Logic và sự vận động biện chứng trong toán học

Logic và sự vận động biện chứng trong toán học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NHỮNG VẤN ĐỀ VỀ LOGIC VÀ SỰ VẬN ĐỘNG BIỆN CHỨNG TRONG LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA TOÁN HỌC (Tiểu luận Triết Học, chương trình Cao Học & Nghiên Cứu Sinh khơng chun Triết) Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS.VŨ TÌNH Học viên thực hiện: TRẦN THỊ ÁNH VY (Học viên cao học K21 2011-2013) TP HỒ CHÍ MINH Tháng 9/2011  Logic vận động biện chứng tốn học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH LỜI MỞ ĐẦU Ở trường Đại học, học triết học vật biện chứng, việc ứng dụng có hiệu vào việc học, dạy việc nghiên cứu mơn cịn yếu Do vậy, người học coi mơn có tính chất lý luận cao xa, ứng dụng vào vấn đề trị lớn, phát minh khoa học lớn, cịn việc ứng dụng vào cơng việc thân thiết ngày họ học, dạy nghiên cứu khoa học mơn chun mơn chẳng thấy đâu, trừ vài câu chuyện lịch sử môn liên quan đến phát minh lớn Bởi vậy, người học cảm thấy triết học vật biện chứng công cụ để giải thích phần giới, đơi giải thích khiên cưỡng, chưa cảm nhận công cụ để cải tạo giới mà thiết thực họ để nâng cao chất lượng dạy, học ngiên cứu khoa học môn Điều hiển nhiên hạn chế nhiều việc hình thành giới quan họ thiếu tác động qua lại triết học vật biện chứng mơn khoa học Bài tiểu luận cho thấy nhiều mối liên hệ triết học với khoa học cụ thể, đặc biệt tốn học Mục đích chủ yếu giúp cho người đọc hiểu cách tổng quát cách thức xây dựng phát triển tốn học Trong phát triển có tính kế thừa, phủ định biện chứng đầy quanh co Điều thấy rõ qua thăng trầm lịch sử phát triển triết học tốn học để hồn thiện dần ngày (tuy nhiều lỗ hổng - điều tất yếu, phù hợp với quy luật vận động phát triển giới) Cơ sở lý luận chung để viết tiểu luận nằm chuyên đề logic học khoa học tư phép biện chứng vật Trong toán học, logic hình thức chủ yếu tập trung vào phân tích lý luận hình thành (như phương pháp tiên đề, phép toán phát sinh buổi sơ khai…) logic biện chứng vạch nguyên tắc logic để chuyển lên tri thức mới, nghiên cứu hình thành phát triển tốn học nói riêng, vận động có tính biện chứng Kết cấu tiểu luận gồm ba chương Chương I chủ yếu tóm lược kiến thức logic học, phép biện chứng vật Tuy nhiên có thích để hướng dẫn cho việc tiếp cận nội dung chương sau Chương II trình bày tổng quát cách thức xây dựng toán học theo phương pháp tiên đề, vấn đề logic lịch sử phát triển (chủ yếu q trình đặt tảng cho tốn học) Chương III nêu hai ví dụ minh họa cho điều đề cập hai chương trước Kết luận chương III kết luận chung cho tiểu luận Trong q trình làm tiểu luận này, tơi tham khảo nhiều tài liệu, xin chân thành cảm ơn tác giả Tôi xin chân thành cảm ơn tận tình giảng dạy, hướng dẫn PGS.TS.Vũ Tình suốt thời gian học chuyên đề triết học trình làm tiểu luận Chắc chắn tiểu luận cịn nhiều sai sót, mong nhận góp ý thầy cơ, bạn tất người quan tâm Một lần nữa, xin chân thành cảm ơn HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang Logic vận động biện chứng toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH MỤC LỤC Trang Lời mở đầu .1 Mục lục Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN Khái lược phép biện chứng vật .4 Logic học – Khoa học tư Logic học nói chung Logic hình thức Logic học biện chứng Chương II: PHƯƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ VỀ LOGIC TRONG TỐN HỌC Tốn học nói chung Tính trừu tượng khái quát Trực giác hình thức 10 Hệ tiên đề tính phi mâu thuẫn hệ tiên đề 12 Hệ tiên đề 12 Tính phi mâu thuẫn hệ tiên đề 13 Cơ sở hay tảng toán học .15 Con cừu nửa đen bầy cừu .16 Hai lối thoát 17 Chương trình Hilbert chứng minh tính phi mâu thuẫn .18 Tính khơng giải 19 Kết luận chương II .20 Chương III: VÍ DỤ MINH HỌA SỰ VẬN ĐỘNG BIỆN CHỨNG .21 TRONG LỊCH SỬ CỦA GIẢI TÍCH TỐN HỌC Lược sử hình thành khái niệm số 22 Lược sử hình thành phép tính vi tích phân 23 Kết luận chương III 26 Tài liệu tham khảo .27 HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang Logic vận động biện chứng tốn học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN CHUNG HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang Logic vận động biện chứng tốn học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH KHÁI LƯỢC VỀ PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT Phép biện chứng vật phương pháp luận chung cho nhận thức khoa học thực tiễn cách mạng (hiểu theo nghĩa triết học) Nó hệ thống tri thức lý luận khoa học, trình bày cách chặt chẽ có hệ thống tính chất biện chứng giới thơng qua cặp phạm trù quy luật chung giới (tự nhiên, xã hội, tư duy) Phổ quát hai nguyên lý - Nguyên lý mối liên hệ phổ biến: giới chằn chịt mối liên hệ Sự đa dạng vật tượng giải thích qua mối liên hệ tác động qua lại Ví dụ: Trong tự nhiên có mối liên hệ thể sống sinh vật với môi trường biểu qua trình trao đổi chất Trong xã hội có mối liên hệ người với người, quan hệ sản xuất Trong tư có liên hệ, chuyển hóa, vận động …vì theo quan điểm vật biện chứng biện chứng tư phản ánh biện chứng tự nhiên (sự vật khách quan) cách động - Nguyên lý phát triển: giới vận động biến đổi không ngừng Bản chất vận động có khuynh hướng phát triển Ví dụ: tự nhiên, vật chất ln chuyển hóa từ dạng sang dạng khác khơng đi, sinh vật có già chết, phản ứng hóa học xảy khơng ngừng … Trong xã hội, vận động phát triển xã hội xảy lịch sử từ thấp đến cao, thay đổi hình thái kinh tế xã hội Cụ thể hóa cho hai nguyên lý sáu cặp phạm trù ba quy luật Sáu cặp phạm trù riêng chung, tất nhiên ngẫu nhiên, chất tượng Ba cặp phạm trù làm sở phương pháp luận trực tiếp cho phương pháp phân tích tổng hợp, diễn dịch quy nạp, khái quát trừu tượng hóa Hai cặp phạm trù nguyên nhân - kết quả, khả - thực làm sở phương pháp luận để vạch trình tự mối liên hệ vạch tính chất tự nhiên tất yếu trình phát triển Cặp phạm trù nội dung - hình thức làm sở phương pháp luận dể xây dựng hình thức phụ thuộc vào nội dung Một nội dung mang nhiều hình thức, vấn đề phải tuân theo mối liên hệ nội yếu tố cấu thành nội dung không tùy tiện Ba quy luật bản: - Quy luật đấu tranh thống mặt đối lập (gọi tắt quy luật mâu thuẫn), quy luật vạch nguồn gốc động lực phát triển Quá trình đấu tranh giải mâu thuẫn trình tất yếu - Quy luật chuyển hóa từ biến đổi lượng dẫn tới biến đổi chất (quy luật lượng - chất), vạch cách thức chế phát triển - Quy luật phủ định phủ định vạch khuynh hướng phát triển theo hình thức xoắn ốc thể tính chu kỳ phát triển Đây phủ định biện chứng, cũ thay vào dường lặp lại cũ sở cao hơn, hoàn thiện HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang Logic vận động biện chứng tốn học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH LOGIC HỌC – KHOA HỌC VỀ TƯ DUY LOGIC HỌC NÓI CHUNG - Logic học khoa học ngiên cứu hình thức quy luật tư theo yêu cầu chuyển chúng thành nguyên tắc, phương pháp chung áp dụng cho trình tư cụ thể để thực nắm bắt chân lý - Các hình thức logic tư tưởng cấu trúc định tư tưởng, cách thức liên hệ kết hợp thành phần tư tưởng Nó bao gồm khái niệm, phán đốn suy luận - Các quy luật logic logic học nghiên cứu mối liên hệ chất, có tính tất yếu tư tưởng Theo quan điểm chủ nghĩa vật biện chứng hình thức logic quy luật logic có nguồn gốc từ giới khách quan, chúng phản ánh khách quan vào ý thức chủ quan người Thế giới khách quan tồn độc lập với ý thức người phản ảnh nội dung tư tưởng, mà quy định hình thức tư tưởng quy luật liên kết tư tưởng người Và thực tiễn sở để hình thành hình thức quy luật logic Có hai khoa học logic - logic hình thức logic biện chứng LOGIC HÌNH THỨC Logic hình thức cổ truyền hay truyền thống Aristote (384-322 TCN) sáng lập, sau Baccon, Leibnitz… phát triển bổ sung Việc áp dụng phương pháp hình thức toán học (xem minh họa chương III) vào logic học, logic tốn đời logic hình thức đại Đây khoa học nghiên cứu hình thức quy luật tư đắn; nghiên cứu hình thức logic tư (khái niệm, phán đốn, suy luận) quy luật logic đảm bảo tính xác định, chặt chẽ quán cho tư suốt trình suy luận, logic hình thức xét chúng mặt cấu tạo hình thức Các quy luật tư duy: - Quy luật đồng (A A): yêu cầu tư tưởng (khái niệm, phán đốn…) phải có tính xác định, phải ln ln đồng với thân Nghĩa tư tưởng phải có nội dung xác định suốt trình tư - Quy luật mâu thuẫn (không thể vừa A vừa không A): yêu cầu phải phi mâu thuẫn logic (xem chương II, hệ tiên đề tính phi mâu thuẫn hệ tiên đề, nghịch lý Russels), khơng cho phép có phi mâu thuẫn tư Nghĩa có hai phán đốn phủ định chúng khơng thể đồng thời khơng có lập luận (tổng quát lý thuyết) - Quy luật trung hay quy luật loại trừ thứ ba (hoặc A không A): không cho phép có phán đốn thứ ba đứng hai phán đoán phủ định Nghĩa hai phán đoán phủ định nhau, thiết phải có phán đốn đúng, phán đốn phủ định sai, ngồi hai khả - sai khơng cịn khả thứ ba (xem chương II, Tên trộm thơng minh) Tính - sai đại HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang Logic vận động biện chứng tốn học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH số mệnh đề gọi chân trị, phải đảm bảo tính quán suốt trình suy luận - Quy luật lý đầy đủ: yêu cầu suy nghĩ phải có cứ, có lý đầy đủ, phán đốn muốn khẳng định phải chứng minh chặt chẽ (xem chương II, Trực giác hình thức) Như logic hình thức phương pháp để tư duy, phương pháp tìm tri thức Tuy nhiên có hạn chế Logic hình thức phán đoán vật trạng thái đứng im tương đối, ổn định tạm thời chất, nghiên cứu hình thức tư bên ngồi vận động, phát triển, tác động qua lại, phụ thuộc lẫn chúng, khơng tính đến nội dung chúng (xem chương III) Vì logic hình thức điều kiện cần, chưa điều kiện đủ để đạt chân lý khách quan Song cần ý rằng, đừng hạn chế mà đem đồng logic hình thức với phương pháp siêu hình, khơng gắn khuyết điểm phương pháp siêu hình cho logic hình thức Để khắc phục hạn chế logic hình thức cần có logic khác nguyên tắc, logic biện chứng LOGIC BIỆN CHỨNG Logic biện chứng nghiên cứu quy luật biện chứng tư nhằm phản ánh đắn biện chứng khách quan vật Trên sở quy luật phổ biến giới mà phép biện chứng vật nghiên cứu, logic biện chứng vạch đặc điểm, “thông số” chúng tác động lĩnh vực tư vai trò, ý nghĩa chúng vận động tư đến chân lý, tức trở thành khoa học phù hợp nội dung tri thức khách thể, khoa học chân lý Logic biện chứng quan tâm chủ yếu đến nội dung tư duy, xem xét hình thức gắn chặt với nội dung thực tế sinh động Nó nghiên cứu khái niệm, phạm trù khơng phải trạng thái cô lập, tách rời, bất biến (hay quán) mà vận động, phát triển, mâu thuẫn chúng, liên hệ, chuyển hóa lẫn chúng Logic hình thức suy từ hình thức sang hình thức khác, phát triển hình thức cao từ hình thức thấp (xem chương III, ta hình dung nơm na hình thức, khái niệm đặt sở cho giải tích tốn học vận động nào), xác định mối liên hệ phụ thuộc lẫn chúng, đồng thời quan tâm đến tính lịch sử - cụ thể tư duy, đến thực tiễn nhằm phản ánh giới khách quan Trên sở quy luật phạm trù logic biện chứng đưa nguyên tắc phương pháp luận định hướng cho chủ thể nhận thức hành động: - Nguyên tắc khách quan: phải xem xét vật cách khách quan, xuất phát từ thân vật để nhận thức vật, phải trung thành phản ánh vật vốn có, phát huy nỗ lực chủ quan chủ thể nhận thức - Nguyên tắc toàn diện: xét vật tất mặt mối liên hệ tìm mặt bản, mối liên hệ chất - Nguyên tắc phát triển: đòi hỏi phải xem xét vật “sự tự vận động” phát triển HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang Logic vận động biện chứng tốn học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH - Ngun tắc lịch sử thể: chân lý luôn cụ thể nên phải xét vật điều kiện không gian, thời gian lịch sử cụ thể - Nguyên tắc thực tiễn: xem xét vật phải gắn liền với tình hình thực tiễn Tóm lại, logic biện chứng đưa nguyên tắc logic để chuyển lên tri thức mới, nghiên cứu hình thành phát triển lý thuyết khoa học Nó logic phát triển khoa học đại HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang Logic vận động biện chứng tốn học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH CHƯƠNG II PHƯƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ VỀ LOGIC TRONG TOÁN HỌC HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang Logic vận động biện chứng tốn học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH TỐN HỌC NĨI CHUNG Sự chuyển biến đột ngột sang “Tốn học đại” nhà trường gây nên ấn tượng toán học tự chủ, vứt bỏ tất tư tưởng khái niệm truyền thống mình, thay vào đưa sáng tạo kì qi, lố bịch mà khơng biết có cần đến Đây khơng phải cảnh tượng hoàn toàn Theo đánh giá khiêm tốn nhất, phần lớn “Toán học đại” dạy chương trình phổ thơng có từ kỉ Vấn đề toán học khoa học, tư tưởng phát triển tự nhiên từ cũ lĩnh hội theo thời gian Hàng loạt khái niệm đưa vào giáo trình nói chung chẳng có nói đến mối quan hệ chúng với khái niệm truyền thống (và điều gây nên khó khăn cho người làm quen với tốn học đại) Đây vận động biện chứng trình hoạt động nhận thức tốn học TÍNH TRỪU TƯỢNG VÀ TÍNH KHÁI QUÁT Một nét đặc trưng toán học đại khuynh hướng trừu tượng hóa ngày cao Bất luận khái niệm quan trọng bao hàm không mà nhiều đối tượng khác có chung tính chất Lý thuyết trừu tượng chắt hệ từ tính chất chung đem áp dụng vào đối tượng đối tượng xét Ví dụ khái niệm “mêtric” giải tích toán học khái niệm tổng quát khái niệm “khoảng cách” Tính trừu tượng tính khái qt có quan hệ mật thiết với Ưu điểm khái quát tiết kiệm công sức Thật vô lý phải bốn lần chứng minh định lý bốn tình huống, chứng minh theo cách: đặt vấn đề chung khơng phụ thuộc nội dung cụ thể đối tượng, tách rời nội dung đối tượng Phương pháp thể rõ mơn Giải tích hàm (Đây phương pháp nghiên cứu logic hình thức, khơng nên đồng với phương pháp siêu hình) Nét đặc trưng thứ hai toán học đại sử dụng rộng rãi ngôn ngữ lý thuyết tập hợp Thực “ý nghĩa sáng suốt phủ kín ký hiệu hình thức tốn học” Tốn học đặc biệt trở thành tổng quát, không quan tâm đến đối tượng cụ thể mà “đám đông” chúng Đẳng thức 5=4+1 khơng quan trọng Song số ngun tố có dạng 4n+1 tổng hai số phương lại mang nội dung phong phú nhiều Điều khẳng định đụng chạm đến toàn tập hợp số nguyên tố số nguyên tố riêng lẻ Tập hợp “đám đơng” Trong tốn học, lý thuyết tập hợp giữ vai trò quan trọng số học, ngun lý khơng phải xuất phát điểm tốt (xem phần nghịch lý Russels) Nhưng để hiểu toán học đại lý thuyết tập hợp nên nhớ lý thuyết tập hợp thứ ngơn ngữ thuận tiện, đánh giá cao vai trị sai lầm HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 10 Logic vận động biện chứng tốn học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH theo ý nghĩa tuyệt đối, song chúng trường hợp cụ thể Sức mạnh phương pháp tiên đề chỗ, từ số không nhiều giả thiết (tức tiên đề), cho phép xây dựng lâu đài lý thuyết to lớn Cái thỏa mãn giả thiết phải thỏa mãn tất kết luận rút từ giả thiết Chúng ta sử dụng tất kết luận lý thuyết để nhận tính chất khác nhau: Đối với ứng dụng, khơng phải làm lại tồn Quan niệm tiên đề xa rời thực tế có cách khơng lâu: người Hy Lạp cổ thiết lập hệ tiên đề hình học cho chúng phản ánh chân thật nguyên tự nhiên, có đơi chút lý tưởng hóa Từ hệ tiên đề xác lập chân lý hiển nhiên không chứng minh, từ điển định nghĩa tiên đề Tuy nhiên tốn học đại từ “hiển nhiên” lại mang ý nghĩa khác, việc khơng bàn cãi “tính chân lý ” (của tiên đề) không yêu cầu phải “tin” (vào tiên đề) – trình bày TÍNH PHI MÂU THUẪN CỦA HỆ TIÊN ĐỀ Khi bắt tay nghiên cứu lý thuyết tiên đề, có tay tiên đề ( mức kết luận logic, mặt tâm lý bạn hiểu trực giác lý thuyết phải phát triển nào) Chúng ta sử dụng chúng để chứng minh định lý đó, sau sử dụng định lý để chứng minh định lý khác Các tiên đề trở thành nguồn lan truyền rộng sóng định lý, định lý rốt phụ thuộc vào tiên đề Sự việc diễn tốt lành chừng bước đường ta không nhận hai định lý mâu thuẫn Nhưng lý thuyết chứng minh hai định lý mâu thuẫn tồn lý thuyết vơ dụng Chính người ta chứng minh cách tự điều lý thuyết Có lần bữa ăn trưa, nhà toán học tiếng J.Cardi đưa nhận xét tương tự người khách dự tiệc yêu cầu ông lý giải: giả sử 2+2=5, Mac Taga giáo hoàng La Mã Cardi suy nghĩ giây lát trả lời “Tơi biết 2+2=4, có nghĩa 5=4 Trừ có 2=1 Mac Taga giáo hoàng La Mã, hai người, Mac Taga giáo hoàng La Mã người” Để chuyển sang tình tổng quát hơn, trước hết nhớ lại phương pháp chứng minh phản chứng Chúng ta muốn chứng minh khẳng định p Ta bắt đầu giả thiết p sai, từ ta dẫn đến hai khẳng định trái ngược Khơng thể được, có nghĩa giả thiết “p sai” sai lầm Tính quy luật phương pháp dựa sở logic toán học đại Bây giả sử có hệ tiên đề mà từ hệ ta rút hai định lý r s mâu thuẫn (ví dụ: r “vật giá rẻ”, s “vật giá đắt”) Có thể sử dụng hệ tiên đề để suy mâu thuẫn phép chứng minh phản chứng loại khẳng định p Và xảy điều sau: phản chứng, ta chứng minh phát triển cách ta chứng minh khơng-p Ví dụ: để chứng minh “đất nước bị bần hóa”, giả sử ngược lại “đất nước khơng bị bần hóa” Từ với loại hệ tiên đề trên, ta rút hai khẳng định trái ngược “vật giá đắt” “vật giá rẻ” Vậy điều giả sử sai, “đất nước bị bần hóa” HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 14 Logic vận động biện chứng tốn học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH Hồn tồn chứng minh “đất nước khơng bị bần hóa” giả thiết ngược lại “đất nước bị bần hóa”, dẫn đến lập luận Đây tai họa hồn tồn Có thể có khả dung hịa với nhà tiên tri, lúc ơng ta cho hai câu trả lời “có” “khơng” cho vấn đề Hệ tiên đề không dẫn đến khẳng định mâu thuẫn gọi phi mâu thuẫn Tính phi mâu thuẫn tính quan trọng hệ tiên đề Hibert (nhà tốn học quen thuộc mơn Giải tích hàm) người nêu tầm quan trọng tính chất này, người sáng lập tiên-đề-học-hình-thức đại Tính mâu thuẫn lý thuyết tiên đề rõ ràng Đây ví dụ tinh vi Các tiên đề trường phi mâu thuẫn Hệ tiên đề gồm 10 tiên đề sau: 1) Phép cộng kết hợp (a+b)+c = a+(b+c) 2) Phép cộng giao hoán a+b = b+a 3) Tồn phần tử trung hòa phép cộng Nghĩa tồn số cho a+0= 0+a= a số a 4) Tồn phần tử ngược phép cộng Đối với số a bất kì, tìm số -a cho a+(-a)= (-a)+a= 5) Phép nhân kết hợp (a.b).c = a.(b.c) 6) Phép nhân giao hoán a.b = b.a 7) Tồn đơn vị: Có số thỏa 1.a= a.1= a 8) Quy tắc nhân phân phối bên trái bên phải a.(b+c)= a.b+a.c (a+b).c= a.c+b.c 9) Tồn phần tử ngược phép toán nhân Với số a khác 0, có số a-1 thỏa a.a-1=a-1.a=1 10)Số khác số Tiên đề (10) vơ dun chưa học môn Đại số cấu trúc Chúng ta nên hiểu số số khái niệm tổng quát trừu tượng số thông thường sống Dùng tất tiên đề, ngoại trừ tiên đề (9) ra, người ta chứng minh 0.a=0 với số a Trở lại vấn đề phi mâu thuẫn lý thuyết trường, ta thay đổi tiên đề (9) hệ tiên đề tiên đề sau : “Với số a (khơng cần khác 0), có số a-1 thỏa a.a-1=a-1.a=1 ” hệ tiên đề trở thành mâu thuẫn Thật vậy, với tiên đề ta có số 0-1 thỏa mãn (0.0).0-1 = 0.0-1 = 0.(0.0-1) = 0.1 = từ tiên đề (5) (tính kết hợp phép nhân) với đẳng thức suy = 1, điều mâu thuẩn với tiên đề (10) HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 15 Logic vận động biện chứng tốn học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH CƠ SỞ HAY NỀN TẢNG CỦA TỐN HỌC Chuyện kể có lần nhà thiên văn học, nhà vật lý học nhà tốn học nghỉ, hành trình qua Scotland Nhìn qua cửa sổ toa tàu, họ thấy cừu đen đồng cỏ Nhà thiên văn nhận xét: “Hay thật, hóa cừu Scotland màu đen !” Nhà vật lý phản đối: “ Đâu phải! Ở Scotland có số cừu màu đen ” Nhà tốn học buồn rầu ngồi ngước nhìn trời tun bố với giọng nhà truyền giáo “ Ở Scotland có đồng cỏ ni cừu, có bên màu đen ” Khi nói cách nghiêm túc, nhà tốn học thích phát biểu cách thận trọng Trong mắt nhà toán học định lý, theo dấu hiệu phải Anh ta nhớ lại nhiều trường hợp “hiển nhiên” lại đúng, thấy sợ sệt Chưa có chất vấn việc “Trong khoa học dựng (bằng thước compa) hình 17 cạnh khơng dựng hình 19 cạnh đều; số hữu tỉ “nhiều”(2) số nguyên ” Dẫu vậy, tốt hết đợi đến định lý chứng minh Tuy nhiên khơng phải tất nhà tốn học hay phòng xa người khác phịng xa lại vài người số người vĩ đại khứ Nhưng người đó, họ thừa biết họ đứng sở chông chênh Mỗi nhà tốn học sẵn sàng nói “ Tơi hồn tồn khơng biết lại thế, giả sử ta xem xét dẫn đến đâu” Người địi hỏi phải hiểu biết cặn kẽ bước suy luận tế nhị không muốn xa chưa có điều đó, đành chịu vào trạng thái người q chăm phân tích xem bước tới đâu không nhận thấy khơng hướng Vì vậy, tiên ta ln bỏ qua khó khăn cục bộ: Như nhận biết chiến lược tiến công toàn cục dễ dàng Sau rõ ràng chiến lược chung đúng, ta trở lại nghiên cứu chi tiết Ngày đến lúc người ta phải thảo luận chi tiết số biện luận trước Con cừu có bên trắng, bên đen hiếm, việc cừu cho (ý muốn nói đến tảng ban đầu, tiên đề…) hồn tồn khơng quan trọng đến Tuy nhiên tốn học có xu hướng đáng sợ chồng chất kết luận lên kết luận khác, xây dựng lên giống ngơi nhà bìa.Rút bìa, cơng trình sụp đổ Ở Mỹ người ta bắt đầu khởi thảo chương trình nghiên cứu vũ trụ xảy trường hợp: tên lửa trị giá vài triệu đôla, theo kết kiểm tra, cần phải phá hủy sau vừa phóng Người ta tìm thấy chương trình điều khiển chuyến bay ghi lại băng từ bỏ sót dấu chấm phẩy Trang bị phức tạp, hậu sai lầm, dù bé nhỏ nhất, lại khủng khiếp Các nhà toán học kỷ XIX XX hồ nghi tính chất vững (2) Đối với tập hợp có hữu hạn phần tử số phần tử “tập hợp mẹ” nhiều số phần tử “tập hợp con”, tập mẹ chứa tập Nhưng tập số hữu tỉ chứa tập số nguyên – tập hợp có vơ hạn phần tử - lại có số phần tử “nhiều nhau” Khái niệm “nhiều nhau” có định nghĩa lý thuyết toán đại, người ta gọi hai tập hai tập có “cùng lực lượng” HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 16 Logic vận động biện chứng toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH móng tốn học Bây người ta hay thảo luận cấu trúc “kim tự tháp tốn học”, kim tự tháp đứng đỉnh Hầu hết kết tốn học dựa số giả thiết ban đầu Sự thận trọng thơng thường địi hỏi phải xem xét chúng cách cặn kẽ hơn, tạo cho chúng sở vững tốt CON CỪU MỘT NỬA ĐEN TRONG BẦY CỪU Tên trộm thông minh Để dẫn dắt cho người đọc dễ hiểu, xin kể câu chuyện vui gần gũi đầy ý nghĩa cho nội dung phần Câu chuyện sau: Ngày xưa có ơng vua nghiêm khắc, chặt chẽ khoan dung độ lượng Bất phạm nhân bị bắt, ơng tìm cách gán cho tội chết Vào ngày nọ, người ta bắt thiếu niên phạm tội trộm cắp giải đến vua Cậu ta xin tha mạng rối rít Nhưng nhà vua tuyên bố “ nhà biết chuyện xảy nói ta nghe Nói sai ta bắt đem chém đầu Nói ta cho chết cách nhẹ nhàng thuốc độc Cịn khơng nói đừng trách ta” Ơng vua muốn dồn cậu ta vào chỗ chết Cậu ta sợ hãi ấp a ấp úng khơng nói nên lời Nếu im lặng thì…khỏi phải nói với tính ơng vua Nhưng sau bình tĩnh lại, nét mặt cậu ta sáng lên vừa nghĩ điều Cậu ta tuyên bố “tôi biết bị chém chết” Sau vài phút bất ngờ, nhà vua quần thần bắt đầu suy xét câu nói theo hai trường hợp: - Nếu câu sai theo lời vua, bị chết chém, phù hợp với câu nói (trở thành đúng), phải chết thuốc độc, mà trường hợp hóa lại nói sai…, - Nếu câu trở lại đoạn lập luận suy diễn rốt khơng biết câu nói sai Nhà vua làm đành phải tha mạng cho cậu ta, nhà vua khơng hiểu tình lại trở nên Nghịch lý Russels Chúng ta thấy dựa vào tiên đề mà nhà vua đưa ra, người ăn trộm đưa khẳng định chẳng có tính chất đúng-sai Điều cho thấy có không ổn luật trung luật phi mâu thuẫn logic hình thức tốn học Ngay sau Frêge vừa hồn thành cơng trình tuyệt tác B.Russels cho Frêge nghịch lý tương tự lý thuyết ông Để đặt sở vững cho khái niệm số ( xem sách tham khảo [2], chương 9), Frêge xây dựng lý thuyết tập hợp cách ngây thơ chia tập hợp thành nhóm có lực lượng ( xem phần thích (2) lực lượng trang 19) nhóm biểu số, coi chúng số Tuy nhiên người ta khơng chấp nhận tình hình thích xem tồn số tiên đề Vì xem xét tập hợp B gồm tập hợp (các tập hợp phần tử B) có tính chất xác định dẫn đến nghịch lý sau đây: Xét B tập hợp gồm tập hợp có tính chất “khơng tự chứa phần tử tập hợp” Hỏi tập hợp B có tự chứa phần tử hay khơng? Viết theo biểu thức tốn học B có dạng : B = { tập hợp C / C khơng tự chứa mình} HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 17 Logic vận động biện chứng tốn học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH Nếu B tự chứa B phần tử nó, phần tử B phải có tính chất “khơng tự chứa mình”, mâu thuẫn Nếu B khơng tự chứa B lại có tính chất phần tử thuộc B, có nghĩa B tự chứa mình, mâu thuẫn Rốt khơng trả lời câu hỏi Như lý thuyết tập hợp mà Frêge sử dụng có mâu thuẫn, số phận tồi tệ hiểu số lý thuyết! (Tội nghiệp cho Frêge Tôi nghe thầy giáo cũ hồi cấp III kể lại nghĩ điều mà Frêge vào nhà thương điên Cụ thể ông suy nghĩ lý thuyết tập hợp ơng có tồn tập hợp bao gồm tất tập hợp khơng?) Chúng ta cịn biết khước từ lý thuyết tập hợp ngây thơ Frêge đưa tìm cách thay phi mâu thuẫn Trong lý thuyết ngây thơ tùy tiện nhiều trả cơng HAI LỐI THOÁT Để tránh nghịch lý Russels, phải thay đổi cách lý luận, cho đưa tới kết luận tương tự Tuy nhiên quy tắc không đưa q nhiều hạn chế, khơng có nguy đe dọa vứt bỏ bé toán học với nghịch lý Trong lý luận đưa trước có hai chỗ có logic đáng nghi ngờ: a Thứ nhât, việc chứng minh dựa vào tính chất phi mâu thuẫn khơng đáng tin cậy hồn tồn tưởng Chính phủ định kép khơng–khơng p lại khơng trùng với p nên việc chứng minh dựa vào tính phi mâu thuẫn bị phá vỡ: trường hợp chứng minh B không phần tử B không–không phần tử B, điều thứ hai chẳng có mâu thuẫn với điều thứ Những người ủng hộ thuyết gọi người theo chủ nghĩa trực quan; đặc biệt cất cao giọng vào năm 31 Lối thoát họ đề nghị triệt để, vứt bỏ phép chứng minh phi mâu thuẫn, toán học mát nhiều Các nhà trực quan cố gắng xây dựng lại tốn học mà khơng sử dụng phép chứng minh tính phi mâu thuẫn ngạc nhiên họ cứu vớt nhiều Tuy cịn mát Chẳng hạn, tốn học đó, tất hàm số liên tục (trong tốn học giải tích ngày lại khơng vậy) b Thứ hai, tự xây dựng lý thuyết tập hợp Chính B khơng tập hợp, vấn đề B “thuộc về” B ý nghĩa lý luận tiếp tục Tư tưởng triệt để Người ta hạn chế tự thành lập tập hợp Trong nhiều loại hình lý thuyết tập hợp khác nhau, người ta phân biệt hai dạng đối tượng “lớp” “tập hợp” Lớp có phần tử đa số lớp giống tập hợp ngây thơ Tuy nhiên lớp khơng thiết phần tử lớp khác Những lớp có khả này, người ta gọi tập hợp Nếu ta viết B= {những tập hợp X/ X có tính chất p} cần hình dung sau: B lớp tập logic có tính chất phát triển logic có tính chất p, chưa suy logic thuộc B, logic tập hợp mà lớp HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 18 Logic vận động biện chứng toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH Như thay cho nghịch lý Russels, ta phát biểu: lập luận chứng minh B không tập hợp Thật vậy, B tập hợp nghịch lý bắt đầu tác động, đến mâu thuẫn Các lớp không tập hợp gọi lớp kì dị, nghịch lý Russels khẳng định tồn lớp Mặt khác chưa biết tồn tập hợp Phương pháp để tin tồn viết tiên đề khẳng định điều Frêge xây dựng lý thuyết tập hợp ngây thơ theo hình thức biểu tập hợp đối tượng thực Chúng ta không trông mong giới thực mâu thuẫn với (niềm tin thiếu cứ, nhiều nguyên lý khác mà nhân loại nâng niu ấp ủ) hy vọng lý thuyết Frêge phi mâu thuẫn Thật vơ ích, vấn đề lại khơng Sự thật, điều cuối lại xảy ra, lý thuyết lạc đường khỏi giới hạn thực Mặt khác lý thuyết tập-hợp-tiên-đề-hóa, khơng có tham vọng liên hệ với giới thực Trước trở thành chấp nhận nhà toán học, cần phải tin phi mâu thuẫn Thế giới thực vật lý không cho phép tin vào điều Cần phải chứng minh tính phi mâu thuẫn CHƯƠNG TRÌNH CỦA HIBERT VỀ CHỨNG MINH TÍNH PHI MÂU THUẪN Trước hết phải định phương pháp chứng minh tính phi mâu thuẫn chấp nhận Rõ ràng dùng phương pháp gây mối nghi ngờ David Hibert, người xem xét vấn đề này, tới kết luận chấp nhận với cách chứng minh trải qua số hữu hạn bước (như nói, làm máy tính) khơng có mơ hồ cả, bước cần phải hoàn toàn rõ ràng tất khả cần cân nhắc Ngoài Hibert hiểu để nhận cách chứng minh đó, khơng phép gán cho kí hiệu tốn học nội dung ý nghĩa thực cách hoàn tồn hình thức trị chơi theo quy tắc định trước Chẳng hạn, quy tắc nói với dãy kí hiệu 1+1 thay kí hiệu (khơng cần biết nội dung chúng gì) Nếu chứng minh khơng có dãy q trình cho phép lại dẫn tới tổ hợp kí hiệu có dạng 0≠0, khẳng định điều số hữu hạn bước xây dựng ta có chứng minh tính phi mâu thuẫn Còn ta gặp tổ hợp 0≠0 trò chơi chúng ta, trình dẫn tới tổ hợp diễn giải bước chứng minh 0≠0, lý thuyết tập-hợp-tiên-đề-hóa có mâu thuẫn Mặt khác, lý thuyết có mâu thuẫn tồn phép chứng minh 0≠0; bước chứng minh cho ta q trình dẫn tới tổ hợp kí hiệu trị chơi Trên sở suy nghĩ đó, Hibert lập chương trình đầy đủ để tiến hành chứng minh tính phi mâu thuẫn Sau để tốn học có sở logic vững mong muốn, thực chương trình HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 19 Logic vận động biện chứng toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH Hibert cịn quan tâm đến câu hỏi khác: phải toán nguyên tắc giải được? Câu hỏi xuất phát nhà trực quan tin Chương trình Hibert đốn trước việc trả lời cho câu hỏi Ông cho tồn thủ tục hoàn toàn xác định cho phép biết trước tốn cho giải hay khơng hi vọng tìm thủ tục Lúc Hibert thừa nhận lãnh tụ giới toán học Nhưng chàng trai chưa biết đến Cuốc- Gơđen (một kỹ sư) tới kết luận Hibert không Vào năm 1930, xuất cơng trình làm đổ nát chương trình Hibert Một nhà tốn học vĩ đại khác J.F.Neumann hồi đọc giảng Hibert, sau tham khảo cơng trình Gơđen, ông xây dựng lại giảng dành phần giảng cịn lại cho cơng trình Gơđen chứng minh hai điều ( xem [2], chương 20): - Thứ nhất, lý thuyết tập hợp tiên đề hóa phi mâu thuẫn tồn định lý khơng thể chứng minh bác bỏ? (giống truyện tên trộm thông minh Định lý chẳng mà chẳng sai, vừa vừa sai) - Thứ hai, không tồn thủ tục xây dựng mà nhờ chứng minh tính phi mâu thẫn lý thuyết tập hợp tiên đề hóa Kết thứ toán giải nguyên tắc, kết thứ hai hồn tồn gạt bỏ chương trình chứng minh tính phi mâu thuẫn Hibert đề nghị Người ta kể nghe cơng trình Gơđen, Hibert “rất bực mình” (bực nhà khoa học) Sau người ta thấy rõ ràng tổn thất lớn điều mà Gơđen hình dung Bất kì hệ thống tiên đề đủ rộng để chứa số học hình thức hóa chịu nhược điểm, nghĩa là, khơng phải hệ tiên đề hóa cụ thể hay hệ khác có lỗi việc đó, mà số học! TÍNH KHƠNG GIẢI ĐƯỢC Chứng minh đầy đủ định lý Gơđen, bao gồm việc mô tả chi tiết gọi “thủ tục xây dựng”, thỏa mãn yêu cầu cao tính chặt chẽ Mặc dù định lý thứ hai biểu thị phá sản chương trình Hibert, định lý thứ hấp dẫn Nó mơn số học thơng thường có khẳng định P mà chứng minh P lẫn khơng–P Những khẳng định gọi khơng giải Theo nghĩa đó, điều khẳng định đắn nhà trực quan Và chứng minh định lý Gơđen nguyên hiệu lực toán học trực quan Từ vấn đề phi mâu thuẫn số học, người ta tách số toán khác toán Hibert đề xuất, thí dụ tốn tính giải phương trình Diofant (nhà tốn học cổ Hy Lạp), phương trình đại số tương tự phương trình sau: x2 + y2 =z3t3 người ta tìm nghiệm số nguyên logic x, y, z, t thỏa mãn đẳng thức Hibert đặt nhiệm vụ tìm phương pháp cho phép xác định xem phương trình Diofant cho trước có nghiệm hay khơng; gần Machiaxêvitch chứng HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 20 Logic vận động biện chứng toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH minh (tiếp theo cơng trình trước Đêvit, Putnam Robinson) không tồn phương pháp thế; vấn đề phương trình Diofant cho trước có nghiệm hay khơng, có lẽ khơng giải Những học tốn giải tích biết đến giả thiết continum Hibert ghi nhận vấn đề: giả thiết continum hay sai vào danh mục tiếng 23 vấn đề toán học cấp bách nhất, theo ý kiến ông (mặc dù Kantor, thầy Russels, người đặt vấn đề này) Năm 1963, P.Cơen tìm câu trả lời sau: khơng (!!) Giả thiết continum không phụ thuộc vào tiên đề lý thuyết tập hợp Ta thêm vào tiên đề khẳng định giả thiết continum lý thuyết khơng mà trở nên mâu thuẫn (nếu từ đầu phi mâu thuẫn) Cịn thêm vào hệ tiên đề khẳng định giả thiết continum sai chẳng phá hoại tính phi mâu thuẫn hệ Cũng việc có dạng hình học phi Euclide vào kỉ XX, bác bỏ giả thiết continum, ta xây dựng lý thuyết tập hợp phi Kantor KẾT LUẬN CHƯƠNG II Ngay từ đầu có lẽ nên hiểu chương trình Hilbert khơng gặp may mắn Nó hồn toàn giống ý định treo cổ sợi dây buộc giầy! Nói chung có tồn kiến thức tuyệt đối hay không? Tuy nhiên vấn đề chỗ ý nghĩa cơng trình Gơđen vượt ngồi phạm vi suy luận trừu tượng: Nó chứng minh việc dùng chứng minh số học để chứng minh tính phi mâu thuẫn số học Điều khơng có ý nghĩa khơng tìm cách chứng minh khác để chứng minh tính phi mâu thuẫn số học Thật vậy, Hentxen chứng minh được, phương pháp ông dựa quy-nạp-siêu-hạn, ối ăm thay tính phi mâu thuẫn quy nạp siêu hạn cịn khám phá Như toán học đứng tảng ọp ẹp, dù cho nhiều nổ lực củng cố Có thể vào ngày tuyệt đẹp, người tìm mâu thuẫn khơng thể giải được, phá vỡ tồn cơng trình tốn học Nhưng lúc cịn nhà tốn học khơng nản lịng đào bới đống hoang tàn đó, tìm cơng nhận làm sống lại Chân lý chỗ trực quan mạnh mẽ logic Nếu định lý phù hợp với nhau, đào sâu nhận thức ni dưỡng tính hiếu học khơng dám vứt bỏ chúng chúng phạm chút sai lầm logic Trong trường hợp thế, thường xảy cảm giác thay đổi thân logic, cịn định lý xây dựng tốt đừng có đụng đến-nhưng toán học trực quan làm (logic đề cập logic hình thức) Lúc mà Gauss gọi tốn học “vua khoa học”, người ta muốn tặng cho môn học vương miện Và cho lúc người ta thấy ơng vua trần truồng dù ông mặc đẹp triều thần Qua vấn đề chương II thăng trầm bi kịch toán học, ta thấy vận động tư theo quy luật logic hình thức có hạn chế HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 21 Logic vận động biện chứng tốn học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH CHƯƠNG III VÍ DỤ MINH HỌA SỰ VẬN ĐỘNG BIỆN CHỨNG TRONG LỊCH SỬ CỦA GIẢI TÍCH TỐN HỌC HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 22 Logic vận động biện chứng tốn học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH LƯỢC SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM HÀM SỐ 1.ĐẠI LƯỢNG BIẾN ĐỔI: Khi nghiên cứu tượng thiên nhiên hoạt động thực tiễn mình, người gặp nhiều đại lượng vật lý khác chẳng hạn: thời gian, độ dài, thể tích, vận tốc, khối lượng, lực,…Mỗi đại lượng tùy theo điều kiện vấn đề mà xét, nhận nhiều giá trị khác Trong trường hợp đầu ta có đại lượng biến đổi, trường hợp thứ hai ta có đại lượng khơng biến đổi Nếu ta chọn đơn vị đo định (ví dụ mét, giây…) giá trị đại lượng biểu diễn số Tốn học thường không để ý đến ý nghĩa vật lý đại lượng xét mà quan tâm đến giá trị số chúng Chính F.Angels(3) nói q trình trừu tượng hóa theo quy luật Bằng cách quan niệm “Tốn học có đối tượng nghiên cứu hình dáng khơng gian quan hệ số lượng giới thực tại” Angels nói tiếp: “Nhưng để nghiên cứu túy hình dáng quan hệ phải tách hoàn toàn chúng khỏi nội dung, gác nội dung lại bên khơng xét; cách ta điểm mà đo được, đường khơng có chiều dày chiều rộng, đại lượng không đổi biến đổi khác a b, x y…” Việc đưa vào đại lượng biến thiên điều thường gắn liền với tên Descartes-là kiện quan trọng Do tốn học có khả khơng phải thiết lập quan hệ số lượng đại lượng số, mà cịn nghiên cứu q trình diễn biến tự nhiên mà có đại lượng biến đổi tham gia Angels(4) nhấn mạnh điều lời sau đây: “Một bước ngoặc toán học đại lượng biến đổi Descartes Nhờ tốn học nói đến vận động biện chứng nhờ chẳng phép tính vi tích phân trở nên cần thiết…” SỰ PHỤ THUỘC HÀM GIỮA CÁC BIẾN MỘT VÍ DỤ: Trong giải tích tốn học, khơng nói đến ứng dụng nó, ta hiểu đại lượng biến đổi (hay nói tắt biến) biến trừu tượng hay biến lấy giá trị số Nó rõ kí hiệu (chẳng hạn chữ logic s, t,… ) mà lấy giá trị số, tập hợp giá trị số mà lấy gọi miền biến thiên biến Đại lượng không đổi (gọi tắt hằng) xem trường hợp đặc biệt biến: điều ứng với giả thiết miền biến thiên có giá trị số Đối tượng nghiên cứu giải tích tốn học khơng phải biến thiên biến mà nghiên cứu mối liên hệ biến thiên (hay quy luật biến thiên) hai hay nhiều biến, chúng biến thiên phụ thuộc vào (như tốn học có nói đến mối liên hệ phổ biến) Ví dụ sau xét mối liên hệ hai biến: Biến t (nội dung vật lý đại lượng thời gian) có miền biến thiên tập hợp số dương (t≥0, ví dụ thời điểm 1,5 giây t lấy giá trị 1,5; thời điểm (3) F.Angels ,tác phẩm “Chống During”, xuất năm 1952,trang 37 (bản tiếng Nga) F.Angels, tác phẩm “Phép biện chứng tự nhiên”, xuất năm 1952, trang 206 (bản tiếng Nga) (4) HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 23 Logic vận động biện chứng tốn học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH ban đầu ứng với t=0,…), biến s (nội dung vật lý đại lượng độ dài, biểu thị quãng đường chuyển động theo thời gian vật rơi tự khơng có lực cản) có miền biến thiên giống biến t Thế mối liên hệ biến đổi hai đại lượng theo hệ thức g t s= 2 g=9,81m/s (m/s đơn vị vật lý gia tốc) Giá trị g không thay đổi hệ thức trên, giá trị gia tốc trọng lực Như biến s biến đổi phụ thuộc vào biến t theo hệ thức trên, ta có khái niệm hàm số s theo biến t Giá trị biến s vào thời điếm t1 ghi s(t1), ví dụ s(0)=0 nói vào thời điểm g 12 ban đầu vật chưa rời chỗ; s (1) = = 4, 905 nói vào thời điểm giây, vật rơi đoạn đường dài 4,905 mét so với vị trí ban đầu… Tóm lại, hiểu cách nơm na “Hàm số s theo biến t quy luật biến thiên biến s phụ thuộc vào biến thiên biến t” Mỗi hàm nói lên quy g t luật riêng Trong ví dụ trên, hệ thức s = quy luật chuyển động rơi tự vật lý LƯỢC SỬ HÌNH THÀNH PHÉP TÍNH VI PHÂN Newton Leibnitz hai nhà tốn học có cơng xây dựng nên phép tính vi phân tích phân, hai ơng có thời gian dài tốn nhiều giấy mực vơ ích cho bút chiến để giành tác quyền, nhiên nhân loại ngày ghi nhận công lao hai ơng Nói việc hình thành phép tính q trình phức tạp, quanh co Tơi minh họa ý tưởng từ trực quan sinh động đến trừu tượng hóa thành lập nên phép tính đạo hàm, phép tính anh em sinh đơi phép tính vi phân Ta biết Descartes (nhà tốn học vĩ đại người Pháp, đồng thời nhà triết học) người đẻ khái niệm tọa độ Descartes, mở đường cho giải tích tốn học phát triển Các biểu đồ, đồ thị lĩnh vực khoa học, kinh tế ngày bắt nguồn từ hệ tọa độ Trở lại ví dụ hàm s theo biến t trên, mối liên hệ hai đại lượng biểu diễn đồ thị hệ trục tọa độ vng góc, đường cong hình Trục đứng biểu diễn giá trị số cho biết quãng đường vật rơi đến đâu (miền biến thiên s), trục ngang biểu diễn thời gian, khái niệm đạo hàm gắn liền với tốn tính vận tốc tức thời Ta biết tự nhiên, vật thường chyển động không đều, lúc nhanh lúc chậm Vật rơi nhanh dần theo thời gian Như vận tốc vật thay đổi theo thời điểm Vấn đề đặt phải tính vận tốc thời điểm t0 (t0 giá trị số cố định mà ta xét biến) Vận tốc gọi vận tốc tức thời HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 24 Logic vận động biện chứng tốn học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH O t0 t Thời gian (giây) B s(t0) A C s(t) D Quãng đường (mét) Hình Nhìn vào đồ thị, vào thời điểm ban đầu t=0, vật chưa dời chỗ Vào thời điểm t= t0, vật rơi quãng đường s(t0) mét (s(t0) giá trị số), vào thời điểm t tiếp theo, vật rơi quãng đường s(t) mét so với vị trí ban đầu Và vậy, khoảng thời gian từ thời điểm t0 đến thời điểm t vật đoạn đường dài s(t)-s(t0) mét, suy vận tốc trung bình đoạn đường s (t ) − s (t0 ) Vận tốc trung bình = t − t0 Ai biết vận tốc trung bình quãng đường chia cho thời gian Nhìn vào đồ thị, trực quan hình học ta có DB Vận tốc trung bình = BA Thế B “rất gần” với A (từ “rất gần” bắt đầu dính dáng đến chữ “vi phân” DB tức chia nhỏ), nghĩa thời điểm t “rất sát” với thời điểm t0, tỉ số BA “dường có vẻ” mang ý nghĩa vận tốc tức thời thời điểm t0 Đó trực quan sinh động Nhưng toán học muốn xác định khái niệm vận tốc tức thời cách rõ ràng Nhìn vào hình 1, ta kẻ đường thẳng tiếp xúc với đường cong điểm A (cố định), điểm B tiến dần đến điểm A độ dài đoạn thẳng DB tiến dần tiến dần đến đoạn thẳng CB (C nằm đường tiếp tuyến), tỉ DB CB số tiến dần đến tỉ số Mặt khác trình tiến dần tỉ số BA BA CB khơng thay đổi giá trị (vì “dạng” tam giác vng ABC khơng thay đổi, BA hình học gọi “đồng dạng”) Giá trị khơng đổi vật lý gọi vận tốc tức thời thời điểm t0 Bây tách rời nội dung vật lý, tốn học trừu tượng hóa theo quy luật gọi giá trị không đổi đạo hàm hàm số s xác định thời điểm t0 HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 25 Logic vận động biện chứng tốn học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH Nhận xét: Trong ví dụ này, ta gặp khái niệm mơ hồ chung chung khái niệm tiến dần (là khái niệm giới hạn giải tích ngày nay), ngồi phép tính phát sinh vấn đề: “liệu đường cong đồ thị có tiếp tuyến điểm A hay khơng? Nghĩa đường cong có trơn (không bị gãy) A hay không? Ý nghĩa vật lý trơn chuyển động rơi tự nói gì? Tốn học trừu tượng hóa khái niệm vừa nêu nào? Từ nảy sinh thêm khái niệm lượng vô bé…” Những vấn đề đòi hỏi phải đặt sở cho phép tính (xem mục sở hay tảng toán học chương II) Cho đến cuối đời mình, Leibnitz khơng thơi việc tìm đường để đặt sở phép tính Ông cố giải thích khái niệm tảng phép tính trước cơng kích người phê phán, ông không giữ vững lập luận để thuyết phục người Tuy nhiên, sau đặt vấn đề thảo “quả thật lượng vơ bé có tồn hay khơng đặt sở cho chúng cách chặt chẽ (theo quy luật logic hình thức) khơng? ” Leibnitz tun bố “Tơi nghĩ điều nghi ngờ” Mặt khác báo tranh luận ơng nói sau “Tơi đánh giá cao cố gắng người mà chứng minh điều, định đề đầu tiên, nhiều cố làm vậy; nhiên không khuyên làm điều cẩn thận mức lại gây trở ngại cho việc phát minh sáng tạo, lấy cớ vứt bỏ phát minh tốt tự tước bỏ thành phát minh đó…” (xem thêm phần mở đầu mục sở hay tảng tốn học, mục trực giác hình thức chương II)” Như vậy, khơng có tin vào khả đặt sở cho phép tính lập ra, Leibnitz xem việc áp dụng hợp lý kết đem lại áp dụng Về tình trạng này, Mác nói đến nhà tốn học thời sau: “Tự tin vào tính chất bí ẩn phép toán phát minh, cho kết đắn (và có ứng dụng hình học thật đáng kinh ngạc) đường không đắn Như họ tự dối đánh giá cao phát minh mới…(5)” (5) Xem [4], mục tham khảo C.Mác “những thảo toán học”.(Dưới cờ macxit, 1.1933), trang HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 26 Logic vận động biện chứng toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH KẾT LUẬN CHƯƠNG III Xuyên suốt cho kết luận này, xin dẫn lời Mác “…lịch sử phát triển tất khoa học cách trải qua quãng đường quanh co chồng chéo đén điểm xuất phát thực Khác với nhà kiến trúc sư, khoa học … xây dựng tầng nhà trước đặt móng (6)” Đối với tốn học nói riêng, điểm xuất phát mà Mác nói sở toán học, trăm năm gần mừng thắng lợi phồn vinh tiếp tục giải tích tốn học, phương pháp hồn hảo, thể rõ tốn học đại (xem đầu chương II, Tốn học nói chung) Phạm vi áp dụng mở rộng nhiều Đó vận động phát triển cách biện chứng Tuy nhiên, giữ tính chất “bí ẩn” với mức độ đáng kể: sở nó, mà nhiều lần bị phê phán, cịn chưa rõ ràng Ở kỷ XVII, nhiều nhà toán học, đặc biệt viện sĩ Pêtecbua tiếng Lesonard Euler (gốc Thụy Điển, 1707-1783) xác hóa khái niệm nói phần nhận xét trên, chưa trở thành công cụ thực để đặt sở cho giải tích tốn học Đến đầu kỷ XIX, đặc biệt Cauchy (nhà toán học người Pháp 1789-1857) từ khoa học giới hạn lập nên tảng thực cho việc xây dựng tồn giải tích tốn học, xua tan hết điều bí ẩn Tuy nhiên, tảng lỗ hổng–vẫn chưa đủ sở chặt chẽ cho khái niệm số thực việc chứng minh tính liên tục phạm vi số thực, điều thực cuối kỷ trước phương pháp tiên đề (đọc thêm chương II, hệ tiên đề nghịch lý Russels) Như hình dung tồn tình hình phát sinh, phát triển biện chứng trình xác hóa khái niệm giải tích tốn học, phép tính vi phân tích phân (6) Xem [5], C.Mác F.Angels, Toàn tập (xuất năm 1935), T.XH, phần trang 44 (bản tiếng Nga) HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 27 Logic vận động biện chứng toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Triết học – dùng cho nghiên cứu sinh học viên cao học khơng chun ngành triết học – NXB Chính trị quốc gia [2] Ian Stewart – Concepts of Modern mathmatics (Bản tiếng Anh) [3] G.M.Fitchtengơn – Cơ sở giải tích tốn học [4] K.Marx – “Những thảo toán học” (Dưới cờ Mácxít,1.1933) [5] K.Marx F.Angels, Tồn tập (xuất năm 1935, dịch tiếng Nga) [6] F.Angels – “Chống During”, xuất năm 1952 (bản tiếng Nga) [7] F.Angels – “Phép biện chứng tự nhiên”, xuất năm 1952 (bản tiếng Nga) [8] G.Polia – Toán học suy lý – 1, tập – NXB Giáo dục,1997 [9] Fundamentals of Differential Equation & Boundary Value Problems – R.Kent Nagle, Edward B.Saff – University ò South Florida 1993 HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 28 ... Logic vận động biện chứng toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN CHUNG HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang Logic vận động biện chứng tốn học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH KHÁI LƯỢC VỀ PHÉP BIỆN CHỨNG... chứng LOGIC BIỆN CHỨNG Logic biện chứng nghiên cứu quy luật biện chứng tư nhằm phản ánh đắn biện chứng khách quan vật Trên sở quy luật phổ biến giới mà phép biện chứng vật nghiên cứu, logic biện chứng. .. Logic vận động biện chứng tốn học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH CHƯƠNG II PHƯƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ VỀ LOGIC TRONG TOÁN HỌC HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang Logic vận động biện chứng toán học GVHD:PGS.TS.VŨ