THEO LÝ THUYẾT LƯỚI
8.1 Khâi niệm tập hợp định hướng
Cho tập hợp D khâc rỗng, trín D xâc định một quan hệ S (S⊂ D), ta nói bộ (D, S) lă một tập được định hướng nếu vă chỉ nếu câc điều sau đđy thỏa mên:
1/ Với mọi x thuộc D ta đều có xSx
2/ Nếu xSy vă ySz thì cũng có xSz với mọi x, y, z thuộc D
3/ Tồn tại phần tử w thuộc D sao cho wSx với mọi phần tử x thuộc D
8.2 Khâi niệm về lưới, điểm dính, sự hội tụ
- Cho (D, S) lă tập hợp định hướng, tập hợp khâc rỗng X ={x, y, z, ... }. Một ânh xạ f từ D văo X đặt tương ứng i thuộc D với f(i) = xi , ta nói dêy {xi} lă dêy suy rộng hay lă một lưới trong X. Trường hợp X lă không gian tô pô ta có lưới trong không gian tô pô X.
- Cho {xi}i∈D lă một lưới trong không gian tô pô X, điểm a thuộc X. Ta nói a lă điểm dính của lưới {xi}i∈D nếu vă chỉ nếu : Với mọi x, y thuộc D vă với mọi tập V⊂V(a) tồn tại w thuộc D thỏa mên wSx, wSy vă xw thuộc V.
( Tập V(a) lă họ tất cả câc lđn cận của điểm a).
- Trong không gian tô pô X, lưới {xi}i∈D hội tụ về a trong X nếu vă chỉ nếu với mọi V⊂V(a) tồn tại một u thuộc D sao cho xi thuộc V , với mọi phần tử i mă i S u.
Lúc năy ta nói a lă điểm tụ của lưới {xi}i∈D vă ký hiệu lă a = Lim xi
D i∈ .
8.3 Khâi niệm về lưới con
- Cho (D, S) lă tập hợp định hướng, cho {xi}i∈D lă một lưới trong không gian tô pô X. Cho (E, S’) lă tập hợp định hướng vă một ânh xạ h từ E văo D có tính chất: Với mọi x thuộc D tồn tại y thuộc E sao cho [h(w)Sx] với mọi phần tử w trong E mă wS’y . Lúc năy ta gọi {xh(w)}w∈E lă một lưới con của lưới {xi}i∈D .
- Định lý:
Mọi lưới {xi}i∈D trong không gian tô pô X đều tồn tại lưới con {xh(w)}w∈E sao cho {xh(w)}w∈E lă một siíu lưới (ultranet).
Điều năy nghĩa lă với mọi tập con A của X, một trong hai điều sau đđy phải đúng: 1/ Có y trong E sao cho xi thuộc A với mọi iS’y
2/ Có y trong E sao cho xi thuộc X\ A với mọi iS’y
8.4 Mối liín hệ giữa hội tụ theo lọc vă hội tụ theo lưới
Cho {xi}i∈D lă một lưới trong không gian tô pô X, ta đặt A u ={ xi với iSu } vă đặt F = { B / B⊂ X , A u ⊂ B với một u thuộc D }. Ta có câc kết quả sau:
1/ F lă một lọc trong X
2/ Nếu {xi}i∈D lă một siíu lưới trong X thì F lă một siíu lọc trong X 3/ Nếu lưới {xi}i∈D hội tụ về x trong X thì lọc F hội tụ về x trong X ( Dùng câc định nghĩa về lưới vă về lọc ta chứng minh được mối liín hệ năy )
Chương 3 ÂNH XẠ LIÍN TỤC 1. ÂNH XẠ
1.1 Định nghĩa ânh xạ
- Cho tập X, Y có bản chất đối tượng tùy ý,ta có tích Đề Câc X.Y phần tử của nó lă những cặp (x,y) với x∈X, y∈Y, viết lă XY = {(x,y) / x∈X, y∈Y}.
- Mỗi tập con S ⊂XY được gọi lă một quan hệ từ tập X văo tập Y, cặp phần tử (x,y)∈S ta nói x cóquan hệ S với y viết khâc lă xSy, tùy theo người sử dụng có thể viết (x,y)∈S hoặc xSy, quan hệ S được đặt ra theo một quy tắc năo đó.
- Khi X=Y ta nói S lă quan hệ hai ngôi trín tập X, thông thường ta hay sử dụng quan hệ hai ngôi tương đương, quan hệ hai ngôi thứ tự .
* Quan hệ 2ngôi S trín X được gọi lă quan hệ tương đương, ký hiệu bằng dấu ( ~ )
nếu S thỏa mên 3 tính chất sau:
Tính chất phản xạ ∀x∈X luôn có cặp (x,x)∈S
Tính chất đối xứng ∀x,y∈X, cặp (x,y)∈S thì cũng có cặp (y,x)∈S
Tính chất bắc cầu ∀x,y,z∈X, cặp (x,y)∈S vă(y,z)∈S thì cũng có cặp (x,z)∈S * Quan hệ hai ngôi S trín X được gọi lă quan hệ thứ tự ký hiệu bằng dấu ( ≤ ) nếu S thỏa mên 3 tính chất sau:
Tính chất phản xạ ∀x∈X luôn có cặp (x,x)∈S
Tính chất phản xứng ∀x,y∈X, cặp (x,y)∈S vă cặp (y,x)∈S thì phỉ có x = y Tính chất bắc cầu ∀x,y,z∈X, cặp (x,y)∈S vă(y,z)∈S thì cũng có cặp (x,z)∈S - Xĩt quan hệ S từ X văo Y có tính chất: Với mọi x∈X, tồn tại một vă chỉ một y∈
Y, sao cho cặp (x,y)∈S. Khi đó ta nói S lă một ânh xạ từ tập X văo tập Y, ký hiệu riíng cho ânh xạ lă S: X→ Y, cặp (x,y)∈S viết lại lă y = S(x), ngươiø ta thường dùng ký hiệu f, g, h, … để ghi ânh xạ. Ta định nghĩa ânh xạ như sau:
Aùnh xạ f từ tập X văo tập Y lă một quy tắc cho tuơng ứng mỗi phần tử x∈X, với một phần tử y∈Y. Ký hiệu f : X → Y
x y=f(x)
tập X gọi lă tập nguồn vă Y gọi lă tập đích của ânh xạf, tập f(X) gọi lă tập ảnh của f , phần tử x lă tạo ảnh vă phần tử y=f(x) lă ảnh của x qua ânh xạ f .
Chú ý : Quan hệ S từ X văo Y, định nghĩa cho cả khi X=Y.
Khi câc tập X vă Y đều lă câc tập hợp số, ta nói ânh xạ f lă một hăm số. Ví dụ 1:
Gọi V lă tập hợp người Việt Nam, ânh xạ f từ V văo V xâc định: Với mọi x thuộc V đặt tương ứng với mẹ đẻ của x, tức lă f(x) = (mẹ đẻ của x). Ta có f lă một ânh xạ trín tập hợp V.
Để kiểm tra tiíu chuẩn ânh xạ, ta xĩt cđu nói “ mỗi người Việt Nam ai cũng có vă có duy nhất một mẹ đẻ”, cđu nói năy đúng 100%.
Cho N lă tập hợp câc số tự nhiín, N = {0, 1, 2, 3, … }, ta đặt tương ứng f : N→ N theo quy tắc f(n) = 2n, ta có f lă một ânh xạ.
1.2 Đơn ânh
Aùnh xạ f từ X văo Y được gọi lă đơn ânh, nếu với hai phần tử khâc nhau x1, x2 của X thì hai ảnh f(x1), f(x2) thuộc Y phải khâc nhau, tức lă (∀x1, x2 ∈X vă x1≠x2 ) ⇒
f(x1)≠f(x2). Phât biểu khâc:
Aùnh xạ f từ X văo Y được gọi lă đơn ânh, nếu hai ảnh f(x1),f(x2) bằng nhau trong Y thì hai tạo ảnh x1, x2 thuộc X phải bằng nhau, tức lă f(x1) = f(x2) ⇒ (x1 = x2 ). Ví dụ 3: Ânh xạ tromng ví dụ 1 không phải lă đơn ânh, vì có thể có nhiều người khâc nhau vẫn có chung một mẹ.
Ânh xạ trong ví dụ 2 lă đơn ânh,vì nếu m≠n thì 2m≠2n hay f(m)≠f(n). Ví dụ 4: Hăm số bậc nhất f(x) = ax + b / a, b ∈ R (tập câc số thực) lă một đơn ânh.
Thật vậy, (∀x1, x2 ∈ R vă x1≠x2 ) ⇒ ax1 ≠ax2 ⇒ ax1 + b ≠ax2 + b ⇒ f(x1)≠f(x2)
1.3 Toăn ânh
Ânh xạ f từ X văo Y được gọi lă toăn ânh, nếu với mọi phần tử y của Y luôn tồn tại phần tử x thuộc X sao cho f(x) = y.
Phât biểu khâc:
Ânh xạ f từ X văo Y được gọi lă toăn ânh, nếu tập ảnh f(X) bằng tập đích Y, tức lă có đẳng thức f(X) = Y.
Ví dụ 5: Hăm số bậc nhất f(x) = ax + b / a, b ∈ R, a≠0 ( R lătập câc số thực) lă một toăn ânh.
Thật vậy, mỗi y∈ R tồn tại x = a1(y – b) ∈ R, thỏa mên f(x) = f(a1(y – b)) = a.a1(y – b) + b = (y – b) + b = y.
1.4 Song ânh
Ânh xạ f từ X văo Y được gọi lă song ânh, nếu f vừa lă đơn ânh vừa lă toăn ânh. Phât biểu khâc:
Ânh xạ f từ X văo Y được gọi lă song ânh, nếu thỏa mên đồng thời (∀x1, x2 ∈X, x1≠x2 ) ⇒ f(x1)≠f(x2) vă f(X) = Y.
Ví dụ 6: a/ Hăm số bậc nhất f(x) = ax + b / a, b ∈ R, a≠0 ( R lătập câc số thực) lă một song ânh b/ Ânh xạ f − )→R 2 , 2 ( : π π
với f(x) = tgx lă một song ânh.
c/ Ânh xạ f: (0, 1) → (a, b) / a, b ∈ R, a < b với f(x) = (b – a)x + a lă một song ânh.