ĐỀ 47 Bài 1. (1,5 điểm) Không dùng máy tính, hãy rút gọn, tính giá trị của các biểu thức sau: 1) A = 14 7 15 5 1 : 2 1 3 1 7 5 − − + ÷ ÷ − − − 2) B = 2 1 x x x x x x − − − − ( ) 0; 1x x≥ ≠ Bài 2. (1,5 điểm) 1) Cho hai đường thẳng d 1 : y = (m+1)x + 5 ; d 2 : y = 2x + n. Với giá trị nào của m, n thì d 1 trùng với d 2 ? 2) Trên cùng mặt phẳng tọa độ, cho hai đồ thị (P): y = 2 3 x ; d: y = 6 – x. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép toán. Bài 3. (2 điểm) Cho phương trình: x 2 + 2(m + 3)x + m 2 + 3 = 0 (m là tham số) 1) Tìm m để phương trình có nghiệm kép? Hãy tính nghiệm kép đó. 2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn x 1 – x 2 = 2 Bài 4. (1,5 điểm) Giải các phương trình sau: 1) 1 3 2 2 6x x + = − − 2) x 4 + 3x 2 – 4 = 0 Bài 5. (3,5điểm). Cho đường tròn (O;R) đường kính AB và dây CD vuông góc với nhau ( CA < CB). Hai tia BC và DA cắt nhau tại E. Từ E kẻ EH vuông góc với AB tại H; EH cắt CA ở F. Chứng minh rằng: 1) Tứ giác CDFE nội tiếp được trong mốt đường tròn. 2) Ba điểm B , D , F thẳng hàng. 3) HC là tiếp tuyến của đường tròn (O). BÀI GIẢI Bài 1: (1,5 điểm) Không dùng máy tính, hãy rút gọn, tính giá trị của các biểu thức sau: 1) A = 14 7 15 5 1 : 2 1 3 1 7 5 − − + ÷ ÷ − − − = ( ) ( ) 7 2 1 5 3 1 1 : 2 1 3 1 7 5 − − + − − − = ( ) ( ) 7 5 . 7 5+ − = ( ) ( ) 2 2 7 5− = 7 – 5 = 2 2) B = 2 1 x x x x x x − − − − = ( ) ( ) 2 1 1 1 x x x x x x − − − − = ( ) 2 1 1 x x x − − − = 2 1 1 x x x − + − = ( ) 2 1 1 x x − − = 1x − ( ) 0; 1x x≥ ≠ Bài 2. (1,5 điểm) 1) d 1 ≡ d 2 1 2 5 m n + = ⇔ = 1, 5m n⇔ = = 2. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là: 2 6 3 x x= − 2 3 18 0x x⇔ + − = ∆ = b 2 – 4ac = 3 2 – 4 . 1. (– 18) = 81 9⇒ ∆ = 1 3 9 3 2 2 b x a − + ∆ − + = = = , 2 3 9 6 2 2 b x a − − ∆ − − = = = − Suy ra: y 1 = 3 ; y 2 = 12 Vậy d cắt (P) tại hai điểm: (3; 3) và (– 6; 12) Bài 3. (2điểm) PT: x 2 + 2(m + 3)x + m 2 + 3 = 0 (1) 1) Phương trình (1) có nghiệm kép ' 0⇔ ∆ = ( ) ( ) 2 2 3 3 0m m⇔ + − + = 6 6 0m ⇔ + = 1m ⇔ = − Vậy với m = – 1 phương trình (1) có nghiệm kép . Nghiệm kép của PT (1) : ( ) ( ) ' 1 2 3 1 3 2 1 m b x x a − + = = − = = − − + = − 2) Phương trình (1) có hai nghiệm x 1 ; x 2 ' 0⇔ ∆ ≥ 6 6 0m ⇔ + ≥ 1m ⇔ ≥ − Theo hệ thức Vi-ét ta có: S= x 1 + x 2 = – 2(m + 3) ; P = x 1 . x 2 = m 2 + 3 Từ x 1 – x 2 = 2 suy ra: ( x 1 – x 2 ) 2 = 4 ⇔ ( x 1 + x 2 ) 2 – 4x 1 x 2 = 4 (*) Thay S và P vào (*) ta được: ( ) ( ) 2 2 2 3 4 3 4m m− + − + = ( ) 2 2 4 6 9 4 12 4m m m⇔ + + − − = 24 24 4m ⇔ + = 5 6 m⇔ = − ( thoả mãn điều kiện 1m ≥ − ) E H F O D C B A Vậy x 1 – x 2 = 2 5 6 m⇔ = − Bài 4. (1,5 điểm) Giải các phương trình: 1) 1 3 2 2 6x x + = − − (1) ĐK: x ≠ 2 ; x ≠ 6 (1) ( ) ( ) ( ) 6 3 2 2 2 6x x x x⇔ − + − = − − 2 6 3 6 12 24 2 4x x x x x⇔ − + − = − − + ⇔ 2x 2 – 14x + 24 = 0 2 ' ' b ac∆ = − = 49 – 48 = 1 x 1 = ' ' 7 1 4 2 b a − + ∆ + = = ( TMĐK), x 2 = ' ' 7 1 3 2 b a − − ∆ − = = ( TMĐK), Tập nghiệm của phương trình: { } 3;4S = 2) x 4 + 3x 2 – 4 = 0 Đặt t = x 2 ( t ≥ 0) , ta có phương trình ẩn t: t 2 + 3t – 4 = 0 Vì a + b + c = 1 + 3 + (– 4 ) = 0 nên t 1 = 1 (nhận) , t 2 = – 4 < 0 (loại) Vậy x 2 = 1 ⇔ x 1 = 1; x 2 = – 1. Tập nghiệm của phương trình: { } 1;1S = − Bài 5. (3,5 điểm) 1) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp: CD // FE (cùng vuông góc AB) · · EFC FCD⇒ = (so le trong) AB ⊥ CD nên AB đi qua trung điểm dây CD (tính chất đường kính vuông góc với dây cung) nên C và D đối xứng nhau qua AB. Do đó · · ACD ADC= Suy ra: · · EFC EDC= . Tứ giác CDFE có hai đỉnh F, D liên tiếp nhìn CE dưới một góc bằng nhau nên nội tiếp được trong một đường tròn. 2) Chứng minh ba điểm B , D , F thẳng hàng. Ta có: · 0 ACB 90= (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) · 0 90ECF⇒ = (kề bù với · ACB ) Tứ giác CDFE nội tiếp nên · · 0 90ECF EDF= = . Mà · 0 90ADB = nên · · 0 180EDF EDB+ = Vậy ba điểm B , D , F thẳng hàng. 3) Chứng minh HC là tiếp tuyến của đường tròn (O). Ta có · · 0 0 90 90 180EHA ECA+ = + = nên tứ giác AHEC nội tiếp Suy ra: · · HCA HEA= (cùng chắn cung AH) Mà · · HEA ADC= (so le trong của EH // CD) và · · ADC ABC= (cùng chắn cung AC). Do đó: · · HCA ABC= = 1 2 sđ » AC . Vậy HC là tiếp tuyến của đường tròn (O) Lưu ý: Rất nhiều HS sai lầm ở câu 1: · · 0 90= =ECF EDF và kết luận tứ giác CDFE nội tiếp. Câu 3 có thể chứng minh · · 0 90HCA ACO+ = rồi suy ra HC là tiếp tuyến. . bằng phép toán. Bài 3. (2 điểm) Cho phương trình: x 2 + 2(m + 3)x + m 2 + 3 = 0 (m là tham số) 1) Tìm m để phương trình có nghiệm kép? Hãy tính nghiệm kép đó. 2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm. ĐỀ 47 Bài 1. (1,5 điểm) Không dùng máy tính, hãy rút gọn, tính giá trị của các biểu thức sau: 1). m 2 + 3 = 0 (1) 1) Phương trình (1) có nghiệm kép ' 0⇔ ∆ = ( ) ( ) 2 2 3 3 0m m⇔ + − + = 6 6 0m ⇔ + = 1m ⇔ = − Vậy với m = – 1 phương trình (1) có nghiệm kép . Nghiệm kép của PT