KẾT LUẬN CHƯƠNG III
Xuyên suốt cho kết luận này, tôi xin dẫn lời của Mác “…lịch sử phát triển của tất cả các khoa học chỉ bằng cách trải qua những quãng đường quanh co và chồng chéo mới đi đén điểm xuất phát thực sự. Khác với những nhà kiến trúc sư, khoa học … xây dựng các tầng nhà ở trước khi đặt nền móng của nó (6)”
Đối với toán học nói riêng, điểm xuất phát mà Mác nói chính là cơ sở của toán học, một trăm năm gần đây đã mừng thắng lợi về sự phồn vinh tiếp tục của giải tích toán học, các phương pháp của nó đã được hoàn hảo, thể hiện rõ trong toán học hiện đại (xem đầu chương II, Toán học nói chung). Phạm vi áp dụng của nó mở rộng rất nhiều. Đó là sự vận động và phát triển một cách biện chứng. Tuy nhiên, nó vẫn giữ tính chất “bí ẩn” của mình với mức độ đáng kể: những cơ sở của nó, mà nhiều lần bị phê phán, vẫn còn chưa rõ ràng.
Ở thế kỷ XVII, nhiều nhà toán học, đặc biệt viện sĩ Pêtecbua nổi tiếng Lesonard Euler (gốc Thụy Điển, 1707-1783) đã chính xác hóa các khái niệm đã nói trong phần nhận xét trên, nhưng vẫn chưa trở thành công cụ thực sự để đặt cơ sở cho giải tích toán học. Đến đầu thế kỷ XIX, đặc biệt là Cauchy (nhà toán học người Pháp 1789-1857) mới từ khoa học giới hạn lập nên được nền tảng thực sự cho việc xây dựng tiếp theo của toàn bộ giải tích toán học, xua tan được hết mọi điều bí ẩn trong đó. Tuy nhiên, trong nền tảng này vẫn còn lỗ hổng–vẫn chưa đủ cơ sở chặt chẽ cho chính khái niệm số thực và việc chứng minh tính liên tục của phạm vi các số thực, và điều này đã được thực hiện trong cuối thế kỷ trước bằng phương pháp tiên đề (đọc thêm chương II, hệ tiên đề và nghịch lý Russels).
Như vậy chúng ta có thể hình dung toàn bộ tình hình phát sinh, phát triển biện chứng và quá trình chính xác hóa những khái niệm cơ bản của giải tích toán học, của phép tính vi phân và tích phân