Các bài toán về hệ thức lượng trong tam giác

23 3 Hệ thức lượng trong tam giác vuông 25 3.1 Sử dụng biến đổi đẳng thức nhận dạng tam giác vuông.. 55 6 Hệ thức lượng trong các tam giác đặc biệt khác 56 6.1 Các yếu tố trong tam giác

Mục lục

1.1 Các hệ thức lượng trong tam giác 5

1.2 Các công thức lượng giác 7

1.3 Các hệ thức lượng giác cơ bản trong tam giác 9

2 Hệ thức lượng trong tam giác thường 11 2.1 Hệ thức lượng giác không điều kiện 11

2.2 Hệ thức lượng giác có điều kiện 21

2.3 Bài tập đề nghị 23

3 Hệ thức lượng trong tam giác vuông 25 3.1 Sử dụng biến đổi đẳng thức nhận dạng tam giác vuông 25

3.2 Bài tập đề nghị 36

4 Hệ thức lượng trong tam giác cân 38 4.1 Sử dụng biến đổi đẳng thức nhận dạng tam giác cân 38

4.2 Bài tập đề nghị 45

5 Hệ thức lượng trong tam giác đều 47 5.1 Sử dụng biến đổi đẳng thức nhận dạng tam giác đều 47

5.2 Nhận dạng tam giác đều từ hệ điều kiện 51

5.3 Bài tập đề nghị 55

6 Hệ thức lượng trong các tam giác đặc biệt khác 56 6.1 Các yếu tố trong tam giác được cho dưới dạng một cấp số 56

6.2 Các yếu tố trong tam giác được cho dưới dạng hình học 65

6.3 Bài tập đề nghị 81

Phụ lục 83

Kết luận 98

Tài liệu tham khảo 99

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết

ơn chân thành và sâu sắc tới PGS TS Phan Huy Khải người đã tận tìnhhướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáotrong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học QuốcGia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên, khích lệ và giúp đỡ

em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận

Hà Nội, ngày 15 tháng 02 năm 2014

Học viênTrần Thị Xuyến Chi

Mở đầu

Hệ thức lượng trong tam giác là nội dung quan trọng trong trường phổthông, thường gặp trong các đề thi tuyển sinh vào đại học và các kỳ thi họcsinh giỏi các cấp Đây là chuyên đề hay và tương đối khó với học sinh phổthông Để có cái nhìn toàn cảnh về chuyên đề này, luận văn đi sâu vào nghiêncứu các bài toán về hệ thức lượng trong tam giác

Cấu trúc luận văn gồm 6 chương

Chương 1 Kiến thức cơ sở

Chương 2 Hệ thức lượng trong tam giác thường

Chương 3 Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác cân

Chương 5 Hệ thức lượng trong tam giác đều

Chương 6 Hệ thức lượng trong các tam giác đặc biệt khác

Bây giờ chúng tôi sẽ nói kỹ một chương tiêu biểu, ví dụ như chương 3.Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các phần sau:

1 Nhận dạng tam giác vuông Trong mục này đưa ra những đặc điểm tiêubiểu nhất của tam giác vuông Phương pháp để chứng minh tam giác vuông

là biến đổi biểu thức đưa về một trong các đặc điểm này

2 Các ví dụ về nhận dạng tam giác vuông Ở đây chúng tôi trình bàynhững ví dụ tiêu biểu nhất được phân loại từ dễ đến khó

3 Hệ thống và phân loại bài tập về tam giác vuông

Phần cuối luận văn là phụ lục Trong đó chúng tôi trình bày cách thiếtlập các hệ thức lượng giác cơ bản trong tam giác dựa vào mối liên hệ giữacác yếu tố của tam giác và nghiệm phương trình bậc ba

Mặc dù hết sức cố gắng nhưng luận văn không tránh khỏi những sai sót.Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quýthầy cô và bạn đọc

Xin chân thành cảm ơn!

Một số ký hiệu

A, B, C Các góc đỉnh của tam giác ABC

a, b, c Các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C

ha, hb, hc Đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C

ma, mb, mc Độ dài đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C

la, lb, lc Độ dài đường phân giác kẻ từ các đỉnh A, B, C

R Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

r Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

ra, rb, rc Bán kính đường tròn bàng tiếp trong các góc A, B, C

S Diện tích tam giác

p = a + b + c

2 Nửa chu vi tam giác

đpcm Điều phải chứng minh

bsin B =

csin C = 2R.

2

b − c

b + c =

tanB − C

2tanB + C

2

c − a

c + a =

tanC − A

2tanC + A

2

Bán kính đường tròn ngoại tiếp.

R = abc4S =

Các hệ thức lượng giác cơ bản

α.tan α = sin α

cos α. 1 + cot

2

α = 1sin2

α.

Công thức cộng cung

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β

cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β

cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β

tan(α + β) = tan α + tan β

1 − tan α tan β.tan(α − β) = tan α − tan β

1 + tan α tan β.

Công thức nhân cung

sin 2α = 2 sin α cos α

tan 2α = 2 tan α

1 − tan2

α.sin 3α = 3 sin α − 4 sin3α

2 sin

α − β

2 .cos α + cos β = 2 cos α + β

2 cos

α − β

2 .cos α − cos β = −2 sinα + β2 sinα − β

2 .tan α + tan β = sin(α + β)

cos α cos β.tan α − tan β = cos α cos βsin(α − β).cot α + cot β = sin(α + β)

sin α sin β.cot α − cot β = sin(α − β)

• Hai góc đối nhau:

1.3 Các hệ thức lượng giác cơ bản trong tam giác

Trong mọi tam giác ABC, ta có:

1) sin A + sin B + sin C = 4 cosA

2) sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C

3) sin2A + sin2B + sin2C = 2(1 + cos A cos B cos C)

4) cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sinA

C = 1 − 2 cos A cos B cos C

7) tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C (ABC là tam giác khôngvuông)

Chương 2

Hệ thức lượng trong tam giác thường

Hệ thức lượng trong tam giác thường là dạng toán cơ bản nhất của bàitoán hệ thức lượng trong tam giác Vì các kết quả này đúng cho mọi tamgiác đặc biệt khác như tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều Bàitoán về hệ thức lượng trong tam giác thường gồm hai dạng: chứng minh hệthức lượng giác không điều kiện và chứng minh hệ thức lượng giác có điềukiện Phương pháp để giải dạng toán này là:

Cách 1 Biến đổi vế phức tạp sang vế đơn giản

Cách 2 Biến đổi hai vế về cùng một biểu thức trung gian

Cách 3 Biến đổi tương đương về một biểu thức đúng

Sau đây là một số ví dụ tiêu biểu

2.1 Hệ thức lượng giác không điều kiện

Các bài toán này đưa ra yêu cầu chứng minh các hệ thức lượng áp dụngchung cho mọi tam giác

Bài toán 2.1 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC, ta có:

b2

cosA − C

2

2 sin B2+

c2

cosA − B

2

2 sin C2

= ab + bc + ca

3) (b + c) cos A + (a + c) cos B + (a + b) cos C = a + b + c

Chứng minh

1) Ta có

2 sinA

2 cos

A2

cos2 A2

=

2 sinB − C

2 sin

B + C2

= a.2R.2 sinA

2 cos

A2

cos B − C

2

2 sinA2

b2

cosA − C

2

2 sin B2

= ca + cb

Cộng theo vế của (1), (2), (3) suy ra đpcm

3) Áp dụng định lý hàm số sin, ta có

V T = 2R(sin B + sin C) cos A + 2R(sin A + sin C) cos B + 2R(sin A + sin B) cos C

= 2R(sin B cos A + sin A cos B) + 2R(sin C cos A + sin A cos C) + 2R(sin B cos C

+ sin C cos B)

= 2R sin(B + A) + 2R sin(C + A) + 2R sin(B + C)

= 2R sin C + 2R sin B + 2R sin A = a + b + c = V P Đpcm

Bài toán 2.2 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC, ta có:

1) bc cos A + ac cos B + ab cos C = a

2

+ b2

+ c2

2 .2) abc(cos A + cos B + cos C) = a2(p − a) + b2(p − b) + c2(p − c)

2 cos

B2+

sinB + C

2cos B

2 cos

C2+

sin C + A

2cos C

2 cos

A2

= V P Đpcm

Bài toán 2.4 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC, ta có:

1) ra− r = 4R sin2 A2.2) ra− rb = 4R sinA − B

2 cos

C

2.3) a cot A + b cot B + c cot C = 2(R + r)

4) (ra2 + p2)(ra− r) = 4Rr2a.5) ha − 2r

ha

= ha2ra+ ha

sinA − B

2cos A

2 cos

B2

= 2R sin A.2R sin B sin C2R (sin A + sin B + sin C)

a cot A + b cot B + c cot C = 2R[sin A cot A + sin B cot B + sin C cot C]

= 2R[cos A + cos B + cos C]

p − a +

2Sa

= a 1

p − a +

aa

Sp(p − c) =

1) sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A = p + 4Rr + r

4R2 2) sin A sin B sin C = pr

2R2.3) sin2

2

+ r2

+ 2Rr)4R3 6) sin4A + sin4B + sin4C = p

2

+ p2

− 4R2

4R2 8) cos A cos B cos C = p

2

− (2R + r)2

4R2 9) cos2

11) (cos A + cos B)(cos B + cos C)(cos C + cos A) = 2Rr

2

+ r3

+ p2

r4R3 12) 1

sin A +

1sin B +

1sin C =

p2

+ r2

+ 4Rr2pr

sin A sin B +

1sin B sin C +

1sin C sin A =

2R

r 14) 1

sin2A +

1sin2B +

1sin2C =

R2 15) sin A sin B

sin C +

sin B sin Csin A +

sin C sin Asin B =

p2

+ r2

− 2Rr2Rr 16) 1

cos A +

1cos B +

1cos C =

1cos C cos A =

4R(R + r)

p2

− (2R + r)2.18) 1

cos2

A+

1cos2

B+

1cos2

− (2R + r)2

]2

19) cos A + cos B

cos C +

cos B + cos Ccos A +

cos C + cos Acos B

sin C + sin Acos C + cos A =

p

r.21) sin2 A

sin2 A

2

+ 1sin2 B2

+ 1sin2 C2

+ 1sin2 B

2 sin

2 C2

+ 1sin2 C

2 sin

2 A2

+ 1cos2 C2

+ 1cos2 B

2 cos

2 C2

+ 1cos2 C

2 cos

2 A2

= 8R(4R + r)

p2 31) cos 2A + cos 2B + cos 2C = 3R

2

+ 4Rr + r2

− p2

R2 32) sin 2A + sin 2B + sin 2C = 2pr

R2 33) cot A + cot B + cot C = p

2

− r2

− 4Rr2pr

34) cot A cot B cot C = p − (2R + r)

2pr 35) cot2

p2

− (2R + r)2.39) tan A tan B + tan B tan C + tan C tan A = p

− (2R + r)2

]2 41) tan3



tanA

2 + tan

B2

 

tanB

2 + tan

C2

 

tanC

2 + tan

A2



= 4R

p 45) tan2 A

 

cot B

2 + cot

C2

 

cotC

2 + cot

A2

+

tanB

2 + tan

C2tanA2

+

tanC

2 + tan

A2tanB2

=

cot A

2 + cot

B2cotC2

+

cotB

2 + cot

C2cotA2

+

cotC

2 + cot

A2cotB2

a + r2

b + r2

c = (4R + r)2

− 2p2.58) r3

R.60) 1

2

+ r2

+ 4Rr2R 65) hahb + hbhc + hcha = 2p

2

r

R 66) hahbhc = 2p

= p

2

− r2

− 4Rr2p2

2

p2

p2

+ 2Rr + r2.Nhận xét:

• Từ 76 hệ thức trên ta có một hệ thống các hệ thức lượng giác đóng vai

trò quan trọng trong các bài toán về nhận dạng tam giác

• Các hệ thức này đều thống nhất ở điểm vế phải được tính theo ba đại

lượng R, r, p

• Phương pháp chứng minh chung cho tất cả các hệ thức là sử dụng định

lý Viet đối với nghiệm của phương trình bậc ba Phần chứng minh chocác hệ thức trên được trình bày trong phần phụ lục của luận văn

2.2 Hệ thức lượng giác có điều kiện

Đối với các hệ thức lượng giác có điều kiện ta có thể chứng minh bằngmột trong hai cách sau:

• Sử dụng điều kiện cho trước trong quá trình chứng minh.

• Biến đổi trực tiếp điều kiện cho trước về hệ thức cần chứng minh.

Bài toán 2.6 Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức

sin A + sin B + sin C = 2(sinA



+ sin B

2 sin

C2

⇔ 2R sin C − 4R sin A cos B = 2R sin A

Nhận xét: Ta xét bài toán có cùng điều kiện như trên:

Có tồn tại hay không một tam giác ABC có B = 2A và ba cạnh của nó

là ba số nguyên liên tiếp

tan C = 2 tan A.

Rõ ràng tam giác này tồn tại vì từ đó có

tan C = tan A + tan B

tan A tan B − 1 = − tan(A + B) ⇒ A + B + C = π, A, B, C > 0.

Tam giác này không có điều kiện tan A tan C = 3 và tan B tan C = 6

2 cos

C2+

sinB2cos C

2 cos

A2+

sinC2cosA

2 cos

B2

= 2

4) sin A + sin B − sin C

cos A + cos B − cos C + 1 = tan

Bài toán 2.10 Cho tam giác ABC có:

sin A + sin B + sin C − 2 sin A

sin Csin 2C.

Chứng minh rằng cos A + cos B = 1

Chương 3

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

3.1 Sử dụng biến đổi đẳng thức nhận dạng tam giác vuông

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày phương pháp biến đổi đẳng thứcnhận dạng tam giác vuông Để chứng minh tam giác ABC vuông ta có thểdùng các công thức lượng giác biến đổi về một trong các dấu hiệu nhận dạngtam giác vuông sau đây

1 sin A = 1; sin B = 1; sin C = 1

2 cos A = 0; cos B = 0; cos C = 0

3 sin 2A = 0; sin 2B = 0; sin 2C = 0

4 cos 2A = −1; cos 2B = −1; cos 2C = −1

6 tan A = cot B; tan B = cot C; tan C = cot A

7 sin A = sin(B − C); sin B = sin(C − A); sin C = sin(A − B)

điều kiện sau thì tam giác ABC là tam giác vuông:

1) sin 2A + sin 2B = 4 sin A sin B

cos C +

cos Ccos B =

a2

bc.

Chứng minh

1) Ta có

sin 2A + sin 2B = 4 sin A sin B

⇔ 2 sin(A + B) cos(A − B) = 2[cos(A − B) − cos(A + B)]

⇔ 2 sin C cos(A − B) = 2[cos(A − B) + cos C]

⇔ 0 = cos(A − B)[1 − sin C] + cos C

⇔ 0 = cos(A − B) cos C[1 − sin C] + cos2C

⇔ 0 = cos(A − B) cos C[1 − sin C] + 1 − sin2C

⇔ 0 = [1 − sin C][cos(A − B) cos C + 1 + sin C]

2 sin

C2

= 2R sin AR(sin B + sin C − sin A) (1)

Dựa vào sin B + sin C − sin A = 4 cosA

=

4 sin A

2 cos

A2

⇔ tanA

2 = 1 ⇔ A = π

2 Đpcm.3) Ta có

cos Bcos C +

cos Ccos B =

sin2

Asin B sin C (1)

Chỉ có hai khả năng xảy ra:

cos2

B + cos2

C − sin2Acos B cos C − sin B sin C

= 1 − 2 cos A cos B cos C − 1

− cos A = 2 cos B cos C.

Suy ra

cos2B + cos2C = 2 cos2B cos2C

⇒ cos2B(1 − cos2C) + cos2C(1 − cos2B) = 0

⇒ cos2B sin2C + cos2C sin2B = 0







cos B = 0cos C = 0 (2)(do sin C > 0, sin B > 0)

⇔ 2 sin A = sin(B + C) + sin(B − C)

(2) ⇔ abcp = 10p(p − a)(p − b)(p − c) ⇔ abc = 10(p − a)(p − b)(p − c) (3)

x = 3a4

2 = cos

B − C2

Bài toán 3.3 Cho tam giác ABC thỏa mãn một trong các điều kiện sau,chứng minh rằng tam giác ABC vuông:

1) cos A

2 =

r

b + c2c .

ccos C.

6) sin A − sin(A − B) sin C + cos B = 3

2 =

b + c2c ⇔ 1 + cos A

2 =

b + c2c

⇔ tanA

2 =

vuuuut

2 cosB + C

2 sin

B − C2

2 sinB + C

2 cos

B − C2

⇔ sin B cos B + sin C cos C − sin B sin C

sin A − sin B sin C

⇔ sin B[sin A cos B − sin(A + B)] + sin C[sin A cos C − sin(A + C)] = 0

⇔ − sin B sin B cos A − sin C sin C cos A = 0

⇔ (sin2B + sin2C) = 0 ⇔ cos A = 0(do sin B > 0, sin C > 0)

cos A2sinA2

+ 2cos Asin A =

2 sin Asin B − sin C

=

4 sinA

2 cos

A2

2 sinA

2 sin

B − C2

cosA2sinA2

=

cos A2sinB − C

2

⇔ sinA

2 = sin

B − C2

bcos B +

ccos C

⇔ sin B sin C = cos B cos C (do sin(B + C) = sin A > 0)

sin A − sin(A − B) sin C + cos B = 32

⇔ 2 sin A − 2 sin(A + B) sin(A − B) + 2 cos B − 3 = 0

⇔ 2 sin A + cos 2A − cos 2B + 2 cos B − 3 = 0

⇔ 2 sin A + 1 − 2 sin2A − 2 cos2B + 1 + 2 cos B − 3 = 0

⇔ sin2A − sin A + cos2B − cos B + 1

Bài toán 3.4 Cho tam giác ABC thỏa mãn một trong các điều kiện sau,chứng minh rằng tam giác ABC vuông:

1) rc = r + ra+ rb

2) a cot A + b cot B = √

2c cosA − B

2 .3) r(sin A + sin B) =√

2c sin B

2 cos

A − B

2 .4) sin A + sin B + sin C = cos A + cos B + cos C + 1

2p − (a + b)(p − a)(p − b). (1)

Do 2p − (a + b) = c nên

(1) ⇔ (p − c)p = (p − a)(p − b)

⇔ −pc = −p(a + b) + ab ⇔ p(a + b − c) = ab

⇔ 2p(a + b − c) = 2ab ⇔ (a + b + c)(a + b − c) = 2ab

⇔ (a + b)2 − c2 = 2ab ⇔ a2 + b2 + 2ab − c2 = 2ab

2 = cos

C2

b

A −B =b Cbb

b

A = π2

2 = R(sin A+sin B+sin C) = 4R cos

2 = cos

A2

b

B −C =b Abb

b

B = π2

1) sin(A + B) cos(A − B) = 2 sin A sin B

2) cos 2A + cos 2B + cos 2C + 1 = 0

3) 3(cos B + 2 sin C) + 4(sin B + 2 cos C) = 15

7) a + b = (a tan B + b tan A) tanC

2.8) a cos B − b cos A = a sin A − b sin B.9) ma = b

Chương 4

Hệ thức lượng trong tam giác cân

4.1 Sử dụng biến đổi đẳng thức nhận dạng tam giác cân

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau hoặc hai góc bằng nhau,đây là lớp bài toán quan trọng trong nhận dạng tam giác Phương pháp đểchứng minh tam giác ABC cân là biến đổi hệ thức đã cho về các dấu hiệunhận dạng tam giác cân sau:

8 cos(A − B) = 1; cos(B − C) = 1; cos(C − A) = 1.cos A − B

Dưới đây ta xét một số bài toán cụ thể

Bài toán 4.1 Cho tam giác ABC có:

Vậy tam giác ABC cân Đpcm

Bài toán 4.2 Cho tam giác ABC có:

2Sb2Sc+

2Sc2Sa

=

2Sb2Sa+

2Sc2Sb+

2Sa2Sc

Vậy tam giác ABC cân.

Bài toán 4.3 Cho tam giác ABC thỏa mãn một trong các điều kiện sau,chứng minh rằng tam giác ABC cân:

1) 4rra = a2.2) sinA

sin B =

2a + c

√4a2

− c2.4) (p − a) cot B2 = p tanA

2.5) ha = q

Vậy ABC là tam giác cân đỉnh A.

3) Ta có

1 + cos Bsin B =

2a + c

√4a2

⇔ 1 + 2 cos B

1 − cos B = 1 +

2c2a − c

⇔ cos B

1 − cos B =

c2a − c

⇔ cos B

1 − cos B =

sin C

2 sin A − sin C

⇔ 2 sin A cos B − sin C cos B = sin C − sin C cos B

⇔ 2 sin A cos B = sin C

⇔ sin(A + B) + sin(A − B) = sin(A + B)

⇔ sin(A − B) = 0 ⇔ A =b B.bVậy ABC là tam giác cân đỉnh C

cos B2sinB2

sin A2cos A2

⇔ sin



A

2 − C2

Biến đổi như phần (1) suy ra b = c Vậy ABC là tam giác cân đỉnh A

Bài toán 4.4 Cho tam giác ABC thỏa mãn một trong các điều kiện sau,chứng minh rằng tam giác ABC cân:

1) ha = √

rbrc.2) ha = a

2cot

A

2.3) la

Biến đổi như phần 1 bài toán 4.3 suy ra bB = Cb

Vậy ABC là tam giác cân đỉnh A

2) Ta có

ha = a

2cot

A2

⇔ 2 sin B sin C = 2 cos2 A

2

⇔ cos(B − C) − cos(B + C) = 1 + cos A

⇔ cos(B − C) = 1 ⇔B =b C.bVậy ABC là tam giác cân đỉnh A

Vậy ABC là tam giác cân đỉnh A

Trong bài toán nhận dạng tam giác cân ta xét một số tam giác cânđặc biệt như tam giác vuông cân, tam giác cân có một góc bằng 2π

3 Dưới đây một bài toán tiêu biểu

Bài toán 4.5 Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức