- Cho không gian tô pô (X,TX), tập hợp con A của X được gọi lă tập com pact trong X, nếu mọi phủ mở của A đều chứa một phủ con hữu hạn.
Giải thích: Nếu câc tập Di mở trong X với mọi i∈I vă A⊂(i∈I Di) thì có một tập con hữu hạn Io = {1,2,3,…,n-1,n}⊂I sao cho vă A⊂(
0
I
i∈ Di). Ta nói A lă tập com pact. - Không gian tô pô (X,TX) được gọi lă không gian tô pô com pact, nếu X lă tập com pact trong (X,TX).
Giải thích: Nếu câc tập Di mở trong X với mọi i∈I vă X =(i∈I Di) thì có một tập con hữu hạn Io = {1,2,3,…,n-1,n}⊂I sao cho vă X =(
0
I
i∈ Di). Ta nói X lă tập com pact.
6.2 Định lý
Định lý 1: Cho không gian tô pô (X,TX), khi đó ta có
a/ Nếu không gian tô pô (X,TX) lă com pact, thì mọi tập hợp con đóng của nó cũng lă tập com pact.
b/ Nếu không gian tô pô (X,TX) lă không gian tô pô tâch Hausdorf, thì mọi tập com pact của X lă đóng.
Chứng minh:
a/ Cho (X,TX) lă com pact vă A lă tập con đóng của X, gọi UA lă một phủ mở của A. Khi đó tập U* = UA∪(X\ A) lă một phủ mở của không gian com pact X, do đó tồn tại phủ con hữu hạn U*0 ⊂U*. Hiển nhiín U0 = U*0 \ (X\ A) lă một phủ con hữu hạn của UA , đồng thời {D, D∈U0}⊃A. Vậy A lă tập com pact.
b/ Giả sử A lă tập com pact trong không gian tâch Hausdorf, dể chứng minh A đóng ta chứng minh (X\ A)= Ac lă tập hợp mở. Lấy tùy ý x∈Ac vă nếu y∈A thì y
≠x, do đó tồn tại câc lđn cận mở Vx,Vy của x,y sao cho Vx∩Vy = φ. Hiển nhiín tập hợp FA ={Vy,y∈A} lă một phủ mở của A. Do A lă com pact nín tồn tại phủ con hữu hạn của A, tức lă A ⊂( n
i i
F
1
= ) với Fi ∈ FA , i =1,2,3,…,n. Cho tương ứng mỗi lđn cận mở Fi của yi ∈A với lđn cận Vix của x, đặt V= n
i=1 Vix ta có V lă tập mở sao cho x∈V ⊆ n i=1 (X\ Fi ) = X\ ( n i i F 1
= )⊂(X\ A). Vậy x lă điểm trong của X\ A, hay X\ A lă tập mở, tức A lă tập đóng.
Định lý 2: Cho (X,TX) lă một không gian tô pô, câc tính chất sau lă tương đương: i/ Không gian (X,TX) lă không gian tô pô com pact.
ii/ Mọi họ câc tập đóng của X có tập giao bằng tập rỗng, đều chứa một họ con hữu hạn có giao lă tập rỗng.
iii/ Mọi họ câc tập đóng của X có tính chất giao hữu hạn, đều có giao khâc rỗng. ( Tính chất giao hữu hạn: Họ {Ai , i∈I } gọi lă có tính chất giao hữu hạn, nếu với mọi tập con hữu hạn Io = {1,2,3,…,n-1,n}⊂I , ta đều có ∈ ≠φ
0 I i i A ) Chứng minh:
i/⇒ ii/ : Cho X lă không gian com pact, gọi Fd lă một họ tùy ý câc tập đóng có giao rỗng, khi đó họ W= {X\ F, F∈Fd } lă một phủ mở của X. Từ X lă com pact nín tồn tại câc tập F1,F2,…,Fn thuộc Fd sao cho n
i=1 (X\Fi) =X hay X\ (n
i=1 Fi) =X. Suy ra
(n
i=1 Fi)=φ. Tức lă Fd chứa một họ con hữu hạn {F1,F2,…,Fn } có giao rỗng. ii/⇒ i/ : Ta có câc điều trong ii/, cho PM lă một phủ mở tùy ý của X, khi đó
Fd = {X\ G, G∈PM} lă họ câc tập đóng có giao rỗng, thì ta có một họ con hữu hạn F0 = {X\ G1,X\ G2, X\ G3 ,…,X\ Gn với Gi ∈PM}⊂Fd sao cho n
i=1 (X\ Gi)=φ. Chú ý rằng n i=1 (X\ Gi )= X\ ( n i=1 Gi ), suy ra X\ ( n i=1 Gi )=φ do đó ( n i=1 Gi )=X. Điều năy lă phủ PM chứa phủ con hữu hạn phủ X, vđy X lă com pact.
Như vậy ta có i/ vă ii/ tương đương nhau.
ii/⇒ iii/ : Ta có câc điểm trong ii/, cho Fd lă họ tùy ý câc tập đóng của x có tính chật giao hữu hạn. Họ Fd phải có giao khâc rỗng, bởi vì ngược lại theo ii/ phải có một họ hữu hạn F0 có giao rỗng, mđu thuẫn với tính chất giao hữu hạn của họ Fd . iii/⇒ ii/ : Ta có câc điểm trong iii/, cho Fd lă một họ câc tập đóng của X có giao rỗng. Nếu mọi họ con hữu hạn của Fd đều có giao khâc rỗng, thì họ Fd có tính chất giao hữu hạn. Theo iii/ họ Fd có giao khâc rỗng, mđu thuẫn với giả thiết ii/, suy ra có họ con hữu hạn F0 ⊂Fd để họ F0 có giao rỗng, hay ii/ thỏa mên.
Như vậy ii/ vă iii/ tương đương nhau.
Ta kết luận ba điều i/,ii/ vă iii/ tương đương nhau.