Mối liên hệ giữa đại số, ôtômat và logic

TRƯÍNG Đ„I HÅC SƯ PH„M HÀ NËI KHOA TỐN PHAN THÀ HƯỴNG MÈI LIÊN H› GIÚA Đ„I SÈ, ƠTƠMAT VÀ LOGIC KHĨA LUŠN TÈT NGHI›P Đ„I HÅC Chun ngành:TỐN NG DệNG Ngới hợng dăn khoa hồc GS TRN VNH ĐÙC Hà Nëi - 2014 LÍI CƒM ƠN Em xin by tọ lũng biát n sõu sc tợi thƯy TrƯn Vnh ực - Ngới thƯy ó trỹc tiáp tên tỡnh hợng dăn v giỳp ù em hon thnh bi khoỏ luên cừa mỡnh ỗng thới em xin chõn thnh cÊm ơn th¦y tê Ùng dưng thƯy cụ khoa Toỏn - Trớng Ôi hồc S phÔm H Nởi 2, Ban chừ nhiằm khoa Toỏn ó tÔo iãu kiằn cho em hon thnh tốt bi khoỏ luên ny Trong khuụn khờ cú hÔn cừa mởt bi khố luªn, đi·u ki»n thíi gian, trình đë cú hÔn v cng l lƯn Ưu tiờn nghiờn cựu khoa hồc cho nờn khụng trỏnh khọi nhỳng hÔn chá, thiáu sút nhĐt nh Vỡ vêy, em kớnh mong nhên đưđc nhúng góp ý cõa th¦y bÔn Em xin chõn thnh cÊm n ! H Nởi, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Phan Thà Hưỵng LÍI CAM OAN Khoỏ luên ny l kát quÊ cừa bÊn thân em q trình håc tªp nghiên cùu Bờn cÔnh ú em ủc sỹ quan tõm cừa cỏc th¦y giáo khoa Tốn, đ°c bi»t sü hợng dăn tên tỡnh cừa TS.TrƯn Vnh ực Trong nghiên cùu hồn thành khố luªn em tham kh£o mët sè tài li»u ghi ph¦n tài li»u tham kh£o Em xin kh¯ng đành k¸t qu£ cõa ã ti Mối liờn hằ giỳa Ôi số, ụtụmat v logic khụng cú sỹ trựng lp vợi kát quÊ cừa đ· tài khác Hà Nëi, tháng 05 năm 2014 Sinh viờn Phan Th Hợng Mửc lửc M Ưu Chương Otomat logic 1.1 B£ng chú, tø ngôn ngú 1.2 Mët sè phép tốn ngơn ngú 1.3 Otomat 1.4 Logic: Tớnh toỏn dóy cừa Buăchi 11 1.4.1 Cụng thực bêc nhĐt 11 1.4.2 Cơng thùc monadic bªc hai 14 Chng nh lý Kleene-Buă chi 17 2.1 Tø otomat đ¸n cơng thùc monadic bªc hai 17 2.2 Tø công thùc đ¸n biºu thùc quy mð rëng 18 Chương Ơtơmat tèi tiºu và nhóm cú pháp 28 3.1 Tương đương Myhill-Nerode ôtômat tèi tiºu 29 3.2 Tính nh§t tèi tiºu cõa Amin (L) 30 3.3 Thuªt tốn tính tốn otomat tèi tiºu 31 3.4 Và nhóm chuyºn cõa ơtơmat 33 3.5 Và nhóm cú pháp 36 Kát luên 41 Tài li»u tham kh£o 42 MÐ Đ†U Ngôn ngú phương ti»n đº giao ti¸p, sü giao ti¸p có thº hiu l giao tiáp giỳa ngới vợi nhau, giao tiáp giỳa ngới vợi mỏy Ngụn ngỳ ngới cú th giao tiáp vợi ủc gồi l ngụn ngỳ tỹ nhiờn, chng hÔn nh tiáng Anh, tiáng Nga, ti¸ng Vi»t, ngơn ngú tü nhiên Các quy tc cú pháp cõa ngơn ngú tü nhiên nói chung l rĐt phực tÔp nhng cỏc yờu cƯu nghiờm ngt vã mt ngỳ ngha thỡ lÔi thiáu cht ch, chng hÔn cựng mởt tứ hay cựng mởt cõu ta cú thº hiºu chúng theo ngú nghĩa khác tùy theo tøng ngú c£nh cư thº Con ngưíi mn giao ti¸p vợi mỏy tớnh tĐt nhiờn cng thụng qua ngụn ngỳ. cú sỹ giao tiáp giỳa ngới vợi mỏy v giỳa mỏy vợi nhau, cƯn phÊi cú mởt ngụn ngỳ vợi quy tc cú pháp ch°t ch³ so vỵi ngơn ngú tü nhiên, nói cách khác, vỵi mët tø hay mët câu ngú nghĩa cõa chúng ph£i nh§t mà khơng phư thc vào ngú c£nh Đº xác đành ngơn ngú vªy ngưíi ta sû dưng ơtơmat Ơtơmat dàch nghĩa máy tü đëng, đưđc hiºu "máy" trøu tưđng có cĐu v hoÔt ởng rĐt n giÊn nhng cú khÊ đốn nhªn ngơn ngú Logic nëi dung trung tâm cõa khoa håc máy tính tø ngành đưđc hình thành.Trong nhúng năm 1950 1960, nhà nghiên cùu dü đốn r¬ng tri thùc cõa ngới cú th ủc biu diạn bơng logic v cỏc ký hiằu toỏn hồc, s cú khÊ nng tÔo mët máy tính có kh£ lªp luªn, hay nói cỏch khỏc l trớ tuằ nhõn tÔo ễtụmat v logic sinh ngơn ngú hình thùc, có mèi liên hằ cht ch vợi nhau, gúp phƯn rĐt quan trồng vi»c mơ t£ dãy tính tốn đi·u khiºn tü đëng, đưñc phát sinh nhi·u ngành khoa håc khác nhau, tø h» thèng tính tốn, ngơn ngú án sinh hồc Khi nghiờn cựu vợi t cỏch l ối tủng toỏn hồc, lý thuyát ny ã cêp án nhúng v§n đ· b£n cõa khoa håc máy tính, k¸t qu£ nghiên cùu có nhi·u ùng dưng đèi vỵi ngành tốn håc trøu tưđng CĐu trỳc khúa luên Khúa luên gỗm: Chng ễ tụmat v logic Chng 2.nh lý Kleene Buăchi Chương 3.Ơtơmat tèi tiºu và nhóm cú pháp Chương Otomat logic 1.1 B£ng chú, tø ngụn ngỳ BÊng chỳ cỏi l mởt têp hỳu hÔn khác réng Méi ph¦n tû cõa b£ng đưđc gåi mët hay mët ký hi»u Mët tø b£ng A mët dãy húu hÔn (gỗm mởt số lợn hn hoc bơng khụng) chỳ cõa A Ví dư 1.1 Tªp A = {a, b, c} mët b£ng aabacba mët tø A Đë dài cõa mët tø w, ký hi»u |w| sè w Ví dư, |abca| = Tø khơng chùa ký hi»u gåi tø réng ký hi»u Theo nh ngha || = Têp hủp gỗm t§t c£ tø b£ng A đưđc ký hiằu l A , v têp hủp gỗm tĐt c£ tø khác réng b£ng A đưñc ký hi»u A+ Rõ ràng A+ = A∗ − {ε} Xét hai tø u v b£ng A, phép ghép hai tø tø uv tÔo ủc bơng cỏch t v liãn sau u Rừ rng phộp ghộp cú tớnh chĐt kát hủp khơng giao hốn A∗ (trø b£ng A ch gỗm mởt phƯn tỷ) Dạ thĐy, ghộp cừa hai tø có tính ch§t sau: |uv| = |u| + |v| uε = εu = u Mët tªp L ⊆ A∗ đưđc gåi mët ngơn ngú hình thùc (hay ngn gån ngơn ngú) b£ng A Tªp réng ngơn ngú måi b£ng cái: ngôn 0/ ngú không chùa mët tø no Chỳ ý rơng ngụn ngỳ rộng 0/ khỏc vợi ngụn ngỳ ch gỗm mởt tứ rộng {} Vớ dử 1.2 Têp A l ngụn ngỳ gỗm tĐt cÊ cỏc tứ trờn A, têp A+ l ngụn ngỳ gỗm tĐt c£ tø khác tø réng A Còn tªp {ε, 0, 1, 01, 10, 00, 11, 011, 100} mët ngôn ngú b£ng nhà phân {0, 1} 1.2 Mët sè phép tốn ngơn ngú Tø ngơn ngú có trưỵc, ta có thº thu đưđc mët ngơn ngú mỵi nhí áp dưng phép tốn ngụn ngỳ Trợc hát nhớ ngụn ngỳ l mởt têp hđp, nên phép tốn tªp hđp hđp, giao, hi»u ph¦n bù đ·u có thº áp dưng lên ngơn ngú Ngồi ra, phép ghép có thº có mð rëng tü nhiên cho ngôn ngú Ghép cõa hai ngôn ngú K L b£ng A ngôn ngú KL = {uv | u ∈ K v ∈ L} Chúng ta sû döng ký hi»u lũy thøa cho ngôn ngú Xét n mët sè nguyên dương, L mët ngôn ngú, ngơn ngú Ln đưđc đành nghĩa mët cách đ» quy sau Ln =  {ε}, n¸u n = LLn−1 , n¸u n > Phép l°p cõa ngơn ngú L ngôn ngú b a b a a, b Hình 3.5: Otomat A1 , khụng cú sỹ ch dăn cừa trÔng thỏi Ưu hoc trÔng thỏi cuối Quan sỏt rơng f l ỏnh xÔ ỗng nhĐt trờn Q Do ú têp hủp cỏc ỏnh xÔ M (A) = { fw | w A } cỏc dÔng mởt cĐu trỳc Ôi số vợi phộp toỏn tớch cú tớnh chĐt kát hủp v phƯn tỷ đơn (thưíng ký hi»u 1) Mët c§u trúc vªy đưđc gåi mët nhóm, gåi M(A) nhóm chuyºn cõa A Đº ý rơng náu Q l hỳu hÔn,vêy thỡ M(A) l hỳu hÔn v cĐu trỳc ny cừa M(A) ch phử thuởc vo hm chuyn trÔng thỏi , v khụng phử thuởc vo cỏc trÔng thỏi ban Ưu v chĐp nhên Têp A , tĐt nhiờn, cng l mởt v nhúm, vợi phộp ghộp cú tớnh chĐt kát hủp v tứ rộng l phƯn tỷ n v nh xÔ : w fw l mởt ỗng cĐu nhóm tø A∗ vào M(A); có nghĩa là, thäa mãn ϕ (w1 w2 ) = ϕ (w1 ) ϕ (w2 ) cho t§t c£ w1 , w2 A , v nú l ỏnh xÔ oỏn nhên phƯn tỷ cừa A oỏn nhên cỏc phƯn tỷ cừa M(A) Ví dư 3.4 Xem xét otomat A1 hình 3.5 Chỳng ta s viát mởt phƯn tỷ fw cừa M (A1 ) mët vec tơ fw = (1 fw fw fw ) Tø có thº bt đ¦u li»t kê ph¦n tû cõa M (A1 ) fε = (1 3) fa = (2 3) faa = (3 fb = (3 3) 3) fab = (1 3 3) fba = (3 3) 3) fbb = (3 Chúng ta có thº ti¸p tưc li»t kê trên, thay vào lưu ý r¬ng faba = fa , fbab = fb cho w ∈ A∗ có chi·u dài 3, fw = (3 3) Do đó, li»t kê xác đành måi ph¦n tû cõa nhóm chuyºn ta có thº quy måi chuyºn đêi gây bði mët tø có chi·u dài v· mët tø ngn Do M(A) có ph¦n tû 1, α = fa , β = fb , αβ , β α, Và phép nhân đưđc xác đành bði luªt αα = β β = 0,α = αβ α β = β αβ B£ng phép nhân đ¦y đõ đưđc cho sau đây: · α β α β β α α β α β α β α β α α β β β β α α α α β β β β α 0 0 β α β α α 0 0 β α 0 Ví dư minh håa mët điºm chung quan trång Đây mët phương thùc hi»u qu£ cho b£ng phép nhân cõa nhóm chuyºn cõa mët otomat đơn đành hỳu hÔn Ưy Chỳng ta liằt kờ cỏc ỏnh xÔ fw cho án tỡm thĐy tĐt cÊ cỏc tø cõa mët sè chi·u dài gây ánh xÔ tng tỹ nh tứ ngn hn a, b b a b a, b, c b a a b b, c a a a b, c a a 4 b, c b Hình 3.6: Otomat A2 A3 Ví dư 3.5 Xem xét otomat A2 hình 3.6 Và nhóm chuyn ủc tÔo bi hai hoỏn v fa v fb c£ hai đ·u hốn cõa tªp hủp cỏc trÔng thỏi fa chu k nm trÔng thỏi v fb chuyn v mởt cp cỏc trÔng thỏi lõn cên Nú cng ủc biát tứ nh lý c bÊn lý thuyát nhúm m chỳng ta thu ủc tĐt cÊ sü chuyºn đêi t cõa ph¦n tû g¦n k· bi liờn kát lp i lp lÔi vợi chu ka (ỏnh xÔ t f 4t fa ), v tĐt cÊ cỏc hoỏn v cừa cỏc trÔng thỏi cú th thu ủc bơng cỏch giÊi quyát sỹ chuyn ời cừa c°p ph¦n tû k· Do đo,M (A) chùa t§t c£ hốn cõa {1, 2, 3, 4, 5}, v ú nhúm ối xựng bêc nm, vợi 5! = 120 phƯn tỷ TĐt nhiờn, chỳng ta cú th lm nh vêy vợi bĐt k têp hủp hỳu hÔn cừa cỏc trÔng thỏi Vớ dử 3.6 Bõy giớ xem xét tác đëng cõa vi»c thêm vào mët cỏi thự ba Ưu vo án vớ dử trợc, thu đưđc otomat A3 hình 3.6 Nó khơng ph£i khú cho thĐy rơng mội ỏnh xÔ tứ {1, 2, 3, 4, 5} vào có thº thu đưđc bơng cỏch giÊi quyát lp lÔi fc vợi cỏc hoỏn Do đó,M (A3 ) nhóm chuyºn đ¦y trờn trÔng thỏi, nú cú 55 = 3125 ph¦n tû Chúng ta có thº khái qt tương tü mởt v nhúm chuyn vợi nn cỏc phƯn tỷ sỷ dửng n-trÔng thỏi otomat 3.5 V phỏp nhúm cỳ Bõy gií cho L ⊆ A∗ , xem xét nhóm chuyºn cõa otomat tèi tiºu Amin (L) = (QL , δL , iL , FL ) Cho u, v ∈ A∗ Khi hai ph¦n tû fu , fv cõa nhóm gièng nhau? N¸u chúng khác nhau, thỡ õy l mởt số trÔng thỏi q m q fu = q fv Do otomat tèi tiºu, có mët tø y ∈ A∗ phân bi»t hai trÔng thỏi, tực l q fu fy FL v q fv fy / FL hoc ngủc lÔi Do mồi trÔng thỏi l tợi ủc, cng cú mởt tứ x mà q = i fx , mët hai xuy ∈ L xvy ∈/ L, ho°c ngủc lÔi nh lý 3.5.1 cho L A , cho u, v ∈ A∗ Cho A = Amin (L) Vªy f A = A f u v náu v ch náu, vợi mồi x, y A∗ xuy ∈ L ⇔ xvy ∈ L N¸u đi·u ki»n đành lý đưđc thäa mãn, ta vi¸t u ∼=L v Quan h» tương đương ∼=L đưñc gåi tương đ¯ng cú pháp L, và nhóm chuyºn cõa Amin (L) đưđc gåi nhóm cú pháp cõa L Chúng ta biºu nhóm cú pháp cõa L bði M(L) Ta có M (L) = M (Amin (L)) = A∗ \ ∼= L Có nghĩa r¬ng M(L) nhóm thương cõa A∗ bði tương ng cỳ phỏp Cỏc ỗng cĐu w A án lợp =L -lợp ủc gồi l ỗng cĐu cỳ phỏp cõa L, ký hi»u µL Tương đ¯ng cú pháp tương đ¯ng hai phía A∗ , có nghĩa rơng náu u =L v v u0 =L v0 , vªy uu0 ∼=L vv0 Cho M mët nhóm ϕ : A∗ → M mët ỗng cĐu Chỳng ta núi rơng chĐp nhên L A náu v ch náu cú mởt têp X cõa M thäa mãn L = ϕ −1 (X ) Chỳng ta cng núi rơng v nhúm M chĐp nhªn L Đành lý 3.5.2 Cho L ⊆ A∗ Các kh¯ng đành sau tương đương: L chớnh quy M(L) l hỳu hÔn L ủc chĐp nhên bi mởt v nhúm hỳu hÔn Chựng minh thĐy (1) suy (2), ta ý rơng L quy Amin (L) mët otomat hỳu hÔn trÔng thỏi, v ú v nhúm chuyn M(L) l hỳu hÔn a b b a a, b a, b Hình 3.7: Mët otomat có nhóm chuyºn chùa mët nhóm khơng t¦m thưíng chựng minh (2) suy (3), ta thĐy náu u ∈ L u ∼=L v v = εvε L Do L hđp cõa cõa mët sè lỵp tương đương cõa ∼= L, LL = µ −1 (X ), ð X = { fw ∈ M (Amin (L)) | w ∈ L} Cuèi cùng, đº chùng minh (3) suy (1), ta gi£ sû ϕ : A∗ → M, vỵi M hỳu hÔn v L = (X ) Vêy thỡ L ủc chĐp nhên bi otomat n nh đ¦y đõ A (M) = (M, δ , 1, X ) vỵi hàm chuyºn đành nghĩa bði: vỵi méi m ∈ M a ∈ A, δ (m, a) = m (a) Chỳ ý 3.5.1 Quan sỏt thĐy rơng náu M l mởt v nhúm hỳu hÔn v A(M) otomat xác đành chùng minh cõa đành lý 3.5.2, vªy nhóm chuyºn cõa M(A) M Vai trò cõa nhóm cú pháp hưỵng Ôi số cừa ngụn ngỳ chớnh quy giống nh otomat tèi tiºu lý thuy¸t otomat Ð ta làm xác ý này: Chúng ta nói r¬ng mët nhóm N chia mët nhóm M, vi¸t N ≺ M, n¸u có mëtvà nhóm M cừa M v mởt cĐu xÔ ton ỏnh : M N Nú l dng thĐy rơng l mởt quan hằ bc cƯu trờn cỏc nhóm Đành lý 3.5.3 Cho L ⊆ A∗ Vêy thỡ M chĐp nhên L náu v ch náu M(L) ≺ M 38 Ví dư 3.7 Xem xét nhóm chuyºn cõa otomat A hình 3.7 dng xỏc nh cỏc phƯn tỷ cừa v nhúm ny m khụng lm mởt bÊng c Ưu tiờn, náu mët tø w có chi·u dài ch®n, ánh xÔ {1, 3} vo {1, 3}, v {2, 4} 39 vào {2, 4}, n¸u w có chi·u dài l´, hốn hai bë Thù hai, n¸u w chùa aa ho°c bb mët thøa sè, sau £nh cõa fw chùa {3, 4} Cuèi cựng, náu cỏc chỳ cỏi cừa w xen k, vêy thỡ fw l ỏnh xÔ hoc hoc án {1, 2} , khơng ph£i c£ hai, phư thc vào li»u w a ho°c b Chúng ta có ph¦n tû = fε = (1 4) γ = fa = (2 3) 3) δ = fa = (4 γ δ = fab = (1 3 4) 4) γ = faa = (3 4 4) γ = faaa = (4 3) Quan sát r¬ng γ , γ δγ = fba = (3 tÔo thnh mởt nhúm giao hoỏn cỏc trÔng thỏi v Otomat ny chĐp nhên ngụn ngỳ (ab) Trong cỏc dÔng Ôi số, cĐu xÔ : w fw dÔng A vo M(A) chĐp nhên ngụn ngỳ ny vợi (ab) X= = ϕ −1 (X ) ð f ∈ M (A) | f ỏnh xÔ cỏc trÔng thỏi án chớnh nú Cỏc trÔng thỏi v l tng đương, otomat tèi tiºu cõa L thu đưñc bơng cỏch kát hủp cỏc trÔng thỏi ny ú l otomat kiºm tra ví dư 3.3 ( vỵi nh cỏc trÔng thỏi ban Ưu v hỳu hÔn ), ð tính đưđc nhóm chuyºn, cư thº M(L).Theo đành lý 3.5.3, M (L) ≺ M (A) v trờn thỹc tá, ỏnh xÔ gỷi án 1,, δ , γδ , δ γ đ¸n α, β , αβ , β α , tương đương, γ v cÊ hai án 0, l mởt cĐu xÔ tứ M(A) vo M(L) Vớ dử 3.8 Khụng cú otomat hỳu hÔn l v nhúm cỳ phỏp cừa mởt ngơn ngú quy.Xem xét, cho thí dư, nhóm M = (1, α, β , γ) vỵi phép nhân m1 m2 40 = m2 cho m2 = Gi£ sỷ A l mởt bÊng chỳ cỏi hỳu hÔn v : A M l mởt cĐu xÔ Cho X ⊆ M Chúng ta phân chia A thành ba tªp con, B,C D B = {a ∈ A | ϕ (A) = 1} C = {a ∈ A | ϕ (A) ∈ X \ {1}} D = A \ (B ∪C) 41 Vªy ϕ −1 (X ) = B∗ ∪ A∗CB∗ n¸u ∈ X ϕ −1 (X ) = A∗CB∗ khác (Quan sát B C có thº réng) Nhưng L = ϕ −1 (X ) l ủc chĐp nhên bi v nhúm {1, , }, sỷ dửng cĐu xÔ rơng ỏnh xÔ B đ¸n 1, C đ¸n α D đ¸n β Do ú mội ngụn ngỳ ủc chĐp nhên bi M l ủc chĐp nhên bi mởt v nhúm nhọ xác, b¬ng đành lý 3.7.3, khơng ph£i cú pháp cõa b§t kỳ ngơn ngú 42 K˜T LUŠN Trong q trình tìm hiºu nghiên cùu khố luªn, em ó bợc Ưu lm quen vợi cỏch thực lm vi»c khoa håc, hi»u qu£ Qua đó, em h» thèng đưđc nhúng lý thuy¸t b£n v· otomat Khóa luªn có thº xem tài li»u tham kh£o cho nhúng ngưíi quan tâm đ¸n otomat logic nói riêng nhúng ùng dưng cõa tốn vào cc sèng núi chung, ỗng thới thĐy ủc sỹ phong phỳ v lý thú cõa tốn håc Đó thành cơng cõa đ· tài Như vªy có thº nói đ· tài hồn thành nhi»m vư nghiên cùu đ°t Đº hồn thành khố luªn tèt nghi»p em xin trân trång c£m ơn th¦y tê Ùng dưng, c£m ơn th¦y Tr¦n Vĩnh Đùc th¦y khoa Tốn M°c dù em có nhi·u cè gng, song nhiãu hÔn chá vã thới gian v kián thực nờn khoỏ luên khụng trỏnh khọi nhỳng thiáu sút Em kớnh mong cỏc thƯy cụ cựng cỏc bÔn ồc v úng gúp ý kián trao ời khoỏ luên hoàn thi»n Em xin chân thành c£m ơn! 43 Tài li»u tham kh£o [1] John E Hopcroft, Jeffrey D.Ullman – Introduction to Automata Theory, Languages and Computation – Addison – Wesley Publishing Company, Inc – 1979 [2] J.Richard Buăchi.Weak second-order arithmetic and finite automata z.Math logik Grundlagen Math ,6:66-92,1960 [3] Sung Cho and Dung T Huynh Finite automata aperiodicity is PSPACEcomplete,-Theoretical Computer Science,88:99-116,1991 44 ... đưđc nói tương ng logic náu chỳng thọa bi cỏc cĐu trỳc gièng Chúng ta s³ sû döng mët cách tü kát quÊ tng ng logic, chÊng hÔn tng ng logic giúa ϕ ∧ ψ ¬ (¬ϕ ∨ ¬ψ), ho°c tương đương logic giúa ∀xϕ... tốn tính tốn otomat tèi tiºu 31 3.4 Và nhóm chuyºn cõa ôtômat 33 3.5 Và nhóm cú pháp 36... biºu diạn bơng logic v cỏc ký hiằu toỏn hồc, s cú khÊ nng tÔo mởt mỏy tớnh cú khÊ lªp luªn, hay nói cách khác trí tu» nhõn tÔo ễtụmat v logic sinh cỏc ngụn ngỳ hình thùc, có mèi liên h» ch°t ch³