Nước đang chảy vào một bể chứa hình nón với tốc độ 9ft3 mỗi phút Hình 1.. Bể chứa có đỉnh hướng xuống với chiều cao 10 ft và bán kính mặt là 5ft.. Mực nước trong bể đang tăng ở tốc độ nà
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MÔN TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1
HỌC KỲ I NĂM HỌC 2014 - 2015 Ngày thi: 23/11/2014 Thời gian làm bài: 120 phút
NỘI DUNG ĐỀ THI
(Đề thi gồm 09 câu 1 được in trên 02 trang2) Câu 1 Tính các gới hạn sau
(a) lim
x→1
1
x − 1
1
x+ 3 − 3x + 52
x→+∞(e3x− 5x)x1 Câu 2 Định lý sau đây được gọi là định lý Giá trị trung gian đối với hàm số
liên tục: Nếu f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a, b] và nếu y0 là giá trị tùy ý giữa f (a) và f (b) thì y0 = f (c) với c thuộc đoạn [a, b] Áp dụng định
lý này, chứng minh rằng hàm số f(x) = (x − a)2.(x − b)2 + x nhận giá trị
a+ b
2 với x nào đó
Câu 3 Nước đang chảy vào một bể chứa hình nón với tốc độ 9ft3 mỗi phút (Hình
1) Bể chứa có đỉnh hướng xuống với chiều cao 10 ft và bán kính mặt là 5ft Mực nước trong bể đang tăng ở tốc độ nào khi nó đang là 6ft?
Câu 4 Hãy tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác vuông
cân với cạnh huyền 2 đơn vị (Hình 2)
1 Thông báo Đáp án sẽ được công bố trên website Bộ môn Toán - Khoa Khoa học tự nhiên trong buổi chiều ngày 24.11.2014.
2 Thầy sẽ công bố điểm lúc 12 giờ ngày 01.12.2014 Phúc khảo (Chỉ phúc khảo trực tiếp) từ 7 giờ 30 phút đến 11 giờ ngày 02.12.2014 tại văn phòng bộ môn Toán - Khoa Khoa học tự nhiên Sau thời gian này, mọi thắc mắc về điểm số đều không được giải quyết.
Trang 2Câu 5 Cho hàm số g(x) =
x
Z
0
t2 + 2t + 3
1 + t2014 dt và f(x) = eg(x) Tính giá trị của f0(0)
Câu 6 Tính tích phân suy rộng I =
+∞
Z
3
dx (x − 2)3
Câu 7 Một cái nêm được cắt ra từ hình trụ đứng bán kính 3 mét bởi hai mặt
phẳng Mặt phẳng thứ nhất vuông góc với trục của hình trụ Mặt phẳng thứ hai tạo với mặt phẳng thứ nhất một góc 450 tại trục của hình trụ (Hình 3) Dùng tích phân xác định tính thể tích của cái nêm đó
Hình 3
Câu 8 Tính tổng của chuỗi sốX∞
n=1
arccos
1
n+ 1
− arccos
1
n+ 2
bằng cách tính giới hạn của dãy các tổng riêng
Câu 9 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa X∞
n=0
(−1)nxn 2n + 1
Cán bộ ra đề
LÊ HOÀI NHÂN
Trang 3ĐÁP ÁN Môn: Vi tích phân A1 Học kỳ I - năm học 2014 - 2015 CBGD: LÊ HOÀI NHÂN Câu 1 (a)
lim
x→1
1
x − 1
1
3x + 5
= lim
x→1
x − 1 (x − 1)(x + 3)(3x + 5) = limx→1
1 (x + 3)(3x + 5)
32. (b)
lim
x→+∞(e3x− 5x)x1 có dạng vô định ∞0
= ex→lim+∞
ln(e3 x
−5x) x
Ta có,
lim
x→+∞
ln(e3x− 5x)
∞, Qui tắc L’Hospital
x→+∞
3e3x
− 5
∞, Qui tắc L’Hospital
x→+∞
9e3x
∞, Qui tắc L’Hospital
x→+∞
27e3x 9e3x
= 3 Vậy lim
x→+∞(e3x − 5x)x1 = e3 Câu 2 • Nhận xét rằng hàm số f (x) = (x − a)2.(x − b)2+ x là hàm đa thức bậc
4 nên nó liên tục trên đoạn [a, b] Dễ thấy f(a) = a và f(b) = b
• Ta có y0 = a+ b
2 nằm giữa a và b Theo định lý giá trị trung gian thì
y0 = f (c) với c ∈ [a, b] (đpcm)
Câu 3 • Theo hình 1 ta có, x(t), y(t) lần lượt là bán kính mặt nước và chiều
cao của khối nước trong bể Theo tính chất đồng dạng của tam giác
ta có
y(t)
x(t) =
10
5 = 2 =⇒ x(t) = y(t)
2
Trang 4• Thể tích của khối nước trong bể là
V(t) = 1
3π[x(t)]
2.y(t) = 1
12π[y(t)]
• Tại t = t0 ta có V0(t0) = 9 và h(t0) = 6 Ta cần tính y0(t0)
• Đạo hàm hai vế đẳng thức (1) theo t và cho t = t0 ta được
V0(t0) = 1
4π[y(t0)]
2.y0(t0) =⇒ y0(t0) = 1
π
• Vậy mực nước trong hồ tăng với tốc độ π1 feet mỗi phút
Câu 4 • Từ hình 2, ta có đường phẳng AB có phương trình là y = 1 − x Do
đó, điểm P có tọa độ (x, 1 − x), x ∈ (0, 1)
• Ta có, các kích thước của hình chữ nhật là 2x và 1 − x Suy ra diện tích của hình chữ nhật S(x) = 2x(1 − x)
• Ta tìm GTLN của S(x) với x ∈ (0, 1)
S0(x) = 2 − 4x = 0 ⇐⇒ x = 1
2
S00(x) = −4 < 0, ∀x Do đó, S(x) đạt GTLN tại x = 12 và
max
x∈(0,1)S(x) = S 1
2
= 1 2
• Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác vuông cân với cạnh huyền 2 đơn vị là 1
2 Câu 5 • Theo công thức của đạo hàm hàm hợp ta có
f0(x) = eg(x).g0(x) =⇒ f0(0) = eg(0).g0(0)
• g(0) =
0
Z
0
t2 + 2t + 3
1 + t2014 dt = 0
• Theo định lý cơ bản của phép tính tích phân ta có
g0(x) = d
dx
x
Z
0
t2 + 2t + 3
1 + t2014 dt = x
2 + 2x + 3
1 + x2014 =⇒ g0(0) = 3
• Vậy f0(0) = 3
Trang 5Câu 6 • Với b ≥ 3, đặt F (b) =
b
Z
3
dx (x − 2)3 Suy ra,
2(x − 2)2
b
3
= −12
1 (b − 2)2 − 1
• Ta có, I = lim
b→+∞F(b) = 1
2 Câu 7 • Theo hình 3, khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại
điểm có hoành độ x ta được thiết diện là hình chữ nhật có kích thước
là x và 2√9 − x2 Thiết diện này có diện tích là
S(x) = 2xp9 − x2, x ∈ [0, 3]
• Thể tích của cái nêm là
V =
3
Z
0
S(x)dx =
3
Z
0
2xp9 − x2dx
• Đặt t = √9 − x2 Suy ra, V = R3
0
2t2dt= 18
Câu 8 • Tổng riêng thứ n của chuỗi đã cho là
Sn =
n
X
k=1
arccos
1
k+ 1
− arccos
1
k + 2
=
arccos 1
2
− arccos 1
3
+
arccos 1
3
− arccos 1
4
+ + +
arccos
1
n+ 1
− arccos
1
n+ 2
= arccos 1
2
− arccos
1
n+ 2
3 − arccos
1
n+ 2
• Suy ra
∞
X
n=1
arccos
1
n+ 1
− arccos
1
n+ 2
= lim
n→∞Sn = π
3 − π
2 = −π
6
Trang 6Câu 9 • Chuỗi đã cho có số hạng tổng quát an = (−1)n
2n + 1 Suy ra
l = lim
n→∞
an +1
an
= 1
Do đó, bán kính hội tụ của chuỗi là r = 1 và khoảng hội tụ của nó là (−1, 1)
• Với x = 1 ta có chuỗi
∞
X
n =0
(−1)n
2n + 1 hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz
• Với x = −1 ta có chuỗi
∞
X
n=0
1 2n + 1 phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh (so sánh với chuỗi điều hòa)
• Vậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa đã cho là (−1, 1]
... với trục Ox tạiđiểm có hồnh độ x ta thi? ??t diện hình chữ nhật có kích thước
là x 2√9 − x2 Thi? ??t diện có diện tích
S(x) = 2xp9