Mối liên hệ giữa đại số, ôtômat và logic (KL06435)

TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON PHAN TH HNG MI LIấN H GIA I S, ễTễMAT V LOGIC KHểA LUN TT NGHIP I HC Chuyờn ngnh:TON NG DNG Ngi hng dn khoa hc GS TRN VNH C H Ni - 2014 LI CM N Em xin by t lũng bit n sõu sc ti thy Trn Vnh c - Ngi thy ó trc tip tn tỡnh hng dn v giỳp em hon thnh bi khoỏ lun ca mỡnh ng thi em xin chõn thnh cm n cỏc thy cụ t ng dng v cỏc thy cụ khoa Toỏn - Trng i hc S phm H Ni 2, Ban ch nhim khoa Toỏn ó to iu kin cho em hon thnh tt bi khoỏ lun ny Trong khuụn kh cú hn ca mt bi khoỏ lun, iu kin thi gian, trỡnh cú hn v cng l ln u tiờn nghiờn cu khoa hc cho nờn khụng trỏnh nhng hn ch, thiu sút nht nh Vỡ vy, em kớnh mong nhn c nhng gúp ý ca cỏc thy cụ v cỏc bn Em xin chõn thnh cm n ! H Ni, thỏng 05 nm 2014 Sinh viờn Phan Th Hng LI CAM OAN Khoỏ lun ny l kt qu ca bn thõn em quỏ trỡnh hc v nghiờn cu Bờn cnh ú em c s quan tõm ca cỏc thy cụ giỏo khoa Toỏn, c bit l s hng dn tn tỡnh ca TS.Trn Vnh c Trong nghiờn cu hon thnh khoỏ lun ny em ó tham kho mt s ti liu ó ghi phn ti liu tham kho Em xin khng nh kt qu ca ti Mi liờn h gia i s, ụtụmat v logic khụng cú s trựng lp vi kt qu ca cỏc ti khỏc H Ni, thỏng 05 nm 2014 Sinh viờn Phan Th Hng Mc lc M u Chng Otomat v logic 1.1 Bng ch, t v ngụn ng 1.2 Mt s phộp toỏn trờn ngụn ng 1.3 Otomat 1.4 Logic: Tớnh toỏn dóy ca Băuchi 11 1.4.1 Cụng thc bc nht 11 1.4.2 Cụng thc monadic bc hai 14 ă Chng nh lý Kleene-Buchi 17 2.1 T otomat n cụng thc monadic bc hai 17 2.2 T cỏc cụng thc n biu thc chớnh quy m rng 18 Chng ễtụmat ti tiu v v nhúm cỳ phỏp 28 3.1 Tng ng Myhill-Nerode v ụtụmat ti tiu 29 3.2 Tớnh nht v ti tiu ca Amin (L) 30 3.3 Thut toỏn tớnh toỏn otomat ti tiu 31 3.4 V nhúm chuyn ca ụtụmat 33 3.5 V nhúm cỳ phỏp 36 Kt lun 41 Ti liu tham kho 42 M U Ngụn ng l phng tin giao tip, s giao tip cú th hiu l giao tip gia ngi vi nhau, giao tip gia ngi vi mỏy Ngụn ng ngi cú th giao tip vi c gi l ngụn ng t nhiờn, chng hn nh ting Anh, ting Nga, ting Vit, l cỏc ngụn ng t nhiờn Cỏc quy tc cỳ phỏp ca ngụn ng t nhiờn núi chung l rt phc nhng cỏc yờu cu nghiờm ngt v mt ng ngha thỡ li thiu cht ch, chng hn cựng mt t hay cựng mt cõu ta cú th hiu chỳng theo ng ngha khỏc tựy theo tng ng cnh c th Con ngi mun giao tip vi mỏy tớnh tt nhiờn cng thụng qua ngụn ng. cú s giao tip gia ngi vi mỏy v gia mỏy vi nhau, cn phi cú mt ngụn ng vi cỏc quy tc cỳ phỏp cht ch hn so vi cỏc ngụn ng t nhiờn, núi cỏch khỏc, vi mt t hay mt cõu thỡ ng ngha ca chỳng phi l nht m khụng ph thuc vo ng cnh xỏc nh cỏc ngụn ng nh vy ngi ta ó s dng ụtụmat ễtụmat dch ngha l mỏy t ng, c hiu l cỏc "mỏy" tru tng cú c cu v hot ng rt n gin nhng cú kh nng oỏn nhn ngụn ng Logic l ni dung trung tõm ca khoa hc mỏy tớnh t ngnh ny c hỡnh thnh.Trong nhng nm 1950 v 1960, cỏc nh nghiờn cu d oỏn rng tri thc ca ngi cú th c biu din bng logic v cỏc ký hiu toỏn hc, s cú kh nng to mt mỏy tớnh cú kh nng lp lun, hay núi cỏch khỏc l trớ tu nhõn to ễtụmat v logic sinh cỏc ngụn ng hỡnh thc, cú mi liờn h cht ch vi nhau, gúp phn rt quan trng vic mụ t cỏc dóy tớnh toỏn v iu khin t ng, c phỏt sinh nhiu ngnh khoa hc khỏc nhau, t h thng tớnh toỏn, ngụn ng n sinh hc Khi nghiờn cu vi t cỏch l i tng toỏn hc, lý thuyt ny cp n nhng c bn ca khoa hc mỏy tớnh, v cỏc kt qu nghiờn cu ó cú nhiu ng dng i vi ngnh toỏn hc tru tng Cu trỳc khúa lun Khúa lun gm: Chng ễ tụmat v logic Chng 2.nh lý Kleene Buchi ă Chng 3.ễtụmat ti tiu v v nhúm cỳ phỏp Chng Otomat v logic 1.1 Bng ch, t v ngụn ng Bng ch cỏi l mt hu hn khỏc rng Mi phn t ca bng ch cỏi c gi l mt ch cỏi hay mt ký hiu Mt t trờn bng ch cỏi A l mt dóy hu hn (gm mt s ln hn hoc bng khụng) ch cỏi ca A Vớ d 1.1 Tp A = {a, b, c} l mt bng ch cỏi v aabacba l mt t trờn A di ca mt t w, ký hiu l |w| l s cỏc ch cỏi w Vớ d, |abca| = T khụng cha ký hiu no gi l t rng v ký hiu l Theo nh ngha || = Tp hp gm tt c cỏc t trờn bng ch cỏi A c ký hiu l A , v hp gm tt c cỏc t khỏc rng trờn bng ch cỏi A c ký hiu l A+ Rừ rng A+ = A {} Xột hai t u v v trờn bng ch A, phộp ghộp hai t ny l t uv to c bng cỏch t v lin sau u Rừ rng phộp ghộp cú tớnh cht kt hp v khụng giao hoỏn trờn A (tr bng ch A ch gm mt phn t) D thy, ghộp ca hai t cú tớnh cht sau: |uv| = |u| + |v| u = u = u Mt L A c gi l mt ngụn ng hỡnh thc (hay ngn gn l ngụn ng) trờn bng ch cỏi A Tp rng 0/ l ngụn ng trờn mi bng ch cỏi: ngụn ng khụng cha mt t no Chỳ ý rng ngụn ng rng 0/ khỏc vi ngụn ng ch gm mt t rng {} Vớ d 1.2 Tp A l ngụn ng gm tt c cỏc t trờn A, A+ l ngụn ng gm tt c cỏc t khỏc t rng trờn A Cũn {, 0, 1, 01, 10, 00, 11, 011, 100} l mt ngụn ng trờn bng ch nh phõn {0, 1} 1.2 Mt s phộp toỏn trờn ngụn ng T cỏc ngụn ng cú trc, ta cú th thu c mt ngụn ng mi nh ỏp dng cỏc phộp toỏn trờn ngụn ng Trc ht nh ngụn ng l mt hp, nờn cỏc phộp toỏn trờn hp nh hp, giao, hiu v phn bự u cú th ỏp dng lờn ngụn ng Ngoi ra, phộp ghộp cú th cú m rng t nhiờn cho ngụn ng Ghộp ca hai ngụn ng K v L trờn bng ch cỏi A l ngụn ng KL = {uv | u K v v L} Chỳng ta cng s dng ký hiu ly tha cho cỏc ngụn ng Xột n l mt s nguyờn dng, v L l mt ngụn ng, ngụn ng Ln c nh ngha mt cỏch quy nh sau Ln = {}, nu n = LLn1 , nu n > Phộp lp ca ngụn ng L l ngụn ng L = Ln n0 Nu A v B l cỏc bng ch cỏi, mt ng cu t A n B l mt ỏnh x tho hai iu kin () = u, v A , (uv) = (u) (v) xỏc nh mt ng cu nh trờn, ta ch cn xỏc nh nh ca cỏc ch cỏi ca A qua nh ca mi t , u = a1 a2 an A thu c bng cỏch ghộp nh ca cỏc ch, cú ngha rng (u) = (a1 )(a2 ) ã ã ã (an ) Phộp toỏn ny m rng mt cỏch t nhiờn cho ngụn ng bng cỏch t (L) = { (u) | u L} vi mi ngụn ng L A Nghiờn cu cỏc phộp toỏn c bn hp, ghộp v lp trờn ngụn ng a ta n nh ngha t nhiờn ca lp ngụn ng chớnh quy Cỏc phộp toỏn ny c gi l cỏc phộp toỏn chớnh quy Mt ngụn ng trờn bng ch cỏi A c gi l chớnh quy nu nú cú th thu c t cỏc ch cỏi ca A bng cỏch ỏp dng (mt s hu hn) cỏc phộp toỏn chớnh quy nh ngha hỡnh thc nh sau Lp cỏc ngụn ng chớnh quy trờn bng ch cỏi A, ký hiu RatA , l lp nh nht cỏc ngụn ng c nh ngha bi Ngụn ng 0/ v {a} l chớnh quy, vi mi ch cỏi a A Nu K v L l cỏc ngụn ng chớnh quy thỡ K L, KL v L cng l chớnh quy Vớ d 1.3 Xột cỏc ngụn ng sau Ngụn ng a (ab) A A (ba) l chớnh quy Ngụn ng {} ch gm t rng l chớnh quy vỡ {} = 0/ Mi ngụn ng hu hn (tc l ch gm hu hn t) l chớnh quy Vớ d 1.4 Cho a, b A l cỏc ch cỏi phõn bit Hai ngụn ng sau trờn A l chớnh quy Ngụn ng gm tt c cỏc t khụng cha hai ch a liờn tip Ngụn ng gm tt c cỏc t cha t ab nhng khụng cha t ba Chỳng ta cng xem xột cỏc phộp toỏn chớnh quy m rng bao gm cỏc phộp toỏn chớnh quy, v phộp giao, ly phn bự v ly nh ng cu Mt ngụn ng c gi l c chớnh quy m rng nu nú cú th thu c t cỏc ch cỏi ca A bng cỏch ỏp dng (mt s hu hn ln) phộp toỏn chớnh quy m rng Lp ca cỏc ngụn ng chớnh quy m rng trờn A c ký hiu l X RatA Rừ rng, tt c cỏc ngụn ng chớnh quy u l chớnh quy m rng 1.3 Otomat Mt otomat trờn bng ch cỏi A l mt b bn A = (Q, T, I, F) ú Q l mt hu hn, c gi l trng thỏi; T l mt ca Q ì A ì Q c gi l cỏc chuyn; I v F l ca Q tng ng c gi l trng thỏi bt u v trng thỏi kt thỳc Cỏc trng thỏi kt thỳc cng c gi l trng thỏi chp nhn th ca mt otomat A = (Q, T, I, F) cú cỏc nh l cỏc phn t ca a trng thỏi Q v cỏc cnh cú dng q q nu (q, a, q ) l mt chuyn, cú ngha rng nu (q, a, q ) T Cỏc trng thỏi bt u c th hin bi mt mi tờn t ngoi i vo, cỏc trng thỏi kt thỳc th hin bi mi tờn i ngoi Vớ d 1.5 Cho bng ch cỏi A = {a, b} Hỡnh 1.1 biu din otomat A = (Q, T, I, F), ú Q = {1, 2, 3}, I = {1}, F = {3} v T = {(1, a, 1) , (1, b, 1) , (1, a, 2) , (2, b, 3) , (3, a, 3) , (3, b, 3)} Chng ễtụmat ti tiu v v nhúm cỳ phỏp Cựng mt ngụn ng chớnh quy L, cú th cú nhiu ụtụmat hu hn oỏn nhn nú Mt cỏch t nhiờn, ta quan tõm n cỏc ụtụmat cú s trng thỏi ớt nht cựng oỏn nhn ngụn ng L ễtụmat cú s trng thỏi ớt nht cỏc ụtụmat hu hn cựng oỏn nhn L c gi l ụtụmat ti tiu ca ngụn ng L Vớ d 3.1 Xem xột ụtụmat hỡnh 3.1, A = (Q, T, I, F), vi Q = {t0 ,t1 ,t2 ,t3 }, I = {t0 }, F = {t1 ,t2 } D thy A oỏn nhn ngụn ng L = an bw | n 0, w {a, b} Nhỡn vo th chuyn ca A ta thy rng khụng cú ng i no t t0 n c nh t2 vỡ vy otomat A s tng ng vi otomat A hỡnh 3.2 a a b t0 a b b t2 t1 t3 a b Hỡnh 3.1: th chuyn ca otomat A 28 a a t0 b t1 b Hỡnh 3.2: th chuyn ca otomat A 3.1 Tng ng Myhill-Nerode v ụtụmat ti tiu Cho u, v A chỳng ta nh ngha u L v nu v ch nu u1 L = v1 L Rừ rng, L l mt quan h tng ng trờn A Chỳng ta cng lu ý rng nu u L v, v w A , vy thỡ uw L vw vỡ rừ rng (uw)1 L = w1 u1 L Mt quan h tng ng vi tớnh cht nhõn ny c núi l tng ng phi Hn na, L l n v ca L -lp, ú w L nu v ch nu w1 L Chỳng ta xõy dng otomat n nh y Amin (L) vi cỏc trng thỏi chớnh l cỏc lp ca cỏc t tng ng Chỳng ta nh ngha Amin (L) = (QL , L , iL , FL ) ú QL = A / L , iL = []L , FL = [u]L | v K v L : QL ì A QL c xỏc nh bi [v]L , a = [va]L nh lý 3.1.1 Xột ngụn ng L A , vy Amin (L) chp nhn L 29 L l chớnh quy nu v ch nu L cú ch s hu hn Chng minh ý rng, vi mi w A ta cú []L , w = [w]L Vỡ L l n v ca L -lp, nờn w c chp nhn nu v ch nu w L iu ny chng minh khng nh u tiờn Do L cú ch s hu hn, vy Amin l otomat hu hn nờn L l chớnh quy Ngc li, nu L l chớnh quy, vy thỡ nú c chp nhn bi mt otomat n nh y (Q, , i, F) vi Q hu hn Bõy gi gi s u, v A v (i, u) = (i, v) Nu w A v uw L, chỳng ta cú (i, vw) = ( (i, v) , w) = ( (i, u) , w) = (i, uw) F ú vw L Tng t, vw L suy uw L, ú u L v Do s lng cỏc lp ca L khụng nhiu hn |Q|, nờn L cú ch s hu hn 3.2 Tớnh nht v ti tiu ca Amin (L) Cho A = (Q, , i, F) l mt otomat n nh y trờn A, v cho L = L (A) Chỳng ta núi rng p, q Q l cỏc trng thỏi tng ng, v vit p q, nu {v A | (p, v) F} = {v A | (q, v) F} V trc giỏc, iu ny cú ngha rng nu p v q lm cựng mt cụng vic, v chỳng ta cú th kt hp chỳng vo mt trng thỏi n Ta nhn thy rng nu (i, u) (i, v), thỡ uw L ( (i, u) w) L ( (i, v) , w) L vw L (3.1) (3.2) ú u L v c bit, nu (i, u) = (i, v), thỡ u L v, ú chỳng ta cú th nh ngha ỏnh x (i, w) [w]L 30 t hp cỏc trng thỏi t c ca A n cỏc trng thỏi Amin (L) Lu ý rng ỏnh x ny t tng ng trng thỏi ban u i = (i, ) n []L v tng ng cỏc trng thỏi chp nhn ca A n cỏc trng thỏi chp nhn ca Amin (L) Chỳng ta túm tt quan sỏt ny bi nh lý sau: nh lý 3.2.1 Cho A = (Q, , i, F) l mt otomat y trờn A, v cho L = L (A) Vy thỡ ỏnh x f t hp cỏc trng thỏi t c Q n QL tha Vi mi a A, v trng thỏi q Q t c, ta cú f ( (q, a)) = L ( f (q) , a) , f (i) = iL f (F) = FL Hn na, f (p) = f (q) nu v ch nu p = q C th, nu A cú s lng cỏc trng thỏi bng vi Amin (L), vy thỡ hai otomat ny l ng cu qua ỏnh x f theo nh lý 3.2.1 3.3 Thut toỏn tớnh toỏn otomat ti tiu nh lý 3.2.1 núi rng, v nguyờn tc, chỳng ta cú th tớnh toỏn otomat ti tiu ca mt ngụn ng chớnh quy L bt u t mt otomat n nh y bt k (Q, , i, F) chp nhn L nh sau: u tiờn ta loi b cỏc trng thỏi khụng th n c, v sau ú kt hp cỏc trng thỏi tng ng li Nhng lm th no chỳng ta xỏc nh c liu hai trng thỏi cú tng ng? Nu p v q l cỏc trng thỏi tng ng, v nu cú t v A tho (p, v) F v (q, v) / F, hoc ngc li, thỡ ta gi t v l t phõn bit trng thỏi p, q Bng lp lun kiu b Bm ta thy rng nu cú t phõn bit v, thỡ v cú th c chn vi chiu di khụng quỏ |Q|2 Do ú chỳng ta cú th xỏc nh c liu hai trng thỏi l tng ng bng cỏch tớnh (p, v) v (q, v) 31 b b a b a a b b b a b a 1, 2, b a a 4, a a b Hỡnh 3.3: Thut toỏn ti tiu cho tt c cỏc t ngn hn chiu di ny D nhiờn, õy l mt thut toỏn ti phi kim tra |A||Q| t khỏc Trong thc t chỳng ta tin hnh nh sau: Xột m > 0, ta nh ngha p m q nu v ch nu, vi mi v A v |v| m, ta cú (p, v) F nu v ch nu (q, v) F õy l mt xp x quan h tng ng trờn A , v m+1 lm mn quan h m B sau cho phộp ci thin rng buc chiu di |Q|2 ca cỏc t phõn bit B 3.1 Cho p, q Q Vy thỡ, p q nu v ch nu p m q vi m = |Q| B 3.1 dn n cỏc thut toỏn ti tiu sau õy Chỳng ta bt u vi mt danh sỏch ca tt c cỏc cp {p, q} ca cỏc trng thỏi t c phõn bit v ỏnh du cỏc cp nu p F v q / F, hoc ngc li Trong tng giai on ca thut toỏn, chỳng ta kim tra mi cp khụng ỏnh du{p, q} v mi a A, chỳng ta tớnh {p , q } = { (p, a) , (q, a)} v chỳng ta ỏnh du {p, q} nu {p , q } c ỏnh du Nu {p, q} l c phõn bit bi mt t cú chiu di m, thỡ nú s c ỏnh du bi bc th m ca ca thut toỏn Do ú, sau ú khụng quỏ |Q| giai on, thut toỏn s khụng ỏnh du cp mi no, v thut toỏn kt thỳc Cỏc cp khụng ỏnh du l chớnh xỏc cỏc cp ca cỏc trng thỏi tng ng Vớ d 3.2 Xem xột otomat u tiờn ca hỡnh 3.3 Ban u chỳng ta ỏnh du cỏc cp {i, j}, ú i {1, 2, 3} v j {4, 5, 6} Trờn giai on tip theo, cỏc 32 b b a b a b a b a b a Hỡnh 3.4: Mt ụtụmat ti tiu cp {4, 6} v {5, 6} c ỏnh du t ng dng b n cỏc cp a ỏnh du {3, 6} Khụng cú cỏc cp ngoi c ỏnh du trn cỏc giai on tip theo, thut toỏn kt thỳc K t cỏc cp {1, 2} v {2, 3} l khụng c ỏnh du, nú cú dng hai lp Lp cũn li l {1, 2} Cỏc kt qu otomat ti tiu l hỡnh bờn phi ca hỡnh 3.3 Vớ d 3.3 Bõy gi chỳng ta ỏp dng thut toỏn vo otomat hỡnh 3.4 Ban u, cp {i, 6} vi i[...]... cõu bc nht, l rng tha món bi xõu rng Do ú L () = aA v L () = aA {} Logic bc nht ca th t tuyn tớnh (tng ng ca cỏc phn t tip sau), vit FO( ... Hai cõu v c núi l tng ng logic nu chỳng tha bi cỏc cu trỳc ging Chỳng ta s s dng mt cỏch t kt qu 13 tng ng logic, chng hn tng ng logic gia v (ơ ơ), hoc tng ng logic gia x v (xơ) Chỳng ta... khụng dựng ký hiu S(tng ng