HỆ THỐNG MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN HSG Bài 1: cho x> y> 0 và 2x 2 2y 2 Tính giá trị biểu thức: x y E x y + = − Giải Xét E 2 = 9 suy ra E = 3 Bài 2: Cho a 2 + b 2 + c 2 = 14 và a + b +c = 0. tính giá trị biểu thức: a 4 + b 4 + c 4 Giải: - Tính 14 2 = (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 - Tinh: (a + b +c) 2 - KQ= a 4 + b 4 + c 4 = 49 Bài 3: Cho 3 số x, y, z thỏa mãn: x 2 + 2y + 1 = 0 y 2 + 2z + 1 = 0 z 2 + 2x + 1 = 0 Tính x 200 + y 200 + z 200 HD: Cộng vế ta có kết quả: x = y = z = -1 suy ra x 200 + y 200 + z 200 = 3 Bài 4: Cho x, y , z là các số không âm thỏa mãn: x + xy + y = 1 y + yz + z = 3 z + xz + x = 7 Tính giá trị biểu thức: M = x 2 + y 2 + z 2 HD: x + xy + y = 1 Suy ra x( y + 1) + (y+1) = 1 + 1 Suy ra (x+1) (y+1) = 2 Tương tự (y+ 1) (z+ 1) = 4 (x + 1) (z+ 1) = 8 Nhân vế (x+1) 2 (y+1) 2 (z+1) 2 = 64 KQ: M = 28 Bài 5:Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 3 4 1 1999 2000 A = + + + + + + + + Là một số hữu tỷ Giải: Chứng minh công thức: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 (1 ) 1 ( 1) ( 1)k k k k + + = + + − − Kết quả: A=1998 + 1 1 2 2000 − là một số hữu tỷ Bài 6: Tính: 2 2 2 1999 1999 1 1999 2000 2000 P = + + + Giải: 2000 2 = (1999 + 1) 2 = 1999 2 + 2.1999 + 1 Vậy : 1 + 1999 2 = 2000 2 – 2.1999 Giải ra được P = 2000. Bài 7: Chứng minh số: 3 3 3 2 1 ( 2 1) 3 A − = + Là một số nguyên? Giải : 3 3 3 3 3 2 1 ( 2 1) . 3 A − = + KQ : A= 1 Bài 8: Chứng minh đẳng thức: 3 3 20 14 2 14 2 20 4+ − − = HD: đặt vế trái bằng x tính x 3 rồi suy ra x = 4 Bài 9: Tương tự giải chứng minh các đẳng thức sau: a) 3 3 2 5 2 5 1+ + − = b) 3 3 5 2 7 5 2 7 2+ − − = Bài 9: Chứng minh đẳng thức: 3 3 3 3 3 1 2 4 2 1 9 9 9 − = − + HD giải: Đặt 3 2 a= suy ra: 2 = a 3 đẳng thức cần chứng minh tương đương: 2 3 3 1 1 9 a a a − + − = Bài 10: Rút gọn: A = 1 1 1 2 1 1 2 3 2 2 3 2000 1998 1999 2000 + + + + + HD giải: Nhận xét: 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 3 2 2 3 2 3 = − + = − + Bài 11: Cho a = 11 . . . 1 ; b = 100 . . . 05 2010 chữ số 1 2009 chữ số 0 Chứng minh 1ab + là số tự nhiên. Giải: b = 100 . . . 05 = 100 . . . 0 - 1 + 6 = 99 . . . 9 + 6 = 9a + 6 2009 chữ số 0 2010 chữ số 0 2010 chữ số 9 ⇒ ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a 2 + 6a + 1 = (3a + 1) 2 ⇒ Naaab ∈+=+=+ 13)13(1 2 Bài 12: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương: 13n + 3 Giải: Đặt 13n + 3 = y 2 (y ∈ N) ⇒ 13(n - 1) = y 2 – 16 ⇔ 13(n - 1) = (y + 4)(y – 4) ⇒ (y + 4)(y – 4) 13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 4 13 hoặc y – 4 13 ⇒ y = 13k ± 4 (với k ∈ N) ⇒ 13(n - 1) = (13k ± 4) 2 – 16 = 13k.(13k ± 8) ⇒ 13k 2 ± 8k + 1 Vậy n = 13k 2 ± 8k + 1 (với k ∈ N) thì 13n + 3 là số chính phương Bài 13: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 2 8 + 2 11 + 2 n là số chính phương Giả sử 2 8 + 2 11 + 2 n = a 2 (a ∈ N) thì 2 n = a 2 – 48 2 = (a + 48) (a – 48) 2 p . 2 q = (a + 48) (a – 48) với p, q ∈ N ; p + q = n và p > q ⇒ a + 48 = 2 p ⇒ 2 p 2 q = 96 ⇔ 2 q (2 p-q – 1) = 2 5 .3 a – 48 = 2 q ⇒ q = 5 và p – q = 2 ⇒ p = 7 ⇒ n = 5 + 7 = 12 Thử lại ta có: 2 8 + 2 11 + 2 n = 80 2 B ài 14: : Tìm nghiệm nguyên của phương trình: xy + 3x - 5y = -3 Giải : a) Cách 1: x(y + 3) – 5(y + 3) = -18 ⇔ (x – 5) (y + 3) = -18 Cách 2 : 3 18 5 3 35 + −= + − = yy y x B ài 15 : Tìm nghiệm nguyên. x 3 - 2y 3 - 4z 3 = 0 Giải : ⇔ x 3 = 2(y 3 + 2z 3 ) VP 2 ⇒ x 3 2 ⇒ x 2 đặt x = 2k 8k 3 = 2(y 3 + 2z 3 ) ⇔ 4k 3 = y 3 + 2z 3 ⇒ y 3 = 4k 3 - 2z 3 = 2(2k 3 - z 3 ) ⇒ y chẵn. Đặt y = 2t ta có : 8t 3 = 2(2k 3 - z 3 ) ⇒ 4t 3 = 2k 3 - z 3 ⇒ z 3 = 2k 3 - 4t 3 ⇒ z chẵn ⇒ z = 2m ⇒ 8m 3 = 2(k 3 - 2t 3 ) ⇒ k chẵn B ài 16: Giải hệ phương trình =++ ++=++ 2004200320032003 222 3zyx zxyzxyzyx Giải: =++ ++=++ )2(3 )1( 2004200320032003 222 zyx zxyzxyzyx Ta có: PT (1) 0222222 222 =−−−++⇔ zxyzxyzyx 0)()()( 222 =−+−+−⇔ xzzyyx zyx ==⇔ Thế vào (2) ta có: 20042003 33 =x 20032003 3=x suy ra 3=x Do đó x= y=z = 3 Vậy nghiệm của hệ đã cho là: (x;y;z) = (3;3;3) B ài 17: Giải các hệ phương trình ++=+ ++=+ 6 5 2233 22 xyyxyx yyxx Đặt: x-y=a; x+y =b Hệ đã cho trở thành = =+ )2(6 )1(5 2 ba aab Từ PT (2) ta suy ra 0 ≠ a Do đó: 2 6 a b = Thế vào (1) ta được: 5 6 =+ a a 065 2 =+−⇔ aa (Vì 0≠a ) 0)3)(2( =−−⇔ aa = = ⇔ 3 2 a a +) 2 3 2 =⇒= ba Hay − = = ⇔ =− =+ 4 1 4 7 2 2 3 y x yx yx +) 3 2 3 =⇒= ba Hay − = = ⇔ =− =+ 6 7 6 11 3 3 2 y x yx yx Tóm lại hệ phương trình đã cho có nghiệm là: (x;y) = − − 6 7 ; 6 11 ; 4 1 ; 4 7 Bài 18: Giải các hệ phương trình a) =++ =++ xyzzyx zyx 444 1 Giải: Nhận xét: Từ BĐT 0)()()( 222 ≥−+−+− accbba Ta suy ra: (*) 222 cabcabcba ++≥++ áp dụng liên tiếp BĐT (*) ta được 222222444 xzzyyxzyx ++≥++ )( zyxxyz ++≥ ⇔ xyzzyx ≥++ 444 Đẳng thức xẩy ra khi: 3 1 === zyx Vậy hệ đã cho có nghiệm là: = 3 1 ; 3 1 ; 3 1 );;( zyx Bài 19: Cho a, b, c > 0, chứng minh rằng: ( ) 2 2 2 1 a b c a b c b c a + ≥ + + Giải ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 2 2 2 0 0 a c b a c b a bc b ac c ab ac a ab b ab b bc c bc c ca a ac a b ab b c bc c a dpcm ⇔ + + − − − ≥ ⇔ − + + − + + − + ≥ ⇔ − + − + − ≥ ⇒ Bài 20: Cho a, b, c > 0. CMR: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3a b c a b a c b c b a c abc+ − + + − + + − ≤ (1) Giải ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 / , 0 1 3 0 0 0 0 0 G s a b c abc a b c a b a c b c b a c a a ab ac bc b b bc ba ac c c ac bc ab a a b a c b b c b a c c a c b a b a ac b bc c a c b c a b a b c c a c b c ≥ > ⇔ − + − + + − + + − ≥ ⇔ − − + + − − + + − − + ≥ ⇔ − − + − − + − − ≥ ⇔ − − − + + − − ≥ ⇔ − + − + − − ≥ Suy ra ĐPCM. Bài 21: Chứng minh rằng: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ) 1 ) 4 4 4 4 8 1 a a b c d ab ac ad b a b c ab ac bc + + + ≥ + + + + ≥ − + Giải: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) Ta có = 4 4 4 4 0 2 2 2 4 a a b c d ab ac ad a a a a ab b ac c ad d a a a a b c d + + + − − − − + + − + + − + + ÷ ÷ ÷ = − + − + − + ≥ ÷ ÷ ÷ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) Ta có : 4 4 4 4 8 4 4 4 4 8 2 4 4 2 2 2 0 b a b c ab ac bc a ab b c ac bc a b c c a b a b c + + − + − = − + + + − = − + + − = − + ≥ Bài 22: Cho a + b > 1 . Chứng minh: 4 4 1 8 a b+ > Giải ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 4 1 0 2 2 1 2 8 a b a b a b a b a b + − ≥ ⇒ + ≥ > + ⇒ + ≥ > Bài 23: Cho tam thức bậc hai P = ax 2 + bx + c Tìm GTNN của P nếu a > 0 Giải: Ta có: P = 2 2 2 2 2 4 4 2 4 b b b b b a x x c a a c a a a a a + + + − = + + − ÷ ÷ Nếu a > 0 thì P ≥ 2 4 b c a − . Vậy minP = 2 4 b c a − khi 2 b x a = − Nếu a < 0 thì P ≤ 2 4 b c a − . Vậy maxP = 2 4 b c a − khi 2 b x a = − Bài 25: Cho x – 2y = 2. Tìm GTNN của Q = x 2 + 2y 2 – x + 3y Giải: 2 2 2 2 2 2 2 2 4 8 4 2 2 2 3 3 9 11 11 6 9 2 6 2 16 8 8 x y x y Q y y y y y y y y y − = ⇒ = + ⇒ = + + + − − + = + + = + + − ≥ − ÷ Vậy minQ = 11 3 khi 8 4 x− = − Bài 26: Cho x, y > 0 thỏa mãn x + y 6≥ . Hãy tìm GTNN của P = 6 8 3 2x y x y + + + Giải Ta có: ( ) 3 3 6 8 3 3 6 8 .6 2 . 2 . 9 6 4 19 2 2 2 2 2 2 x y x y P x y x y x y = + + + + + ≥ + + = + + = Vậy minP = 19 khi x = 2, y = 4. Bài 27: Cho x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx =1. Tìm GTNN của biểu thức A = x 4 + y 4 + z 4 Giải Áp dụng BĐT BCS ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 3 minP = khi x = y = z = 3 3 3 xy yz zx x y z x y z x y z x y z x y z P = + + ≤ + + + + = + + ⇒ ≤ + + ≤ + + + + ⇒ ≥ ⇒ Bài 28: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m. . 2 1 (1) 2 3 (2) m x y m x my + = + + = . quả: A= 199 8 + 1 1 2 2000 − là một số hữu tỷ Bài 6: Tính: 2 2 2 199 9 199 9 1 199 9 2000 2000 P = + + + Giải: 2000 2 = ( 199 9 + 1) 2 = 199 9 2 + 2. 199 9 + 1 Vậy : 1 + 199 9 2 = 2000 2 – 2. 199 9 Giải. chữ số 1 20 09 chữ số 0 Chứng minh 1ab + là số tự nhiên. Giải: b = 100 . . . 05 = 100 . . . 0 - 1 + 6 = 99 . . . 9 + 6 = 9a + 6 20 09 chữ số 0 2010 chữ số 0 2010 chữ số 9 ⇒ ab + 1 = a(9a +. HỆ THỐNG MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN HSG Bài 1: cho x> y> 0 và 2x 2 2y 2 Tính giá trị biểu thức: x y E x y + = − Giải Xét E 2 = 9 suy ra E = 3 Bài 2: Cho a 2 + b 2 +