Nhập môn tô pô đậu xuân thoan

Đậu Xuân Thoan – 0915.638272 NHẬP MÔN TÔ PÔ MỤC LỤC Lời nói đầu trang 2 Chương1 KHÔNG GIAN MÊTRIC 1. Tập hợp R n 3 2. Không gian tuyến tính (không gian véc tơ) 6 3. Không gian đònh chuẩn 7 4. Không gian Mêtric 10 5. Sự hội tụ trong không gian Mêtric 12 6. Không gian Mêtric đầy đủ 14 7. Không gian Mêtric compact 14 8. Không gian Banach 15 9. Các khái niệm hay dùng trong không gian Mêtric 16 Bài tập chương 1 – Không gian mêtric 19 Chương 2 KHÔNG GIAN TÔ PÔ 1. Tô pô trên một tập 23 2. Không gian Tôpô 24 3. Không gian tô pô liên thông 28 4. Không gian Lin Đơ Lốp 30 5. Các không gian tô pô tổng quát quan trọng 31 6. Không gian tô pô com pact 32 7. Sự hội tụ trong không gian tô pô 34 8. Giới thiệu sự hội tụ trong không gian tô pô theo lý thuyết lưới 36 Bài tập chương 2 – Không gian tô pô 38 Chương 3 ÁNH XẠ LIÊN TỤC 1. Ánh xạ 39 2. Lực lượng của một tập hợp 40 3. Ánh xạ tuyến tính 42 4. Ánh xạ liên tục giữa hai không gian Mêtric 46 5. Ánh xạ liên tục giữa hai khong gian tô pô 48 6. Giới thiệu về ánh xạ co 49 Bài tập chương 3 – Ánh xạ liên tục 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 DÙNG CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM NGÀNH TỐN 1 Đậu Xuân Thoan – 0915.638272 NHẬP MÔN TÔ PÔ LỜI NÓI ĐẦU Tác giả biên soạn cuốn tài liệu này trên cơ sở chắt chiu và tích tụ kiến thức từ nhiều cuốn tài liệu khác nhau, bao gồm sách của tác giả trong nước và sách dòch ra tiếng Việt của tác giả nước ngoài. Bạn đọc sẽ thấy một sự khác biệt, có hàm chứa cá tính chăm chỉ nghiên cứu học tập và trải nghiệm thực tiễn, của chính tác giả qua nhiều năm hoạt động giảng dạy. Tri thức khoa học nhân loại phát triển cực nhanh, rất tuyệt vời và vô tận. Một cá nhân cần có phương pháp riêng cho bản thân, có nghò lực và tinh thần quyết tâm cao, đặc biệt tự giác tự học và tự nghiên cứu mới lónh hội được nhiều kiến thức. Tài liệu này hy vọng : - Cung cấp một phương pháp chọn lọc kiến thức thiết thực, phân giải kiến thức thu được từ nhiều nguồn thành tri thức của bản thân cho những người ham học. - Nội dung kiến thức trình bày từng bước rành mạch, từ thấp đến cao, lý thuyết kèm theo ví dụ cụ thể. Sinh viên tự học tự nghiên cứu có thể nắm được kiến thức lý thuyết, vận dụng vào giải bài tập đạt yêu cầu học tập bộ môn. - Khi hiểu biết về cấu trúc các không gian Metric, không gian Tôpô, nh xạ…. trong tài liệu này sẽ có tác dụng nhiều cho việc học tập, nghiên cứu nhiều học phần khác như giải tích vi phân tích phân,…Phục vụ cho qúa trình học Cao đẳng, Đại học, kể cả sau Đại học. Nội dung tài liệu bao gồm các chương: Chương 1 Không gian Mêtric,trong chương này xem xét các không gian tuyến tính, không gian đònh chuẩn, không gian Mêtric, không gian mêtric đủ, Chương 2 Không gian Tôpô, xây dựng các khái niệm tôpô, và xem xét một số dạng không gian Tôpô dặc biệt. Chương 3 nh xạ liên tục, một trong những kiến thức lý thú cho phép ta xem xét tương ứng các phần tử giữa các không gian. Lần đầu tiên ra mắt bạn đọc, chắc chắn không thể tránh khỏi những hạn chế sai sót, mong các bạn góp ý kiến xây dựng cho. Tác giả: Đậu Xuân Thoan Email: dauxuanthoan@gmail.com DÙNG CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM NGÀNH TỐN 2 Đậu Xuân Thoan – 0915.638272 NHẬP MÔN TÔ PÔ Chương 1 KHÔNG GIAN MÊTRIC 1. TẬP HP R n . 1.1 Tập hợp R n : Cho tập hợp số thực R, ta thiết lập tập hợp mới như sau n RxRRxRxRx = = { } niRxxxx in , ,3,2,1,/), ,,( 21 =∈ Ta gọi R n là tích đề các của n tập hợp bằng nhau và bằng R, mỗi phần tử của R n gọi là một điểm, điểm là một bộ n số sắp theo một thứ tự, mỗi số là một thành phần của điểm, viết gọn theo ký hiệu là X=(x 1 ,x 2 ,x 3 ,…,x n-1 ,x n ) ∈ R n . 1.2 Tập con của R n : Một bộ phận E bao gồm các phần tử của R n gọi là một tập hợp con của R n , viết theo ký hiệu là E ⊂ R n . Tập hợp E có thể hữu hạn hoặc vô hạn phần tử, tập hợp con không chứa phần tử nào gọi là tập hợp rỗng ký hiệu riêng là Φ , tập hợp R n có 2 tập hợp con tầm thường là Φ và bản thân R n . 1.3 Cụ thể với n hữu hạn - Khi n=1 ta có tập hợp số thực R, mỗi phần tử của R là một số thực. Tập con trong R thường là một đoạn, một khoảng, hay nửa khoảng với hai đầu mút là hai số a, b nào đó. Các ký hiệu sau đây thường dùng: [a,b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} (a,b) = {x ∈ R / a<x<b} [a,b) = {x ∈ R / a ≤ x<b} (a,b] = {x ∈ R / a<x ≤ b} - Khi n=2 ta có tập hợp R 2 , mỗi phần tử được biểu diễn bằng một điểm nằm trong mặt phẳng, bộ hai thành phần lập nên phần tử gọi là tọa độ của điểm. Đối với hệ toạ độ Đề Các Oxy mỗi phần tử (x,y) biểu thò tọa độ của điểm M trong mặt phẳng Oxy ta viết M(x,y), x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ của M. Trong mặt phẳng ta xây dựng hệ tọa độ cực gồm tia Ox mỗi điểm M trong mặt phẳng cực ta biểu thò tọa độ của nó bằng cặp số (r,w) viết M(r,w), r là độ dài đoạn thẳng OM, w là góc hợp bởi tia Ox với tia OM tính bằng rian theo chiều quay ngược chiều kim đồng hồ, chú ý π 20 ≤≤ w . Mối liên hệ giữa tọa độ Đề Các và tọa độ cực của cùng một điểm M thông qua hệ thức sau: x = r cosw và y = r sinw (hình 1). Tập con trong R 2 thường là một miền phẳng có biên là một đường cong có thể kín hoặc không kín, nhiều khi tập con là những tập hợp điềm rời rạc vô hạn hay hữu hạn. DÙNG CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM NGÀNH TỐN 3 Đậu Xuân Thoan – 0915.638272 NHẬP MÔN TÔ PÔ Hình 1 - Khi n=3 ta co tập hợp R 3 , mỗi phần tử được biểu diễn bằng một điểm nằm trong không gian, bộ ba thành phần lập nên phần tử gọi là tọa độ của điểm Đối với hệ tọa độ Đề Các Oxyz mỗi phần tử (x,y,z) biểu thò tọa độ điểm M trong không gian Oxyz ta viết M(x,y,z), x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ, z gọi là cao độ của điểm M. Trong không gian ta xây dựng tọa độ trụ bằng bộ ba (r,w,z), cặp (r,w) là tọa độ cực của điểm M xy , mà M xy là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng Oxy, z là cao độ của M tính theo trục Oz. Mối liên hệ giữa tọa độ Đề Các và tọa độ trụ bằng các đẳng thức x = r cosw, y = r sinw, z=z (hình 2) Trong không gian ta còn xây dựng tọa độ cầu bằng bộ ba (R,w,@), R là độ dài đoạn thẳng OM, w là góc hợp bởi tia xy OM với tia Ox tính bằng rian theo chiều quay ngược kim đồng hồ trong mặt phẳng Oxy, @ là góc hợp bởi tia OM với tia Oz tính bằng rian theo chiều quay từ tia Oz đến tia OM trong mặt phẳng chứa (Oz,M). Mối liên hệ giữa tọa độ Đề Các và tọa độ cầu bằng các đẳng thức x = R.sin@.cosw ,y = R.sin@.sinw, z = R.cos@ (hình 3) Tập hợp con của R 3 thường là một miền trong không gian giới hạn bởi một mặt cong kín hoặc không kín, nhiều khi tập con là những tập hợp điểm rời rạc hữu hạn hay vô hạn. DÙNG CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM NGÀNH TỐN XO Y M x y y ww r y 4 Z z Đậu Xuân Thoan – 0915.638272 NHẬP MÔN TÔ PÔ Hình 2 Hình 3 2. KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH(KHÔNG GIAN VÉC TƠ) 2.1 Phép cộng (+) và nhân (.) trên R n DÙNG CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM NGÀNH TỐN 5 Y X x y Mxy M O r w Z Y X x y Mxy M z O r w R @ Đậu Xuân Thoan – 0915.638272 NHẬP MÔN TÔ PÔ Với 2 phần tử X=(x 1 ,x 2 ,…,x n ) và Y=(y 1 ,y 2 ,…,y n ) tùy ý thuộc tập R n , với số thực a tùy ý thuộc tập R, ta xây dựng : -Tổng 2 phần tử X,Y là một phần tử ký hiệu X+Y được xác đònh có các thành phần bằng tổng (theo nghóa cộng 2 số thực thông thường) các thành phần tương ứng X+Y= (x 1 +y 1 , x 2 +y 2 , … , x n +y n ), dễ thấy X+Y thuộc tập R n hay phép cộng (+) đóng kín trên R n . - Nhân vô hướng (nhân ngoài) trên R n , số a nhân với X là phần tử aX, a thuộc R được xác đònh có các thành phần bằng tích (theo nghóa nhân số thực thông thưòng) của a với từng thành phần tương ứng của X, viết là aX=(ax 1 ,ax 2 , … ,ax n ), dễ thấy aX thuộc R n hay phép nhân (.) đóng kín trên R n . - Theo cách xây dựng trên 2 phép toán (+) và (.) có các tính chất cơ bản sau đây: Tc1 Cộng giao hoán X+Y = Y+X với mọi X,Y thuộc R n Tc2 Cộng kết hợp (X+Y)+Z = X+(Y+Z) với mọi X,Y,Z thuộc R n Tc3 Tồn tại phần tử O=(0,0,…,0) thuộcR n của phép cộng X+O=O+X=X với mọi X thuộc R n , phần tử O này duy nhất. Tc4 Với mọi phần tử X thuộc R n tồn tại phần tử đối (-X) = (-x 1 ,-x 2 , … ,-x n ) thỏa mãn X+(-X) = (-X)+X = O, đối của X là duy nhất. Tc5 Phép (.) phân phối với (+) tức là a(X+Y)= aX + aY với mọi a thuộc R và với mọi X, Y thuộc R n Tc6 Phép cộng số thực phân phối với (.) tức là (a+b)X = aX + bX với mọi a ,b thuộc R và với mọi X thuộc R n Tc7 Các phép nhân kết hợp a(bX) = (ab)X = abX với mọi a,b thuộc R và với mọi X thuộc R n Tc8 Nhân với số 1 là số đặc biệt 1X = X với mọi X thuộc R n Người ta còn nói các X,Y,…thuộc R n là các véc tơ, các số a,b, thuộc R là các vô hướng. 2.2 Không gian tuyến tính R n Tập R n cùng với 2 phép toán cộng (+) và nhân (.) lập thành một không gian gọi là không gian tuyến tính hay không gian véc tơ trên trường số thực R. Ví dụ 1: Tập số thực R với 2 phép toán cộng và nhân thông thường lập thành không gian tuyến tính 1 chiều Tập R 2 với 2 phép toán X+Y=(x 1 +y 1 , x 2 +y 2 ) và aX=(ax 1 ,ax 2 ) lập thành không gian tuyến tính 2 chiều Tổng quát R n được lập như trên là không gian tuyến tính n chiều. 2.3 Không gian tuyến tính tổng quát Cho tập hợp W khác rỗng có bản chất đối tượng tùy ý và một trường số K (thường chọn là trường số thực R hoặc trường số phức C)ù. Trên W trang bò hai phép toán: -Phépø cộng (+) trong nội bộ W, với X,Y thuộc W có X+Y thuộc W -Phép nhân (.) ngoài (nhân vô hướng) giữa một số a thuộc K với phần tử X thuộc W, phần tử aX thuộc W Sao cho hai phép toán (+) và (.) thỏa mãn 8 tính chất sau đây: DÙNG CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM NGÀNH TỐN 6 Đậu Xuân Thoan – 0915.638272 NHẬP MÔN TÔ PÔ Tc1 Cộng giao hoán X+Y = Y+X với mọi X,Y thuộc W Tc2 Cộng kết hợp (X+Y)+Z = X+(Y+Z) với mọi X,Y,Z thuộc W Tc3 Tồn tại phần tử O=(0,0,…,0) thuộc W của phép cộng X+O=O+X=X với mọi X thuộc W , phần tử O này duy nhất. Tc4 Với mọi phần tử X thuộc W tồn tại phần tử đối (-X) = (-x 1 ,-x 2 , … ,-x n ) thỏa mãn X+(-X) = (-X)+X = O, phần tử đối (-X) của X là duy nhất. Tc5 Phép (.) phân phối với (+) tức là a(X+Y)= aX + aY với mọi a thuộc K và với mọi X, Y thuộc W Tc6 Phép cộng số thực phân phối với (.) tức là (a+b)X = aX + bX với mọi a ,b thuộc K và với mọi X thuộc W Tc7 Phép nhân kết hợp a(bX) = (ab)X = abX với mọi a,b thuộc K và với mọi X thuộc W Tc8 Nhân với phần tử đơn vò 1 của trường K: 1X = X với mọi X thuộc W Người ta còn nói các X,Y,…thuộc W là các véc tơ, các số a,b, thuộc K là các vô hướng. Khi đó tập W cùng hai phép toán tức là bộ (W, +, . ) lập thành một không gian tuyến tính. ( người ta còn gọi là không gian véc tơ) trên trường K Ví dụ 2: Gọi P n là tập hợp đa thức bậc n một biến số thực x trên R, tức P n bao gồm các đa thức dạng f(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + … +a n x n Với 2 phép toán cộng đa thức thông thường và phép nhân số thực với đa thức thông thường, thì P n lập thành không gian tuyến tính Ví dụ 3: Cho A là tập con khác rỗng của tập R, các hàm f,g,… xác đònh trên A nhận giá trò trong R. Gọi F là tập hợp các hàm số xác đònh trên A, với hai phép toán : (f+g)(x) = f(x) + g(x) và (af)(x) = a[f(x)] = a f(x) ta có (F,+, . ) lập thành một không gian tuyến tính. Khi A=[a,b] và các hàm f,g,…liên tục trên [a,b], khi đó tập F được ký hiệu riêng là C [a,b] đọc là không gian tuyến tính các hàm số liên tục trên đoạn [a,b] Ví du 4: Gọi { } , 3,2,1,0,,,/}{ =≥∈≤∈= ∞ nkRkkXRXXL nnn là tập hợp các dãy số thực bò chặn. Ta xây dựng phép toán (+) và nhân (.) như sau Với {X n }=x 1 ,x 2 ,x 3 ,…và {Y n }=y 1 ,y 2 ,y 3 ,…thuộc ∞ L , {X n }+{Y n }={X n +Y n }=x 1 +y 1 , x 2 +y 2 , x 3 +y 3 , …dễ thấy {X n }+{Y n } thuộc ∞ L Với số thực a tùy ý, a{X n }=ax 1 ,ax 2 ,ax 3 , …dễ thấy a{X n } thuộc ∞ L Bộ ( ∞ L , +, . ) lập thành không gian tuyến tính. 3. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN 3.1 Khái niệm chuẩn trên R n 3.1.1 - Tích vô hướng của 2 véc tơ: Cho 2 véc tơ X=(x 1 ,x 2 ,…,x n ) và Y=(y 1 ,y 2 ,…,y n ) thuộc R n , ta gọi tích vô hướng chính tắc của X,Y viết là XY có giá trò là một số thực XY=(x 1 ,x 2 ,…,x n ) (y 1 ,y 2 ,…,y n )=x 1 y 1 +x 2 y 2 +…+x n y n = ∑ = n i 1 x i y i . Tập R n cùng với DÙNG CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM NGÀNH TỐN 7 Đậu Xuân Thoan – 0915.638272 NHẬP MÔN TÔ PÔ phép lấy tích vô hướng lập thành không gian véctơ Euclide(Ơclit) n chiều(viết E n ). - Xét tích XX = x 1 x 1 +x 2 x 2 +…+x n x n = = ∑ = n i 1 x i 2 (tổng các bình phương các tọa độ). - Ta gọi chuẩn của X ký hiệu X là số căn bậc hai của tích XX, tức là X = XX tính theo tọa độ X = ∑ = n i i x 1 2 , chuẩn này gọi là chuẩn Euclide hay độ dài của X. 3.1.2- Với X=(x 1 ,x 2 ,…,x n ) thuộc R n ta đặt X = max { } nix i ≤≤1/ cũng là một chuẩn trên R n , gọi là chuẩn max trên R n . Chú ý rằng các chuẩn 3.1.1và 3.1.2 nói trên thỏa mãn cáctính chất sau: -Với mọi X thuộc R n luôn có X 0 ≥ , X =0 khi và chỉ khi X=O - Với mọi a thuộc trường số K, với mọi X thuộc R n luôn có XaaX = - Với mọi X,Y thuộc R n luôn có YXYX +≤+ 3.2 Không gian đònh chuẩn R n : Khi không gian tuyến tính R n được trang bò một chuẩn thỏa mãn các tính chất: -Với mọi X thuộc R n luôn có X 0 ≥ , X =0 khi và chỉ khi X=O - Với mọi a thuộc trường số K, với mọi X thuộc R n luôn có XaaX = - Với mọi X,Y thuộc R n luôn có YXYX +≤+ Ta gọi bộ (R n , ) là một không gian đònh chuẩn. Cùng tập R n có thể thiết lập nhiều không gian đònh chuẩn theo những chuẩn khác nhau, tùy theo mục đích nghiên cứu cụ thể. Ví du 5:Trên tập số thực R ta đònh nghóa giá trò tuyệt đối của một so ký hiệu như sau    ∠− ≥ = 0 0 xkhix xkhix x khi đó 0≥x với mọi x thuộc R, ta có (R, ) là một không gian đònh chuẩn theo chuẩn giá trò tuyệt đối. Ví dụ 6:Tập R n cùng chuẩn Euclide(hay chuẩn max) là không gian đònh chuẩn. 3.3 Sự tương đương của các chuẩn trên R n Đònh nghóa: Hai chuẩn khác nhau α và β cùng xác đònh trên R n , được gọi là tương đương ký hiệu α ~ β nếu tồn tại 2 số dương C 1 ,C 2 sao cho bất đẳng thức kép sau thỏa mãn n RXXCXXC ∈∀≤≤ ),()()( 21 αβα . Dễ thấy quan hệ tương đương giữa các chuẩn la mộtø quan hệ tương đương: có tính phản xạ α ~ α , có tính đối xứng nếu α ~ β thì ø β ~ α , có tính bắc cầu α ~ β và β ~ λ thì có α ~ λ với mọi α , β , λ là các chuẩn trên R n . Đònh lý: Hai chuẩn bất kỳ trên R n là tương đương với nhau. Chứng minh đònh lý ta chỉ cần chỉ ra mọi chuẩn tùy ý α trên R n tương đương với chuẩn max trên R n , đó là chuẩn X = max { } nix i ≤≤1/ . Giả sử e 1 ,e 2 ,e 3 , … ,e n là một cơ sở chính tắc của R n , X=(x 1 ,x 2 ,…,x n ) thuộc R n khi đó ∑ = = n i ii exX 1 suy ra ,)()( 2 1 XCexX i n i i ≤≤ ∑ = αα với )( 1 2 ∑ = = n i i eC α >0 bây giờ phải tìm số DÙNG CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM NGÀNH TỐN 8 Đậu Xuân Thoan – 0915.638272 NHẬP MÔN TÔ PÔ C 1 thỏa mãn )( 1 XXC α ≤ nữa là xong. Ta xét tập { } 1/ =∈= XRXS n và đặt số C 1 = inf { α (X) với X thuộc S}, khi C 1 >0 ta có XC X X XX 1 )( ≥         = αα , với mọi X thuộc R n , tức ta có bất đẳng thức kép n RXXCXXC ∈∀≤≤ /)( 21 α (đpcm). Theo cách đặt có ngay C 1 là không âm vì chuẩn α (X) không âm, trường hợp C 1 =0 cũng không xẩy ra (việc chứng minh không trình bày, dành cho bạn đọc tìm hiểu). 3.4 Không gian đònh chuẩn tổng quát: Cho không gian tuyến tính W trên trường số K, một chuẩn xác đònh trên W là một hàm từ W vào tập R thỏa mãn các tính chất sau: -Với mọi X thuộc W luôn có X 0≥ , X =0 khi và chỉ khi X=O - Với mọi a thuộc trường số K, với mọi X thuộc W luôn có XaaX = - Với mọi X,Y thuộc W luôn có YXYX +≤+ Khi đó bộ (W, ) gọi là không gian tuyến tính đònh chuẩn trên trường K, gọi tắt là không gian đònh chuẩn. Ví dụ 7:Trên không gian tuyến tính C [a,b] đặt )( max ],[ xff bax∈ = khi đó (C [a,b] , ) là không gian đònh chuẩn Ví dụ 8: { } , 3,2,1,0,,,/}{ =≥∈≤∈= ∞ nkRkkXRXXL nnn là tập hợp các dãy số thực bò chặn. Trên không gian tuyến tính ( ∞ L , +, . ) xác đònh chuẩn n n n xX sup , 3,2,1= = ta có ( ∞ L , ) là không gian đònh chuẩn. Ví dụ 9: Ký hiệu W 2 là tập hợp tất cả các dãy số {X n }=x 1 ,x 2 ,x 3 ,…thỏa mãn tính chất ∑ ∞ =1 2 n n x hội tụ, đặt chuẩn ∑ ∞ = = 1 2 n nn xX ta được (W 2 , ) là không gian đònh chuẩn . 3.5 Sự hội tụ trong không gian đònh chuẩn - Cho không gian đònh chuẩn (X, ) một dãy phần tử x 1 , x 2 , , x n , ký hiệu {x n }. Ta nói dãy {x n } hội tụ về phần tử x ∈ X khi ∞→n và ký hiệu x n → x , ∞→n , nếu xx n n Lim − ∞→ =0 - Tính chất: Tc1/ Nếu x n → x thì xx n → , nói khác chuẩn trên X là hàm liên tục trên X. Chứng minh: Trước hết ta chứng minh đẳng thức yxyx −≤− , ∀ x, y ∈ X . Theo bất đẳng thức tam giác của chuẩn có yyxyyxx +−≤+−= )( suy ra bất đẳng thức yxyx −≤− , thay đổi vai trò của x, y có yxxy −≤− hay yxyx −−≥− , kêt hợp có bất đẳng thức kép yxyx −≤−≤− y-x suy ra DÙNG CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM NGÀNH TỐN 9 Đậu Xuân Thoan – 0915.638272 NHẬP MÔN TÔ PÔ yxyx −≤− .Áp dụng kết quả này có ∞→→−≤− n khi 0xxxx nn từ đây có xx n → khi ∞→n . Tc2/ Mọi dãy hội tụ đều bò chặn Chứng minh: Nếu x n → x thì xx n → , suy ra { } n x bò chặn, do đó {x n } cũng bò chặn. Tc3/ Nếu x n → x 0 và y n → y 0 thì có x n +y n → x 0 + y 0 , với {x n }, {y n } ⊂ X và x 0 , y 0 ∈ X. Nếu x n → x 0 và a n → a 0 thì có a n x n → a 0 x 0 , với {x n } ⊂ X, x 0 ∈ X và{a a } ⊂ K, a 0 ∈ K. Chứng minh: Xét 0)()( 0000 →−+−≤+−+ yyxxyxyx nnnn nên x n +y n → x 0 + y 0 . Xét 0000000000 )()()()( xaxaxaxaxaxaxaxaxaxa nnnnnnnnnn −+−≤−+−≤− ∞→=+→−+−≤ n khi 0.00.x x . 0000n xaaaxa nnn nên a n x n → a 0 x 0 4. KHÔNG GIAN MÊTRIC 4.1 Khái niệm Mêtric (Khoảng cách) trên R n Cho 2 véc tơ X=(x 1 ,x 2 ,…,x n ) và Y=(y 1 ,y 2 ,…,y n ) thuộc R n , ta đònh nghóa khoảng cách giữa X và Y là một số ký hiệu d(X,Y) được xác đònh như sau: d n (X,Y) = ∑ = −=− n i ii yxYX 1 2 )( chỉ số i=1,2,3, … ,n. Với cách đònh nghóa này d n là hàm từ tập tích R n x R n vào tập số thực R, dễ thấy d n có các tính chất: -Tính chất không âm d n (X,Y) ≥ 0 với mọi X,Y thuộc R n -Tính chất đối xứng d n (X,Y) = d n (Y,X) với mọi X,Y thuộc R n -Tính chất bất đẳng thức tam giác d n (X,Y) ≤ d n (X,Z) + d n (Z,Y) với mọi X,Y,Z thuộcR n Ta nói Mêtric d n sinh bởi chuẩn Euclide, sau này ta chỉ xét các Mêtric trên R n được sinh bởi chuẩn nào đó. Ví du 10: Trên tập số thực R xác đònh d 1 (x,y)= yx − là giá trò tuyệt đối của hiệu x-y Thì d 1 là một Mêtric . Tương tự cho R 2 xác đònh 2 22 2 112 )()(),( yxyxYXd −+−= là một Mêtric. 4.2 Không gian Mêtric R n Trên tập R n xác đònh một Mêtric d: R n x R n R thỏa mãn 3 tính chất : -Tính chất không âm d(X,Y) ≥ 0 vớimọi X,Y thuộc R n -Tính chất đối xứng d(X,Y) = d(Y,X) với mọi X,Y thuộc R n -Tính chất bất đẳng thức tam giác d(X,Y) ≤ d(X,Z) + d(Z,Y) với mọi X,Y,ZthuộcR n Khi đó gọi bộ ( R n , d ) là một không gian Mêtric. Ví dụ 11: Ta có các không gian Mêtric một chiều (R, d 1 ) , hai chiều (R 2 , d 2 ) , , n chiều ( R n , d n ). 4.3 Không gian Mêtric tổng quát Cho tập hợp W khác rỗng có bản chất các phần tử tùy ý, một Mêtric d (hay khoảng cách d ) trên W là hàm d: WxW  R (các số thực) thỏa mãn 3 tiên đề sau: DÙNG CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM NGÀNH TỐN 10 [...]... Vi ) ∈ TTh i∈I i∈I Tô pô TTh là tô pô mạnh nhất trên X, ta gọi TTh là tô pô thương của X/ R - Bộ (X/ R,TTh ) lập thành không gian tô pô, gọi là không gian tô pô thương của không gian tô pô X theo quan hệ tương đương R (nếu không bò nhầm lẫn ta nói tắt là không gian tô pô thương) 3 KHÔNG GIAN TÔ PÔ LIÊN THÔNG 3.1 Các đònh nghóa - Không gian tô pô (X,TX) được gọi là không gian tô pô liên thông, nếu mọi... một tô pô trên W 2 KHÔNG GIAN TÔ PÔ 2.1 Dònh nghóa không gian tô pô Cho tập hợp X khác rỗng, trên X xác lập một tô pô T X , ta gọi bộ (X,TX) là một không gian tô pô Mỗi phần tử của X còn gọi là điểm của X -20 DÙNG CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM NGÀNH TỐN Đậu Xuân Thoan – 0915.638272 NHẬP MÔN TÔ PÔ Chú ý, trên cùng một tập hợp có thể xây dựng nhiều không gian tô. .. mở trong X thì A = φ hoặc A = X - Tập con Y của không gian tô pô (X,T X) gọi là tập liên thông, nếu không gian tô pô con (Y,TY) với TY = TX/ Y là không gian tô pô liên thông -24 DÙNG CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM NGÀNH TỐN Đậu Xuân Thoan – 0915.638272 NHẬP MÔN TÔ PÔ - Hai tập con A,B của không gian tô pô (X,T X) gọi là tách rời nhau, nếu như A ∩ B = φ và A ∩... (U ∩ V) Suy ra (U ∩ V)=(  Wx )∈ TX với x∈ (U ∩ V) 2.5 Tô pô cảm sinh và không gian tô pô con - Tô pô cảm sinh: Cho không gian tô pô (X,T X), tập con A của X (A ⊂ X) Xét họ các tập con của A như sau, TA = {(A ∩ D) với D ∈ TX } Ta kiểm tra thấy TA thỏa mãn các tính chất p1,p2,p3 tô pô trên một tập, ta có T A là tô pô trên tập A, ta gọi T A là tô pô cảm sinh bởi TX trên A ký hiệu là TA = TX/ A + Kiểm... TỐN Đậu Xuân Thoan – 0915.638272 NHẬP MÔN TÔ PÔ Chú ý: Trong không gian Mêtric giới hạn nếu có là duy nhất, trong không gian tô pô nói chung không nhất thiết một lọc hội tụ về một điểm duy nhất Nhưng trong những không gian tô pô đặc biệt ( chẳng hạn như không gian T 2 ) thì đảm bảo tính duy nhất như đònh lý đã nêu - Đònh lý 2: Mọi lọc đều bao hàm trong một siêu lọc Chứng minh: Cho không gian tô pô X... TỐN Đậu Xuân Thoan – 0915.638272 NHẬP MÔN TÔ PÔ + Kiểm tra tính chất p3, lấy một họ tuỳ ý các tập D i ∈ TA ,i ∈ I Khi đó tồn tại họ các tập Vi ∈ TX , i ∈ I sao cho Di = (A ∩ V1), i ∈ I Từ đó ta có  i∈I Di =  i∈I (A ∩ V1) = = A ∩ ( I Vi ) ∈ TA vì tập hợp ( I Vi ) ∈ TX Tức øïcác tập Di ∈ TA ,i ∈ I ⇒ I Di ∈ TA i∈ i∈ i∈ - Bộ (A,TA) lập thành không gian tô pô con của không gian tô pô (X,T X) 2.6 Tô. .. nghóa: Cho không gian tô pô (X,TX) ta có các khái niệm không gian T1,T2 Nếu mọi cặp điểm khác nhau x.y thuộc X, tồn tại các lân cận tương ứng V x ,Vy sao cho Vx ∩ Vy = φ , thì ta nói X là không gian tô pô tách Hausdorf hay còn nói là không gian T2 -27 DÙNG CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM NGÀNH TỐN Đậu Xuân Thoan – 0915.638272 NHẬP MÔN TÔ PÔ Nếu mọi cặp điểm khác... thì -28 DÙNG CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM NGÀNH TỐN Đậu Xuân Thoan – 0915.638272 NHẬP MÔN TÔ PÔ hiển nhiên G1,G2 là những tập mở sao cho F 1 ⊂ G1, F2 ⊂ G2 và (G1 ∩ G2)= φ Vậy X là không gian chuẩn tắc 6 KHÔNG GIAN TÔ PÔ COM PACT 6.1 Đònh nghóa - Cho không gian tô pô (X,T X), tập hợp con A của X được gọi là tập com pact trong X, nếu mọi phủ mở của A đều chứa... Đònh lý 2: Cho (X,TX) là một không gian tô pô, các tính chất sau là tương đương: i/ Không gian (X,TX) là không gian tô pô com pact ii/ Mọi họ các tập đóng của X có tập giao bằng tập rỗng, đều chứa một họ con hữu hạn có giao là tập rỗng -29 DÙNG CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM NGÀNH TỐN Đậu Xuân Thoan – 0915.638272 NHẬP MÔN TÔ PÔ iii/ Mọi họ các tập đóng của X có... -19 DÙNG CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM NGÀNH TỐN Đậu Xuân Thoan – 0915.638272 NHẬP MÔN TÔ PÔ Số tập hợp con năm phần tử là {1,2,3,a,b}= X Số lượng C55 = 1 Tổng số các tập hợp con là 1+5+10+10+5+1= 32 = 25 1.2 Tô pô trên một tập hợp - Cho tập hợp X tùy ý, một họ các tập con T của X được gọi là một tô pô trên tập X nếu T thỏa mãn các tính chất sau: p1 φ ∈ T và X ∈ T p2 Nếu D1 . GIAN TÔ PÔ 1. Tô pô trên một tập 23 2. Không gian T pô 24 3. Không gian tô pô liên thông 28 4. Không gian Lin Đơ Lốp 30 5. Các không gian tô pô tổng quát quan trọng 31 6. Không gian tô pô com. kiến xây dựng cho. Tác giả: Đậu Xuân Thoan Email: dauxuanthoan@gmail.com DÙNG CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM NGÀNH TỐN 2 Đậu Xuân Thoan – 0915.638272 NHẬP MÔN TÔ PÔ Chương 1 KHÔNG GIAN MÊTRIC . có T m là một tô pô trên W 2. KHÔNG GIAN TÔ PÔ 2.1 Dònh nghóa không gian tô pô Cho tập hợp X khác rỗng, trên X xác lập một tô pô T X , ta gọi bộ (X,T X ) là một không gian tô pô. Mỗi phần tử