5.1 Không gian T1 vă T2
- Dịnh nghĩa: Cho không gian tô pô (X,TX) ta có câc khâi niệm không gian T1,T2. Nếu mọi cặp điểm khâc nhau x.y thuộc X, tồn tại câc lđn cận tương ứng Vx ,Vy sao cho Vx∩Vy = φ, thì ta nói X lă không gian tô pô tâch Hausdorf hay còn nói lă không gian T2 .
Nếu mọi cặp điểm khâc nhau x.y thuộc X, tồn tại câc lđn cận tương ứng Vx ,Vy sao cho x ∉ Vy vă y ∉ Vx , thì ta nói X lă không gian T1 .
Ví dụ 8: Câc không gian mítric lă không gian tô pô tâch Hausdorf.
- Định lý: Một không gian tô pô lă không gian T1 khi vă chỉ khi tập hợp chứa một điểm lă tập hợp đóng.
Chứng minh: Cho không gian (X,TX) lă không gian T1 vă x∈X, ta chỉ ra tập {x}lă tập đóng. Lấy tùy ý phần tử y ∈X\{x}, khi đó x khâc y vă tồn tại lđn cận Vy sao cho x ∉ Vy suy ra y ∈Vy ⊂X\{x}, như vậy X\ {x} lă một lđn cận của y . Bởi vì y tùy ý thuộc X\ {x} nín X\ {x} lă tập hợp mờ, do đó {x} lă tập hợp đóng.
Ngược lại, cho (X,TX) lă không gian tô pô mă mọi tập hợp chứa một điểm đều lă tập đóng. Lấy hai điểm tùy ý khâc nhau x,y thuộc X, suy ra X\ {x} vă X\ {y} lă những tập hợp mở. Do đó X\ {x} lă lđn cận của y không chứa x, vă X\ {y} lă lđn cận của x không chứa y. Vậy X lă không gian T1 .
5.2 Không gian chính quy, không gian chuẩn tắc.
Không gian T2 lă không gian tô pô được đặc trưng bởi tính tâch điểm nhờ câc tập mở. Nếu thay một hoặc cả hai điểm bằng tập đóng, ta sẽ có một lớp câc không gian tô pô.
- Định nghĩa: Cho không gian tô pô (X,TX)
a/ Nếu đối với mọi tập đóng F vă đối với mọi x∉F, tồn tại câc tập mở U,V sao cho
F⊂U,x∈V vă (U∩V)= φ, thì X được gọi lă không gian chính quy.
b/ Nếu đối với bất kỳ hai tập đóng rời nhau F1 ,F2 đều tồn tại câc tập mở rời nhau M1 vă M2 sao cho F1⊂M1 , F2⊂M2 , thì X được gọi lă không gian chuẩn tắc.
- Định lý 1: Không gian tô pô (X,TX) lă chính quy khi vă chỉ khi đối với mọi cặp (x,G) tạo nín từ một điểm x∈G sao cho U ⊂G.
Chứng minh: Cho không gian tô pô (X,TX) lă chính quy, cho G lă tập mở chứa x. Khi đó F=X\ G lă tập đóng vă x∉F, theo giả thiết tồn tại câc tập mở M1,M2 sao cho F⊂M1 , x∈M2 vă (M1∩M2)= φ. Suy ra M2 ⊂ X \M1=X\ M1 ⊂X\ F = G, vậy tập M2 chính lă tập U cần tìm.
Ngược lại, cho F lă tập đóng vă x∉F , ta đặt G =X\ F lă tập mở vă x∈G. Theo giả thiết tồn tại tập mở U chứa x sao x∈G, đặt M1 = U vă M2 =X\ U , khi đó M1, M2 lă những tập mở sao cho x∈M1 , M2 ⊇ X \G⊇F vă (M1∩M2)=φ . Vậy X lă không gian tô pô chính quy.
- Định lý 2: Không gian tô pô (X,TX) lă chuẩn tắc khi vă chỉ khi đối với mọi tập đóng F vă với mọi tập mở G chứa F, đều tồn tại tập mở U chứa F sao cho U ⊂G. Chứng minh: Cho không gian tô pô (X,TX) lă chuẩn tắc, tập đóng F vă tập mở G thỏa mên F⊂G. Khi đó X\ G lă tập đóng vă (X\ G)∩F = φ, từ tính chuẩn tắc của x tồn tại câc tập mở M1,M2 sao cho (X\ G)⊂M1, F⊂M2 vă (M1∩M2)=φ. Bởi vì M2 ⊂X\ M1 nín M2 ⊂ X \M1 = (X\ M1)⊂G. Vậy M2 chính lă tập U cần tìm.
Ngược lại, F1,F2 lă hai tập đóng tùy ý sao cho (F1∩F2)=φ, suy ra F1⊂X\ F2 . Theo giả thiết tồn tại tập mở U chứa F1 sao cho U ⊂X\ F2 , nếu đặtG1=Uvă G2=X\ U thì
hiển nhiín G1,G2 lă những tập mở sao cho F1⊂G1, F2⊂G2 vă (G1∩G2)=φ. Vậy X lă không gian chuẩn tắc.
6. KHÔNG GIAN TÔ PÔ COM PACT6.1Định nghĩa