BD HSG toán 9 - Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Kiểm tra bài cũ 10 phút - HS1: Vẽ hình và viết các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông - HS2: Phát biểu bằng lời các hệ thức trên III.. Bài mới105 phút Hệ thức giữa cạnh và

Ngày soạn : 13/10/11

Ngày dạy : 18/10/11

Chủ đề

Buổi 1 Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

- Ôn tập các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

- Ôn tập định nghĩa và tính chất các tỉ số lượng giác của góc nhọn

- Học sinh vận dụng được các kiến thức đã học để giải bài tập

 Kĩ năng

- Rèn kĩ năng vận dụng các hệ thức, định nghĩa, tính chất

- Nâng cao khả năng tư duy

 Thái độ

- Học sinh có thái độ học tập đúng đắn, cần cù, chịu khó

B/Chuẩn bị của thầy và trò

- GV: Thước, compa, máy tính

- HS: Thước, compa, máy tính

C/Tiến trình bài dạy

I Tổ chức Tổ chức – sĩ số sĩ số

II Kiểm tra bài cũ (10 phút)

- HS1: Vẽ hình và viết các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác

vuông

- HS2: Phát biểu bằng lời các hệ thức trên

III Bài mới(105 phút)

Hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông

AH 2 2

=

= ( cm ) Vậy BH = 25 cm ; HC = 36 (cm )

Bài 2:

Cho ∆ABC vuông ở A có AB = 6cm, AC = 8cm

Từ A kẻ đường cao AH xuống cạnh BC

90

AFP = (1)

Mà ∆APEvuông cân tại E ⇒ AE = EP (2)

Từ (1); (2) ⇒ Tứ giác AEPF là hình vuông

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A Tính cạnh bên theo a và h với BC = a,

đường cao AH = h

Hướng dẫn: Tam giác ABC cân có AH là

đường cao nên cũng là đường trung tuyến

=> HB = HC = a

2

- áp dụng định lí Py – ta – go đối với tam

giác vuông AHB, tính được

AB = AC = 4h2 a2

2 +Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có B 60 = 0, đường cao AH

5AB

AC = 6

P

E

F

Chứng minh CH AC 3

AH = AB =Hướng dẫn:

Tam giác ABC có B 60 = 0 => Tam giác ABC vuông

tại A là nửa tam giác đều cạnh BC, đường cao AC

Ta có: AC = 2AB 3 AB 3 AC 3 (1)

2 = => AB =Tương tự: Tam giác AHC cũng là nửa tam giác đều

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A Biết BC = 25 cm, AB = 20 cm

a) Tính cạnh AC, đường cao AH, các đoạn thẳng BH, CH

b) Kẻ từ H đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt AC tại N Tính HN, AN, NC = ?

c) Tia phân giác của góc AHB cắt cạnh AB tại M Tính độ dài các đoạn thẳng AM, BM, MN = ?

3 Theo tính chất đường phân giác

trong tam giác ta có:

MA = HA = 3 => MA MB + = 7

=> MB 11,43cm;MA 8,57cm ≈ ≈

và MN 12,9cm ≈ (py – ta – go)

Bài 6: Cho tam giác ABC, biết AB = 11 cm, AC = 15 cm, BC = 20 cm Kẻ

đường cao AH

a) Chứng minh hệ thức sau: HC2 ư HB2 = AC2 ư AB2

b) Tính HC, HB, AH = ?

Hướng dẫn:

a) Trong tam giác vuông ABH, ta có

b) Bảng tỉ số l−ợng giác của một số góc đặc biệt:

2

22

12

3c) Một số tính chất của các tỉ số l−ợng giác

+) Định lí về tỉ số l−ợng giác của hai góc phụ nhau

Cho hai góc α và β phụ nhau Khi đó:

sinα = cosβ; cosα = sinβ; tanα = cotβ; cotα = tanβ

+) Cho 00 < α < 900 Ta có:

0 sin < α < 1; 0 cos < α < 1; sin2α + cos2α = 1

tan sin ; cot cos ; tan cot 1

Bài 1: Cho cosα = 0,8 Hãy tìm sin , tan , cot α α α (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư)

Kết quả: sin α = 0,6; tan α = 0,75; cot α ≈ 1,3333

Bài 2: Hãy tìm sinα; cosα (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư) nếu biết a) tanα = 13 b) cotα = 3

4Hướng dẫn:

a) tanα = 13 => α là một góc nhọn của tam giác vuông có hai cạnh góc

vuông là 1 và 3, từ đó tính được cạnh huyền khoảng 3,1623

lượng giác của góc nhọn đối với các tam giác

vuông ABH và ACH, rồi suy ra phương trình

x.sin300 = 4sin800Bài 4: Cho hình vẽ

1 áp dụng các hệ thức sau để chứng minh

sin2 cos2 1; tan sin ; cot cos

4 x

a) sin 20 và sin700 0 b) cos80 và cos100 0 c) sin36 và cos360 0

2 Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự giảm dần

sin 24 ;cos42 ;cos72 ;sin 29 ;cos13

Hướng dẫn: áp dụng định lí về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, đưa

về cùng một tỉ số lượng giác sin hoặc cosin để so sánh

Kết quả: cos130 > cos420 > sin 290 > sin 210 > cos720

Bài 7: Tính giá trị biểu thức

a) A = 3sin 600 ư 2cos300 + 3tan 600

b) B 3 2sin30 = ư 0 + 2cos 602 0 ư 3tan 452 0

Hướng dẫn: A = 7 3

2 b) B = 1

2

ưIII.

III Củng c Củng c Củng cố ố ố Luyện tập Luyện tập Luyện tập (60 phút) Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A có BC = 16 cm, AH là đường cao và AH =

6 cm Một điểm D thuộc BH sao cho BD = 3,5 cm Chứng minh tam giác DAC vuông

Hướng dẫn:

Trước hết tính DC = 16 – 3,5 = 12,5 cm

AH là đường cao => AH cũng là đường

trung tuyến => HC = 8 cm

áp dụng định lí Py – ta – go đối với

tam giác vuông HAC tính được AC = 10

DH = BH – BD = 4,5 cm

áp dụng định lí Py – ta – go đối với tam giác vuông HAD tính được AD = 7,5

cm Vận dụng định lí đảo của định lí Py – ta – go đối với tam giác ADC,

chứng minh nó vuông tại A

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC = 12 cm Tính chiều dài hai cạnh góc vuông, biết AB = 2 AC

3

Hướng dẫn: áp dụng định lí Py – ta – go để giải

Kết quả chiều dài hai cạnh góc vuông: AC = 9,98 cm; AB = 6,65 cm

Bài 3: Cho (O), đường kính AB = 26,5 cm; vẽ dây cung AC = 22,5 cm Gọi H

là hình chiếu của C trên AB, nối C với B

Tính BC, AH, BH, CH và OH ?

Hướng dẫn:

- Trước hết chứng minh tam giác ABC vuông tại C

- áp dụng các hệ thức về cạnh và đường cao trong

tam giác vuông để tính, kết quả như sau:

BC = 14 cm; AH = 19,1 cm; BH = 7,4 cm;

CH = 11,9 cm; OH = 5,9 cm

C B A

Bài 4: Hình thang cân ABCD, đáy lớn AB = 30 cm, đáy nhỏ CD = 10 cm và

=> BC = 2BF = 20 cm

2 Trước hết chứng minh MN = CF

Nối AN, BN và chứng minh ∆ ADN = ∆ BCN(c.g.c) => AN = BN

=> Tam giác ANB cân tại N, có MA = MB => MN ⊥ AB

=> MN = CF = BF.tan600 = 10 3 cm

Bài 5: Chứng minh các hệ thức sau:

a) 1 cot1 cot+ α = tantanα +11

ư α α ư

b) sin4α + cos4α = 1 2sin ư 2α cos2α

c) sin22 cos22 cos44 tan4

cos sin sin

cos sin (1 sin ) cos (1 sin ) cos

cos sin

α α ư

=

α ư αKết quả: P = (cos α ư sin α)2 b) Q = tan 1

tan 1

α ư

α +Bài 7: Cho tam giác ABC có AB = a, BC = a 3 , AC = a 2

1 Chứng minh tam giác ABC vuông

2 Tính các tỉ số lượng giác của góc B và tính góc B

3 Suy ra các tỉ số lượng giác của góc C

Hướng dẫn:

1 Dùng định lí đảo của Py – ta – go để chứng minh

2 sinB 0.8165; cosB 0,5774; tanB 1,4142; cotB 0,7071 ≈ ≈ ≈ ≈ => B 54 44' ≈ 0

3 áp dụng định lí về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Bài 8:

Chứng minh giá trị các biểu thức sau đây không phụ thuộc vào góc α

a) A = cos4α + cos2α sin2α + sin2α

b) B = (tan α + cot ) α 2 ư (cot α ư tan ) α 2

Kết quả:

a) A = 1 => Giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào góc α

b) B = 4 => Giá trị biểu thức B không phụ thuộc vào góc α

Bài 9: Cho đa giác lồi ABCD có AB = AC = AD = 10 cm, B 60 và A = 90 = 0  0

đoạn BH = 5cm, CH = 20cm Chứng minh tan B = 4tan C

Bài 11: Không dùng máy tính bỏ túi hay bảng lượng giác , hãy chứng minh:

Cho ∆ABC ABC vuông ở A có AB = 15cm, BC = 17cm

Từ A kẻ đường cao AH xuống cạnh BC

a) Tính AC, AH

b) Tính số đo C ; B 

Bài 3: Hãy lập công thức tính

a) Đường chéo của hình vuông cạnh a

b) Đường cao của tam giác đều cạnh a

c) Diện tích của tam giác đều cạnh a

Kết quả: a) a 2 b) a 3

2 c) a2 3

4

Bài 4: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, vẽ đường chéo AC Tính các tỉ

số lượng giác của góc ACB

Bài 5: Cho biết cos 1

3

α = Tính giá trị biểu thức sau: P = 3sin2α + 4cos2αKết quả: P = 28

9D/Bổ sung

*******************************

Ngày Ngày dạy dạy : 21/10/11

Buổi 2 Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

- Học sinh có thái độ học tập đúng đắn, cần cù, chịu khó

B/Chuẩn bị của thầy và trò

- GV: Thước, thước đo độ, máy tính bỏ túi

- HS: Thước, thước đo độ, máy tính bỏ túi

C/Tiến trình bài dạy

I Tổ chức sĩ số Tổ chức sĩ số sĩ số

II Kiểm tra bài cũ (10 phút)

- HS1: Phát biểu định lí các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác

Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Bài 2: Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai cạnh bằng a và b, góc

nhọn tạo bởi hai đường thẳng đó bằng α thì diện tích của tam giác đó là

S = 1 absin

Hướng dẫn: Xét hai trường hợp tam giác ABC nhọn hoặc tù

Bài 3: Tam giác ABC có :

a) Tính sin ,cos ,sin2 α α α theo a, b, h

b) Chứng minh rằng: sin2 α = 2sin cos α α

Hướng dẫn:

b h

Bài 8: Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao thuộc cạnh bên bằng h, góc ở

đáy bằng α Chứng minh rằng: SABC h2

4sin cos

=

α

2 ABC

b) Đường phân giác của góc A cắt BC ở D Tính BD, DC

c) Từ D kẻ DE ⊥ AB,DF ⊥ AC. Tứ giác AEDF là hình gì ? Tính chu vi và diện tích của tứ giác AEDF ?

Hướng dẫn:

a) BC = 10 cm; B 53 8';C 36 52' ≈ 0  ≈ 0

b) áp dụng tính chất đường phân giác

trong tam giác, được kết quả:

7 ; Diện tích: 576 cm2

49Bài 10: Đề thi khảo sát đợt I chọn HSG huyện Gia Lộc năm học 2011 Đề thi khảo sát đợt I chọn HSG huyện Gia Lộc năm học 2011 Đề thi khảo sát đợt I chọn HSG huyện Gia Lộc năm học 2011 20122012

Cho tam giác nhọn ABC có điểm D nằm trong tam giác sao cho

Từ (1) và (2) suy ra ABC đồng dạng với EBD∆ ∆

b) Vì a) ABC đồng dạng với EBD∆ ∆

=> AB AE AB.CD BC.AE (5)

BC = CD => =

ADE

∆ vuông cân nên AE= 2 AD Thay vào (5) ta được

AB.CD= 2 AD.BC mà AD.BC = AC.BD (câu a)

=> AB.CD = 2 AC.BD

Bài 11: Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính:

a) sin 122 0 + sin 222 0 + sin 322 0 + sin 582 0 + sin 682 0 + sin 782 0

b) cos 152 0 + cos 252 0 + cos 352 0 + cos 552 0 + cos 652 0 + cos 752 0 ư 3

Hướng dẫn: Sử sụng tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau và

sin α + cos α = 1, kết quả: a) 3 b) 0

IV Củng cố Củng cố Luyện tập Luyện tập (60 phút) Bài 1: Cho hình thang ABCD có A D 90 = = 0; AB = 30 cm; CD = 18 cm và BC

Bài 2: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn AB = 20 cm, cạnh bên AD =8 cm

và tạo với đáy lớn AB góc 650

a) Tính đường cao DH, đáy nhỏ CD

b) Tính góc ABD và đường cao BD

Hướng dẫn:

1 B 56 19'  ≈ 0

2 AI = 5,35 cm

3 AH = 4,72 cm

Bài 4: Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 4,5 cm; BC = 7,5 cm

a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông

- Xem lại các bài đã chữa Giải tiếp các bài tập sau:

Bài 1: Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính:

a) 4cos2 6sin2 , biết sin 1

a) A (sin + cos ) - 2sin cos - 1 = α α 2 α α

b) B (sin - cos ) = α α 2 + 2sin cos + 1 α α

c) B (sin + cos ) = α α 2 +(sin α ư cos α)2 + 2

Kết quả: a) A = 0 b) B = 2 c) C = 4

Bài 3: Cho 00 < x 90 < 0 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) sin x cos x 1 3sin x.cos x6 + 6 = ư 2 2

b) sin x cos x 1 2cos x4 ư 4 = ư 2

c) 1 cosxsin xư = 1 cosxsin x

+

Buổi 3 vẽ thêm yếu tố phụ để chứng minh hệ thức

tính số đo góc và độ dài đoạn thẳng

A/Mục tiêu

Học xong buổi học này HS cần phải đạt đ−ợc :

 Kiến thức

- Củng cố và khắc sâu các hệ thức l−ợng trong tam giác vuông

- Học sinh biết vẽ yếu tố phụ một cách hợp lí để chứng minh các hệ thức

- áp dụng thành thạo hệ thức lượng để tính độ dài đoạn thẳng, tính số

- Có tinh thần tự giác, tích cực trong học tập

B/Chuẩn bị của thầy và trò

luận của bài toán ? có liên quan tới

định lí Py-ta-go trong tam giác

vuông không ? Vậy liên quan đến

tam giác vuông nào ? dựa vào giả

d

Lời giải: Vì ADC + DCB = 90

0 nên hai đường thẳng AD và BC cắt nhau

Gọi O là giao điểm của AD và BC

Phân tích: Bài toán có liên quan đến định lí

Pythagoras, các em kẻ đường phụ MN ⊥ AB

và trình bày lời giải như sau

KA = AM + KM ∆ KNC: 2 2 2

KC = NC + KN ⇒ KA + KC = AM + KM + NC + KN (2) 2 2 2 2 2 2 Xét ∆ KBM: 2 2 2

KB = BM + KM ∆ KND: 2 2 2

từ nhận xét đó các em kẻ thêm đường phụ AK vuông góc với AF, từ đó các

- Xét ∆ AKFvuông tại A có AD ⊥ KF ⇒

Qua ba bài tập này bước đầu các em hình thành được phương pháp vẽ

đường phụ để giải bài toán về tam giác vuông và các cách triển khai theo phương hướng đó Tuy nhiên để hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ thêm

đường phụ để giải bài toán về tam giác vuông Giáo viên hướng dẫn HS các bài tập sau

4 Bài 4:

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC, trên cạnh BC lấy điểm M bất kì

đường thẳng AM cắt cạnh CD kéo dài tại N

5 Bài 5:

Cho hình bình hành ABCD, đường chéo lớn AC Gọi E , F là các hình chiếu của C lên các cạnh AB và AD CMR: 2

AB.AE + AF.BC = ACPhân tích: Các em không tìm được mối liên hệ giữa các cạnh với đường chéo

AC

- Từ B kẻ đường thẳng BK vuông góc với AC

- Xét hai tam giác đồng dạng nào để

=> AC.AK = AB.AE (1)

- Chứng minh hai tam giác đồng dạng khác để suy ra AC.CK = BC.AF (2)

từ đó tìm được lời giải bài toán

đường trung tuyến trong tam giác

khi biết độ dài các cạnh của tam

giác”

Cách giải: Kẻ AH vuông góc với BC

- áp dụng định lí Pythagoras cho các tam giác vuông ABH và AHC

vuông ACJ có CD vuông góc với AJ

tính Số đo góc và độ dài đoạn thẳng (65 phút)

1 Bài 1: Bài 30 (SGK - 89)

Cho ∆ABC có BC = 11cm,
ABC = 300,
ACB = 380

Gọi N là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC Hãy tính độ dài:

- Nêu cách khác, kẻ đường thẳng từ C vuông góc với cạnh AB và trình bày tương tự

- Nếu không kẻ đường phụ thì ta có tính được các đoạn AN, AC không ? Cách 3:

Từ đó tính được AN, AC

Cách 4: Đặt BN = x => CN = 11 - x (0 < x < 11)

Ta có : AN = BN tan 380 =x tan 380; AN = CN tan 300 =(11 x) tan 30ư 0

=> x tan 380 =(11 x ) tan 30ư 0, từ đó tìm được x và giải được bài toán

Cách 5: Đặt CN = x, giải tương tự cách 4

Nhận xét:

- Qua bài tập 1 đưa ra nhận xét, muốn tính độ dài cạch còn lại của một tam giác khi biết số đo hai góc và một cạnh của nó ta kẻ thêm đường phụ để làm xuất hiện tam giác vuông và áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong

tam giác vuông để tính

2 Bài 2: Cho ∆ ABC có AB =13cm, AC = 16cm, BAC
= 600

Tính các cạnh và các góc còn lại của tam giác ?

3 Bài 3: (đề thi HSG huyện Gia Lộc năm học: 2005 - 2006)

Cho hình thang vuông MNPQ biết:

Cho tứ giác lồi ABCD M là điểm bất kí trên AB Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại N; Qua M kẻ đường thẳng song song với

BD cắt AD tại Q Qua Q kẻ đường thẳng song song với AC cắt CD tại P

a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành

b) Chứng minh MN.BD + MQ.AC = AC.BD

c) Tìm vị trí của M sao cho diện tích hình bình hành MNPQ lớn nhất Hướng dẫn: Theo giả thiết

AQ = CPQM//BD => DQ BM (3)

- Theo định lí Ta_lét đảo áp dụng vào tam giác DCP

Từ đó có đáp số diện tích MNPQ lớn nhất khi M là trung điểm của AB

Bài 2: Đề thi khảo sát chọn HSĐề thi khảo sát chọn HSĐề thi khảo sát chọn HS giỏi giỏi giỏi đợt II đợt II đợt II huyện Gia Lộc năm học 2009 huyện Gia Lộc năm học 2009 huyện Gia Lộc năm học 2009 20102010

Cho tam giác ABC và đường cao AH; AD , AE là hai đường phân giác của các góc BAH,CAH

; tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE trùng với tâm đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC

Chứng minh

AH = AB + ACHướng dẫn:

AH⊥BC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE và đồng thời là tâm

đường tròn tiếp xúc với các cạnh của tam giác ABC

=> OD = OE = OA; OM = ON = OP

- Các tam giác vuông ODM, OEM, OAN, OAP bằng nhau

=> DOM EOM AON
=
=
=
AOP (1)

DOX OAD ODA= + =2OAD; tương tự EOX 2OAE
=

=> DOE 2DAE 2.

1 A A 2DOM
A (2)

2

Tứ giác APON có P N 180+ = 0 => A PON 180+
= 0 =>A 180 = 0 ưPON

Mặt khác: PON
=AON AOP 2DOM
+
=

Kết hợp (1) và (2) => 2DOM 180
= 0 ư2DOM
=>DOM 45
= 0 => A =900

Vậy áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao suy ra 12 12 12

AH = AB + AC

*) Cách khác : Chứng minh PON
=A

Bài 3: Đề thi khảo sát chọn HS giỏi đợt II huyện Gia Lộc năm học 2009 Đề thi khảo sát chọn HS giỏi đợt II huyện Gia Lộc năm học 2009 Đề thi khảo sát chọn HS giỏi đợt II huyện Gia Lộc năm học 2009 201020102010

Cho tam giác ABC, D là điểm trên cạnh BC (D không trùng với B, C) Chứng minh AD.BC < BD.CA + CD.AB

Bài 4: Đề thi khảo sát chọn HS giỏi đợt I huyện Gia Lộc Đề thi khảo sát chọn HS giỏi đợt I huyện Gia Lộc Đề thi khảo sát chọn HS giỏi đợt I huyện Gia Lộc năm học 20năm học 20năm học 20101010 2012012011111

1 Cho tam giác ABC vuông cân ở A, đường trung tuyến BM Gọi D là hình chiếu vuông góc của C trên BM, H là hình chiếu vuông góc của D trên AC Chứng minh a) HC = 2.HD b) AH = 3.HD