Khóa luận tốt nghiệp toán Mối liên hệ giữa đại số, ôtômat và logic

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN PHAN THỊ HƯỚNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐẠI số, ÔTÔMAT VÀ LOGIC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành:TOÁN ỨNG DỤNG Người hướng dẫn khoa học GS. TRẦN VĨNH ĐỨC LCU CAM ON Em xin bay to long biet dn sau sac tdi thay Tran Vinh Du”c - NgiicJi thay da trtfc tiep tan tinh hildng dan va giup dd em hoan thanh bai khoa luan cua minh. Dong thcJi em xin chan thanh cam dn cac thay co trong to Ling dung va cac thay co trong khoa Toan - TrUdng Dai hoc Sii pham Ha Noi 2, Ban chu nhiem khoa Toan da tao dieu kien cho em hoan thanh tot bai khoa luan nay. Trong khuon kho co han cua mot bai khoa luan, do dieu kien thcJi gian, do trinh do co han va cung la lan dau tien nghien ciiu khoa hoc cho nen khong tranh khoi nhiing han che, thieu sot nhat dinh. Vi vay, em kinh mong nhan diidc nhiing gop y cua cac thay co va cac ban. Em xin chan thanh cam dn ! Ha Noi, thdng 05 ndm 2014 Sinh vien Phan Thi Hif6ng LOl CAM DOAN Khoa luan nay la ket qua cua ban than em trong qua trinh hoc tap va nghien ctiu. Ben canh do em dildc svt quan tarn cua cac thay co giao trong khoa Toan, dac biet la sii hiidng din tan tinh cua TS.Tran Vinh Dilc. Trong khi nghien ciiu hoan thanh khoa luan nay em da tham khao mot so tai lieu da ghi trong phan tai lieu tham khao. Em xin khang dinh ket qua cua de tai “Moi lien he gifla dai so, otomat va logic” khong co sii trung lap vdi ket qua cua cac de tai khac. Ha Noi, thdng 05 ndm 2014 Sinh vien Phan Thi Hif6ng Mục lục Từ các công thức đến biểu thức chính quy mở rộng Tương đương Myhill-Nerode và ôtômat tối tiểu Từ otomat đến công thức monadic bậc hai Ôtômat tối tiểu và yị nhóm cú pháp Tính duy nhất và tối tiểu của A M Ị N (L) Mỏ đầu Chương 1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. Định lý Kleene-Bũchỉ Công thức monadic bậc hai Công thức bậc nhất Logic: Tính toán dãy của Biichi Otomat và logic Bảng chữ, từ và ngôn ngữ 3 3 6 1 1 1 1 14 17 17 17 2 8 29 30 29 3 3 3 6 41 42 Một số phép toán trên ngôn ngữ Otomat 1.4.1. 1.4.2. Chương 2. 2.1. 2.2. Chương 3. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. Thuật toán tính toán otomat tối tiểu Vị nhóm chuyển của ôtômat VỊ nhóm cú pháp Kết luận Tài liệu tham khảo 3 Ngôn ngữ là phương tiện để giao tiếp, sự giao tiếp có thể hiểu là giao tiếp giữa con người với nhau, giao tiếp giữa người với máy. Ngôn ngữ để con người có thể giao tiếp với nhau được gọi là ngôn ngữ tự nhiên, chẳng hạn như tiếng Anh, tiếng Nga, tiếng Việt, là các ngôn ngữ tự nhiên. Các quy tắc cú pháp của ngôn ngữ tự nhiên nói chung là rất phức tạp nhưng các yêu cầu nghiêm ngặt về mặt ngữ nghĩa thì lại thiếu chặt chẽ, chẳng hạn cùng một từ hay cùng một câu ta có thể hiểu chúng theo ngữ nghĩa khác nhau tùy theo từng ngữ cảnh cụ thể. Con người muốn giao tiếp với máy tính tất nhiên cũng thông qua ngôn ngữ.Để có sự giao tiếp giữa người với máy và giữa máy với nhau, cần phải có một ngôn ngữ với các quy tắc cú pháp chặt chẽ hơn so với các ngôn ngữ tự nhiên, nói cách khác, với một từ hay một câu thì ngữ nghĩa của chúng phải là duy nhất mà không phụ thuộc vào ngữ cảnh. Để xác định các ngôn ngữ như vậy người ta đã sử dụng ôtômat. Ôtômat dịch nghĩa là máy tự động, được hiểu là các "máy" trừu tượng có cơ cấu và hoạt động rất đơn giản nhưng có khả năng đoán nhận ngôn ngữ. Logic là nội dung trung tâm của khoa học máy tính từ khi ngành này được hình thành.Trong những năm 1950 và 1960, các nhà nghiên cứu dự đoán rằng khi tri thức của con người có thể được biểu diễn bằng logic và các ký hiệu toán học, sẽ có khả năng tạo ra một máy tính có khả năng lập luận, hay nói cách khác là trí tuệ nhân tạo. Ôtômat và logic sinh ra các ngôn ngữ hình thức, có mối liên hệ chặt chẽ với nhau, góp phần rất quan trọng trong việc mô tả các dãy tính toán và điều khiển tự động, được phát sinh trong nhiều ngành khoa học khác nhau, từ hệ thống tính toán, ngôn ngữ đến sinh học. Khi nghiên cứu với tư cách là đối tượng toán học, lý thuyết này đề cập đến những vấn đề cơ bản của khoa học 3 máy tính, và các kết quả nghiên cứu đã có nhiều ứng dụng ngay đối với ngành toán học trừu tượng. 8. Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm: Chương 1. Ô tômat và logic. Chương 2.Định lý K Ỉ E E N E — B Ử C H I . Chương 3.Ôtômat tối tiểu và vị nhóm cú pháp. Chương 1 Otomat và logỉc 1.1. Bảng chữ, từ và ngôn ngữ B Ả N G C H Ữ C Á I là một tập hữu hạn khác rỗng. Mỗi phần tử của bảng chữ cái được gọi là một chữ cái hay một ký hiệu. Một T Ừ trên bảng chữ cái A là một dãy hữu hạn (gồm một số lớn hơn hoặc bằng không) chữ cái của A . ví dụ 1.1. Tập A = { A , B , C } là một bảng chữ cái và A A B A C B A là một từ trên A . Độ dài của một từ W , ký hiệu là |w| là số các chữ cái trong W . Ví dụ, Ị A B C A Ị = 4 . Từ không chứa ký hiệu nào gọi là từ rỗng và ký hiệu là E . Theo định nghĩa |e| = 0. Tập hợp gồm tất cả các từ trên bảng chữ cái A được ký hiệu là A * , và tập hợp gồm tất cả các từ khác rỗng trên bảng chữ cái A được ký hiệu là A + . Rõ ràng A + =A*-{e}. 3 Xét hai từ U và V trên bảng chữ A , phép ghép hai từ này là từ U V tạo được bằng cách đặt V liền ngay sau u. Rõ ràng phép ghép có tính chất kết hợp và không giao hoán trên A * (trừ khi bảng chữ A chỉ gồm một phần tử). Dễ thấy, ghép của hai từ có tính chất sau: |hv| = \u\ + I vỊ u£ = £u = u ngữ) trên bảng chữ cái A . Tập rỗng 0 là ngôn ngữ trên mọi bảng chữ cái: ngôn ngữ không chứa một từ nào. Chú ý rằng ngôn ngữ rỗng 0 khác với ngôn ngữ chỉ gồm một từ rỗng {e}. Ví dụ 1.2. Tập A * là ngôn ngữ gồm tất cả các từ trên A , tập A + là ngôn ngữ gồm tất cảcác từ khác từ rỗngtrên A . Còn tập {£,0,1,01,10,00,11,011,100} là một ngôn ngữ trên bảng chữ nhị phân {0,1}. 1.2. Một số phép toán trên ngôn ngữ Từ các ngôn ngữ có trước, ta có thể thu được một ngôn ngữ mới nhờ áp dụng các phép toán trên ngôn ngữ. Trước hết nhờ ngôn ngữ là một tập hợp, nên các phép toán trên tập hợp như hợp, giao, hiệu và phần bù đều có thể áp dụng lên ngôn ngữ. Ngoài ra, phép ghép có thể có mở rộng tự nhiên cho ngôn ngữ. Ghép của hai ngôn ngữ К và L trên bảng chữ cái A là ngôn ngữ KL = {uv I и G К và V G L} 3 Chúng ta cũng sử dụng ký hiệu lũy thừa cho các ngôn ngữ. Xét N là một số nguyên dương, và L là một ngôn ngữ, ngôn ngữ L N được định nghĩa một cách đệ quy như sau f {e}, nếu N = 0 LL n ~ l , nếu n > 0 Phép lặp của ngôn ngữ L là ngôn ngữ L* = ỊJ L n . п> 0 Nếu A và В là các bảng chữ cái, một đồng cấu từ A * đến B * là một ánh xạ Ẹ thoả mãn hai điều kiện 3 ư = < 1. <p(e) = e 2. Vu,V G А*, Ф (uv) = Ç (U )Ç (v) Để xác định một đồng cấu như trên, ta chỉ cần xác định ảnh của các chữ cái của A qua Ф. Ảnh của mỗi từ , U = 0102 -0/1 € A * thu được bằng cách ghép ảnh của các chữ, có nghĩa rằng ẹ{u) = ẹ{a{]ẹ{a 2 ) ẹ{a n ). . Phép toán này mở rộng một cách tự nhiên cho ngôn ngữ bằng cách đặt ẹ (L) = {ẹ (и) I и € L} với mỗi ngôn ngữ L ç A * . Nghiên cứu các phép toán cơ bản hợp, ghép và lặp trên ngôn ngữ đưa ta đến định nghĩa tự nhiên của lớp ngôn ngữ chính quy. Các phép toán này được gọi là các phép toán chính quy. Một ngôn ngữ trên bảng chữ cái A được gọi là chính quy nếu nó có thể thu được từ các chữ cái của A bằng cách áp dụng (một số hữu hạn) các phép toán chính quy. Định nghĩa hình thức như sau. Lớp các ngôn ngữ chính quy trên bảng chữ cái A , ký hiệu RatA*, là lớp nhỏ nhất các ngôn ngữ được định nghĩa bởi 1. Ngôn ngữ 0 và {a} là chính quy, với mỗi chữ cái A G А . 2. Nếu К và L là các ngôn ngữ chính quy thì K \ J L , K L và L * cũng là chính quy. Ví dụ 1.3. Xét các ngôn ngữ sau. 3 • Ngôn ngữ (ự{ab)*A*nA*(ba)*) 2 Ỵ là chính quy. Ngôn ngữ {e} chỉ gồm từ rỗng là chính quy vì {e} = 0*. 3 [...]... bởi e, và không có câu nào bắt đầu với lượng từ tồn tại được thỏa mãn bởi E Chú ý 1.4.2 Hai câu Ф và L Ự được nói là tương đương logic nếu chúng thỏa mãn bởi các cấu trúc giống nhau Chúng ta sẽ sử dụng một cách tự do kết quả tương đương logic, chảng hạn tương đương logic giữa . TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN PHAN THỊ HƯỚNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐẠI số, ÔTÔMAT VÀ LOGIC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành:TOÁN ỨNG DỤNG Người hướng dẫn. bằng logic và các ký hiệu toán học, sẽ có khả năng tạo ra một máy tính có khả năng lập luận, hay nói cách khác là trí tuệ nhân tạo. Ôtômat và logic sinh ra các ngôn ngữ hình thức, có mối liên hệ. của khoa học 3 máy tính, và các kết quả nghiên cứu đã có nhiều ứng dụng ngay đối với ngành toán học trừu tượng. 8. Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm: Chương 1. Ô tômat và logic. Chương 2.Định lý