HCM Đề thi giữa kỳ môn Toán cao cấp B1Thời gian: 75 phút không kể thời gian giao đề Phần I... Khẳng định nào sau đây đúng?. Hội tụ theo tiêu chuẩn so sánhA. Khẳng định nào sau đây đúng..
Trang 1Trường Đại học Nông Lâm TP HCM Đề thi giữa kỳ môn Toán cao cấp B1
Thời gian: 75 phút (không kể thời gian giao đề)
Phần I Trắc Nghiệm (6,0 điểm)
Câu 1 Tập xác định của hàm số y = arcsinlnx
e
là
A [1; e2] B [1; e2] \ {e} C [0; e2] D [1; e]
Câu 2 Giá trị của a để hàm số f (x) =
( 1
x − 1
ex− 1, x 6= 0
a arccos (x − 12), x = 0
liên tục tại x0 = 0 là
−3
3 4π Câu 3 Giới hạn lim
x→0
ex 2
− 1
√
1 + sin2x − 1 bằng
Câu 4 Giới hạn lim
x→∞
2x − 4 2x − 5
1−3x
bằng
e23
Câu 5 Giới hạn lim
x→1
xx− 1
ln x − x + 1 bằng
Câu 6 Đạo hàm cấp 8 của hàm số y = 4 − x
2
ex−1 là
A x
2− 16x + 52
2+ 16x + 52
ex−1 C −x2− 16x − 52
ex−1 D −x2+ 16x − 52
ex−1
Câu 7 Đạo hàm cấp n của hàm số y = cos x là
A − sinx + nπ
2
B cosx + nπ
2
C cos (x + nπ) D − sin (x + nπ) Câu 8 Tích phân
Z (x2− 1)e1−xdx bằng
A −(x − 1)2e1−x+ C B (x − 1)2e1−x+ C C −(x + 1)2e1−x+ C D (x + 1)2e1−x+ C Câu 9 Tích phân y =
Z √ 2x − x2 dx bằng
A arcsin(x − 1)
(x − 1)√
2x − x2+ arcsin x
Trang 2Câu 10 Tích phân (x + 2)
2
x(x − 1)2dx bằng
A 4 ln x − 3 ln (x − 1) − 9
x − 1+ C B 4 ln x − 3 ln (x − 1) +
9
x − 1 + C
C 4 ln x + 3 ln (x − 1) − 9
x − 1+ C D 4 ln x + 3 ln (x − 1) +
9
x − 1+ C Câu 11 Tích phân
Z
1 (sin x + 2 cos x)2dx bằng
arctan(t − 2) + C B arctan (t − 2) + C C.
1 tan x + 2+ C D.
−1 tan x + 2+ C Câu 12 Cho chuỗi số
∞
X
n=1
n3
n2+√
n7+ 2
2
Khẳng định nào sau đây đúng?
A Hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh B Hội tụ
Câu 13 Chuỗi
∞
X
n=1
nq hội tụ khi
Câu 14 Tổng
∞
X
n=1
(−1)n2
n3n
52n có kết quả là
A 25
6
6
25 19 Câu 15 Cho hai chuỗi số (1)
∞
X
n=1
unvà (2)
∞
X
n=1
vn, giả sử 0 ≤ un≤ vn Khẳng định nào sau đây đúng?
A Nếu chuỗi (1) hội tụ thì chuỗi (2) hội tụ B Nếu chuỗi (2) phân kỳ thì chuỗi (1) phân kỳ
C Hai chuỗi có cùng tính chất D Cả ba câu A, B, C đều sai
Phần II Tự Luận (4,0 điểm)
Câu 16 (2,5 điểm) Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi hàm
∞
X
n=1
(−1)n e
nnn2 (n + 1)n 2
(x − 2)n Câu 17 (1,5 điểm) Tính giá trị gần đúng của arccos (0, 51)
Trang 3LỜI GIẢI
Câu 1 Điều kiện xác định của hàm số
x
e > 0
−1 ≤ lnx
e ≤ 1 ⇔
1
e ≤ x
e ≤ e ⇔ 1 ≤ x ≤ e2 Câu 2 Ta có f (0) = a arccos
−1 2
= 2πa
3 . Mặt khác lim
x→0f (x) = lim
x→0
1
x− 1
ex− 1
= lim
x→0
ex− 1 − x x(ex− 1)
0 0
L0
= lim
x→0
ex− 1
ex− 1 + xex
0 0
L 0
= lim
x→0
ex
ex+ ex+ xex = lim
x→0
1
2 + x =
1
2.
Do đó hàm số liên tục tại x0 = 0 ⇔ 2πa
3 =
1
2 ⇔ a = 3
4π.
Câu 3 lim
x→0
ex2 − 1
√
1 + sin2x − 1 = limx→0
ex 2
− 1.√
1 + sin2x + 1 sin2x
= lim
x→0
x2
sin2x
p
1 + sin2x + 1 (ex 2
− 1 ∼ x2 vì x2 → 0 khi x → 0)
=2
Câu 4 lim
x→∞
2x − 4
2x − 5
1−3x
= e
lim
x→∞
2x − 4 2x − 5 − 1
(1 − 3x)
= e
lim
x→∞
1 − 3x 2x − 5 = e−3/2
= 1
e3/2 = √1
e3 Câu 5 lim
x→1
xx− 1
ln x − x + 1
0 0
L0
= lim
x→1
xx(1 + ln x)
1
x− 1
1 0
không tồn tại vì không xét được − hay + Câu 6 Ta có y = (4 − x2)e1−x và (4 − x2)(k)= 0 với k ≥ 3 nên
y(8) = C80(4 − x2) e1−x(8)
+ C81(4 − x2)(1) e1−x(7)
+ C82(4 − x2)(2) e1−x(6)
= (4 − x2)(1−)8e1−x+ 8(−2x)(−1)7e1−x+ 28(−2)(−1)6e1−x
= 4 − x2 + 16x − 56 e1−x
= −x2+ 16x − 52
ex−1 Câu 7 (cos x)(n)= cos
x +nπ 2
Câu 8 Sơ đồ tích phân từng phần x2 − 1
+
e1−x
2x
−
−e1−x
=⇒ I = −(x2− 1)e1−x− 2xe1−x− 2e1−x
= −(x2+ 2x + 1)e1−x
Trang 4Câu 9 Đặt x − 1 = sin t với t ∈−π
2;π2 =⇒ dx = cos tdt và
√ 2x − x2 =p1 − (x − 1)2 =p1 − sin2x = cos t vì cos t ≥ 0
Ta có
Z
p
1 − sin2t cos tdt =
Z cos2tdt
=
Z 1 + cos 2t
2 dt =
1
2t+
1
4sin 2t+C =
1
2sin t cos t+
1
2t+C =
(x − 1)√
2x − x2+ arcsin (x − 1)
Câu 10 Ta chọn A, B, C sao cho
(x + 2)2 x(x − 1)2 = A
x +
B
x − 1 +
C (x − 1)2, ∀x 6= 0, 1
=⇒ (x + 2)2 = A(x − 1)2+ Bx(x − 1) + Cx, ∀x
=⇒ x2+ 4x + 4 = (A + B)x2+ (−2A − B + C)x + A, ∀x
=⇒ A, B, C :
A + B = 1
−2A − B + C = 4
A = 4
=⇒ A = 4, B = −3, C = 9 (1)
Suy ra
Z (x + 2)2
x(x − 1)2dx = 4
Z 1
xdx − 3
x − 1dx + 9
(x − 1)2dx = 4 ln x − 3 ln(x − 1) − 9
x − 1+ C. Câu 11 Vì R[− sin x, − cos x] = R[sin x, cos x] nên đặt t = tan x Ta có dt = 1
cos2xdx và
(sin x + 2 cos x)2 =
(tan x + 2)2cos2x =
(t + 2)2 = −1
tan x + 2+ C.
Câu 12 Ký hiệu chuỗi
∞
X
n=1
n3
n2+√
n7+ 2
2
là chuỗi (1) với un =
n3
n2+√
n7+ 2
2
và chuỗi
∞
X
n=1
1 n
là chuỗi (2) với vn= 1
n Ta có lim
n→+∞
un
vn = limn→+∞
"
n3
n2+√
n7+ 2
2
n
#
= 1 ∈ (0; +∞)
nên theo tiêu chuẩn so sánh chuỗi (1) và chuỗi (2) có cùng tính chất Vì chuỗi (2) phân kỳ nên chuỗi (1) cũng phân kỳ
Câu 13 Chuỗi đã cho được viết lại ở dạng
∞
X
n=1
1
n−q Do đó chuỗi đã cho hội tụ ⇔ −q > 1 ⇔ q < −1 Câu 14 Chuỗi đã cho được viết lại ở dạng
∞
X
n=1
−6 25
n
=
−6 25
1 − −625 =
−6
31. Câu 15 Nếu chuỗi (1) phân kỳ thì chuỗi (2) phân kỳ Nếu chuỗi (2) hội tụ thì chuỗi (1) hội tụ Không có cơ sở khẳng định hai chuỗi cùng tính chất Nên cả ba câu A, B, C đều sai
Trang 5Câu 16 Đặt X = − 1
x − 2, suy ra (−1)
(x − 2)n = Xn Do đó chuỗi đã cho có dạng chuỗi lũy thừa
+∞
X
n=1
ennn2 (n + 1)n 2Xn với an = e
nnn2 (n + 1)n 2 = e
n
(1 + 1n)n 2
• Ta có lim
n→+∞
n
√
an= lim
n→+∞
enn (n + 1)n = lim
n→+∞
e (1 + n1)n = 1 Suy ra chuỗi có bán kính hội tụ R = 1
• Xét X = 1 : chuỗi trở thành
+∞
X
n=1
ennn 2
(n + 1)n 2 với lim
n→+∞
ennn 2
(n + 1)n 2 = 1 6= 0 nên phân kỳ
• Xét X = 1 : chuỗi trở thành
+∞
X
n=1
(−1)n e
nnn 2
(n + 1)n 2 với lim
n→+∞(−1)n e
nnn 2
(n + 1)n 2 không tồn tại vì bằng 1 nếu n chẵn và bằng −1 nếu n lẻ Do vậy chuỗi phân kỳ
• Giải |X| < 1 ⇔ 1
|x − 2| < 1 ⇔ 1 < |x − 2| ⇔ x − 2 < −1 hoặc x − 2 > 1 ⇔ x < 1 hoặc x > 3.
• Miền hội tụ của chuỗi D = (−∞; 1) ∪ (3; +∞)
Câu 17 Đặt f (x) = arccos x ⇒ f0(x) = −√ 1
1 − x2 Chọn x0 = 1
2 và ∆x = 0, 01 Ta có arccos(0, 51) = f (0, 51) = f (x0+ ∆x) ' f (x0) + f0(x0)∆x
' arccos1
2 −q 1
1 − 14 0, 01
' π
3 −2
√ 3
3 .0, 01 ' 1.04
Chúc các em thi học kỳ thành công.
ThS Trần Bảo Ngọc
