7.1 Khâi niệm Lọc, Siíu lọc
Trong không gian tô pô việc xem xĩt sự hội tụ phức tạp hơn nhiều, so với sự hội tu trong không gian mítric. Chẳng hạn, trong không gian mítric điểm x thuộc bao đóng của tập hợp A khi vă chỉ khi tồn tại dêy {xn}⊂A hội tụ về x, điều năy trong không gian tô pô nói chung không còn đúng nữa. Ta đi xđy dựng khâi niệm rộng hơn khâi niệm dêy hội tụ.
- Cho tập hợp X khâc rỗng tùy ý. Một họ L câc tập con khâc tập rỗng của tập X, được gọi lă một lọc trong X, nếu họ L thỏa mên câc điều sau:
L1/ Nếu hai tập tùy ý A,B ∈ L thì giao của chúng (A∩B)∈ L . L2/ Nếu A∈L, A⊂C thì C∈ L , với mọi tập C⊂X.
Chú ý: Nếu gọi P(X) lă tập hợp tất cả câc tập con của X, ta có L⊂P(X) vă L≠ φ. - Trín cùng tập X có thể xđy dựng nhiều lọc. Với hai lọc L1,L2 trín cùng tập X, ta nói lọc L1 không mịn bằng lọc L2 ( hay L2 mịn hơn L1), nếu L1 lă tập con của L2 , tức lă (L1⊂L2), ta cũng nói L2 mạnh hơn L1 .
- Lọc LS được gọi lă một siíu lọc trong X, nếu không có lọc năo mịn hơn lọc LS . Phât biểu khâc lă: Lọc LS lă siíu lọc trong X, nếu với mọi lọc LN năo đó trong Xù mă LS⊂ LN thì LS=LN .
- Cho tập hợp X khâc rỗng tùy ý, một tập con khâc rỗng LCS của P(X), được gọi lă một cơ sở lọc trong X, nếu thỏa mên với mọi A,B∈ LCS tồn tại C∈ LCS sao cho C
⊂(A∩B).
- Họ câc tập F = {M⊂X, trong đó tồn tại A∈ LCS sao cho A⊂M} lă một lọc trong X, lọc F gọi lă lọc sinh bởi cơ sở LCS .
Ví dụ 9: Cho tập X khâc rỗng, tập A⊂X. Đặt S ={W / W chứa A}. Ta có S lă một lọc, thật vậy:
L1: Với W1, W2∈S ta có A⊂W1 vă A⊂W2 , suy ra A⊂(W1∩W2), cho nín giao (W1∩W2) ∈S
L2: Với W∈S vă W⊂V suy ra A⊂V, cho nín V∈S
Ví dụ 10: Cho X khâc rỗng, điểm x∈X, gọi Vx lă lđn cận của x. Đặt S lă tập hợp tất cả câc lđn cận của x trong X, S = {Vx } ta có S lă một lọc, thật vậy:
L1: Với V1, V2 ∈S suy ra x∈(V1∩V2), cho nín giao (V1∩V2) ∈S L2: Với W∈S vă W⊂V suy ra x∈V, cho nín V∈S
7.2 Sự hội tụ.
- Định nghĩa: Cho X lă không gian tô pô, S lă một lọc hoặc một cơ sở lọc trong X. Ta nói S hội tụ tới điểm x ∈X, ký hiệu S → x nếu mọi lđn cận Vx của x đều thuộc S.
Phât biểu khâc :
- Cho X lă không gian tô pô, S lă một lọc hoặc một cơ sở lọc trong X. Ta nói S hội tụ tới điểm x ∈X ký hiệu S → x, nếu họ Ux tất cả câc lđn cận của x lă tập con của S (Ux⊂S ).
- Cho X lă không gian tô pô, S lă một lọc hoặc một cơ sở lọc trong X. Ta nói S hội tụ tới điểm x ∈X ký hiệu S → x, nếu Vx lă lđn cận của x thì Vx phải chứa một tập hợp A∈S.
- Định lý 1: Trong không gian tô pô tâch Hausđorff (không gian T2 ) một lọc có thể hội tụ tới nhiều nhất một điểm.
Chứng minh: Cho S lă một lọc trong không gian tôpô tâch X, giả sử S hội tụ tới hai điểm khâc nhau x vă y , suy ra tồn tại hai lđn cận Vx vă Vy của hai điểm x, y sao cho (Vx∩Vy) = φ. Giả thiết S → x vă S → y nín Vx∈S, Vy∈S, theo định nghĩa lọc thì (Vx∩Vy) =φ ∈S, điều năy mđu thuẫn vì lọc S bao gồm câc tập khâc φ. Vậy bắt buộc x = y .
Chú ý: Trong không gian Mítric giới hạn nếu có lă duy nhất, trong không gian tô pô nói chung không nhất thiết một lọc hội tụ về một điểm duy nhất. Nhưng trong những không gian tô pô đặc biệt ( chẳng hạn như không gian T2 ) thì đảm bảo tính duy nhất như định lý đê níu.
- Định lý 2: Mọi lọc đều bao hăm trong một siíu lọc.
Chứng minh: Cho không gian tô pô X vă F lă một lọc trong X, gọi R lă họ tất cả câc lọc FS trong X mă câc lọc đó chứa F, tức lă F⊂FS . Trong R thiết lập quan hệ thứ tự ( < ) nhờ quan hệ bao hăm F1 < F2 ⇔ F1⊂F2 .
Giả sử M ⊂R vă M lă một tập được sắp thứ tự toăn phần, khi đó tập L= FS / FS∈M, ta có : Tập L lă một lọc vă ∀H ∈M xẩy ra H < L.
Thật vậy, nếu A, B∈L tồn tại A’ < B’ thuộc M để A ∈A’ vă B ∈B’ từ đđy suy ra A, B đều thuộc B’, do đó (A∩B) ∈ B’,ta cũng có (A∩B)∈L. Vậy L thỏa điều kiện L1 của định nghĩa lọc. Bđy giờ lấy E ∈L vă E⊂F, khi đó tộn tại F’ thuộc M sao cho F ∈F’ suy ra E∈F’, ta cũng có F ∈L. Vậy L thỏa điều kiện L2 của định nghĩa lọc.
Điều còn lại ∀H ∈M xẩy ra H < L lă hiển nhiín.
Theo kết quả trín ta có L lă một cận trín của họ M, theo bổ đề Zonr trong R có phần tử cực đại, gọi phần tử cực đại năy lă LS thì LS lă siíu lọc cần tìm.
- Định lý 3: Cho X lă một không gian tôpô, câc mệnh đề sau lă tương đương: 1/ X lă com pact.
2/ Mọi lọc trong X đều tồn tại lọc mịn hơn hội tụ. 3/ Mọi siíu lọc trong X đều hội tụ.
Chứng minh:
Ta dễ nhận ra 2/ tương đương với 3/ nhờ định lý 2.
Bđy giờ ta chứng minh 1/ ⇒ 2/ . Cho X lă com pact vă L lă một lọc trong X, ta chỉ ra tồn tại lọc L0 mịn hơn L vă hội tụ.
Thật vậy, với mọi tập B∈L, giao câc bao đóng của mọi tập B khâc rỗng, tức lă B ≠ φ. Lấy x∈B ,với mọi lđn cận Vx của x đều thỏa mên Vx∩B≠ φ với mọi B
∈L. Gọi L0 lă lọc bao hăm lọc L vă lọc câc lđn cận Vx của x. Họ câc tập dạng Vx
∩B đóng vai trò lă cơ sở của một lọc L0 , Vậy L⊂L0 vă L0 → x.
Ngược lại 2/ ⇒ 1/ . Giả thiết mọi lọc trong X đều tồn tại lọc mịn hơn hội tụ, ta chỉ ra X lă com pact
Lấy họ tùy ý câc tập đóng trong X lă Bi / i∈I sao cho i∈JBi ≠Φ với mọi tập chỉ số J hữu hạn vă J⊂ I . Khi đó ta có họ {i JBi J ⊂I
∈
/
} lă cơ sở của một lọc L trong X, từ giả thiết tồn tại lọc mịn hơn L0 hội tụ về x trong X tức lă L0 → x, x
I i , ∀ ∈ =
∈Bi Bi . Theo định lý 2 mục 6. 2 ta có i∈I Bi ≠Φ, vậy X com pact. Ta đê chứng minh xong định lý.