• Cùng một ngôn ngữ chính quy L , có thể có nhiều ôtômat hữu hạn đoán nhận nó. Một cách tự nhiên, ta quan tâm đến các ôtômat có số trạng thái ít nhất cùng đoán nhận ngôn ngữ L .
• Ôtômat có số trạng thái ít nhất trong các ôtômat hữu hạn cùng đoán nhận L
được gọi là Ô T Ô M A T T Ố I T I Ể U của ngôn ngữ L .
C h ứ n g m i n h . Cho A = (Q , T , I , F) là một otomat trên B , đoán nhận L , và cho
A ' = ( Q , T ' , I , F ) là otomat trên A ở đó
34 4
• vídụ 3.1. Xem xét ồtồmattrong hình|3TỊ S Ỉ = ( Q , T , I , F ) , với
Q = {T O,H,T2,T3} , I = {ío}, F = \T\,£2}- Dễ thấy S Đ đoán nhận ngôn ngữ
• L = {anbw I n > 0,w G {a,b}*}
• Nhìn vào đồ thị chuyển của S Ể ta thấy ngay rằng không có đường đi nào từ T O
• đến được đỉnh Í2 vì vậy otomat sẽ tương đương với otomat S Đ' trong hình 3.2
•
• ậ)
• Hình 3.2: Đồ thị chuyển của otomat sẩ '
3.1. Tương đương Myhill-Nerode và ôtômat tối tiểu
• Cho M,v € A * chúng ta định nghĩa
• u =L V nếu và chỉ nếu u lL — V lL.
•Rõ ràng, =1 là một quan hệ tương đương trên A * . Chúng ta cũng lưu ý rằng nếu U = L V , và W £ A * , vậy thì U W = L V W vì rõ ràng (U W) ~LL = W_1 Một • quan hệ tương đương với tính chất nhân này được nói là T Ư Ơ N G Đ Ẳ N G P H Ả I. Hơn nữa, L là đơn vị của =£-lớp, do đó W € L nếu và chỉ nếu e e W~LL .
C h ứ n g m i n h . Cho A = (Q , T , I , F) là một otomat trên B , đoán nhận L , và cho
A ' = ( Q , T ' , I , F ) là otomat trên A ở đó 3 5 • • Hình 3.1: Đồ thị chuyển của otomat s á b b
• Chúng ta xây dựng otomat đơn định đầy đủ S^M Ì N ( L ) với các trạng thái chính là c á c lớp của c á c từ tương đương. Chúng ta định nghĩa
•— (ổL> FL) • ở đó •QL = A*/=l, •ÌL - [£]=l> • . FL= {[u]sJveẤ:} •và 5L : QL X A . — > QL được xác định bởi • = \ya\=L ■
• Định lý 3.1.1. Xét ngôn ngữ L c A*, vậy