Logic và sự vận động biện chứng trong toán học

Logic và sự vận động biện chứng trong toán học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NHỮNG VẤN ĐỀ VỀ LOGIC

VÀ SỰ VẬN ĐỘNG BIỆN CHỨNG

TRONG LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA TOÁN HỌC

(Tiểu luận Triết Học, chương trình Cao Học & Nghiên Cứu Sinh

không chuyên Triết)

Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS.VŨ TÌNH

LỜI MỞ ĐẦU

Ở trường Đại học, chúng ta đã được học triết học duy vật biện chứng, nhưng việc ứng dụng có hiệu quả ngay vào việc học, dạy và việc nghiên cứu các bộ môn còn yếu Do vậy, người học coi đây là một môn có tính chất lý luận cao xa, chỉ ứng dụng vào những vấn đề chính trị lớn, những phát minh khoa học lớn, còn việc ứng dụng vào công việc thân thiết hằng ngày của họ là học, dạy và nghiên cứu khoa học về bộ môn chuyên môn của mình thì hầu như chẳng thấy đâu, trừ một vài câu chuyện lịch sử bộ môn liên quan đến những phát minh lớn Bởi vậy, người học cảm thấy triết học duy vật biện chứng chỉ như là một công cụ để giải thích phần nào đó thế giới, đôi khi giải thích khiên cưỡng, chưa cảm nhận đây là công cụ để cải tạo thếgiới mà thiết thực nhất đối với họ là để nâng cao chất lượng dạy, học và ngiên cứu khoa học về bộ môn Điều này hiển nhiên hạn chế rất nhiều việc hình thành thế giới quan của họ do thiếu một sự tác động qua lại giữa triết học duy vật biện chứng và các môn khoa học

Bài tiểu luận này cho thấy ít nhiều mối liên hệ của triết học với các khoa học cụ thể, đặc biệt là toán học Mục đích chủ yếu là giúp cho người đọc hiểu được một cách tổng quát cách thức xây dựng và phát triển của toán học Trong sự phát triển đó có tính kế thừa, phủ định biện chứng và đầy quanh co Điều đó thấy rõ qua những thăng trầm trong lịch sử phát triển triết học toán học để hoàn thiện dần cho đến ngày nay (tuy vẫn còn nhiều lỗ hổng - và điều đó là tất yếu, phù hợp với quy luật vận động và phát triển của thế giới)

Cơ sở lý luận chung để viết tiểu luận này nằm trong chuyên đề logic học - khoa học về tư duy và phép biện chứng duy vật Trong toán học, khi logic hình thức chủ yếu tập trung vào sự phân tích những lý luận đã được hình thành (như phương pháp tiên đề, những phép toán mới được phát sinh trong buổi sơ khai…) thì logic biện chứng vạch ra những nguyên tắc logic để chuyển lên tri thức mới, nghiên cứu

sự hình thành và phát triển của toán học nói riêng, sự vận động đó có tính biện chứng

Kết cấu của tiểu luận gồm ba chương Chương I chủ yếu tóm lược các kiếnthức cơ bản về logic học, về phép biện chứng duy vật Tuy nhiên có chú thích để hướng dẫn cho việc tiếp cận nội dung các chương sau Chương II trình bày tổng quátcách thức xây dựng nền toán học theo phương pháp tiên đề, những vấn đề về logic trong lịch sử phát triển của nó (chủ yếu là quá trình đặt nền tảng cho toán học) Chương III nêu hai ví dụ minh họa cho những điều đã đề cập ở hai chương trước Kết luận chương III cũng là kết luận chung cho bài tiểu luận này

Trong quá trình làm tiểu luận này, tôi đã tham khảo nhiều tài liệu, xin chân thành cảm ơn các tác giả

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự tận tình giảng dạy, hướng dẫn của PGS.TS.Vũ Tình trong suốt thời gian học chuyên đề triết học và quá trình làm tiểu luận

Chắc chắn tiểu luận này còn nhiều sai sót, rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô, các bạn và tất cả những người đã quan tâm Một lần nữa, xin chân thànhcảm ơn

MỤC LỤC

Trang

Lời mở đầu 1

Mục lục 2

Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN 3

Khái lược về phép biện chứng duy vật 4

Logic học – Khoa học về tư duy 5

Logic học nói chung 5

Logic hình thức 5

Logic học biện chứng 6

Chương II: PHƯƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ 8

VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ VỀ LOGIC TRONG TOÁN HỌC Toán học nói chung 9

Tính trừu tượng và khái quát 9

Trực giác và hình thức 10

Hệ tiên đề và tính phi mâu thuẫn của hệ tiên đề 12

Hệ tiên đề 12

Tính phi mâu thuẫn của hệ tiên đề 13

Cơ sở hay nền tảng của toán học 15

Con cừu một nửa đen trong bầy cừu 16

Hai lối thoát 17

Chương trình của Hilbert về chứng minh tính phi mâu thuẫn 18

Tính không giải được 19

Kết luận chương II 20

Chương III: VÍ DỤ MINH HỌA SỰ VẬN ĐỘNG BIỆN CHỨNG 21

TRONG LỊCH SỬ CỦA GIẢI TÍCH TOÁN HỌC Lược sử hình thành khái niệm số 22

Lược sử hình thành phép tính vi tích phân 23

Kết luận chương III 26

Tài liệu tham khảo 27

CHƯƠNG I

CƠ SỞ LÝ LUẬN CHUNG

KHÁI LƯỢC VỀ PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT

NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT

Phép biện chứng duy vật là phương pháp luận chung nhất cho nhận thức khoa học và thực tiễn cách mạng (hiểu theo nghĩa triết học) Nó là hệ thống tri thức

lý luận khoa học, trình bày một cách chặt chẽ và có hệ thống tính chất biện

chứng của thế giới thông qua những cặp phạm trù cơ bản và những quy luật chung nhất của thế giới (tự nhiên, xã hội, tư duy) Phổ quát hơn là hai nguyên lý cơ bản

- Nguyên lý về các mối liên hệ phổ biến: trong thế giới luôn chằn chịt các

mối liên hệ Sự đa dạng của mọi sự vật hiện tượng cũng được giải thích qua các mối liên hệ tác động qua lại

Ví dụ: Trong tự nhiên có mối liên hệ giữa cơ thể sống sinh vật với môi trường được biểu hiện qua quá trình trao đổi chất Trong xã hội có các mối liên hệ giữa người với người, các quan hệ sản xuất Trong tư duy cũng có sự liên hệ, chuyểnhóa, vận động …vì theo quan điểm duy vật biện chứng thì biện chứng của tư duy chỉ

là phản ánh biện chứng của tự nhiên (sự vật khách quan) một cách năng động

- Nguyên lý về sự phát triển: thế giới luôn vận động và biến đổi không

ngừng Bản chất của sự vận động là có khuynh hướng phát triển Ví dụ: trong tự nhiên, vật chất luôn chuyển hóa từ dạng này sang dạng khác và không mất đi, sinh vật có già chết, phản ứng hóa học xảy ra không ngừng … Trong xã hội, sự vận độngphát triển của xã hội luôn xảy ra trong lịch sử đi từ thấp đến cao, đó là sự thay đổi của các hình thái kinh tế xã hội

Cụ thể hóa cho hai nguyên lý trên là sáu cặp phạm trù cơ bản và ba quy luật cơ bản Sáu cặp phạm trù là cái riêng và cái chung, tất nhiên và ngẫu nhiên, bản chất và hiện tượng Ba cặp phạm trù này làm cơ sở phương pháp luận trực tiếp cho các phương pháp phân tích và tổng hợp, diễn dịch và quy nạp, khái quát và trừu tượng hóa Hai cặp phạm trù nguyên nhân - kết quả, khả năng - hiện thực làm cơ sở phương pháp luận để vạch ra trình tự kế tiếp nhau của các mối liên hệ và vạch ra tính chất tự nhiên tất yếu của quá trình phát triển Cặp phạm trù nội dung - hình thứclàm cơ sở phương pháp luận dể xây dựng các hình thức trong sự phụ thuộc vào nội dung Một nội dung có thể mang nhiều hình thức, vấn đề là phải tuân theo các mối liên hệ nội tại của các yếu tố cấu thành nội dung chứ không được tùy tiện

Ba quy luật cơ bản:

- Quy luật đấu tranh và thống nhất giữa các mặt đối lập (gọi tắt là quy luật

mâu thuẫn), quy luật này vạch ra nguồn gốc và động lực của sự phát triển Quá trình đấu tranh giải quyết mâu thuẫn là quá trình tất yếu

- Quy luật chuyển hóa từ những biến đổi về lượng dẫn tới những biến đổi

về chất (quy luật lượng - chất), vạch ra cách thức và cơ chế của sự phát triển.

- Quy luật phủ định của phủ định vạch ra khuynh hướng của sự phát triển

là theo hình thức xoắn ốc thể hiện tính chu kỳ trong sự phát triển Đây là sự phủ định biện chứng, cái cũ mất đi thay vào là cái mới dường như lặp lại cái cũ nhưng trên cơ sở cao hơn, hoàn thiện hơn

LOGIC HỌC – KHOA HỌC VỀ TƯ DUY

1 LOGIC HỌC NÓI CHUNG

- Logic học là khoa học ngiên cứu các hình thức và quy luật của tư duytheo yêu cầu chuyển chúng thành nguyên tắc, phương pháp chung áp dụng cho mọiquá trình tư duy cụ thể để thực hiện nắm bắt chân lý

- Các hình thức logic của tư tưởng là cấu trúc nhất định của tư tưởng, làcách thức liên hệ kết hợp giữa các thành phần tư tưởng Nó bao gồm khái niệm,phán đoán và suy luận

- Các quy luật logic do logic học nghiên cứu là những mối liên hệ bản chất,

có tính tất yếu giữa các tư tưởng

Theo quan điểm của chủ nghĩa duy vật biện chứng thì những hình thứclogic và quy luật logic có nguồn gốc từ thế giới khách quan, chúng là sự phản ánhcủa cái khách quan vào ý thức chủ quan của con người Thế giới khách quan tồn tạiđộc lập với ý thức con người không những được phản ảnh trong nội dung của tưtưởng, mà còn quy định cả những hình thức của tư tưởng và những quy luật liênkết các tư tưởng của con người Và vì vậy thực tiễn là cơ sở để hình thành nhữnghình thức và quy luật của logic

Có hai khoa học logic - đó là logic hình thức và logic biện chứng.

2 LOGIC HÌNH THỨC

Logic hình thức cổ truyền hay truyền thống do Aristote (384-322 TCN)sáng lập, về sau được Baccon, Leibnitz… phát triển và bổ sung Việc áp dụng các

phương pháp hình thức của toán học (xem minh họa chương III) vào logic học,

logic toán ra đời là logic hình thức hiện đại

Đây là khoa học nghiên cứu các hình thức và quy luật của tư duy đúng

đắn; nó nghiên cứu các hình thức logic của tư duy (khái niệm, phán đoán, suy luận)

và quy luật logic đảm bảo tính xác định, chặt chẽ và nhất quán cho tư duy trong

suốt quá trình suy luận, logic hình thức chỉ xét chúng về mặt cấu tạo hình thức

Các quy luật cơ bản của tư duy:

- Quy luật đồng nhất (A là A): yêu cầu mỗi tư tưởng (khái niệm, phán

đoán…) phải có tính xác định, phải luôn luôn đồng nhất với bản thân nó Nghĩa làmỗi tư tưởng phải có cùng một nội dung xác định trong suốt quá trình tư duy

- Quy luật mâu thuẫn (không thể vừa A vừa không A): yêu cầu phải phi

mâu thuẫn về logic (xem chương II, hệ tiên đề và tính phi mâu thuẫn của hệ tiên đề,nghịch lý Russels), không cho phép có phi mâu thuẫn trong tư duy Nghĩa là có haiphán đoán phủ định nhau thì chúng không thể đồng thời là đúng và do đó khôngđược cùng có trong một lập luận (tổng quát hơn là trong một lý thuyết)

- Quy luật bài trung hay quy luật loại trừ cái thứ ba (hoặc A hoặc không

A): không cho phép có phán đoán thứ ba đứng giữa hai phán đoán phủ định nhau.Nghĩa là trong hai phán đoán phủ định nhau, nhất thiết phải có một phán đoánđúng, phán đoán phủ định của nó là sai, ngoài hai khả năng đúng - sai không cònkhả năng thứ ba (xem chương II, Tên trộm thông minh) Tính đúng - sai trong đại

số mệnh đề gọi là chân trị, cũng phải đảm bảo tính nhất quán trong suốt quá trình

suy luận

- Quy luật lý do đầy đủ: yêu cầu suy nghĩ phải có căn cứ, có lý do đầy đủ,

một phán đoán muốn khẳng định là đúng phải chứng minh chặt chẽ (xem chương

II, Trực giác và hình thức)

Như vậy logic hình thức cũng là phương pháp để tư duy, cũng là phương pháp đi tìm tri thức mới Tuy nhiên nó có những hạn chế Logic hình thức chỉ mới

phán đoán sự vật trong trạng thái đứng im tương đối, sự ổn định tạm thời về chất,

chỉ nghiên cứu các hình thức tư duy ở bên ngoài sự vận động, phát triển, sự tác động qua lại, sự phụ thuộc lẫn nhau giữa chúng, nó không tính đến nội dung của chúng (xem chương III) Vì thế logic hình thức mới chỉ là điều kiện cần, chưa là

điều kiện đủ để đạt được chân lý khách quan Song cần chú ý rằng, đừng vì những hạn chế này mà đem đồng nhất logic hình thức với phương pháp siêu hình, không gắn những khuyết điểm của phương pháp siêu hình cho logic hình thức

Để khắc phục những hạn chế của logic hình thức cần có một logic khác hơn về nguyên tắc, đó là logic biện chứng

3 LOGIC BIỆN CHỨNG

Logic biện chứng nghiên cứu những quy luật biện chứng của tư duy nhằm phản ánh đúng đắn biện chứng khách quan của sự vật Trên cơ sở những quy luật phổ biến nhất của thế giới mà phép biện chứng duy vật nghiên cứu, logic biện chứng vạch ra những đặc điểm, những “thông số” của chúng khi tác động trong lĩnh vực tư duy và vai trò, ý nghĩa của chúng đối với sự vận động của tư duy đi đếnchân lý, tức là trở thành khoa học về sự phù hợp của nội dung tri thức đối với khách thể, khoa học và chân lý

Logic biện chứng quan tâm chủ yếu đến nội dung tư duy, xem xét các hình thức gắn chặt với nội dung thực tế sinh động Nó nghiên cứu các khái niệm, phạm trù không phải trong trạng thái cô lập, tách rời, bất biến (hay nhất quán) mà trong

sự vận động, phát triển, mâu thuẫn của chúng, trong sự liên hệ, chuyển hóa lẫn nhau giữa chúng

Logic hình thức suy ra từ hình thức này sang hình thức khác, phát triển những hình thức cao từ những hình thức thấp (xem chương III, ta sẽ hình dung nôm na các hình thức, khái niệm đặt cơ sở cho giải tích toán học sẽ vận động như thế nào), xác định mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa chúng, đồng thời quan tâm đến tính lịch sử - cụ thể của tư duy, đến thực tiễn nhằm phản ánh đúng thế giới khách quan

Trên cơ sở các quy luật và phạm trù của mình logic biện chứng đưa ra các nguyên tắc phương pháp luận cơ bản định hướng cho chủ thể nhận thức và hành động:

- Nguyên tắc khách quan: phải xem xét sự vật một cách khách quan, xuất

phát từ bản thân sự vật để nhận thức sự vật, phải trung thành trong khi phản ánh sự vật như nó vốn có, phát huy nỗ lực chủ quan của chủ thể nhận thức

- Nguyên tắc toàn diện: xét sự vật trong tất cả các mặt và các mối liên hệ

của nó và tìm ra những mặt cơ bản, những mối liên hệ bản chất

- Nguyên tắc phát triển: đòi hỏi phải xem xét sự vật trong “sự tự vận động”

và phát triển

- Nguyên tắc lịch sử thể: chân lý luôn luôn là cụ thể nên phải xét sự vật

trong điều kiện không gian, thời gian lịch sử cụ thể

- Nguyên tắc thực tiễn: xem xét sự vật phải gắn liền với tình hình thực tiễn.

Tóm lại, logic biện chứng đưa ra những nguyên tắc logic để chuyển lên tri thức mới, nghiên cứu sự hình thành và phát triển của các lý thuyết khoa học Nó là logic phát triển của khoa học hiện đại

CHƯƠNG II

PHƯƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ

VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ VỀ LOGIC

TRONG TOÁN HỌC

TOÁN HỌC NÓI CHUNG

Sự chuyển biến đột ngột sang “Toán học hiện đại” trong nhà trường có thểgây nên ấn tượng là toán học đã mất tự chủ, đã vứt bỏ tất cả tư tưởng và khái niệmtruyền thống của mình, thay vào đó đã đưa ra những sáng tạo kì quái, lố bịch mà không biết có ai và khi nào cần đến

Đây không phải là một cảnh tượng hoàn toàn đúng Theo đánh giá khiêm tốn nhất, một phần lớn của “Toán học hiện đại” dạy trong chương trình phổ thông hiện nay đã có từ hơn một thế kỉ Vấn đề là trong toán học cũng như trong khoa học, tư tưởng mới được phát triển tự nhiên từ những cái cũ và được lĩnh hội dần dần theo thời gian Hàng loạt khái niệm được đưa ngay vào giáo trình và nói chungchẳng hề có nói đến các mối quan hệ giữa chúng với các khái niệm truyền thống (và chính điều này gây nên khó khăn cho những người mới làm quen với toán học hiện đại) Đây cũng chính là sự vận động biện chứng của quá trình hoạt động nhận thức trong toán học

1 TÍNH TRỪU TƯỢNG VÀ TÍNH KHÁI QUÁT

Một trong những nét đặc trưng của toán học hiện đại là khuynh hướng trừu tượng hóa ngày càng cao Bất luận khái niệm quan trọng nào đều bao hàm không chỉ một mà nhiều đối tượng khác nhau có chung một tính chất nào đó Lý thuyết trừu tượng chắt ra những hệ quả từ những tính chất chung đó rồi đem áp dụng vào bất kì một đối tượng nào trong các đối tượng đang xét Ví dụ khái niệm “mêtric” trong giải tích toán học là khái niệm tổng quát của khái niệm “khoảng cách” Tính trừu tượng và tính khái quát có quan hệ mật thiết với nhau Ưu điểm chính của kháiquát là tiết kiệm công sức Thật là vô lý nếu phải bốn lần chứng minh chỉ một định

lý trong bốn tình huống, trong khi đó có thể chứng minh nó theo cách: đặt vấn đề chung không phụ thuộc nội dung cụ thể của đối tượng, tách rời nội dung của đối tượng Phương pháp này được thể hiện rất rõ trong môn Giải tích hàm (Đây cũng

là phương pháp nghiên cứu của logic hình thức, không nên đồng nhất nó với

phương pháp siêu hình)

Nét đặc trưng thứ hai của toán học hiện đại là sử dụng rộng rãi ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp Thực ra đó chỉ là “ý nghĩa sáng suốt được phủ kín bằng các

ký hiệu hình thức toán học” Toán học đặc biệt khi nó trở thành tổng quát,

không chỉ quan tâm đến các đối tượng cụ thể mà cả các “đám đông” của chúng

Đẳng thức 5=4+1 không quan trọng gì lắm Song số nguyên tố bất kì có dạng

4n+1 là tổng của hai số chính phương lại mang nội dung phong phú hơn nhiều.

Điều khẳng định này đụng chạm đến toàn bộ tập hợp các số nguyên tố chứ không phải một số nguyên tố riêng lẻ nào Tập hợp cũng chính là “đám đông”

Trong toán học, lý thuyết tập hợp giữ vai trò quan trọng hơn là số học, mặc

dù những nguyên lý cơ bản của nó không phải bao giờ cũng là xuất phát điểm tốt (xem phần nghịch lý Russels) Nhưng để hiểu được toán học hiện đại không thể không biết lý thuyết tập hợp và nên nhớ rằng lý thuyết tập hợp chỉ là thứ ngôn ngữ thuận tiện, đánh giá cao vai trò của nó là sai lầm

2 TRỰC GIÁC VÀ HÌNH THỨC

Khuynh hướng không ngừng tổng quát hóa kéo theo việc gia tăng các yêu cầu chặt chẽ của logic Tuy nhiên trong khi băn khoăn về mặt hoàn thiện logic, ta

dễ dàng đi quá đà khi thay những lập luận bằng lời nói bởi loạt các kí hiệu logic và

sử dụng mù quáng các phương pháp tiêu chuẩn Theo hướng này có thể lạc đường quá xa và đáng lẽ để hiểu biết sâu hơn ta lại không hiểu gì cả

Yêu cầu chặt chẽ không phải là sự cầu kì trống rỗng Đối tượng càng phức tạp và càng tổng quát bao nhiêu thì việc tạo ra cách tiếp cận nó có phê phán càng quan trọng bấy nhiêu Trong khi xem xét đống số liệu thống kê, nhà xã hội học buộc phải loại bỏ những số liệu thu nhập từ những thử nghiệm thiếu trung thực hoặc các kết luận mơ hồ Điều này cũng xảy ra trong toán học Nhiều khi “sự hiển nhiên” lại không đúng Có những hình học không có diện tích Theo Banach và Tarxki thì có thể cắt hình tròn ra thành năm phần và xếp thành hai hình tròn có cùng kích thước với hình tròn ban đầu Với quan điểm của khái niệm diện tích thì điều này không thể được, nhưng vấn đề ở chỗ là những phần ấy không có diện tích

Sự chặt chẽ logic có tác dụng kiềm chế và tác dụng này là vô giá trong những tình huống nguy hiểm và ngay cả khi đề cập đến những điều tế nhị Có những định lý mà phần lớn những nhà toán học đã tin là đúng, thế nhưng khi chưa

có một ai chứng minh được chúng thì đấy chỉ là những mệnh đề vô căn cứ

Nói một cách nghiêm khắc thì mọi kiến thức của chúng ta ngoài phạm vi của toán học và logic chứng minh (tức logic hình thức, là một ngành của toán học) đều bao gồm các giả thuyết (1) Tất nhiên có những giả thuyết này và những giả thuyết nọ Có những giả thuyết có giá trị và đáng tin cậy, ví dụ những giả thuyết được diễn đạt trong nhiều quy luật tổng quát của vật lý Có những giả thuyết vừa không đáng tin cậy, vừa không có giá trị Và giữa giả thuyết này và giả thuyết kia

có một loại giả thuyết, đó là những linh cảm và dự đoán

Chúng ta củng cố các kiến thức toán học của mình bằng các suy luận

chứng minh, nhưng chúng ta viện trợ các giả thuyết của mình bằng các suy lý Một

chứng minh toán học là suy luận chứng minh, còn kết luận quy nạp của nhà vật lý, những bằng chứng gián tiếp của luật gia, những dẫn chứng tài liệu của nhà sử học,

và những kết luận thống kê của nhà kinh tế học đều thuộc về những suy luận có lý

Sự khác nhau giữa hai loại suy luận này rất lớn và muôn màu muôn vẻ Suy luận chứng minh là loại suy luân không chối cãi và dứt khoát Suy luận có lý làsuy luận còn bấp bênh, phải tranh cãi và có điều kiện Suy luận chứng minh xâm nhập vào các khoa học với cùng mức độ như toán học song tự nó (cũng như tự bản thân toán học) không có khả năng cung cấp những hiểu biết căn bản mới về thế giới chung quanh ta Mọi cái mới mà chúng ta hiểu biết được về thế giới đều có liên hệ với các suy luận có lý là loại suy luận duy nhất mà chúng ta quan tâm trong

công việc hằng ngày, suy luận có lý chỉ dựa vào trực giác, kinh nghiệm Suy luận

chứng minh có những tiêu chuẩn chặt chẽ được ghi lại thành luật và được giải thích

bằng logic (logic hình thức hay logic chứng minh), logic này là thuyết của các suy

luận chứng minh Trong khi đó những tiêu chuẩn của suy luận có lý thì rất kinh động và không có một thuyết nào về các suy luận như vậy lại rõ ràng và có tính nhất quán như logic chứng minh Chẳng thấy môn nào dạy ta cách suy luận có lý

những ai đang học toán, tôi muốn nói rằng: “Tất nhiên chúng ta sẽ học chứng minh, nhưng chúng ta sẽ học cả dự đoán nữa” Vì sao?

Ví dụ: khi phải chứng minh điều gì đó có tính chất là “không thể được” thì cần chú ý dặc biệt tới sự chặt chẽ Có việc không thể làm được bằng phương pháp này đôi khi làm được bằng phương pháp khác, bởi vậy cần rất cẩn trọng trong mọi giai đoạn chứng minh loại mệnh đề đó Có những chứng minh như: “Không giải được bằng dạng căn thức các phương trình bậc 5 hoặc không thể chia đều một góc thành 3 phần bằng nhau bởi thước và compa” Các định lý đó là rất quan trọng vì giúp chúng ta chấm dứt sự tìm kiếm vô ích Nhưng nếu chúng ta muốn tin chắc rằng những tìm kiếm như thế là vô ích thì logic của chúng ta phải thật hoàn hảo Tuy nhiên logic học chưa phải là tất cả Bất kì công thức nào cũng không tự mình gợi lên điều gì Có thể dùng logic để giải các bài toán, song logic không gợi cho ta biết nên giải những bài toán nào cho ý nghĩa Để hiểu rõ cái gì có ý nghĩa, cái gì không có ý nghĩa cần phải có kinh nghiệm, còn cần đến thứ phẩm chất trí tuệ khó

được xác định mà được gọi là trực giác.

Khó giải thích rõ trực giác là gì Nói đơn giản, đó là cái nhờ nó nhà toán học chân chính (hoặc nhà vật lý, kỹ sư, nhà thơ…) sống Trực giác cho phép họ cảm biết đối tượng, thấy được định lý là “có lý”, có vẻ đúng mặc dầu còn chưa biết

cả chứng minh hình thức, rồi sau đó mới nghĩ ra cách chứng minh

Thực tế mỗi người đều có một trình độ nhất định về trực giác toán học Em

bé có thể trực giác khi xếp được bức tranh từ các khối lập phương Bất kì ai cũng

có thể trực giác nếu họ biết xếp gọn đồ đạc vào chỗ để hành lý trong ôtô trước khi

cả nhà đi nghỉ mát Mục tiêu chính của việc đào tạo các nhà toán học là mài sắc trực giác của họ đếm mức có thể biến nó thành công cụ nghiên cứu điều khiển được

Tóm lại, người ta đã tốn nhiều giấy bút tranh cãi về tính chặt chẽ là ưu việt hơn trực giác, hay ngược lại Cả hai ý cực đoan này đều đánh chệch đích: Toàn bộ sức mạnh của toán học là sự kết hợp đúng đắn giữa trực giác và tính chặt chẽ Một tinh thần được kiểm soát và một logic được cổ vũ ! Chúng ta đều biết có những người với tài năng chói lọi mà ý tưởng của họ không bao giờ được thể hiện ở những kết quả cụ thể và có những người với tính tổ chức và cẩn thận cũng không làm nên điều gì đáng kể vì họ quá bận vào việc làm sao cho tất cả đều cẩn thận và

có tổ chức Nên tránh cả hai thái cực đó

giả thuyết rằng các đối tượng cá biệt, mà suy luận của chúng ta có liên quan tới, sẽ hoàn toàn không thay đổi trong suốt quá trình suy luận (tính nhất quán); rằng hai mệnh đề bất kì, dù có dài thế nào đi chăng nữa, bao giờ cũng có thể hợp nhất thành một mệnh đề mới - chẳng hạn, nhờ các liên từ “và”, “hoặc”, “nếu…thì” (là các phép toán trong đại số mệnh đề); rằng trong các suy luận như thế có thể tự do dùng luật “bài

trung”,v.v Tuy nhiên từ đó không nên suy ra là hầu như mọi kiến thức của chúng ta chỉ là các giả thuyết Vì ngay trong mọi chân lý tương đối bao giờ cũng có yếu tố của chân lý tuyệt đối.Và một giả thuyết đáng tin cậy nếu như không được xác nhận trong thực tiễn thì nó là một cái gì khác, nghĩa là rút cuộc nó không dẫn đến chân lý

HỆ TIÊN ĐỀ

VÀ TÍNH PHI MÂU THUẪN CỦA HỆ TIÊN ĐỀ

Chỉ có cá voi và cá voi mới đẻ ra những con vật sơ sinh nặng trên 70 kg, Ngài tổng thống nặng 75kg, có nghĩa là…

mẹ của ngài là cá voi hoặc là cá voi (!!)

Stê-phan Te-mecsơn

1 HỆ TIÊN ĐỀ

Toán học có nhiều mức Em bé học giải toán có một vài con số Sau đó

em học tính chất chung của tất cả con số (theo nghĩa nào đó đối tượng học của em

đã bị thay đổi, đây không phải là số mà là “vành Z” của tất cả các số nguyên – mộtkhái niệm trong đại số cấu trúc ) Hơn nữa trong lý thuyết vành thay cho một vành

cụ thể, em học các lớp của vành Toàn bộ mọi lĩnh vực toán học trở thành một đối tượng, đối tượng này đến lượt nó lại chỉ là một trong nhiều đối tượng của một lĩnh vực khác, và có thể như thế mãi…

Các định nghĩa của chúng ta về nhóm, vành, trường là khá tổng quát Các khái niệm cơ bản được đưa vào mà chưa hề được định nghĩa (vì nếu định nghĩa khái niệm này lại phải định nghĩa khái niệm khác, cứ thế không có điểm dừng) Thay vào đó người ta liệt kê ra một loạt các quy tắc buộc chúng (các khái niệm) phải thỏa mãn Các quy tắc này thực chất chính là các tiên đề , còn toàn bộ hệ thống là hệ tiên đề

Không yêu cầu phải tin vào các tiên đề Ngay cả việc nêu vấn đề cũng là vôích và vô nghĩa, và đằng sau chúng không có gì là hiện thực cả

Mỗi lần gặp một hệ tiên đề nào đó, thì có ai nói cho chúng ta biết rằng họ

đã gán cho hệ này những tính chất gì? Các hệ tiên đề giống như những quy tắc trò chơi Nếu thay đổi quy tắc, chúng ta sẽ chơi một trò chơi khác

Dựa vào một hệ tiên đề nào đó, người ta có thể xây dựng tiếp các kết luận logic Tất cả (rõ hoặc không rõ) có dạng như sau: nếu các tiên đề đã cho được thực hiện thì sẽ thực hiện được một điều gì nữa Sự kiện này giống như việc đế quốc La

Mã bị suy tàn không liên quan đến việc thảo luận nếu nó không bị suy sụp thì nó diễn ra như thế nào Chỉ có tính đúng đắn của kết luận là phải thảo luận

Trong mỗi trường hợp cụ thể cũng có thể bàn về tính tiện dụng của các tiên

đề Hiện tượng xảy ra trong thế giới hiện thực có phù hợp với điều mà tiên đề khẳng định hay không là câu hỏi đúng chỗ khi đề cập tới việc áp dụng lý thuyết vào thực tiễn, nhưng vấn đề này không phải là bộ phận của lý thuyết đang xét Để trả lời vấn đề này chỉ có thể dựa vào thực nghiệm Giống như để áp dụng lý thuyết trường vào một ngành toán học nào đó phải kiểm tra xem các đối tượng tương ứng

có là trường hay không Nếu không, lý thuyết trường không thể áp dụng được Nhưng điều này không ảnh hưởng chút nào đến chính lý thuyết trường Các tiên đề của lý thuyết trường có đúng hay không là một câu hỏi vô nghĩa Các tiên đề khôngđúng theo ý nghĩa tuyệt đối, song chúng có thể đúng trong trường hợp cụ thể nào đó

Sức mạnh của phương pháp tiên đề là ở chỗ, từ một số không nhiều giả thiết (tức các tiên đề), cho phép xây dựng lâu đài lý thuyết to lớn Cái gì đó thỏa mãn các giả thiết thì nó phải thỏa mãn tất cả các kết luận rút ra từ giả thiết Chúng

ta có thể sử dụng tất cả kết luận của lý thuyết để nhận được các tính chất khác nhau: Đối với từng ứng dụng, chúng ta không phải làm lại toàn bộ

Quan niệm tiên đề như một cái gì xa rời thực tế có mới cách đây không lâu:người Hy Lạp cổ đã thiết lập hệ tiên đề hình học đã cho rằng chúng phản ánh chân thật bản nguyên tự nhiên, mặc dù có đôi chút lý tưởng hóa Từ đó hệ tiên đề được xác lập như một chân lý hiển nhiên không chứng minh, và trong từ điển cũng định nghĩa tiên đề như thế Tuy nhiên trong toán học hiện đại thì từ “hiển nhiên” lại mang một ý nghĩa khác, đó là việc không bàn cãi về “tính chân lý ” (của các tiên đề) và cũng không yêu cầu phải “tin” (vào các tiên đề) – như đã trình bày ở trên

2 TÍNH PHI MÂU THUẪN CỦA HỆ TIÊN ĐỀ

Khi bắt tay nghiên cứu lý thuyết tiên đề, chúng ta chỉ có trong tay cáctiên đề ( ở mức các kết luận logic, về mặt tâm lý bạn có thể hiểu trực giác về lý thuyết này phải được phát triển như thế nào) Chúng ta sử dụng chúng để chứng minh những định lý nào đó, sau đó chúng ta sử dụng những định lý này để chứng minh những định lý khác Các tiên đề trở thành nguồn lan truyền rộng làn sóng định lý, và mỗi định lý rốt cuộc phụ thuộc vào các tiên đề

Sự việc diễn ra tốt lành chừng nào trên bước đường này ta không nhận được hai định lý mâu thuẫn nhau Nhưng nếu trong lý thuyết của chúng ta có thể chứng minh hai định lý mâu thuẫn nhau thì toàn bộ lý thuyết là vô dụng Chính khi

đó người ta có thể chứng minh một cách tự do bất kì điều gì ở trong lý thuyết đó

Có một lần trong bữa ăn trưa, nhà toán học nổi tiếng J.Cardi đã đưa ra nhậnxét tương tự như ở trên khi một người khách dự tiệc yêu cầu ông lý giải: giả sử

rằng 2+2=5, rằng Mac Taga là giáo hoàng La Mã Cardi suy nghĩ giây lát rồi trả lời “Tôi cũng đã biết rằng 2+2=4, có nghĩa là 5=4 Trừ đi 3 chúng ta có 2=1 Mac

Taga và giáo hoàng La Mã, đây là hai con người, cho nên Mac Taga và giáo hoàng

La Mã là một con người”

Để chuyển sang tình thế tổng quát hơn, trước hết chúng ta nhớ lại phương pháp chứng minh bằng phản chứng Chúng ta muốn chứng minh khẳng định p Ta bắt đầu giả thiết rằng p là sai, từ đó ta dẫn đến hai khẳng định trái ngược nhau Không thể như vậy được, có nghĩa là giả thiết “p sai” là sai lầm Tính quy luật của phương pháp này dựa trên cơ sở của logic toán học hiện đại Bây giờ giả sử rằng chúng ta đang có một hệ tiên đề nào đó mà từ hệ này ta có thế rút ra hai định lý r và

s mâu thuẫn nhau (ví dụ: r là “vật giá rẻ”, còn s là “vật giá đắt”) Có thể sử dụng hệtiên đề đó để suy ra mâu thuẫn trong phép chứng minh phản chứng đối với bất kì loại khẳng định p nào Và xảy ra điều sau: bằng phản chứng, ta chứng minh được phát triển và cũng cách đó ta chứng minh được không-p

Ví dụ: để chứng minh “đất nước bị bần cùng hóa”, chúng ta hãy giả sử ngược lại “đất nước không bị bần cùng hóa” Từ đó với loại hệ tiên đề trên, ta rút rađược hai khẳng định trái ngược nhau “vật giá đắt” và “vật giá rẻ” Vậy điều giả sử của chúng ta là sai, và “đất nước bị bần cùng hóa”