Đề tuyển sinh vào 10 môn toán có đáp án số 71

ĐỀ 71 Bài 1. (2,0 điểm) 1. Rút gọn biểu thức: 3 1 x 9 A . x 3 x x 3 x −   = +  ÷ − +   với x > 0, x ≠ 9 2. Chứng minh rằng: 1 1 5. 10 5 2 5 2   + =  ÷ − +   Bài 2. (2,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d): y = (k - 1)x + n và 2 điểm A(0; 2) và B(-1; 0) 1. Tìm giá trị của k và n để : a) Đường thẳng (d) đi qua 2 điểm A và B. b) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng ( ∆ ) : y = x + 2 – k 2. Cho n = 2. Tìm k để đường thẳng (d) cắt trục Ox tại điểm C sao cho diện tích tam giác OAC gấp hai lần diện tích tam giác OAB. Bài 3. ( 2,0 điểm) Cho phương trình bậc hai: x 2 – 2mx +m – 7 = 0 (1) với m là tham số 1. Giải phương trình với m = -1 2. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai ngiệm phân biệt với mọi giá trị của m. 3. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x 1 ; x 2 thoả mãn hệ thức 1 2 1 1 16 x x + = Bài 4 . ( 3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H ( H nằm giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O;R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O;R) tại điểm K khác A, hai dây MN và BK cắt nhau tại E. 1. Chứng minh tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp và ∆ CAE đồng dạng với ∆ CHK 2. Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F. Chứng minh ∆ NFK cân. 3. Giả sử KE = KC. Chứng minh : OK // MN và KM 2 + KN 2 = 4R 2 . Bài 5 . ( 0,5 điểm) Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn : a + b + c = 3. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 a 1 b 1 c 1 4 − + − + − ≥ − 1 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Bài 1. (2,0 điểm) Câu Nội dung Điểm 1 x x xxx A 9 . 3 1 3 3 −         + + − = 3 1 9 . ( 3) 3 x x x x x   − +  ÷ − +   x xx xxx xxx A )3)(3( . )3)(3( 393 +− +− −++ = xxxx xxx A )3)(3( )3)(3).(9( +− +−+ = x x A 9+ = 0,25 0,25 0,25 0,25 2 Biến đổi vế trái: ) 25 1 25 1 (5 + + − =VT )25)(25( 2525 5 +− −++ = = 10 45 52 5 = − 0,5 0,5 Bµi 2. (2,0 ®iÓm) C©u Néi dung §iÓm 1a §êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(0; 2) ⇔ n = 2 0,25 Đường thẳng (d) đi qua điểm B (-1; 0) ⇔ 0 = (k -1) (-1) + n ⇔ 0 = - k + 1 +2 ⇔ k = 3 Vậy với k = 3; n = 2 thì (d) đi qua hai diểm A và B 0,25 0,25 1b Đường thẳng (d) song song với đường thẳng ( ∆ ) : y = x + 2 – k ⇔    ≠− =− nk k 2 11 ⇔    ≠ = 0 2 n k Vậy với    ≠ = 0 2 n k thì Đường thẳng (d) song song với đường thẳng ( ∆ ) 0,25 0,25 0,25 2 Với n = 2 phương trình của (d) là: y = (k - 1) x + 2 đường thẳng (d) cắt trục Ox ⇔ k - 1 ≠ 0 ⇔ k ≠ 1 0,25 Giao điểm của (d) với Ox là )0; 1 2 ( k C − 2 ( ) C( 2 1-k ; 0) B(-1; 0) A(0;2) x y O 1 2 các ∆ OAB và OAC vuông tại O OCOAS OAC . 2 1 = ; OBOAS OAB . 2 1 = S OAC = 2S OAB ⇔ OC = 2.OB ⇔ Bc xx .2= ⇔ 1.2 1 2 −= − k ⇔       =⇔−= − =⇔= − 22 1 2 02 1 2 k k k k ( thoả mãn) Vậy với k = 0 hoặc k = 2 thì S OAC = 2S OAB 0,25 Bài 3. ( 2,0 điểm) Câu Nội dung Điểm 1 Với m = -1 ta có pT: x 2 + 2x -8 = 0 ∆ ' = 1 2 - 1(-8) = 9 ⇒ x 1 = - 1 + 9 = 2; x 2 = -1 - 9 = -4 Vậy với m = - 1phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 = 2; x 2 = - 4 0,25 0,25 0,25 2 ∆ ' = m 2 - m + 7 4 27 ) 2 1 ( 2 +−= m > 0 với mọi m Vậy pt(1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m 0,25 0,25 0,25 3 Vì pt(1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m nên theo Viet ta có:    −= =+ 7 2 21 21 mxx mxx Theo bài ra 1 2 1 1 16 x x + = ⇔ 16 21 21 = + xx xx ⇔ 16 7 2 = −m m ⇔ m = 8 KL: m = 8 0,25 0,25 Bµi 4 . ( 3,5 ®iÓm) C©u Néi dung §iÓm 3 F E N M C K O A B H h1 T E N M C K O B A H h2 1 Ta cã ∠ AKE = 90 0 (….) vµ ∠ AHE = 90 o ( v× MN ⊥ AB) ⇒ ∠ AKE + ∠ AHE = 180 0 ⇒ AHEK lµ tø gi¸c näi tiÕp 0,25 0,25 0,25 0,25 Xét ∆ CAE và ∆ CHK có : ∠ C là góc chung ∠ CAE = ∠ CHK ( cùng chắn cung KE) ⇒ ∆ CAE ∞ ∆ CHK (gg) 0,25 0,25 2 ta có NF ⊥ AC; KB ⊥ AC ⇒ NF // KB ⇒ ∠ MKB = ∠ KFN (1)( đồng vị) và ∠ BKN = ∠ KNF (2) (slt) mà MN ⊥ AB ⇒ Cung MB = cung NB ⇒ ∠ MKB = ∠ BKN (3) Từ 1,2,3 ⇒ ∠ KFN = ∠ KNF ⇒ ∆ NFK cân tại K 0,25 0,25 0,25 0,25 3 Nếu KE = KC ⇒ ∆ KEC vuông cân tại K ⇒ ∠ KEC = 45 0 ⇒ ∠ ABK = 45 0 ⇒ Sđ cung AK = 90 0 0,25 ⇒ K là điểm chính giữa cung AB ⇒ KO ⊥ AB mà MN ⊥ AB nªn OK // MN 0,25 KÎ ®êng kÝnh MT chøng minh KT = KN 0,25 mà ∆ MKT vuông tại K nên KM 2 + KT 2 = MT 2 hay KM 2 + KN 2 = (2R) 2 hay KM 2 + KN 2 = 4R 2 0,25 Bài 5 . ( 0,5 điểm) Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn : a + b + c = 3. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 a 1 b 1 c 1 4 − + − + − ≥ − Câu Nội dung Điểm 4 Đặt x = a - 1; y = b - 1; z = c - 1 Đ/K x ≥ -1 ; y ≥ - 1; z ≥ - 1 ⇒ x + y + z = 0 và VT = x 3 + y 3 +z 3 = 3xyz 5 . 0,5 điểm) Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn : a + b + c = 3. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 a 1 b 1 c 1 4 − + − + − ≥ − 1 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Bài 1. (2,0 điểm) Câu Nội dung. 0 (1) với m là tham số 1. Giải phương trình với m = -1 2. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai ngiệm phân biệt với mọi giá trị của m. 3. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x 1 ; x 2 . ĐỀ 71 Bài 1. (2,0 điểm) 1. Rút gọn biểu thức: 3 1 x 9 A . x 3 x x 3 x −   = +  ÷ − +   với x > 0, x ≠ 9 2. Chứng minh rằng: 1 1 5. 10 5 2 5 2   + =  ÷ −