Dễ thấy các ngôn ngữ 0,{a},{e}, với А £ A được chấp nhận bởi otomat.
Bây giờ chúng ta cần chỉ ra rằng nếu K , L Ç A * chấp nhận bởiotomat và nếu
Ж : A * — > A * , thì L , К и L , К П L , К* và Ж (L) cũng được chấpnhận bởi otomat.
Mệnh đề 2.1. Nếu L С A* được đoán nhận, vậy phần bù của L cũng được đoán nhận.
Xét
28 8
Lưu ý rằng ta cũng được một ôtmat đơn định cho L . Nó rất hiệu quả nếu L được đưa ra bởi một otomat đơn định, nhưng có thể dẫn tới một sự tăng lên theo cấp số nhân trong số lượng của các trạng thái nếu L nhận được bởi một otomat không đơn định.
Mệnh đề 2.2. Nếu L,K CA* được chấp nhận bởi otomat, thì KU L và K nL cũng được đoán nhận.
CH Ứ N G M I N H. Cho A = (Q , T , I , F) và A ' = ( Q ' , T ' ,L' , F ' ) là otomat đoán nhận L và L ' , tương ứng. Chúng ta giả sử rằng tập trạng thái Q và Q ' là rời nhaụ Vậy thì ta dễ dàng kiểm tra được rằng otomat
A\JÁ = (ỔUỔ/,7’UT',/U/',FUF/)
đoán nhận L u L ' . Dùng luật De Morgan và phép lấy phần bù ta dễ dàng chỉ ra rằng
giao của hai otomat cũng được đoán nhận. □
Mệnh đề 2.3. Nếu L,L' c A* được đoán nhận, vậy LL' và L* cũng được đoán nhận.
TÓ M T Ắ T C H Ứ N G M I N H. Cho A = (Q , T , I , F) và cho A ' = ( Q1
, T ' ,L' , FF) là otomat chấp nhận L và L ' , tương ứng, và giả sử rằng bộ các trạng thái của chúng là rời nhaụ
Dễ dàng kiểm tra rằng e-otomat
( Q u ổ ' , T u T ' u ( F X { £ } X / ' ) , 1 , F ' )
đoán nhận L L ' . Tương tự, nếu J là một trạng thái không thuộc Q, e-otomat (Ổ u {;■} , T u {F X {£} X /} ,/U {;■} ,F u {;■}) chấp
nhận L*. □
C h ứ n g m i n h . Cho A — ( Q , S , i , F ) là một otomat đơn định đầy đủ chấp nhận L .
Vậy thì A = ( Q , 8 , i , W ) chấp nhận L . □
29 9
Mệnh đề 2.4. Nếu L ç A* được chấp nhận và Ф :A* —> B* là một đồng cấu, vậy thì ẹ (L) cũng được chấp nhận. CH Ứ N G M I N H. Cho Л = ( Q , T , I , F) là một otomat chấp nhận L . Chúng ta xét A ' là e-otomat A ' = ( Q и Q ' , T ' , I , F), ở đó tập T ' bao gồm: • •
• Ta đã chỉ ra rằng một ngôn ngữ là được chấp nhận bởi otomat, nếu và chỉ nếu nó xác định bởi một câu trong MSO(<), nếu và chỉ nếu nó là chính quy mở rộng
• Chú ý 2.2.1. Lưu ý rằng các chứng minh tương đương logic là xây dựng, theo nghĩa rằng cho được một câu Ẹ trong M S O ( < ) , chúng ta có thể xây dựng một otomat A sao cho L (ф) = L ( A ) . Vậy thì M S O ( < ) là quyết định được: đưa ra một câu M S O <P, chúng ta có thể quyết định liệu ( Ọ có là hằng đúng. Thật vậy, nó là hằng đúng khi và chỉ khi L (-|ф) = Ф, điều này có thể kiểm tra được bằng thuật toán như trong xây dựng ở mục trước.
• Từ otomat đến các biểu thức chính quy
• Cho А = (Q , T , I , F) là một otomat. Với mỗi cặp trạng thái P,Q E Q và cho mỗi tập con P ç Q , đặt LP Q (P) là tập mọi từ И G A * là nhãn của một đường đi từ trạng thái P đến trạng thái Q, sao cho các trạng thái đi qua trong đường đi đó đều thuộc P :
• LP Q (p) = {A I A2- - -AN E A * I tồn tại một đường đi trong S Đ
C h ứ n g m i n h . Cho A — ( Q , S , i , F ) là một otomat đơn định đầy đủ chấp nhận L .
Vậy thì A = ( Q , 8 , i , W ) chấp nhận L . □
30 0
• p 4 qi ^ q với
Ợi, G p}.
• Nhớ lại rằng theo quy
ước, luôn luôn tồn tại một con đường đi rỗng, gắn nhãn
• bởi một từ rỗng, từ bất
kỳ trạng thái Q đến chính nó. Do đó E € LP Q (P) nếu và
• chỉ nếu P = Q.
• Chúng ta chứng minh bằng quy nạp trên lực lượng P rằng mọi ngôn ngữ
LP Q{ P ) đều là chính quỵ Điều này sẽ chỉ ra rằng L ( A ) là chính quy vì • L(A)= u Lư(Q).
• i €l, f£F
• Nếu P = 0, vậy thì LPJQ( < Ị > ) = {A e A I (P,A,Q) G ĩ} nếu P Ф ợ, và LPJ Q( < Ị > ) = {A € A I (Q,A,Q) G T } и {e}. Do đó, LP Q(Ộ) luôn luôn hữu hạn, và do đó là chính quỵ
• Bây giờ xét N > 0 và giả sử rằng, cho mọi P,Q E Q và P ç Q chứa tại nhiều nhất N — 1 trạng thái, ngôn ngữ LP Q (P) là chính quỵ Bây giờ xét L ç Q là một tập con với N phần tử và cho R E P. Xem xét lần đầu tiên và lần cuối cùng đến trạng thái R của một đường đi từ P đến Q, chúng ta tìm thấy rằng
• Lp,q {p) ~ LP ĩq (p \ {г}) u LP ír (p \ {r}) Lr r (p \ {r}) L^q (p \ {r})
• Từ P \ {r} C Ó số phần tử N — 1, nó chỉ ra từ giả thiết quy nạp rằng LP Q
(P) là chính quỵ
• Ta hoàn thành chứng minh định lý Kleene-Biichị
• Tính chất đóng
• Ngôn ngữ chính quy có nhiều tính chất đóng.
C h ứ n g m i n h . Cho A — ( Q , S , i , F ) là một otomat đơn định đầy đủ chấp nhận L .
Vậy thì A = ( Q , 8 , i , W ) chấp nhận L . □
31 1
• Mệnh đề 2.5. Cho (Ọ : А* B* là một đồng cấu và cho L ç B*. Nếu L là chính quy, vậy thì ẹ~l (L) cũng là chính quỵ
C h ứ n g m i n h . Cho A — ( Q , S , i , F ) là một otomat đơn định đầy đủ chấp nhận L .
Vậy thì A = ( Q , 8 , i , W ) chấp nhận L . □
32 2
• T ' = ị (P, A, Q) I P Q là một con đường trong A ị Nó dễ dàng
kiểm tra rằng A ' đoán nhận <p_1 (L). □
• Cho U £ A * V À L Q A * . TÃ định nghĩa thương trái và thương phải của
L bởi U được xác định như sau:
• M-1L = {v G A * I U V G L }
• LU-1 = {v e A * I V U e L }
• Các khái niệm này được tổng quát hoá cho các ngôn ngữ: nếu K và L là các ngôn ngữ, thương trái và thương phải của L bởi K được xác định như sau:
• K ~LL = {v G A * I 3m e K như vậy U V G L } = u U~LL ,
•u G K
• LK~l = {v G A* I 3u £ K như vậy vu E L} = u Lũl.
•U € K
• Mệnh đề 2.6. Nếu L c A* là chính quy và K c A* là ngôn ngữ bất kỳ (có thể không chính quy), vậy thì K lL và LK~1cũng là chính quỵ
• CH Ứ N G M I N H. Nếu A
= { Q , T , I , F } là một otomat chấp nhận L . Cho Ì' là tập hợp • các trạng thái của A mà là đạt được từ một trạng thái bắt đầu của
A theo sau một
• con đường gán nhãn bởi một từ trong K .
• L' = G Q I 3i e 1 ,3w € K như vậy Ỉ A ợ|
• Vậy thì A ' = { Q , T , I * , F } đoán nhận K ~ỈL . Chứng minh tương tự L K ~L,
□ • Chú ý 2.2.2. Chứng minh của mệnh đề 5.2 là không hiệu quả theo nghĩa ta k h ô n g t h ể x â y d ự n g đ ư ợ c
C h ứ n g m i n h . Cho A = (Q , T , I , F) là một otomat trên B , đoán nhận L , và cho
A ' = ( Q , T ' , I , F ) là otomat trên A ở đó
33 3
t ậ p h ợ p c á c t r ạ n g t h á i ì ' g ắ n v ớ i K . T u y n h i ê n , n ế u K là chính quy, vậy I ' được xây dựng một cách hiệu quả.
• Nhắc lại rằng một từ И là một tiền tố của từ V nếu có một từ V' E A * thoả mãn V = U V' (có nghĩa: V "bắt đầu" bởi Ù) . Tương tự, И là một hậu tố của V nếu tồn tại một từ V' s A * sao cho V = V'U. Cuối cùng И là một từ con của V nếu tồn tại các từ V' ,V" € A * sao cho V = V'U V" . Nếu L là một từ, chúng ta cho
PR E F( L)(tương ứng SU F F{ L ) , FA C T( L)) là tập hợp tất cả các tiền tố (tương ứng hậu tố, từ con) của các từ trong L .
• Mệnh đề 2.7. Nếu L ç A* là chính quy, vậy thì Pref(L), Suff(L) và Fact(L) cũng là chính quỵ
• CH Ứ N G M I N H. Đây là hệ quả của mệnh đề ^6 vì • P r e f ( L ) = L ( A * y \
• Suff{L) = {A*)-lL,
• FA C T (L) = (A*)-1L(A*)-1
• □
• Chương 3 Ôtômat tối tiểu và vị