Trung tâm BDVH Tân Bách Khoa.Biên soạn: TS Đặng Văn Vinh.. Câu hỏi trắc nghiệm: Giải tích 1.. b Một đáp án khác.. b Ba câu kia sai... Tìm a, b để hai vô cùng bé đó tương đương.. Khẳng đị
Trang 1Trung tâm BDVH Tân Bách Khoa.
Biên soạn: TS Đặng Văn Vinh
Câu hỏi trắc nghiệm: Giải tích 1
Câu 1 : Tìm tất cả giá trị thực cuả a để f( x) =
a r c t a n x
|x| , x = 0
a, x = 0
liên tục tại x = 0
Câu 2 : Cho hàm số y = y( x) xác định bởi x = a r c t g t, y = t5
2 Tính y ′ ( x) tại x = π3
a Không xác định b Một đáp án khác c 45
3
Câu 3 : Đạo hàm cấp 4 của hàm số f( x) = e −x2
tại x = 0 là
a f(4)( 0 ) = −4 b f(4)( 0 ) = 8 c f(4)( 0 ) = −1 2 d f(4)( 0 ) = 1 2
Câu 4 : Giá trị của I = c o s ( a r c s in ( −1
2 ) ) là
a 2 π
√
2
Câu 5 : Tính I = lim
n→+∞
2 n + 1
n + 3
3n+2 n−5
Câu 6 : Tính giới hạn I = lim
x→0 ( 1 + 4 x2e 2x) x21
Câu 7 : Hàm số nào trong số các hàm sau đây liên tục với mọi x nhưng không có đạo hàm hữu hạn
tại ít nhất một điểm
Câu 8 : Tìm khai triển Maclaurin của f( x) = ln 2( 1 + x) đến cấp 3
a f( x) = 2 x2− 3 x3+ o( x3) c f( x) = 2 x2+ 3 x3+ o( x3)
b f( x) = x2− x3+ o( x3) d f( x) = x2+ x3+ o( x3)
Câu 9 : Tính lim
n→+∞ n( √ n
2 − 1 )
Câu 10 : Tìm y ′ ( 0 ) , biết y = y( x) là hàm ẩn xác định từ phương trình xy + ln y = 1 , y < e2
a y ′ ( 0 ) = e2 b y ′ ( 0 ) = −e2 c y ′ ( 0 ) = e d y ′ ( 0 ) = −e.
Câu 11 : Tính lim
x→0( 1
x t g x − x1 2)
a 1
6
Câu 12 : Tính đạo hàm f(10)( 0 ) với f ( x) = ( 2 x + 3 ) c o s x2
a 1 0 !
1 2 b Ba câu kia sai c − · 1 0 !
8
Câu 13 : Tìm d2y( 0 ) của hàm y = c o s 22 x.
Trang 2Câu 14 : Cho hai vô cùng bé α( x) = x − s in x; β( x) = mx3, m ∈ IR, m = 0 Khẳng định nào đúng?
a α( x) là vô cùng bé bậc thấp hơn β( x)
b α( x) và β( x) là hai vô cùng bé tương đương.
c α( x) là vô cùng bé bậc cao hơn β( x) nếu m đủ nhỏ.
d α( x) và β( x) là hai vô cùng bé cùng bậc.
Câu 15 : Cho f( x) =
e 2x + e −2x − 2
2 x2 , x = 0
2 a + 1 , x = 0
Với giá trị nào của a thì hàm liên tục tại x = 0 ?
a a = −3
Câu 16 : Vi phân của hàm số f( x) = ln ( 1 + x2) tại x = 1 là
a df( 1 ) = 2 dx b df( 1 ) = dx c df( 1 ) = ( ln 2 ) dx d df( 1 ) = 0 Câu 17 : Tìm vi phân cấp 2 d2y( 0 ) của hàm y = x3 x
a 2 ln 3 dx2 b Ba câu kia sai c 1 2 ln 3 dx2 d 9 ln 3 dx2
Câu 18 : Tính I =
6 +6 +√
6 +
Câu 19 : Cho y =
s in |x|1 , x = 0
a, x = 0 Với giá trị nào của a thì f liên tục tại 0
Câu 20 : Tính I = lim
x→0
e x2
− c o s x
s in 2x + 3 s in 5x
a I = 1
2
Câu 21 : Cho y = y( x) là hàm ẩn xác định từ phương trình e y + xy = e, y > 0 Tìm I = y ′( 0 )
a 1
Câu 22 : Tìm đạo hàm I = y(10)( 0 ) , biết y = ( x4+ 1 ) ln ( x + 1 )
a I = 4
1 5 b Ba câu kia sai c I = 2
1 5
Câu 23 : Tìm khai triển Maclaurin của f( x) = x
8 + x3 đến cấp 11
a f( x) = 3
k=0
( −1 ) k x 3k+1
8 k+1 + o( x11) c f( x) = 4
k=0
( −1 ) k x 3k+1
8 k+1 + o( x11)
k=1
( −1 ) k x 3k+1
8 k+1 + o( x11)
Câu 24 : Cho f( x) = 1
( 1 − x) 2, x = 1 Tính f (n) ( x) ( x = 1 )
a ( n + 1 ) !
( 1 − x) n+1 b ( −1 ) n ( n + 1 )
( 1 − x) n+2 c ( −1 ) n ( n + 1 ) !
( 1 − x) n+2 d ( n + 1 ) !
( 1 − x) n+2
Trang 3Câu 25 : Tính I = lim
n→+∞
c o s ( n2)
ln ( 1 +√4
n)
Câu 26 : Cho y = f( x) xác định bởi x = t ln t, y = e 2t Tính y ′′ ( x) tại t = 1
Câu 27 : Tính giới hạn I = lim
n→∞( 1 + 2
n)
n
Câu 28 : Tính lim
x→0 ( c o s 2 x + s in x) s in x1
Câu 29 : Có bao nhiêu hàm g( x) xác định trên R và bao nhiêu hàm h( x) liên tục trên R sao cho
|g( x) | = |h( x) | = x2 trên R.
a 4 hàm h( x) và vô số hàm g( x) c 1 hàm h( x) và vô số hàm g( x)
b Ba câu kia sai d 2 hàm h( x) và vô số hàm g( x)
Câu 30 : Cho hàm số f( x) = a r c t g x + a r c t g ( 1
x ) , x = 0 Khẳng định nào đúng?
a lim
x→0 f( x) = +∞ b f( x) = π
2, ∀x = 0 c lim
x→0 f ( x) = −∞ d f( x) = π
2, ∀x > 0 Câu 31 : Tính gần đúng A = √3
8 , 0 0 4 8 nhờ vào vi phân cấp 1 tại x0 = 8
a A ≈ 2 , 0 0 1 6 b A ≈ 2 , 0 0 0 8 c A ≈ 2 , 0 0 0 4 d A ≈ 1 , 9 9 9 6 Câu 32 : Tìm khai triển Maclaurin của f( x) = 8 1
x2− 4 x + 3 đến cấp 2
a f( x) = 2 7 + 3 6 x + 3 9 x2+ o( x2) c f( x) = 2 7 + 3 6 x + 9 x2+ o( x2)
b f( x) = 2 7 − 3 6 x + 9 x2+ o( x2) d Ba câu kia sai
Câu 33 : Tính lim
x→0
1 − x
2
2 − c o s x
x4+ 4 x5
a 1
2 4 Câu 34 : Tính lim
x→02 x − a r c s in x
s in x − t g x
3
Câu 35 : Nếu f( e x) =√
x với x ≥ 1 , thì f −1 ( x) bằng
a e x2
Câu 36 : Cho hàm số y = y( x) xác định bởi x = 2 c o s h t, y = 3 s in h t Tính y ′ ( x)
a 3
2 t a n h t. b 2
3 c o t h t. c 3
2 c o t h t. d Ba câu kia sai
Câu 37 : Cho hàm số f( x) =
x2, x ≥ 0
x2 + 1 , x < 0 Khi đó
a f ′( 0 ) = 0 c f liên tục phải tại x = 0
Trang 4Câu 38 : Tìm miền xác định của hàm f( x) = ( 1 + 1
x)
x
a Ba câu kia sai b x > 0 c x < −1 d x = 0
Câu 39 : Tìm α; β sao cho các vô cùng bé sau đây tương đương f( x) = x c o s x − s in x; g( x) = αx β
a α = 1 ; β = 3 b α = −1
6; β = 3 c α = 1
3; β = 3 d α = −1
3; β = 3 Câu 40 : Tìm khai triển Maclaurin của f( x) = 3 e x ln ( 1 + x2) đến cấp 5
a f( x) = 2 x + 3 x3− x5+ o( x5) c Ba câu kia sai
b f( x) = 3 x − 3 x3+ x5+ o( x5) d f( x) = 3 x2+ 3 x3− x5+ o( x5)
Câu 41 : Tính I = lim
x→0
s in x − t a n x
x3+ a r c s in x3
a I = 1
4
Câu 42 : Cho y = f( x) xác định bởi x a r c t g ( x) + y( y2+ 1 ) = 0 Tính f ′( 0 )
a π
6
Câu 43 : Cho hàm số y = y( x) xác định bởi x = e t + t3, y = t s in t Tính y ′ ( x)
a y ′ ( x) = s in t + t c o s t
e t + 3 t2 c y ′ ( x) = ( e t + 3 t2) ( s in t + t c o s t)
b y ′ ( x) = s in t + t c o s t d y ′ ( x) = e
t + 3 t2
s in t + t c o s t
Câu 44 : Cho hai vô cùng bé α( x) = x − x2 2 − ln ( 1 + x) , β( x) = ax b khi x → 0 Tìm a, b để hai vô cùng
bé đó tương đương
a a = 1
3 , b = 3 b a = 1
2 , b = 2 c a = −13 , b = 3 d Ba câu kia sai
Câu 45 : Tìm khai triển Taylor của f( x) = 1 + x2+ 2 x3 đến cấp 6 trong lân cận của x = 1
a 4 +8 ( x−1 ) +7 ( x−1 ) 2+ 2 ( x −1 ) 3+ o( x6) c Ba câu kia sai
b 1 + x2+ 2 x3 + o( x6) d 8 ( x − 1 ) + 3 ( x − 1 ) 2+ 5 ( x − 1 ) 3 + o( x6) Câu 46 : Tính lim
x→0 ( c o s x + 5 s in x) cotg x
Câu 47 : Đạo hàm cấp 5 của hàm f( x) = xe x tại x = 1 là
Câu 48 : Cho f( x) = √ 1 − e −x2 Tính f ′
+( 0 ) − f ′
−( 0 )
Câu 49 : Tính I = lim
n→+∞
n
√
n4+ 5 n
Câu 50 : Cho dãy số x n = √ n
2 n+ 3 n Tính I = lim
n→∞ x n
Trang 5Câu 51 : Tìm khai triển Maclaurin của f( x) = x s in x đến cấp 4
4
3 + o( x
4)
b f( x) = x2− x
4
6 + o( x
4
3 + o( x
4)
Câu 52 : Tính I = lim
n→+∞
ln ( n2+ 3 )
ln ( 2 n3 +√
n)
Câu 53 : Cho f1( x) = x a r c s in ( x) , f2( x) = a r c c o s ( 3 x) Khẳng định nào đúng?
b f1 chẵn, f2 không chẵn, không lẻ d f1 và f2 đều chẵn
Câu 54 : Tìm khai triển Maclaurin của f( x) = e sin x đến cấp 3
a f( x) = 1 + x + x2
2 + o( x
3) c f( x) = 1 + x − x2
2 + o( x
3)
b f( x) = x + x2
2 + o( x
3) d Các câu kia đều sai
Câu 55 : Tính lim
x→0
1 − c o s x + ln ( 1 + t g 22 x) + 2 s in 4x
1 − c o s x
Câu 56 : Cho hàm số y = ( 2 x + 3 ) s in x Tính y(10)( 0 )
Câu 57 : Tìm tất cả giá trị thực cuả a để f( x) =
s in h x
|x| , x = 0
a, x = 0
liên tục tại x = 0
Câu 58 : Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển Maclaurint của hàm f ( x) = x2c o s x
Câu 59 : Vi phân cấp 1 của hàm số f( x) = ( 3 x) x tại x = 1 là
a df( 1 ) = 3 dx b df( 1 ) = 3 ln 3 dx c df( 1 ) = 2 ln 3 dx d Các câu kia sai
Câu 60 : Tìm khai triển Maclaurin của f( x) = 6
1 + s in x đến cấp 3
a f( x) = 6 − 6 x + 6 x2− 5 x3+ o( x3) c f( x) = 6 + 6 x − 6 x2− 6 x3+ o( x3)
b f( x) = 6 − 6 x + 6 x2− 6 x3+ o( x3) d Ba câu kia sai
Câu 61 : Giá trị của I = ch2( x) − sh2( x) là
Câu 62 : Cho f( x) = x + ( x − 1 ) a r c s in x
x + 1 Tính f ′( 1 )
a f ′ ( 1 ) = −1 b f ′( 1 ) = 0 c f ′( 1 ) = 1 +π
4 d f ′( 1 ) = 1
Trang 6Câu 64 : Tìm giới hạn trái f( 0 +) và giới hạn phải f( 0 −) của f( x) =
1 + e 1/x , x = 0
0 , x = 0
tại x = 0
b f ( 0 −) = 1 , f( 0 +) = 0 d f( 0 −) = 0 , f( 0 +) = ∞.
Câu 65 : Tìm α; β sao cho các vô cùng bé sau tương đương, khi x → 0 : f( x) = e x2
− √ c o s 2 x; g( x) = αx β
a α = 1 ; β = 2 b α = 3 ; β = 1 c α = 2 ; β = 2 d α = 4 ; β = 2
Câu 66 : Tính lim
x→0
x − a r c s in x
x − t g x
Câu 67 : Tính giới hạn I = lim
x→0
x3( e x−sin x − 1 )
6
Câu 68 : Cho hàm số y = y( x) xác định bởi x = a r c t g t, y = t4 Tính y ′ ( x) tại x = π
4
a Ba câu kia sai b 4 c Không xác định d 6
Câu 69 : Tính lim
x→0
1 − c o s x + ln ( 1 + t g 22 x) + 2 a r c s in 3x
1 − c o s x + s in 2x
Câu 70 : Cho dãy số x n = s in
√ n
√
n Tính I = lim
n→∞ x n
Câu 71 : Đạo hàm y ′′ ( x) của hàm số y( x) cho bởi phương trình tham số
x( t) = e 2t
y( t) = t3 là
a t( 1 + t)
2 e 4t c Ba câu kia sai d 3 t( 1 − t) Câu 72 : Cho y = y( x) là hàm ẩn xác định từ phương trình e xy
+ 2 x − 3 y = 0 Tìm I = y ′ ( x)
a ye xy+ 2
3 − xe xy b ye xy+ 2
xe xy−3 c e xy+ 2
3 − e xy d Ba câu kia sai
Câu 73 : Tìm miền xác định của hàm f( x) = a r c s in ( ln x)
a ( 0 , +∞ b Ba câu kia sai c [1 , e] d [1
e , e].
Câu 74 : Cho f( x) =
e x , x ≥ 0
ax2+ bx, x < 0 Tìm tất cả các giá trị thực của a, b để f có đạo hàm liên tục trên IR?
a a = 1 ; b = 1 b a = 1 ; b = 2 c ∀a ∈ IR; b = 1 d Ba câu kia sai
Câu 75 : Vô cùng lớn nào sau đây có bậc cao nhất, khi x → +∞
a 3 x + ln 3x b x ln x c √ 3 x d x( 2 + s in 4x) Câu 76 : Tìm khai triển Maclaurin của f( x) = e x c o s ( 2 x) đến cấp 3.
a f( x) = 1 + x + 2 x2+ 5 x3+ o( x3) c Ba câu kia sai
b f( x) = 1 + x + 3 x2− 1 1 x3+ o( x3) d f( x) = 1 − 2 x + x2+ x3+ o( x3)
Trang 7Câu 77 : Tìm khai triển Maclaurin của f( x) = 8 x2
2 + x3 đến cấp 10
a f( x) = 4 x2+ 2 x5+ x8+ o( x10) c f( x) = 4 x2− 2 x5+ x8 + 6 x10) + o( x10
b Ba câu kia sai d f( x) = 4 x2− 2 x5+ x8+ o( x10)
Câu 78 : Dùng vi phân để tính gần đúng s in ( 1 7 8 ◦ ) với f( x) = s in 2 x, x = 8 9 ◦ , x0 = 9 0 ◦
a Ba câu kia sai b π/9 0 c π/1 8 0 d −π/1 8 0
Câu 79 : Cho hàm số f( x) = x2ln ( 1 +√
x) Khi đó
a f ′( 0 ) = 0 c f ′( 0 ) không tồn tại
b f ′ ( x) = 2 x ln ( 1 + √
x) ; ∀x ≥ 0 d Các câu kia sai
Câu 80 : Tìm khai triển Maclaurin của f( x) = shx đến cấp 3
a f( x) = 1 + x2
2 +
x3
6 + o( x
3) c f( x) = x + x3
6 + o( x
3)
2 + o( x
3)
Câu 81 : Tính lim
x→0 ( c o s x) x22
Câu 82 : Tính lim
x→+∞
xln
e 2x + x2
x2
Câu 83 : Tìm khai triển Maclaurint của f( x) = ln ( 2 + x) đến cấp 3
a f( x) = x
2 − x
2
4 +
x3
6 + o( x
3) c f( x) = ln 2 + x
2 − x
2
8 +
x3
2 4 + o( x
3)
b f( x) = ln 2 + x
2 − x
2
1 2 +
x3
2 4 + o( x
3) d Ba câu kia sai
Câu 84 : Tìm TẤT CẢ các VCL bậc cao nhất trong số các hàm sau (khi x → +∞):
2 x , x2, x2+ s in 4x, x ln x
Câu 85 : Vô cùng lớn nào sau đây có bậc cao nhất (khi x → +∞)
a √ 3 x2+ 1 ln ( 2 x) b Ba câu kia sai c x ln x d x ln ( x2+ 3 )
Câu 86 : Tìm miền giá trị của hàm số a r c s in ( 3 x + 5 )
Câu 87 : Cho f( x) =
e x1, x = 0
a, x = 0 Tìm tất cả a để f liên tục trên IR?
Câu 88 : Cho f( x) =
e x + e −x − 2
s in 2( x) , x = 0
3 a − 2 , x = 0
Với giá trị nào của a thì hàm liên tục tại x = 0 ?
Trang 8Câu 90 : Cho f( x) = |x2− 4 x| + 3 Khẳng định nào đúng?
a ∃f ′( 4 ) b Ba câu kia sai c f ′
( 4 ) = −4 d f ′
( 4 ) = 4