Cấu trúc hình học của các đa tạp đầy với bất đẳng thức poincare có trọng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - PHÙNG THỊ DIỆU TUYỀN CẤU TRÚC HÌNH HỌC CỦA CÁC ĐA TẠP ĐẦY VỚI BẤT ĐẲNG THỨC POINCARE CÓ TRỌNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - PHÙNG THỊ DIỆU TUYỀN CẤU TRÚC HÌNH HỌC CỦA CÁC ĐA TẠP ĐẦY VỚI BẤT ĐẲNG THỨC POINCARE CÓ TRỌNG Chuyên ngành: Mã số: TOÁN GIẢI TÍCH 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THẠC DŨNG Hà Nội - 2016 Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn TS.Nguyễn Thạc Dũng Nhân dịp này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc chân thành tới Thầy Người cho biết muốn làm khoa học phải học, phải đọc Được làm việc hướng dẫn Thầy, thấy trưởng thành nhiều Thầy Người dành nhiều thời gian, công sức để hướng dẫn, kiểm tra giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo thầy cô khoa Toán Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội kiến thức, điều tốt đẹp mà nhận suốt trình học tập Khoa Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Phòng Sau Đại học nhà trường tạo điều kiện cho hoàn thành thủ tục học tập bảo vệ luận văn Cuối cùng, muốn bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, người thân bạn bè Những người bên cạnh động viên ủng hộ vật chất tinh thần sống học tập Mặc dù thân có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy, cô bạn Hà Nội, tháng năm 2016 Phùng Thị Diệu Tuyền Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.0.1 Định nghĩa đa tạp tô pô, đa tạp trơn 1.0.2 Ví dụ đa tạp trơn 1.1 Các tensơ phân thớ vectơ 1.1.1 Định nghĩa tensơ hiệp biến, tensơ phản biến tensơ thay phiên 1.1.2 Phân thớ vectơ 1.2 Các số thăng giáng 1.3 Liên thông độ cong 1.4 Đạo hàm hiệp biến trường vectơ 1.5 Liên thông Levi - Civita Hình học đa tạp đầy với bất đẳng trọng 2.1 Một số bổ đề phụ trợ 2.2 Tính liên thông vô hạn M 2.3 Các định lí triệt tiêu 6 10 11 14 15 17 thức Poincare có 21 21 25 36 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 Mở đầu Trong giải tích hình học, người ta biết không gian dạng vi phân điều hòa lý thuyết hàm điều hòa đa tạp Riemann đầy đủ có mối liên hệ mật thiết với cấu trúc hình học topo đa tạp Chẳng hạn, nghiên cứu Witten - Yau [10], tác giả chứng minh M n đa tạp Einstein compact có biên, n chiều (n ≥ 3) có số Yamabe dương đa tạp M có end, tức đa tạp M liên thông vô hạn Kết Witten-Yau sau cải tiến Cai Galloway [1], với điều kiện biên M có số Yamabe không âm Trong [9], X.Wang tổng quát hóa kết chứng minh kết sau Giả sử M đa tạp Riemann compact, bảo giác, n chiều với n ≥ 3, với độ cong Ricci bị chặn số thích hợp Nếu giá trị riêng thứ λ1 (M ) toán tử Laplace có cận phù hợp M liên thông vô hạn có cấu trúc topo giống hình trụ Ngay sau công bố Wang, Li Wang tiếp tục phát triển ý tưởng Wang chứng minh kết mạnh đa tạp đầy đủ không thiết compact, bảo giác (xem [6]) Do λ1 (M ) > 0, nguyên lý biến phân cho λ1 (M ) bất đẳng thức Poincare sau |∇φ|2 , φ2 ≤ λ1 (M ) M M với hàm φ ∈ Co ∞ (M ) hàm trơn có giá compact Trong tài liệu [4], tác giả xét đa tạp thỏa mãn bất đẳng thức Poincare có trọng khái quát nhiều kết họ [6] cho đa tạp thỏa mãn bất đẳng thức Poincare có trọng Nhắc lại rằng, đa tạp Riemann M n nói thỏa mãn bất đẳng thức Poincare có trọng với hàm trọng ρ(x) dương |∇φ|2 dV , ρ2 (x)φ2 (x)dV ≤ M M với hàm φ ∈ Co∞ (M ) hàm trơn có giá compact Đặc biệt, ρ(x) = λ1 (M ) số dương M đa tạp với phổ dương thỏa mãn bất đẳng thức Poincare có trọng với hàm trọng ρ ≡ λ1 (M ) Chúng ta nói đa tạp Riemann đầy đủ M có tính chất (Pρ ) bất đẳng thức Poincare có trọng, với hàm trọng ρ không âm xảy metric cảm sinh ρ định nghĩa dsρ = ρdsM metric đầy Ta định nghĩa S(R) = sup √ ρ, Bρ (R) với Bρ (R) cầu trắc địa bán kính R metric ds2ρ Trong tài liệu [7], tác giả chứng minh định lí sau Định lý 0.1 (Li -Wang) Cho M n đa tạp đầy với số chiều n ≥ Giả sử M thỏa mãn tính chất (Pρ ) với hàm trọng, khác không, ρ > Giả sử RicM (x) ≥ − n−1 ρ(x), ∀x ∈ M n−2 Nếu ρ thỏa mãn ước lượng lim inf R→∞ với F (R) = exp n−3 n−2 R R S(R) = 0, F (R) n ≥ Khi đó, n = M có end nonparabolic; M có hai end nonparabolic xác định M = R × N với warped metric product sau dsM = dt2 + η (t)dsN , đó, η(t) hàm dương N đa tạp compact Hơn nữa, ρ(t) hàm số phụ thuộc t thỏa mãn η η −1 = ρ lim infρ(x) > 0; R→∞ M có end parabolic end nonparabolic, cho M = R × N với warped metric product dsM = dt2 + η (t)dsN , đó, η(t) hàm dương N đa tạp compact Hơn nữa, ρ(t) hàm số phụ thuộc t thỏa mãn η η −1 = ρ lim infρ(x) > R→∞ Từ kết trên, câu hỏi thú vị đặt liệu có định lý tương tự định lý trên, với giả thiết tương tự định lý lại thỏa mãn tập compact M Trong báo [3], Lam nghiên cứu toán chứng minh độ cong Ricci M bị chặn bên tập compact K ⊂ M hàm λ1 (M ) đa tạp M có hữu hạn end tích vô hạn Bên cạnh đó, tác giả chứng minh với điều kiện phù hợp cận đo cong Ricci độ tăng hàm trọng không gian 1-dạng vi phân bình phương khả tích tầm thường Hệ là, đa tạp có thành phần liên thông vô hạn Mục tiêu luận văn nghiên cứu cách chi tiết hệ thống kiến thức liên quan đến toán nói Lam Luận văn trình bày lại cách tường minh tính toán lại cách cẩn thận lập luận, chứng minh kết báo [3] Với mục tiêu vậy, luận văn viết thành hai chương Trong chương một, trình bày lại kiến thức đa tạp Riemann, toán tử Laplace-Beltrami đa tạp Riemann, khái niệm liên thông Levi-Civita độ cong Ricci Chương hai phần luận văn Trong chương này, trình bày lại cách chi tiết kết chứng minh báo nói Chương hai bắt đầu vài bổ đề phụ trợ, đó, trình bày lại ước lượng gradient cho hàm điều hòa dương đa tạp Riemann với độ cong Ricci bị chặn dưới, trình bày ước lượng liên quan đến công thức Bochner cho hàm điều hòa.Trong phần thứ hai, trình bày lại kết báo Lam tính hữu hạn end đa tạp Riemann đầy đủ với độ cong Ricci bị chặn bên tập compact Phần cuối chương này, dùng để trình bày lại vài định lý kiểu triệt tiêu cho lớp 1-dạng vi phân điều hòa với lượng hữu hạn đa tạp Riemann thỏa mãn bất đẳng thức Poincare có trọng Chương Kiến thức chuẩn bị 1.0.1 Định nghĩa đa tạp tô pô, đa tạp trơn Định nghĩa 1.1 Cho M không gian tô pô Đa tạp M đa tạp tô pô M không gian Hausdorff; M thuộc phạm trù đếm thứ hai ; Với p ∈ M cố định, tồn đồ địa phương (ϕ, U, V ) U ⊂ M tập mở, V tập mở nằm Rn , p ∈ U ϕ : U → V đồng phôi Định nghĩa 1.2 Hai đồ địa phương (ϕ1 , U1 , V1 ) , (ϕ2 , U2 , V2 ) gọi tương thích hàm chuyển ϕ12 = ϕ2 ◦ ϕ−1 : ϕ1 (U1 ∩ U2 ) → ϕ2 (U1 ∩ V2 ) vi phôi Đa tạp tô pô M đa tạp trơn tồn Atlas cực đại gồm họ đồ {(ϕ, U, V )} cho ∪U = M đồ tương thích 1.0.2 Ví dụ đa tạp trơn Ví dụ 1.1 Mặt cầu n chiều Sn = (x1 , x2 , , xn+1 ) ∈ Rn+1 , n+1 xi = i=1 đa tạp trơn với Atlas A = Ui ± ∩ Sn , ϕi ± Thật vậy, đặt Ui + = x = (x1 , x2 , , xn+1 ) ∈ Rn+1 , xi > 0, i = 1, 2, n + Ui − = x = (x1 , x2 , , xn+1 ) ∈ Rn+1 , xi < 0, i = 1, 2, n + Khi đó, Ui + Ui − tập mở Rn+1 , với i = 1, 2, , n Từ ta có Ui ∩ Sn tập mở Sn , với i = 1, 2, , n Xét hình cầu n n B = ui < n u = (u1 , u2 , , un ) ∈ R , , i=1 ánh xạ f xác định f : Bn → R − |u|2 u→ Sử dụng hàm f , ta xây dựng đồ địa phương sau ϕi ± : Ui ± ∩ Sn → Bn (x1 , , xi−1 , ±f (x1 , , xi , , xn+1 ) , xi+1 , , xn+1 ) → (x1 , , xi , , xn+1 ) , ánh xạ đồng phôi tập mở Rn , với Ui ± ∩ Sn = {(x1 , x2 , , xi−1 , ±f (x1 , , xi , , xn+1 ) , xi+1 , , xn+1 )} Ta chứng minh Ui ± ∩ Sn , ϕi ± gồm đồ tương thích Thật vậy, xét hai đồ địa phương Ui + ∩ Sn , ϕi + Uj + ∩ Sn , ϕj + , với i = j Ta chứng minh hai đồ tương thích với Lấy x ∈ Ui + ∩ Sn ∩ Uj + ∩ Sn Khi đó, xi > 0, xj > Bởi định nghĩa + −1 : Bn → U + ∩ Sn xác định ϕ+ j j , ta có ϕj ϕj + −1 (x1 , x2 , , xn ) = (x1 , , xj−1 , f (x1 xn ) , xj+1 , xn ) Tương tự, định nghĩa ϕi + : Uj + ∩ Sn → Bn xác định (x1 , , xj−1 , f (x1 xn ) , xj , xn ) → (x1 , xi , xj−1 , f (x1 xn ) , xj+1 , xn ) hàm trơn từ Bn sang Bn Khi đó, ta có hàm chuyển tọa độ ϕi + ◦ ϕj + −1 (x1 , x2 , , xn ) = (x1 , xi , xj−1 , f (x1 xn ) , xj+1 , xn ) , −1 hàm trơn với i = j Tương tự, ta có ánh xạ ϕi + ◦ ϕj − −1 − − ϕi ◦ ϕj hàm trơn Do đó, A = Ui ± ∩ Sn , ϕi ± Atlas trơn nên xác định cấu trúc trơn Sn Vì vậy, Sn đa tạp trơn Định nghĩa 1.3 Cho M đa tạp trơn, p ∈ M cố định Ánh xạ ω : C ∞ (M ) → R gọi phép lấy đạo hàm p C ∞ (M ) thỏa mãn tính chất sau với hàm trơn f, g ∈ C ∞ (M ), với a, b ∈ R, ω ánh xạ tuyến tính, tức ω(af + bg) = aω(f ) + bω(g); ω thỏa mãn luật Leibnitz ω (f g) = f (p) ω (g) + g (p) ω (f ) Tập hợp phép lấy đạo hàm không gian C ∞ (M ) p gọi không gian tiếp xúc với M p kí hiệu Tp M Người ta chứng minh Tp M không gian vectơ dim Tp M = n Ta định nghĩa không gian đối ngẫu Tp M không gian đối tiếp xúc với M p ký hiệu Tp ∗ M Tp M , ta hiểu phép hợp hợp rời rạc phần tử Đặt T M = p∈M Tp M Khi đó, người ta trang bị cấu trúc tô pô T M để T M đa tạp trơn, T M gọi không gian tiếp xúc M Định nghĩa 1.4 Cho M, N hai đa tạp trơn có biên biên ánh xạ F : M → N ánh xạ trơn Khi đó, với p ∈ M , vi phân ánh xạ F p ánh xạ dFp : Tp M → TF (p) N v → dFp (v) ∈ TF (p) N xác định dFp (v) f := vp (f ◦ F ), với f ∈ C ∞ (N ) Chú ý 1.1 Cho F : M → Rn với M đa tạp trơn có biên biên Nếu đồng TF (p) R với R dFp (Xp ) = Xp (F ) Định nghĩa 1.5 Trường vectơ trơn X M ánh xạ X : M → T M xác định X biến p ∈ M thành Xp ∈ Tp M cho với f ∈ C ∞ (M ) Xf (p) = Xp f hàm trơn 1.1 1.1.1 Các tensơ phân thớ vectơ Định nghĩa tensơ hiệp biến, tensơ phản biến tensơ thay phiên Cho V không gian vectơ hữu hạn chiều V ∗ không gian vectơ đối ngẫu V Cặp V V ∗ ánh xạ , :V∗×V →R (ω, X) → ω, X xác định ω, X := ω (X) Ở đây, ta sử dụng Bổ đề 5.1 tài liệu [7] Mặt khác, ta tính 1−δε (1 − t) 2(n−2) −2 n−1 − log δ, dt = n−1 n−3 1−ε ε n−3 n−1 − (δε) với n = với n ≥ n−3 n−1 Kết hợp đánh giá trên, ta nhận kết sau CS 2 |∇χ| ψ g ≤ 2(n−2) n−1 n−3 n−3 (R + 1)(− log)−2 − δ n−1 ε n−1 với n ≥ −1 với n = CS(R + 1)(− log δ) E1 với C số phụ thuộc vào R Từ đó, ta có CS 2 |∇χ| ψ g ≤ 2(n−2) n−1 n−3 n−3 (R + 1)(− log)−2 − δ n−1 ε n−1 với n ≥ CS(R + 1)(− log δ)−1 M với n = Chọn δ = 21 , ε = exp(−2R) với n ≥ δ = ε = exp(−Rq(R)) với n = 3, q(R) = S(R+1) R Khi đó, |∇χ|2 ψ g ≤  2(n−2)   CS n−1 (R + 1) − log ≤ 1−    CS 2(n−2) n−1 S(R+1) exp((R+1) n−3 n−1 ) C S(R+1) R+1 n−3 n−1 2(n−2) n−1 , n≥4 R+1 R , n=3 34 exp −2R n−3 n−1 , n ≥ S(R+1) R (R + 1) exp −2R n−3 n−1 ,   CS(R + 1) − log exp −R   C ≤   −1 CS(R + 1) − log exp −R   M −2 S(R+1) R , n≥4 −1 , n=3 n=3 2 |∇ψ| χ g ≤    CS   CS Bρ (R)\Bρ (R−1) ≤ ≤ 2(n−2) n−1 2(n−2) n−1   2(n−2) n−1       C    exp (−2R) 2(n−2) n−1 (R) exp (R) exp 2R S(R) n−3 exp(R n−2 ) C 2(n−2) S n−1 (R) R 2(n−2) n−1 − n−1 exp(−2R), n≥4 −1 S(R+1) R (R) exp −2R CS  CS (R) R exp 2R−2R exp(−2R), n = 4R n−1 − 2R , S(R+1) − 2R R 2(n−2) n−1 S(R+1) R+1 , n=3 n≥4 , 2(n−2) n−1 n≥4 √ R+1 , n = R Sử dụng giả thiết hàm ρ cho R → +∞ ta nhận |∇χ|2 ψ g → 0, M |∇ψ|2 χ2 g → Bρ (R)\Bρ (R−1) Kết hợp (2.18) (2.19) ta |∇φ|2 g ≤ 2 Bρ (R)\B(Ro −1) |∇ψ|2 χ2 g + |∇ψ|2 χ2 g B(Ro )\B(Ro −1) Bρ (R)\Bρ (R−1) |∇χ|2 ψ g +2 Bρ (R)\B(Ro −1) Cho R → ∞, bất đẳng thức trở thành, |∇φ|2 g ≤ 2 M \B(Ro −1) |∇ψ|2 χ2 g + B(Ro )\B(Ro −1) |∇χ|2 ψ g M \B(Ro −1) Do M \B(Ro − 1) ⊂ M nên, bất đẳng thức biến đổi thành M \B(Ro −1) |∇φ|2 g ≤ |∇ψ|2 χ2 g + B(Ro )\B(Ro −1) 35 |∇χ|2 ψ g , M điều có nghĩa là, |∇φ|2 g ≤ 2 M \B(Ro −1) |∇ψ|2 χ2 g (2.22) B(Ro )\B(Ro −1) Lại cho R → ∞, (2.15) tương đương với |∇φ|2 g φ2 g ≤ ε M \B(Ro −1) M \B(Ro −1) Kết hợp (2.22) với bất đẳng thức trên, ta |∇ψ|2 χ2 g φ2 g ≤ ε M \B(Ro −1) B(Ro )\B(Ro −1) Do M \B(Ro ) ⊂ M \B(Ro − 1), B(Ro )\B(Ro − 1) ⊂ B(Ro ) nên, g2 ≤ C ε M \B(Ro ) g , C = C(n) B(Ro ) Hơn nữa, B(2Ro )\B(Ro ) ⊂ M \B(Ro ) nên ta thu g2 ≤ C ε g2, B(Ro ) B(2Ro )\B(Ro ) tức là, g2 − ε ε B(2Ro ) g2 ≤ C B(Ro ) g2 B(Ro ) Điều suy ra, g2 ≤ C B(2Ro ) g , C = C(n, ε) (2.23) B(Ro ) Như vậy, khẳng định chứng minh Do vậy, ta có điều phải chứng minh 2.3 Các định lí triệt tiêu Trong phần này, nghiên cứu không gian H L2 (M ) Nếu f hàm điều hòa với tích phân Dirichlet hữu hạn vi phân toàn phần df hàm f 1-dạng tích phân điều hòa L2 Từ định lí Li Tam [7], ta có dim H L2 (M ) + ≥ dim K (M ), hay 36 dim H (L(M )) + ≥ số end nonparabolic M Nếu giả sử λ1 (M ) > dim H L2 (M ) + ≥ số end tích vô hạn M Do vậy, λ1 (M ) > không gian dạng vi phân điều hòa bình phương khả tích tầm thường đa tạp cho có tối đa end với thể tích hữu hạn Nhìn chung việc ước lượng số chiều H L2 (M ) mạnh ước lượng số end nonparabolic M (nếu ước lượng số end tích hữu hạn ta có thêm điều kiện λ1 (M ) > 0) Trong phần trước, thực chất chứng minh ω hàm điều hòa L2 ω đóng Đặc biệt, h = |ω| h thỏa mãn công thức Bochner ∆h ≥ RicM (ω, ω) |∇h|2 + h (n − 1) h Chúng ta bắt đầu chứng minh ước lượng cho dạng vi phân thỏa mãn công thức Bochner nêu Bổ đề 2.3 Cho b > −1, giả sử h hàm không âm thỏa mãn bất đẳng thức h∆h ≥ −ah2 + b|∇h|2 , với a số Với ε > 0, ta có ước lượng sau −1 +1 ε |∇ (φh)|2 ≤ b (b (1 − ε) + 1) M h2 |∇φ|2 + a M φ2 h2 , M với ∀φ ∈ C0∞ (M ) có giá compact Ngoài ra, h2 = o(R2 ), Bρ (R) |∇h|2 ≤ a b+1 M h2 M Đặc biệt, h ∈ L2 (M ) h có tích phân Dirichlet hữu hạn Chứng minh Giả sử φ ∈ C0∞ (M ) hàm trơn, có giá compact Xét trường vectơ ω = φ2 h∇h, theo Định lí Stoke, ta có div φ2 h∇h 0= M φ2 h∆h + = M ∇ φ2 h , ∇h , M 37 từ đó, φ2 h∆h = − M ∇ φ2 h , ∇h M ∇ (φh) , −φ∇h + = M h∇φ, −φ∇h M ∇ (φh) + h∇φ, −φ∇h = M ∇ (φh) + h∇φ, h∇φ − ∇ (φh) = M |h∇φ|2 + = M ∇ (φh) , h∇φ − M |h∇φ|2 − = M |∇ (φh)|2 ∇ (φh) , h∇φ − M M |∇ (φh)|2 (2.24) M Từ giả thiết hàm h, h∇h ≥ −ah2 + b|∇h|2 , ta có, φ2 −ah2 + b|∇h|2 = −a φ2 h∆h ≥ M M φ2 |∇h|2 φ2 h2 + b M M Kết hợp bất đẳng thức với (2.24), ta h|∇φ|2 − M |∇ (φh)|2 ≥ −a M φ2 |∇h|2 , φ2 h2 + b M M điều tương đương với h|∇φ|2 + a M φ2 |∇h|2 + φ2 h2 ≥ b M M 38 |∇ (φh)|2 M (2.25) Mặt khác, φ2 |∇h|2 = M φ2 ∇h, ∇h M = φ∇h, φ∇h M ∇ (φh) − h∇φ, ∇ (φh) − h∇φ = M |∇ (φh)|2 − = M h2 |∇φ|2 ∇ (φh) , h∇φ + M (2.26) M Theo bất đẳng thức Schwarz, | ∇ (φh) , h∇φ | ≤ |∇ (φh)| |h∇φ| , theo bất đẳng thức Cauchy, ta đánh giá vế phải bất đẳng thức sau |∇ (φh)| |h∇φ| ≤ ε|∇ (φh)|2 + |h∇φ|2 , ∀ε > ε Từ đánh giá trên, (2.26) trở thành φ2 |∇h|2 ≥ M |∇ (φh)|2 − M M |∇ (φh)|2 + ≥ M h2 |∇φ|2 |∇ (φh)| |h∇φ| + M h2 |∇φ|2 − ε M |∇ (φh)|2 − M ε h2 |∇φ|2 M Từ đó, ta có kết tương đương sau φ2 |∇h|2 ≥ (1 − ε) M |∇ (φh)|2 + − M ε h2 |∇φ|2 , ∀ε > (2.27) M Kết hợp (2.25) với (2.27) ta h2 |∇h|2 + a M |∇ (φh)|2 + b − φ2 h2 ≥ b (1 − ε) M ε h2 |∇φ|2 + M M |∇ (φh)|2 , M bất đẳng thức viết lại |∇ (φh)|2 ≤ a (b (1 − ε) + 1) M φ2 h2 + − b − M ε h2 |∇φ|2 , M 39 hay |∇ (φh)|2 ≤ a (b (1 − ε) + 1) M −1 ε φ2 h2 + + b h2 |∇φ|2 , ∀ε > M M (2.28) Ta chứng minh công thức Bổ đề Để chứng minh phần lại, ta chọn B(R) φ= M \B(2R) cho |∇φ| ≤ C/R B(2R)\B(R) Khi đó, (2.28) trở thành |∇h|2 ≤ a (b (1 − ε) + 1) B(R) −1 ε h2 + + b h2 R−2 , ∀ε > B(R) B(2R)\B(R) Kết hợp với điều kiện B(2R) ⊂ B(R), ta kết sau |∇h|2 ≤ a (b (1 − ε) + 1) B(R) h2 + + b −1 ε R−2 h2 B(2R) B(R) Cho R → +∞, bất đẳng thức trở thành |∇h|2 ≤ a (b (1 − ε) + 1) M h2 (2.29) M h2 = o R2 , (2.29) trở thành Lại cho ε → sử dụng giả thiết Bρ (R) |∇h|2 ≤ a (b + 1) M h2 M Viết lại biểu thức ta |∇h|2 ≤ a b+1 h2 M M Ta chứng minh xong Bổ đề 2.3 Chú ý 2.1 Kết thu bổ đề a = a(x), cụ thể, φ2 |∇h|2 ≤ a(x) M φ2 h2 + + b M −1 ε h2 |∇φ|2 , M 40 với ∀ε > Và |∇h|2 ≤ b+1 M a(x)h2 M Hệ 2.1 Gọi h hàm số thỏa mãn giả thiết Bổ đề 2.3 Giả sử λ1 (M ) > độ cong Ricci M thỏa mãn RicM ≥ − (b + 1) λ1 (M ) + δ, với δ > Nếu h2 = o(R2 ) h ≡ Đặc biệt, từ kết ta thu kết Bρ (R) sau Li Wang [6] Giả sử M n đa tạp Rieman đầy n-chiều, không compact với λ1 (M ) > độ cong Ricci thỏa mãn n λ1 (M ) + δ, n−1 RicM ≥ − với δ > Khi đó, H L2 (M ) = Chứng minh Theo nguyên lí biến phân λ1 (M ),    |∇φ| M λ1 (M ) = inf   , φ ∈ Co∞ (M ) φ2    ,   M ta có, |∇(φh)|2 λ1 (M ) ≤ M φ2 h2 M Từ λ1 (M ) |∇(φh)|2 φ2 h2 ≤ M (2.30) M Nhân hai vế (2.30) với b (1 − ε) + > 0, ta nhận kết sau |∇ (φh)|2 φ2 h2 ≤ (b (1 − ε) + 1) (b (1 − ε) + 1) λ1 (M ) M M Áp dụng Bổ đề 2.3, ta có φ2 h2 ≤ a (b (1 − ε) + 1) λ1 (M ) M φ2 h2 + b M −1 +1 ε h2 |∇φ|2 M 41 Bất đẳng thức biến đổi lại sau φ2 h2 ≤ bελ1 (M ) ((b + 1) λ1 (M ) − a) M φ2 h2 + b −1 +1 ε M h2 |∇φ|2 , M điều tương đương với φ2 h2 ≤ bελ1 (M ) δ M φ2 h2 + b −1 +1 ε h2 |∇φ|2 , M M với δ = ((b + 1) λ1 (M ) − a) > 0, với ε > 0, hàm φ ∈ C0∞ (M ) trơn, có giá compact Chọn B (R) φ= M \B (R) cho |∇φ|2 ≤ C R2 B (2R) \B (R) Khi đó, bất đẳng thức trở thành h2 + R−2 b h2 ≤ bελ1 (M ) δ −1 +1 ε B(2R)\B(R) B(R) B(R) h2 , Do B (R) ⊂ B (2R) nên δ h2 + R−2 b h2 ≤ bελ1 (M ) B(R) −1 +1 ε B(2R) h2 (2.31) B(2R)\B(R) h2 = O(R2 ) cho R → +∞ (2.31) trở thành, Sử dụng giả thiết B(R) h2 ≤ bελ1 (M ) δ M h2 M Cho ε bất đẳng thức tiến đến 0, ta h2 ≤ δ M Vì δ > nên h2 ≤ M Mặt khác, theo giả thiết h ≥ 0, từ bất đẳng thức ta có h ≡ , từ kết trên, ta chứng minh kết Li Đặc biệt với b = n−1 Wang Ta có điều phải chứng minh 42 Định lý 2.2 Cho M n đa tạp đầy, không compact có số chiều n Đa tạp M thỏa mãn bất đẳng thức Poincare với hàm trọng ρ không âm Giả sử, độ cong Ricci M thỏa mãn RicM (x) ≥ − n ρ (x) + δ, n−1 với δ > Nếu ρ (x) thỏa mãn ρ (x) = o rp2−α (x) , rp (x) hàm khoảng cách từ x đến điểm p cố định < α < 2, H L2 (M ) = Chứng minh Giả sử ω ∈ H L2 (M ) , h = |ω| ∈ L2 (M ) Theo bất đẳng thức Poincare M (2.32) M Kết hợp (2.32) với Bổ đề 2.3, b = ρφ2 h2 ≤ a (b (1 − ε) + 1) |∇ (φh)|2 ρφ2 h2 ≤ (b (1 − ε) + 1) (b (1 − ε) + 1) M n−1 , a = (b + 1) ρ − δ , ta có −1 +1 ε φ2 h2 + b M h2 |∇φ|2 M Bất đẳng thức tương đương với, φ2 h2 ≤ bε δ M ρφ2 h2 + b −1 +1 ε M h2 |∇φ|2 , (2.33) M δ = (b + 1) ρ − a Chọn φ= B (R) M \B (2R) α cho |∇φ|2 ≤ C/R2 B (2R) \B (R) chọn ε = R −2 Khi đó, với giả thiết ρ = o rp 2−α (x) bất đẳng thức (2.33), ta δ h2 ≤ b Rα/2−2 CR−2 h2 + bρRα/2−2 −1 +1 B(2R)\B(R) B(R) B(R) = C bR−α/2 + (1 − b) R−2 h2 + bR2−α Rα/2−2 B(2R)\B(R) B(R) Thu gọn bất đẳng thức với lưu ý, h2 = B(2R)\B(R) h2 h2 − B(2R) 43 B(R) h2 , h2 ta kết sau, h2 ≤ C bR−α/2 + (1 − b) R−2 δ h2 + bR−α/2 B(2R) B(R) h2 B(R) Do B (R) ⊂ B (2R), ta có h2 ≤ C bR−α/2 + (1 − b) R−2 δ B(R) h2 + bR−α/2 B(2R) Từ giả thiết h ∈ L2 (M ), tức h2 (2.34) B(2R) h2 = o R2 cho R biểu thức B(2R) tiến ∞, ta h2 ≤ M Do đó, h ≡ Định lý chứng minh Định lý 2.3 Cho M n đa tạp đầy, không compact, số chiều n thỏa mãn bất đẳng thức Poincare với hàm trọng ρ không âm Giả sử, độ cong Ricci M thỏa mãn RicM (x) ≥ − n ρ (x) + δρ, n−1 với δ > Nếu ρ (x) thỏa mãn ρ (x) = o rp2−α (x) , rp (x) hàm khoảng cách từ x đến điểm p cố định < α < 2, H L2 (M ) = Chứng minh Giả sử ω ∈ H L2 (M ) , h = |ω| ∈ L2 (M ) Theo bất đẳng thức Poincare với hàm trọng ρ, ta có M M Kết hợp bất đẳng thức với Bổ đề 2.3 b = ρφ2 h2 ≤ a (b (1 − ε) + 1) M |∇ (φh)|2 ρφ2 h2 ≤ (b (1 − ε) + 1) (b (1 − ε) + 1) φ2 h2 + b n−1 , a = (b + 1) ρ − δ , ta có −1 +1 ε M h2 |∇φ|2 M Bất đẳng thức tương đương với ((b (1 − ε) + 1) ρ − a) φ2 h2 ≤ b M −1 +1 ε h2 |∇φ|2 , M 44 hay φ2 h2 ≤ bε δ M ρφ2 h2 + b −1 +1 ε M h2 |∇φ|2 (2.35) M Ta chọn φ= B (R) M \B (2R) 2−α (x, p) cho |∇φ| ≤ C R B (2R) \B(R) sử dụng giả thiết ρ = o r đặt ε = Rα/2−2 Thực bước biến đổi đánh giá để thu công thức (2.34) Định lý 2.2, (2.35) trở thành, δ ρh2 ≤ bR−α/2 B(R) h2 + C bR−α/2 + (1 − b) R−2 B(2R) h2 , B(2R) với C số Sử dụng giả thiết h ∈ L2 (M ) biểu thức cho R → +∞, ta ρh2 = M Theo Bổ đề 2.3, ta có |∇h|2 ≤ ((b + 1) − δ) b+1 M ρh2 M ≤ 1− δ b+1 ρh2 , M hay |∇h|2 ≤ M Do |∇h| = hay h = C ∈ L2 (M ), với ∀C số Do vậy, M nonparabolic M phải tích hữu hạn hay h = 45 Kết luận Trong luận văn này, nghiên cứu cấu trúc hình học đa tạp đầy với bất đẳng thức Poincare có trọng Nội dung luận văn trình lại báo Lam [3], kết bao gồm Tìm hiểu trình bày lại kiến thức đa tạp Riemann; Các tensơ hiệp biến, phản biến, thay phiên, phân thớ véctơ; Các số nâng lên hạ xuống; Liên thông độ cong; Đạo hàm hiệp biến trường véctơ Liên thông Levi - Civita Trình bày chi tiết định lí tính liên thông vô hạn đa tạp M định lí tính triệt tiêu không gian 1-dạng vi phân điều hòa bình phương khả tích 46 Tài liệu tham khảo [1] M.Cai and G.J.Galloway, Boundaries of zero scalar curvature in the AdS/CFT correspondence, Adv Theor Math Phys (1999), 1769 - 1783 MR1812136 (2002k:53080) [2] S Y Cheng and S T Yau, Differential equations on Riemannian manifolds and their geometric applications, Comm Pure Appl Math 28(1975), 333354 MR0385749 (52:6608) [3] K H Lam, Results on a weighted Poincaré inequality of complete manifolds, Tran Amer Math Soc., 362 (2010) No 10, 5043 - 5062 [4] P Li and L F Tam, The heat equation and harmonic maps of complete manifolds, Invent Math 105(1991), 1-46 MR1109619 (93e:58039) [5] P Li and L F Tam, Harmonic functions anh the structure of complete manifolds, J Diff Geom 35(1992), 359-383 MR1158340 (93b:53033) [6] P Li and J Wang, Complete manifolds with poisitive spectrum,J Diff Geom 58(2001), 501-534 MR1906784 (2003e:58046) [7] P Li and J Wang , Weighted Poincaré inequality anh rigidity of complete manifolds, Ann.Scient Éc Norm Sup., 4e série, t.39(2006), 921-982 MR2316978 (2008d:53053) [8] R Mazzeo, The Hodge cohomology of a conformally compact metric , J Diff Geom 28(1988), 309-339 MR961517 (89i:58005) [9] X Wang, On conformally compact Einsstein manifolds, Math Res Lett 8(2001), 671-688 MR1879811 (2003d:53075) [10] E Witten and S T Yau, Connectedness of the boundary in the AdS/CFT correspondence, Adv Theor Math Phys 3(1999), 1635-1655, MR1812133 (2002b:53071) 47 [11] S T Yau,Harmonic functions on complete Riemannian manifolds, Comm Pure Appl Math 28 (1975), 201-228, MR0431040(55:4042) 48 [...]... hằng số dương thì M là đa tạp với phổ dương Chúng ta nói rằng đa tạp M có tính chất (Pρ ) nếu M thỏa mãn bất đẳng thức Poincare có trọng, với hàm trọng ρ không âm và metric ds2ρ được định nghĩa bởi dsρ 2 = ρdsM 2 , là metric đầy 20 Chương 2 Hình học của các đa tạp đầy với bất đẳng thức Poincare có trọng 2.1 Một số bổ đề phụ trợ Bổ đề 2.1 Với mọi hàm l (x), giả sử RicM (x) ≥ − n−1 l (x) n−1 Nếu f là... cong Ricci của M tại p Tensơ Ricp (Xp ) = Ric(Xp , Xp ) được gọi là độ cong Ricci của M tại p theo hướng Xp với mọi Xp là vectơ tiếp xúc đơn vị 19 Định nghĩa 1.21 Đa tạp M n được nói là thỏa mãn bất đẳng thức Poincare với hàm trọng ρ(x) dương nếu |∇φ|2 dV , ρ2 (x)φ2 (x)dV ≤ M M với mọi hàm φ ∈ Co∞ (M ) là hàm trơn và có giá compact Đặc biệt, khi ρ(x) = λ1 (M ) là hằng số dương thì M là đa tạp với phổ... ta có |∇f | (x) ≤ C sup Bρ (x,1) Ta có điều phải chứng minh 22 √ ρ f (x) Bổ đề 2.2 ([11]) Cho M n là đa tạp Rienmann với số chiều n ≥ 2 Giả sử độ cong Ricci của M thỏa mãn điều kiện cận dưới RicM (x) ≥ − (n − 1) τ (x), ∀x ∈ M Giả sử rằng, hàm f là hàm khác hàm hằng trên đa tạp M Khi đó, hàm h = |∇f | thỏa mãn bất đẳng thức h∆h ≥ − (n − 1) τ h2 + |∇h|2 n−1 n−1 Ngoài ra, nếu g = h n−2 thì bất đẳng thức. .. −αg, n−2 với α = inf B(p,2Ro ) n − n−1 2 RicM Vì ∆g ≥ −αg , theo bất đẳng thức về giá trị trung bình của Li và Tam trong [4], ta có g2, g 2 (x) ≤ C1 B(Ro ) với C1 = C1 (n, α, ν), ν = Vx (Ro ) Do B(Ro ) ⊂ B(2Ro ) nên bất đẳng thức inf x∈B(Ro ) dẫn tới g 2 (x) ≤ C1 g2 (2.16) B(2Ro ) Kết hợp khẳng định 1 với (2.16), ta được sup g 2 ≤ C2 g2, C2 = C2 (n, ε, α, ν) B(Ro ) B(Ro ) Mặt khác, theo bất đẳng thức. .. hợp bất đẳng thức trên với (2.17) ta được dim K o (M ) = dim K + 1 ≤ C4 , với C4 = C4 (C3 , Vp (Ro )) Nếu lim inf ρ(x) > 0 thì theo Hệ quả 2.3 trong [7], ta có các end nonparabolic x→∞ có thể tích vô hạn Phần còn lại ta sẽ chứng minh khẳng định 1 Nhắc lại, khẳng định 1 nói rằng g2 ≤ C B(2Ro ) g 2 , C = C(n, ε) B(Ro ) Thật vậy, đặt φ = ψχ, với ψ và χ là các hàm sẽ được xác định sau Theo bất đẳng thức. .. Bρ (x,1) với C1 là hằng số chỉ phụ thuộc vào n, trong đó n là số chiều của đa tạp M Đặc biệt, nếu cận dưới của độ cong Ricci của M thỏa mãn RicM \K (x) ≥ − n−1 ρ(x) + ε, n−1 với K là tập compact trong đa tạp M và ε > 0, thì |∇f | (x) ≤ C sup √ ρ f (x), Bρ (x,1) với C = C (n) , Bρ (x, 1) ∩ K = ∅ Chứng minh Theo ước lượng của Cheng và Yau trong [2], ta ước lượng gradient cho hàm điều hòa dương với mọi... β=2 Kết hợp bất đẳng thức trên với (2.6), ta có kết quả n n 2 f1α 2 + fij ≥ 2 α=2 i,j=1 n f11 2 n−1 n ≥ min 2, n−1 ≥ n n−1 n f1j 2 j=1 24 n f1j 2 j=1 2 Kết hợp bất đẳng thức trên với (2.3) ta được n |∇h| + h∆h ≥ − (n − 1) τ h + n−1 2 n f1j 2 2 j=1 n |∇h|2 ≥ − (n − 1) τ h + n−1 2 Điều này tương đương với ∆h ≥ − (n − 1) τ h + |∇h|2 (n − 1)h (2.7) n−2 Tiếp theo ta đi chứng minh phần còn lại của Bổ đề... Ta có điều phải chứng minh 2.2 Tính liên thông tại vô hạn của M Định lý 2.1 Giả sử M n là đa tạp đầy với số chiều n ≥ 3 và thỏa mãn tính chất (Pρ ) Giả sử độ cong Ricci của M thỏa mãn điều kiện: RicM \K (x) ≥ − n−1 ρ(x) + ε˜, n−2 25 với mọi ε˜ > 0, tập K compact và K ⊆ M Nếu ρ thỏa mãn lim inf R→∞ với S(R) = 0, F (R) n−3 exp( n−2 R) , n ≥ 4 R ,n = 3 F (R) = thì M có hữu hạn end nonparabolic Nếu có. .. hạng k Một nhát cắt của E là một ánh xạ liên tục σ : M → E sao cho π ◦ τ = idM hay σp ∈ Ep ⊂ E, ∀p ∈ M Đặt Tl k (M ) = Tlk (Tp M ), p∈M và Λk (M ) = Λk (Tp M ) p∈M Khi đó, người ta có thể trang bị một cấu trúc tô pô trên Tl k (M ) và Λk (M ) để biến chúng thành các đa tạp trơn Đa tạp Tl k (M ) được gọi là phân thớ tensơ l-phản biến, k -hiệp biến hay phân thớ tensơ kiểu (l, k) Đa tạp Λk (M ) được gọi... là một k -dạng vi phân 1.2 Các chỉ số thăng và giáng Định nghĩa 1.12 Cho M là đa tạp trơn Một metric Riemann trên M là một trường 2-tensơ hiệp biến, g ∈ T 2 (M ) sao cho (i) g là đối xứng, g(Xp , Yp ) = g(Yp , Xp ) với mọi trường vectơ trơn X, Y , với mọi p ∈ M (ii) g xác định dương g (X, X) > 0 , với mọi X = 0 Đa tạp Riemann M cùng với một metric Riemann g được gọi là đa tạp Riemann Cho g là metric