do đó có ít nhất ba nghiệm trong số l nghiệm y j i( =1, )l nằm lệch hẳn về bên phải ( hoặc bên trái ) các nghiệm x i i( =1, )k Không giảm tổng quát ta coi sự lệch này về bên phải Như vậy ta có :

Do k≥5 nên suy ra |y p+2− ≥x i| 7.Vậy (1) được chứng minh.

có nghiệm là

a) a2, b2, c2;

c

c b

b a

a b

+

−+

−+

−

1

1,1

1,1

x3 – 6x2 + 9x – 1 = 0.

Tương tự, ta tính được

.33

91

3)(

3

)1)(

1)(

1(

)1)(

1)(

1()1)(

1)(

1()1)(

1)(

1(1

11

+++++

+

−++

−+

+

+

=

+++

−++++

−++++

−

=+

−++

a

abc ca

bc ab c b

a

c b a

c b a c

b a c

b a c

c b

b

a

a

.13

31

3)(

)(

3

1

)1)(

1)(

1()1)(

1)(

1()1)(

11

1.1

11

+++++

+

+++

−+

+

−

=

+++++++

−+

−+

−

−+++

−

−

=

=+

−+

−++

−+

−+

a

abc ca

bc ab c

b

a

abc ca bc ab c b a

c b a c

b a c

b a

a

a c

c c

c b

b b

b

a

a

.3

13

1)

(1

)(

)(

11

++++++

−+++++

−

=+

−+

−

+

−

abc ca

bc ab c b a

abc ca

bc ab c

b a c

c b

b a

a

+

−+

−+

−

1

1,1

1,1

1

là 3 nghiệm của phương trình: x3 + 3x2 – x – 1/3 = 0

Bài 13: Rút gọn biểu thức

))(

())(

())(

(

2 2

2

b c a c

c a

b c b

b c

a b a

a A

2 2

))(

(

))(

()

)(

(

))(

()

)(

(

))(

()

b c a c

b x a x c a b c b

a x c x b c a b a

c x b x a x

−

−

−

−+

())(

())(

(

2 2

b c b

b c

a b

Mặt khác trong (2) cho x=y=z=1 , ta co 24=8C

Suy ra :C=3 Suy ra điều phải chứng minh

Bài 2: Chứng minh rằng: Không tồn tại đa thức bậc 2 với hệ số nguyên P(x)=ax2+bx+c nhận

Do b nguyên nên (4) chỉ xảy ra khi a=b=0 ( và do đó c=0)

Điều này mâu thuẫn với giả thiết: a khác 0

P a = P b = P c = , ở đây a,b,c là các số nguyên đôi một khác nhau Chứng minh rằng đa

thức P x( )không có nghiệm nguyên

Hướng dẫn – Đáp số:

Giả sử đa thức có nghiệm nguyên Theo định lý Bézout , P(x) co thể biểu diễn dưới dạng:

ở đây Q(x) cũng là đa thức với hệ số nguyên

Từ (1) và giả thiết suy ra :1 P a = ( ) = − a x Q a 2 0 ( ) ( )

Do |Q(a)| và |a-x0| là nguyên không âm, nên từ (2)

|a-x0|=1 (3)

Tương tự đối với b,c:

|b-x0|=1 ; |c-x0|=1 (4)

Các số trên thuộc tập hợp {-1;1} Vì thế 2 trong số chúng bằng nhau (nguyên lí Dirichlet) Suy ra : a=b ( trái giả thiết) Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Bài 4: Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên Cho a,b là hai số nguyên thỏa mãn điều kiện a<b

và P(a)=P(b)=1 Cho c,d là hai số nguyên thỏa mãn điều kiện c<d và P(c)=P(d)=-1 Giả thiết thêm rằng a<c Chứng minh a, b, c, d là 4 số nguyên liên tiếp

Vì thế đa thức Q(x)=1+P(x) nhận c,d làm nghiệm, nên theo định lý Be1zout, ta có

Q(x)=1+P(x)=(x-c)(x-d).R(x), ở đây R(x) cũng là đa thức với hệ số nguyên.Như vậy:

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a, đa thức

P x =x − x + +a x − x a+ không thể có hai nghiệm nguyên phân biệt.

Hướng dẫn – Đáp số:

Nếu x0 là nghiệm của đa thức thì x0 phải chẵn

suy ra giá trị của P(x0), P(1) từ đó :

Kết hợp ( 2) và (3)và x1, x2 là các số chẵn suy ra điều vô lý Điều phải chứng minh

Bài 6: Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên Giả sử P(0) và P(1) là các số nguyên lẻ.Chứng

minh rằng:đa thức P(x) không có nghiệm nguyên

Áp dụng hằng đẳng thức khai triển xn - yn kết hợp với (1) suy ra:

P(p)-P(q)⋮p-q suy ra P(p)-P(p) là số chẵn với mọi p là số nguyên chẵn khác 0

Mặt khác, P(0) là số nguyên lẻ suy ra: P(p) là số nguyên lẻ ( P(p)≠0 với mọi số nguyên chẵn)Tương tự, ta có P(p)-P(1) là chẵn với mọi p nguyên lẻ

Kết hợp với P(1) lẻ suy ra p lẻ thì P(p) lẻ (P(p)≠0 với mọi số nguyên lẻ)

Điều đó nghĩa là P(x) lẻ với mọi x nguyên, tức là đa thức không có nghiệm nguyên (điều phảichứng minh )

Giả sử đa thức có nghiệm hữu tỉ 0

p x q

Từ (4) và (5) và do a0,a2k là các số nguyên lẻ nên suy ra p và q củng là các số nguyên lẻ

Vế trái của (1) là một tổng của (2k+1) số nguyên lẻ, do đó tổng ấy không thể bằng 0

Suy ra điều phải chứng minh

Bài 8: Biết đa thức P(x)=-x5+x2+1 có 5 nghiệm đặt Q(x)=x2-2 Tính tích sau:

A=Q(x1) Q(x1) Q(x1) Q(x1) Q(x1)

Hướng dẫn – Đáp số:

Áp dụng định lý Bézout phân tích P(x) thành nhân tử

Từ đó suy ra : Tích cần tìm A=P( ).P(- )=-23

Bài 9: Cho đa thức với hệ số nguyên Biết P(x) nhận giá trị bằng 2 với 4 giá trị khác nhau của

x∈ℤ.chứng minh rằng , đa thức P(x) không thể nhận các giá trị 1,3,5,7,9

Xét đa thức Q(x)= P(x) -2 Như vậy đa thức với hệ số nguyên Q(x) có 4 nghiệm khác nhau

Lập phương 2 vế của (1): a3-6a-6

Chứng tỏ a là nghiệm của đa thức:

P(x) =x3-6x-6

Định lý ở trên thì nghiệm hữu tỉ của đa thức phải thuộc tập hợp {1,2,3,6}

Thử lại a là nghiệm suy ra a là số vô tỉ

Tương tự cho b : b3+5b-6=0⟺(b-1)(b2+b+6)

Suy ra b=1 là số hữu tỉ

nghiệm của đa thức tìm các nghiệm khác của đa thức ( nếu có)

Suy ra các nghiệm còn lại

Bài 11: Xét các đa thức bậc ba với hệ số nguyên :

P x =ax +bx + +cx d, a khác 0

Gọi H là tập hợp các đa thức nói trên thỏa mãn các điều kiện sau: a⋮3,b⋮3 nhưng cM3 1)Chứngminh rằng: P(x) thuộc H thì tồn tại số r∈{0;1;2} và tồn tại Q(x)∈H sao cho

và đa thức Q(x) ∈H sao cho P x r(3 + =) 3Q x( )

2) Giả sử P x( )∈H Theo câu 1), tồn tại số r1 ∈{0;1;2} và đa thức P x( )∈H sao cho :

3) Giả sử P(0), (1)P cũng không chia hết cho 3

với 3 giá trị nguyên liên tiếp nào đó của x Chứng minh rằng đa thức P x( )không có nghiệm nguyên

AD định lí Bézout suy ra 2; 2; 3− − nằn trong số các nghiệm của P x( )

Bài 14: Cho đa thức có dạng P x( )= + −x5 x4 9x3+ax2+ +bx c.

Biết rằng P x( )chia hết cho (x−2)(x+2)(x+3) Hãy tìm đa thức P x( )

từ (1) suy ra đa thức bậc nhất R x( )= − +(b 10)x a+ −5bchia hết cho đa thức Q x( )=x2 + +3x b

Do deg ( ) 2,Q x = còn deg ( ) 1R x ≤ nên từ R x Q x( )M( )⇒R x( ) 0≡ hay

Hướng dẫn – Đáp số: