• 1 A-min (L) chấpnhậ nL
3.2.Thuật toán tính toán otomat tối tiểu
• Định lý 3.2.1 nói rằng, về nguyên tắc, chúng ta có thể tính toán otomat tối tiểu của một ngôn ngữ chính quy L bắt đầu từ một otomat đơn định đầy đủ bất kỳ ( Q , 5 ,I, F ) chấp nhận L như sau: Đầu tiên ta loại bỏ các trạng thái không thể đến được, và sau đó kết hợp các trạng thái tương đương lạị Nhưng làm thế nào để chúng ta xác định được liệu hai trạng thái có tương đương?
• Nếu P và Q là các trạng thái tương đương, và nếu có từ V € A * thoả mãn 8
(P,V) G F và 8 (Q,V) Ị F, hoặc ngược lại, thì ta gọi từ V là từ phân biệt trạng thái
P, Q. Bằng lập luận kiểu bổ đề Bơm ta thấy ngay rằng nếu có từ phân biệt V, thì V
có thể được chọn với chiều dài không quá |ổ|2- Do đó chúng ta có thể xác định được liệu hai trạng thái là tương đương bằng cách tính 5 (P,V) và 5 (Q, v)
•
• Hình 3.3: Thuật toán tối tiểu
• cho tất cả các từ ngắn hơn chiều dài nàỵ Dĩ nhiên, đây là một thuật toán tồi do phải kiểm tra |A|^ từ khác nhaụ
• Trong thực tế chúng ta tiến hành như sau: Xét M >
0, ta định nghĩa P =M
Q
• nếu và chỉ nếu, với mọi V G A* và IVI < m, ta có
• 8 (P,V)EF nếu và chỉ nếu 8 ( q , v ) E F .
• Đây là một xấp xỉ quan hệ tương đương trên A * , và =m+i làm mịn quan hệ
=M. Bổ đề sau cho phép cải thiện ràng buộc chiều dài |ổ|2 của các từ phân biệt. • Bổ dề 3.1. Cho p,q E Q. Vậy thì, p = q nếu và chỉ nếu p =m q với m
= \Q\ — 2.
•Bổ đề 3.1 dẫn đến các thuật toán tối tiểu sau đâỵ Chúng ta bắt đầu với một d a n h s á c h c ủ a t ấ t c ả c á c c ặ p { p , q } c ủ a c á c t r ạ n g t h á i đ ạ t đ ư ợ c p h â n b i ệ t v à đ á n h
• dấu các cặp nếu p G F và q ị F, hoặc ngược lạị
• Trong từng giai đoạn của thuật toán, chúng ta kiểm tra mỗi cặp không đánh dấu{P,Q} và mỗi A GA , chúng ta tính {P' ,Q' } = {5 (P,A) ,ỗ (Q,A)} và chúng ta đánh d ấ u { p , q } n ế u { / / , q ' } được đánh d ấ u . N ế u { p , q } l à
được phân b i ệ t b ở i một từ có chiều dài M, thì nó sẽ được đánh dấu bởi bước thứ M của của thuật toán. Do đó, sau đó không quá ỊQỊ — 2 giai đoạn, thuật toán sẽ không đánh dấu cặp mới nào, và thuật toán kết thúc. Các cặp không đánh dấu là chính xác các cặp của các trạng thái tương ứng.
• Ví dụ 3.2. Xem xét otomat đầu tiên của hình 33 Ban đầu chúng ta đánh dấu các cặp {I,J} , À đó I E {1,2,3} và J £ {4,5,6}. Trên giai đoạn tiếp theo, các
• •
• Hình 3.4: Một ôtômat tối tiểụ
• cặp {4,6} và {5,6} được đánh dấu từ ứng dụng B đến các cặp đưa ra đánh dấu {3,6}. Không có các cặp ngoài được đánh dấu trến các giai đoạn tiếp theo, khi thuật toán kết thúc. Kể từ các cặp {1,2} và {2,3} là không được đánh dấu, nó có dạng hai lớp. Lớp còn lại là {1,2}. Các kết quả otomat tối tiểu là hình bên
• phải của hình 3ẹ3
• Ví dụ 3.3. Bây giờ chúng ta áp dụng thuật toán vào otomat trong hình 3.4 Ban
đầu, cặp {i,6} với i<6 được đánh dấụ Trên đường chuyền tiếp theo các cặp {ỉ, 5} với I < 5 được đánh dấu,..., cho đến khi trên đường chuyền thứ 5 cặp {1,2} được đánh dấụ Kết quả là mỗi cặp của các trạng thái phân biệt được đánh dấu: otomat đã được tối tiểụ
3.3. Vị nhóm chuyên của ôtômat
• Cho A = ( Q , 8 , I, F ) là một otomat đơn định đầy đủ trên một bảng chữ cái A . Cho W E A * . Chúng ta nghiên cứu các ánh xạ
• f*:q^ ô(q,w)
• từ Q vào chính nó. Chúng ta viết ảnh của một trạng thái Q dưới là Q F£ thay cho (Q). Chúng ta có, cho v,w e A * , (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
•____r A r A r A
• Jvw Jy Jw
•Ở đó tích trong vế bên phải của phương trình được tính từ trái sang phảị Có nghĩa là Q = (.Q F Ộ) F$ .
•
“K 3 -H 4 -K 4
-H 2
• Hình 3.5: Otomat Ai, không có sự chỉ dẫn của trạng thái đầu hoặc trạng thái cuốị
• Quan sát rằng FE là ánh xạ đồng nhất trên Q . Do đó tập hợp các ánh xạ • M {A ) = { fw I w G A*}
• các dạng một cấu trúc đại số với phép toán tích có tính chất kết hợp và phần tử đơn vị (thường ký hiệu là 1). Một cấu trúc như vậy được gọi là một vị nhóm, và chúng ta gọi M { A ) là V Ị N H Ó M C H U Y Ể N của A . ĐỂ ý rằng nếu Q là hữu hạn,vậy thì
M ( A) là hữu hạn và cấu trúc này của M ( A ) chỉ phụ thuộc vào hàm chuyển trạng thái
8 , và không phụ thuộc vào các trạng thái ban đầu và chấp nhận.
• Tập A * , tất nhiên, cũng là một vị nhóm, với phép ghép có tính chất kết hợp và từ rỗng E là phần tử đơn vị. Ánh xạ
• Ф : w fw
• là do một đồng cấu vị nhóm từ A * vào M ( A ) ; có nghĩa là, nó thỏa mãn • Ẹ (W1W2) = Ф (w 1) .Ẹ ( W2)
• cho tất cả WỊ, W2 trong A*, và nó là ánh xạ đoán nhận phần tử của A * để đoán nhận các phần tử của M ( A ) .
• Ví dụ 3.4. Xem xét otomat A \ trong hình 3.5 Chúng ta sẽ viết một phần tử FW
của M (Л1) như một vec tơ
• fw = (l/w 2fw 3fw).
• Từ đó chúng ta có thể bắt đầu liệt kê các phần tử của M ( A1 ) •
•
• Do đó, liệt kê trên là xác định mọi phần tử của vị nhóm chuyển vì ta có thể quy mọi chuyển đổi gây ra bởi một từ có chiều dài hơn 2 về một từ ngắn hơn. Do đó M ( A) có 6 phần tử
• 1, a = fa , ß = fb , aß, ßa, 0
• Và phép nhân được xác định bởi luật
A A = S S S S = 0 ,A = A S S A và S S = S S A S S. Bảng phép nhân đầy đủ được cho sau đây: • • 1 •A • S S • A • S S • 0 • 1 •1 •A • S S • A • S S • 0 • A • A • 0 •A • 0 •A • 0 • S S • S S • S S • 0 •S S • 0 •0 • A • A • A • 0 •A • 0 •0 • S S • S S • 0 •S S • 0 •S S • 0 • 0 •0 •0 •0 •0 •0 •0 •
• Ví dụ này minh họa một điểm chung quan trọng. Đây là một phương thức hiệu
quả cho bảng phép nhân của vị nhóm chuyển của một otomat đơn định hữu hạn đầy đủ. Chúng ta liệt kê các ánh xạ FW cho đến khi tìm thấy tất cả các từ của một số chiều dài gây ra các ánh xạ tương tự như từ ngắn hơn.
•
• Hình 3.6: Otomat л 2 và Лз
• Ví dụ 3.5. Xem xét otomat A2 trong hình 3.6 Vị nhóm chuyển được tạo ra bởi hai hoán vị F A và F B và cả hai đều là hoán vị của tập hợp các trạng thái F A chu kỳ
• (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
năm trạng thái và F B chuyển vị một cặp các trạng thái lân cận. Nó cũng được biết từ định lý cơ bản lý thuyết nhóm mà chúng ta thu được tất cả sự chuyển đổi t của các phần tử gần kề bởi liên kết lặp đi lặp lại với chu kỳ (ánh xạ T F Y T F A) , và tất cả các hoán vị của các trạng thái có thể thu được bằng cách giải quyết sự chuyển đổi của cặp các phần tử kề nhaụ Do đoM ( A ) chứa tất cả các hoán vị của {1,2,3,4,5}, và do đó nhóm đối xứng bậc năm, với 5! = 120 phần tử. Tất nhiên, chúng ta có thể làm như vậy với bất kỳ tập hợp hữu hạn của các trạng tháị
• yí dụ 3.6. Bây giờ xem xét tác động của việc thêm vào một chữ cái thứ ba đầu • vào đến ví dụ trước, thu được otomat Л3 trong hình 3 ^ 6 Nó không phải là khó cho thấy rằng mỗi ánh xạ từ {1,2,3,4,5} vào chính nó có thể thu được bằng cách giải quyết lặp lại F C với các hoán vị. Do đó,M (A3) là vị nhóm chuyển đầy đủ trên 5 trạng thái, nó có 55 = 3125 phần tử. Chúng ta có thể khái quát tương tự một vị nhóm chuyển với NN các phần tử sử dụng n-trạng thái otomat
3.4. Vị nhóm cú pháp
• Bây giò cho L Ç A * , V À xem xét vị nhóm chuyển của otomat tối tiểu
AMI„ (L) = (Ô I) 8L, Ì L, FL) . Cho И, V E A* . Khi nào hai phần tử là F U,F V của vị nhóm giống
• nhaủ Nếu chúng khác nhau, thì đây là một số trạng thái Q mà Q F U Ф Q FV. Do otomat là tối tiểu, có là một từ Y G A * phân biệt hai trạng thái, tức là Q F U F Y G FL và Q F V F Y Ị FL hoặc ngược lạị Do mọi trạng thái là tới đ ư ợ c , cũng có một từ X mà Q = I FX, do đó một trong hai X U Y
€ L và X V Y Ị
L , hoặc ngược lạị
• Định lý 3.5.1. cho L ç A*, và cho и, V
€ A*. Cho A — Amin (L)- Vậy thì
• nếu và chỉ nếu, với mọi x,y E A*
• xuy E L xvy € L
• Nếu các điều kiện trong định lý được thỏa mãn, ta viết и =L V . Quan hệ tương đương = L được gọi là T Ư Ơ N G Đ Ẳ N G C Ú P H Á P L , và vị nhóm chuyển của
AMỊ„ ( L ) được gọi là V Ị N H Ó M C Ú P H Á P của L . Chúng ta biểu thị vị nhóm cú pháp của L bởi M ( L ) . Ta có
• M(L)=M(Am i n{L))=A*\ỊẺL.
• Có nghĩa rằng M ( L) là vị nhóm thương của A * bởi tương đẳng cú pháp. Các đồng cấu W G A * đến lớp = L -lớp được gọi là Đ Ồ N G C Ấ U C Ú P H Á P của L , ký hiệu Í4 L -
• Tương đẳng cú pháp là tương đẳng hai phía trên A * , có nghĩa rằng nếu И = L V
• V / /«VJ /______Л , 1 V / /«vj /
• va и =L V , vậy thì uu =L v v .
• Cho M là một vị nhóm và Ф : A * — > M là một đồng cấụ Chúng ta nói rằng Ẹ C H Ấ P N H Ậ N L Ç A * nếu và chỉ nếu có một tập con X của M thỏa mãn L = Ẹ~L ( X ) . Chúng ta cũng nói rằng vị nhóm M chấp nhận L .
• Định lý 3.5.2. Cho L С A*. Các khẳng định sau là tương đương: 1. Llà chính quy
3. L được chấp nhận bài một vị nhóm hữu hạn.
• CH Ứ N G M I N H. Để thấy (1) suy ra (2), ta để ý rằng L là chính quy thì AMỊN
(L) là một otomat hữu hạn trạng thái, và do đó vị nhóm chuyển M (L) là hữu hạn.
•
• Hình 3.7: Một otomat có nhóm chuyển chứa một nhóm không tầm thưòng
• Để chứng minh (2) suy ra (3), ta thấy nếu И E L và И = L V thì V = E V E là cũng trong L . Do đó L là hợp của của một số lớp tương đương của = L , do đó L = Ц -
1 ( X ) , Ò ă ó X = { f w E M { A m i n ( L ) ) \ W E L } .
• Cuối cùng, để chứng minh (3) suy ra (1), ta giả sử <p : А* —> M, với M hữu hạn và L = ф-1 (X). Vậy thì L được chấp nhận bởi otomat đơn định đầy đủ А (M) =
( M , 8 , l , x ) với hàm chuyển định nghĩa bởi: với mỗi M E M và A G A , (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
• 5 (m,a) = mq> (a).
|—I
• Chú ý 3.5.1. Quan sát thấy rằng nếu M là một vị nhóm hữu hạn và A ( M ) là otomat xác định trong chứng minh của định lý 3.5.2, vậy thì vị nhóm chuyển của
M { A ) chính là M .
• Vai trò của vị nhóm cú pháp trong hướng đại số của ngôn ngữ chính quy giống như otomat tối tiểu trong lý thuyết otomat. Ở đây ta làm chính xác hơn ý này: Chúng ta nói rằng một vị nhóm N chia một vị nhóm M , và viết N -< M , nếu có mộtvị nhóm con M ' của M và một cấu xạ toàn ánh (P : M ' —>■ iV. Nó là dễ dàng để t hấy rằng -< l à m ột quan hệ bắc c ầu t rê n c ác v ị nhóm .
• Định lý 3.5.3. Cho L ç A*. Vậy thì M chấp nhận L nếu và chỉ nếu M(L) -< M.
• V í d ụ 3 . 7 . X e m x é t v ị n h ó m c h u y ể n c ủ a o t o m a t A t r o n g h ì n h | 3 . 7 1 c h ú n g t a d ễ dàng xác định các phần tử của vị nhóm này mà không làm một bảng cũ. Đầu tiên, nếu một từ W có chiều dài chẵn, thì các ánh xạ {1,3} vào {1,3}, và {2,4} vào {2,4}, trong đó nếu W có chiều dài lẻ, thì nó hoán vị hai bộ. Thứ hai, nếu W chứa A A hoặc B B như một thừa số, sau đó ảnh của FW là chứa trong {3,4}. Cuối cùng, nếu các chữ cái của W xen kẽ, vậy thì FW là ánh xạ hoặc 1 hoặc